Projeto Calcule caderno 1

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1 
 
Departamento de Matemática, Física, Química e Engenharia de Alimentos 
Projeto Calcule! 
Profª: Rosimara Fachin Pela 
Profª: Vanda Domingos Vieira 
 
PARTE 1 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS E NUMEROS REAIS 
 
Um numero real e qualquer numero que pode ser escrito na forma decimal. O conjunto dos números 
reais contem subconjuntos importantes: 
 
1-Conjuntos dos números naturais: IN={1, 2, 3,...} 
2-Conjunto dos números inteiros: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
3-Conjunto dos números racionais: Q 






 0,,, qZqp
q
p
=






  ,1,,
2
1
,,0,,
3
1
,,
3
2
, 
4-Conjunto dos números irracionais: I  Q,  xx =  ,15,,,,,,2, e 
Assim podemos representar o conjunto dos números reais: 
 IR = Q  I 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS 
 
I – NÚMEROS INTEIROS 
ADIÇÃO: 
Dizemos que adicionar ou somar é a operação pela qual associamos dois números ou mais números, em 
um único número, denominado soma ou total. 
 
 
 
 
 
SUBTRAÇÃO: 
A subtração é uma operação que consiste em tirar, diminuir, subtrair uma quantidade da outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 + 5 = 9 
1ª parcela 2ª parcela 
Soma ou 
total 
5 - 2 = 3 
minuendo subtraendo 
diferença 
ou resto 
total 
2 
 
Regras de sinal: 
Para efetuar a adição e subtração vamos obedecer as seguintes regras: 
1- Os números possuem o mesmo sinal: conserva o sinal e soma os números 
Ex) a) 6 + 3 = + 9 
 b) -2 – 4 = - 6 
 
2- Os números possuem sinal contrario: conserva o sinal do maior e subtrai os números. 
Ex) a) -5 + 2 = -3 
 b) 4 - 2 = 2 
 
MULTIPLICAÇÃO: 
A multiplicação é a adição de uma quantidade finita de números iguais, ou seja, a multiplicação é apenas 
uma forma reduzida de se escrever a adição 
 
 3 + 3 + 3 + 3 +3 = 15 
 5 x 3 = 15 
 Ou 
 
 
 
 
 
DIVISÃO: 
A divisão é a operação aritmética que determina a quantidade de vezes que um numero esta contido 
dentro do outro. 
 
 
 
 
 
 
 
Assim temos que: 
 Dividendo(D) = divvisor(d) . quociente(q) + resto(r)  D = d . q + r, ou 
5 x =15 
multiplicando multiplicador 
produto 
 20 4 
 - 20 5 
 0 
resto 
quociente 
divisor dividendo 
3 
 
 
d
r
q
d
D
 
Regras de sinal: 
Para efetuar a multiplicação e divisão vamos obedecer as seguintes regras: 
1- Os dois números tem o mesmo sinal, o resultado é positivo 
Ex) a) (-2) x (-3) = + 6 
 b) (+3) x (+4) = + 12 
 c) 2
3
6



 
 d) 
2
1
10
5
 
 
2- Os dois números possuem sinais diferentes, o resultado é um numero negativo 
Ex) a) (-4) x (+3) = -12 
 b) (+3) x (-5) = -15 
 c) 
2
1
6
3


 
 d) 
3
4
)3(
4


 
Observações: 
1)Um numero não nulo multiplicado por zero é sempre igual a zero. 
Ex) a) 3 x 0 = 0 
 b) 0 x 






2
1
 = 0 
2)Na divisão o divisor deverá ser sempre diferente de zero. 
Ex) a) 
0
5
( : não existe) 
 
II – NÚMEROS FRACIONARIOS 
 
Obs) devemos lembrar que as regras de sinais na s operações com números inteiros são validas para 
fracionários, já que numeradores e denominadores são formados por números inteiros. 
 
Adição e subtração: 
Frações com denominadores: 
 iguais , conserva-se o denominador e somam-se os numeradores. 
 Ex: a)
5
9
5
72
5
7
5
2


 
 b) 1
4
4
4
13
4
1
4
3




 
 diferentes, devemos reduzi-las ao mesmo denominador e então somar os numeradores. 
Para reduzir as frações ao mesmo denominador 
4 
 
1. encontra-se o MMC dos denominadores das frações, que será o denominador comum procurado. 
2. divide-se esse MMC pelos denominadores de cada fração, e o quociente obtido é multiplicado 
respectivamente pelos numeradores de cada fração. 
 
 Ex: 
12
17
12
9
12
8
4
3
3
2
 
 
Calculo MMC(3,4): 3 , 4 2 
 3 2 2 MMC(3,4) = 2.2.3 = 12 
 3 1 3 
 1 1 
 
Multiplicação: 
 O produto de duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo 
denominador é o produto dos denominadores das frações dadas. 
 Ex: 
21
10
7.3
5.2
7
5
.
3
2
 
 
Divisão: 
 Para dividir uma fração por outra, multiplica-se a primeira fração pela segunda fração invertida. 
 Ex: 
35
24
7
6
.
5
4
6
7
:
5
4
 
 
III - POTENCIAÇÃO: 
A potenciação é o resultado da multiplicação sucessiva de um numero por ele mesmo, ou seja, 
 
 *INn onde ....  n
vezesn
aaaaaaa   . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: 
44 :ex 0,)2
13 :ex 1)1
11
00


aaa
a
 
 
3)Todo número positivo elevado a qualquer expoente (par ou ímpar) resulta um número positivo. 
 Ex: 813.3.3.3)3(42.2)2( 42  ou 
 
4)Todo número negativo elevado a um expoente par resulta um número positivo 
 Ex: 16)2)(2)(2)(2()2( 4  
 
5)Todo número negativo elevado a um expoente ímpar resulta um número negativo. 
 Ex: 8)2)(2)(2()2( 3  
 
na 
base 
expoente 
5 
 
6) Todo número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual a uma fração, em que o 
numerador é sempre a unidade, e o denominador é o mesmo número elevado a um expoente que é o 
simétrico( mesmo número de sinal trocado) do expoente inicial. 
 Ex:  
8
1
8
1
)2(
1
)2(
9
1
3
1
3
3
3
2
2




 

ou 
 
 
Propriedades da potenciação: 
9
4
3
2
3
2
 :ex 0,)5
82(2x) :ex .).)(4
55)(5 :ex ))(3
222:2 :ex 0,:)2
333.3 :ex .)1
2
22
3333
63.232.
2
114343
53232


















b
b
a
b
a
xxbaba
aa
aaaa
aaa
n
nn
nnn
nmnm
nmnm
nmnm
 
 
IV - RADICIAÇÂO: 
 
Uma raiz nada mais é que uma operação inversa à potenciação, sendo assim, ela é utilizada para 
representar, de maneira diferente, uma potência com expoente fracionário. Assim: 
 
 
 
n mn
m
aa  
 
 
4 34
3
22 :Ex 
 

 
 
 
Obs) abbaIRaPara nn  n
1
a : IRn e 
33
1
22 :Ex 
 

 
 
 
 
 
Propriedades da radiciação: 
     
  105.
3 2
2
3
2
33:ex )3
22 :ex )2
5.353 :ex )1
1
1
1



npp n
n p
pp
n
n nn
aaa
aaa
baba
p
n
n 
 
radical 
índice 
radicando 
6 
 
Operações com Radicais 
 
 Simplificação de Radicais. 
1.Para simplificar uma raiz quadrada decompomos o número em seu fatores primos. E escrevemos 
quando possível cada fator da decomposição com expoente 2 ou múltiplo de 2. Se for uma raiz cúbica, 
escrevemos quando possível cada fator da decomposição com expoente 3 ou múltiplo de 3. 
 
2. Escrevemos o número fatorado como um produto de fatores primos e aplicamos as propriedades: 
. 
 
 
 
3. Simplificamos em seguida cada raiz quadrada ou cúbica. 
 
Ex. Decompondo o número em seus fatores primosa) 8 8 2 
 = 4 2 
 2 2 
 = 2 1 
 
 
c) Decompondo o número em seus fatores primos 
180 = 180 2 
 90 2 
 2 45 3 
 15 3 
 5 5 
 1 
 
 
d) 3 64 Decompondo o numero em seus fatores primos 
64 = = . 
 64 2 
 32 2 
 16 2 
 8 2 
 4 2 
 2 2 
 1 
 
 
 
 
e) Decompondo 196 em fatores primos temos: 
 
 196 2 
 98 2 
 49 7 
 7 7 
 1 
 
 
 
7 
 
Adição de radicais 
1)Decompomos cada número em seus fatores primos 
2) simplificamos os radicais 
3)soma-se radicais com mesmo índice 
Exemplos 
a) decompõe-se os números 8 e 18 em seus fatores primos , 
 
 
 
 
b) decompõe-se os números 32 e 98 em seus fatores primos, 
 
 
 
 
c) decompõe-se os números 72 e 54 em seus fatores primos e encontramos 
 
 
 = 
 = 
 
 
Racionalização 
Racionalizar é multiplicar o numerador e o denominador de um número irracional fracionário por um 
número irracional, eliminando o radical do numerador ou denominador. 
Exemplos: 
1) para eliminar o radical do denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por e 
aplicamos as propriedades dos radicais. 
 = 
 
2) para eliminar o radical do numerador multiplicamos o numerador e o denominador por . 
 
 
3) Multiplicação pela expressão conjugada 
Se temos a expressão temos como expressão conjugada 
 
Exemplos: 
a) para eliminar os radicais do denominador multiplicamos, o numerador e o denominador pela 
expressão conjugada do denominador que é . 
 
Obs: o denominador é o produto notável 
 
8 
 
b) para eliminar o radical do numerador, multiplicamos o numerador e o denominador por 
 que é a expressão conjugada do numerador . 
 
 
 
Exercicios 
Para resolver expressões matemáticas devemos seguir a seguinte ordem: 
1º)Potencias e raízes 
2º)multiplicações e divisões 
3º)adições e subtrações 
Obs.: Quando aparecem parênteses ( ), colchetes[ ] e chaves{ }, resolvemos as operações contidas nos 
parênteses, depois as contidas nos colchetes e finalmente, as contidas nas chaves obedecendo as ordens 
anteriores. 
 
 
 
01) - Resolva as seguintes expressões numéricas: 
a)-25 + (+30) + (-2) + (-10) R :-7 
b)-10) – (-7) – (+8) – (+9) + (+3) R -17 
c)- (-3 + 7) + (2 - 5) - 9 R: -16 
d)-[5 + (3 – 6) – (9 – 13)] R: -6 
e)4 – [2 – (6 + 7)] – [(3 – 6) + 14] R: 4 
f)- [(11 – 12) – (-7 + 9)] – [(3 – 6) + 14] R: -8 
g){2 – [(4 – 7) + 1]} – 3 R: 1 
h)– {- [7 – (2 + 5 + 7)] + 11} + 13 R: -5 
i){ - (4 – 3) + [10 – (31 – 27)] + 3} R: 8 
j)-2[4(3 – 8)] R: 40 
k)-5[20 – (13 - 17)] R: -120 
l)– [4 + 2(-5)] : (-2 – 1) R: -2 
m)[(2 – 3).2 + 3(-2 + 1)] : (-1 – 4) R: 1/5 
n){86 – [-(3 – 10 + 4) + (13 – 20 + 4)]} – 36 R: 50 
o)-11(-3) – 5 + (-32) : 4 – [ 16 : (-2) – (-8) : 4] R: 26 
p)3(-6 + 5) – 12{ - 34 + 2[7 – (-5 – 2) : 7]} R: 213 
q) 












3
2
2
1
4 R: 3 
r) 






2
1
1
5
1
20
13
: R: 
2
1
 
s) 












4
3
1
4
2
2 R: 
8
21
 
9 
 
t)
2
1
6
3
4
5
8
1


















 . R: 
16
21
 
u) 












2
1
8
2
8
1
3
5
2
.: R: 
5
141
 
v) 


















2
1
12
3
4
1
3
2
8
1
.: R: 
3
1
 
x)
2
3
18
25
3
2
2
1






 : R: 
50
117
 
y)   











 2
8
2
4
3
232 :: R: 
11
10
 
w) 


















2
1
126
2
3
:. R: 
2
23
 
z)
3
1
4
3
6
1
2
1
3
4












 :R: 
3
7
 
 
02)Calcule o valor das expressões: 
 
 
 
 
 
5
7
:R 
3
2
:
5
2
5
4
.
4
1
f) 0:R 25:5325)1((-2)-e)
7:R 
253
272--
d) 17:R 
3
1
3
2
62c)
3:R 
6
1
4
2
1
:
2
1
b) 
3
17
:R 
1
1
)
32
3203
0
3212
1-
9
21
4
2
5
4
5
1
4
3
2
1














































a
 
 
03)Aplicando propriedades de potências, simplifique as expressões: 
 
10
4
:R 
10.10.3
10.10.12.10
d) 625:R 
25.)5(
25.125
c)
9:R 
243.
3.27.9
b) 32:R 
8
4.256
)
41
943-
732
36
2
3
1
743
7
9





a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
04) Efetue as operações, aplicando as propriedades da potenciação: 
   
  
   6n-23
11
3x121
qp
1-n2
2
4
23
a:R )
1 :R 5:5)
3:R 3.3)
4 :R 4:4)
3 :R 3.3.3)
-90:R 3.5.2)
284 :R 
2
1
.2.2)
m
xx
xx
qp
n
ag
f
e
d
c
b
a














 
 
 
05) Calcule o valor das expressões: 
 
9
196
 :R 
3
7
33
3
5
.
3
1
)
8
23
- :R 
4
3
2:4
2
3
.2)
50
27
- :R 1
3
1
:
5
6
10
3
)
36
17
:R 
2
1
31.
2
1
2)
16
23
:R 1
2
1
.
3
2
2.
4
3
)
2
23
22
2
2
12
2
2
3

































































































e
d
c
b
a
 
 
 
4
25
 :R 
4
1
1.2)
27:R 
3
3.3
)
2
7
432












g
f
 
 
   
   
 
 
  3
17
 :R 
1
1
)
7- :R 
3
1
9.310)
2
1
:R 44:22)
-1:R 19:316:32.2)
4:R 
4
1
:52)
81
4
 :R 
2
3
.
2
1
6
1
.
3
1
1)
2
5
4
5
1
4
3
2
1
2
120
1133
3623
1
20
232











































n
m
k
j
i
h
 
11 
 
o) 2 1-
12
3
1
3
2
6













 R: -10 
p) 
3
2
:
5
2
5
4
.
4
1
32












 R: 
5
7
 
 
06) Efetue: 
2
1
-:R 
39
8124
d) 
12
25
:R 
8
1
18
1
2
1
)
2
15-2-
:R 
51
32
5-1
32
b) 2:R 951816)
33
33
5 4 3








c
a
 
 
 
07) Calcular: 
25
12:R 027,020064,040,0003210) 0:R 643272)5
5
26:R 0001,084003641009) 
5
1:R 0016,0)4
10:R 86324125-8)2 -1:R 1)3
-6:R 729427-7)6 
2
1:R 
8
1)2
-15:R 16327227-6)5 5:R 125)1
3563
44
3533
633
4333





 
 
08) Simplifique os radicais: 
3
2
5b
12a
:R 
75b
288a
) t 
a
:R )
x:R as) 4xy:R 1024)
82x:R 128xr) 11:R 121)
33a:R 81aq) 10x:R 100)
8a:R 64ap) 4b:R 64)
5a:R x25ao) x:R )
aba:R an) 3:R 81)
a:R am) ab:R )
a:R al) x:R )
4x
:R 
y
16x
k) a:R )
24
22
3
3
6
6
2
26 131225 105
424 948
23 74 2
2523 6
243 29 36
34
22410 55
525 1027 14
3
2
62
4
8 4
bb
a
j
xaxyxi
xh
axg
abf
xyyxe
bd
cbcbbac
xxxb
yzz
aa
 
 
 
 
 
12 
 
D(f) 
x 
y 
Im(f
) 
y= 
f(x) 
09) Racionalize os denominadores das frações: 
ba
b
bb
a
c
b
a






a
:R 
a
1
i) 81:R 
81
3
f) 
2b
ba
:R 
2
)
3
25
:R 
25
1
h) 
3
3
:R 
9
1
e) 
5
55
:R 
5
5
)
23:R 
2-3
7
g) 2:R 
8
2
d) 
2
23
:R 
2
3
)
8
8
3
3
4
4
 
 
PARTE 2 
 
Função 
 
Definição: Sejam A e B conjuntos reais. Chama-se função de A e B qualquer relação de A em B onde 
todo elemento de A possui um único correspondente em B. 
 
Notação: 
)(
:
xfyx
BAf

 
 
 
 Onde : A : domínio de f – D(f) 
 B : contradomínio de f – C 
 x : elemento do domínio - variável independente 
 y : imagem do elemento x  D(f) – variável dependente 
 
Conjunto imagem: conjunto de todos os valores de y, que são imagens de x pela função f. 
 )}(),({)Im( fDxxfyf  
 
Gráficos: 
 )}()),(,{()( fDxxfxfGr  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1) Seja IRf  ]2,1:] , definida por 1)(  xxf . Determine: 
a)D(f). 
O dominio da função é o conjunto de valores de x que será possivel efetuar as operações da lei de 
formação da função. Neste exemplo a lei de formação da função é posssivel para qualquer valor de x 
mas o domínio já foi especificado como o intervalo ]-1 ,2 ], assim 
13 
 
 
}21,{]2,1])(  xIRxfD ou na representação geométrica: 
 
 D(f): 
 
 
b) CD(f). 
 
O contradomínio da função é o conjunto onde estão os correspondentes obtidos pela lei de formação da 
função, neste exemplo e em todos os nossos exemplos definiremos o contradomínio como sendo o 
conjunto dos números reais , ou seja CD(f) = IR 
 
 
c) f(0). 
Se )(0 fD e neste caso sim,calcularemos f(0) trocando x na lei de formação da função pelo valor 0, ou 
seja: 1)(  xxf para x=0 temos 110)0( f , assim f(0) = 1 
 
d) Qual é o elemento do domínio que tem 0 como imagemEstamos procurando qual o valor de )( fDx tal que f(x) = 0, assim 
10101)(  xxxxf mas )(1 fD , logo não existe )( fDx tal que f(x) = 0 
 
e)Gráfico de f 
O gráfico da função é como uma fotografia da função, ou seja, mostra cada correspondência da função . 
Para isso montaremos uma tabela com valores do domínio e suas respectivas imagens: 
 
x 
2
1 0 
2
1 1 
2
3 2 
y= f(x) 
2
1 1 
2
3 2 
2
5 3 
 
Formaremos com cada correspondência um par ordenado: (
2
1 ,
2
1 ); (0 ,1); (
2
1 ,
2
3 ); (1, 2); ( ,
2
3
2
5 ) e (2, 
3). O grafico é o conjunto de pares ordenados com todos os valores do domínio e suas respectivas 
imagens, mas como temos infinitos valores no domínio tomaremos apenas alguns e representaremos os 
outros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como ]2,1])( fD o gráfico da função será um segmento de reta que começa em x= -1 e termina para 
x = 2, mas como x = )(1 fD o par ordenado (-1, 0) não faz parte do gráfico da função, assim 
representaremos o par com uma bola aberta 
 
-1 2 
y 
x 2 -
1 
3 
14 
 
f) Im(f) 
 O conjunto imagem é o conjunto dos correspondentes do domínio, para determina-lo devemos projetar 
o gráfico no eixo y o intervalo determinado pelo projeção sera o conjunto imagem, assim 
 
Im(f)= ]0, 3] = }30,{  yIRy ou na representação geométrica: 
 
 Im(f): 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2) Seja 1)( 2  xxf , determine: 
a)Dominio de f. 
A lei de formação da função apresenta operações possíveis para qualquer valor de x real, assim 
 
D(f) = IR 
 
b)Contradomínio de f. 
 
CD(f) = IR 
 
c)O gráfico de f 
Vamos obter pares ordenados com alguns valores do dominio: 
 
x 0 1 -1 2 -2 
y=f(x) 1 2 2 5 5 
 
 
d)Conjunto imagem de f. 
Projetando o gráfico no eixo y obtemos o intervalo: 
 
Im(f) = [1, + [ = { 1,  yIRy } ou na representação geométrica 
 
 Im(f) 
 
 
 
Exemplo 3) Determine o domínio das seguintes funções: 
a) 1)(  xxf 
Como as operações que aparecem na lei de formação estão definidas para todos valores de x, temos que 
 D(f) = IR 
0 3 
1 
15 
 
 
b) 1)(  xxf 
Como raiz quadrada de numero negativo não existe em IR para que a operação seja verdadeira devemos 
ter 
101  xx , assim : 
D(f) = }1,{  xIRx =[-1,+  [ ou na representação geométrica 
 
 Im(f) 
 
c) 
1
1
)(


x
xf 
 
Como a divisão em IR não esta definida quando o denominador (divisor) e nulo devemos ter: 
101  xx , assim D(f) = IR – {-1) = }1,{  xIRx 
Exercícios: 
 
01)Seja f: IR→IR definida por f(x) = x
2
 – 5x + 4. Calcule: 
a) f(1) R:0 b) f(2) R:-2 c) f(-1) R:10 
 
02) Seja f: IR→IR definida por f(x) = x
2
 – 3x + 4. Calcule: 
a) f  21 R: 411 b) f( 3 ) R:7-3 3 
c) f( 21 ) R: 42  d) f(2p) R: 4p2 – 6P + 4 
 
03) Seja f: IR→IR definida por f(x) = 2.3
x
. Calcule: 
a) f(0) R:2 b) f(2) R:18 c) f(-2) R:2/9 
 
04) Seja f: IR - {1}→IR definida por 
1
2
)(


x
xf .Calcule: 
a)f(3) + f(5) R: 3/2 b) o valor de m , tal que f(m) = -3 R:1/3 
 
05) Seja f: IR→IR definida por
7
43
)(


x
xf . Qual é o elemento do domínio que tem 
3
2
 como imagem? 
R: 26/9 
 
06)Quais são os valores do domínio da função real definida por f(x) = x
2
 – 5x + 9 que produzem imagem igual a 
3? R: 2 ou 3 
 
07) Seja f: IR - {1}→IR definida por 
1
2
)(
2



x
x
xf . Determine: 
a) f(2a) R:
12
24 2


a
a
 b)f(a+2) R: 
1
642


a
aa
 
 
08) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções reais: 
 
} xIR,{x :R 
12
32
)(g) IR :R 7x-f)h(x)
-4} xIR,{x :R 4x d)f(x) {1} - IR :R 
1-x
1
 c)h(x)
IR :R 57x- b)g(x) IR :R 54)()
2
1
2
3-3
2






xe
x
x
xf
xxxfa
 
 
10) Esboce o gráfico das seguintes funções, determinando o domínio e conjunto imagem. 
 
-1 
16 
 
a)f(x) = x – 1 , sendo D(f) = { 1,3,4,6} b) f(x) = x + 1 , sendo D(f) = { 30,  xIRx } 
c)f(x) = 2x – 1 d) g(x) = -2x 
e)g(x) = x
2
 – 4 f) f(x) = x
2
 +5x + 6 
g) f(x) = - x
2
 h) f(x) = x
3
 – 1
 
 
i) g(x) = 2
-x
 j) g(x) = 3
x
 
k)f(x) =
x
1
 l)g(x) = 
1
1
x
 
 
 
 
PARTE 3 
 
POLINÔMIOS 
 
Definição :Um polinômio na variável x é qualquer expressão que pode ser escrito na forma 
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 

 
 
onde : 
 n IN 
 0121 ,,,...,, aaaaa nn  são números reais chamados coeficientes 
 
Obs: Se na  0 , o expoente máximo n é dito grau do polinômio 
 
OPERAÇOES COM POLINÔMIOS: 
 
1)Adição e Subtração: Para efetuar a adição ou subtração de polinômios reduziremos os termos 
semelhantes usando propriedades distributiva. 
Ex) a) )41()3()2()43()12( 223223  xxxxxxxxxx 
 323)43()12( 23223  xxxxxxxx 
 
 b) )31())3(5()3()33()153( 2222  xxxxxxxx 
 222)33()153( 222  xxxxxx 
 
2)Multiplicação: Para efetuar multiplicação de polinômios usaremos a propriedade distributiva e depois 
reduziremos os termos semelhantes. 
Ex) )3(1)(1)3)(())(()3(2)(2)3)(12( 222  xxxxxxxxxx 
 3362)3)(12( 2232  xxxxxxxx 
 3252)3)(12( 2232  xxxxxxx 
 
3) Divisão: Para efetuar a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x), com B(x)  0, devemos 
determinar dois polinomios Q(x) e R(x), tais que: 
 
 A(x) B(x)  A(x) = B(x) Q(x) + R(x) 
 
 R(x) Q(x) 
 
Onde: A(x) : Dividendo 
 B(x) : Divisor 
 Q(x) : Quociente 
 R(x) : Resto da divisão 
 
17 
 
 
Para obter Q(x) e R(x) usaremos o método da chave, que consiste nos seguintes passos que 
exemplificaremos com o seguinte exemplo: 
 Ex ) 2)B( e )23()( 23  xxxxxA 
1º) Escrever os polinômios A(x) e B(x) (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus expoentes 
e completa-los, quando necessário, com termos de coeficiente zero. 
 203 23  xxx x - 2 
 
 
2º)Dividir o termo de maior grau do dividendo A(x) pelo termo de maior grau do divisor B(x), o 
resultado será um termo do quociente Q(x). 
 
 2
3
3
3
x
x
x
  203 23  xxx x – 2 
 3 2x 
 
3º)Multiplicar o termo obtido no 2º passo pelo divisor B(x) e subtrair esse produto do dividendo A(x). 
 Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença será o resto da divisão e a divisão 
termina aqui. 
 Caso contrário, retoma-se o 2º passo considerando a diferença como o novo dividendo. 
 
 20323  xxx x – 2 
 63 23 xx  3 2x 
 2-0x 7 2 x 
 
Repetindo o segundo passo: 
 203 23  xxx x – 2 
 63 23 xx  14-7x 3 2 x 
 2-0x 7 2 x 
 7x 
x
7 2

x
  - 14x - 7 2x 
 2-14x  
 -14
x
14

 x
  28-14x 
 -30 
 
 
PRODUTOS NOTAVEIS: 
Alguns produtos de expressões polinomiais são usuais, assim convém saber efetua-los por meio de 
regras simples. Temos os seguintes casos de produtos notáveis: 
 
1) Quadrado da soma: 
222 2)).((a)(x axaxaxax  
Ex) 912433)2(2)2()32).(32(3)(2x 2222  xxxxxx 
 
 
 
2) Quadrado da diferença: 
222 2)).((a)(x axaxaxax  
Ex) 1211)(2)()1).(1()1(x 3623233323  xxxxxx 
18 
 
 
3) Produto da soma pela diferença: 
22a)-a)(x(x ax  
Ex) 4)2(2)-2)(x(x 222  xx 
 
4) Cubo da soma: 
32233 33))()((a)(x axaaxxaxaxax  
Ex) 81262)2)((32)(3)()2).(2).(2(2)(x 246322223222232  xxxxxxxxx 
 
5) Cubo da diferença: 
32233 33))()((a)(x axaaxxaxaxax  
Ex) 8242482)2)(2(32)2(3)2(2)-2).(2x-2).(2x-(2x2)-(2x 2332233  xxxxxx 
 
 
 
FATORAÇÃO 
Fatorar uma expressão polinomial e reescreve-la em forma de produtos de expressões polinomiais mais 
simples. Temos os seguintes casos de fatoração: 
 
1) Fator comum: Quando todos os termos do polinômio tem um fator comum, podemos coloca-lo em 
evidencia. A forma fatorada é o produto do fator comum por um novo polinômio que se obtém 
dividindo cada termo do polinômio dado pelo fator comum. 
 
Ex) )23(48124x 223  xxxxx 
 
 
4x
4x3
 
4x
12x2
 
4x
8x
 
 
2) Agrupamento: Em alguns polinômios não existe um fator comum a todos os termos, no entanto, 
agrupando os termos dois a dois, podemos obter um fator comum em cada grupo. 
 
Ex) )13)(2(2)2(32 333643x  xxxxxxx 
 
3) Diferença de quadrados: ))((x 22 axaxa  
 
Ex) )53)(53(259 2  xxx 
 
 29x 25 
 
 3x 5 
 
 
4) Diferença de cubos: ))((x 2233 axaxaxa  
Ex) )42)(2(8 23  xxxx 
 
 
3 3x 3 8 
 
 x 2 
19 
 
 
5) Soma de cubos: ))((x 2233 axaxaxa  
Ex) )124)(12(18 23  xxxx 
 
 
3 38x 3 1 
 
 2x 1 
 
6) Trinomio quadrado perfeito: Um trinômio (polinômio com três termos) é um quadrado perfeito quando: 
 Dois de seus termos são quadrados. 
 O terceiro termo é igual a 2 vezes as raízes dos termos quadrados. 
 
Ex) a) 222 )(2 axaxax  
 
 2x 2a 
 
 x a 
 
 2.x.a 
 
 b) ) 22 )23(4129  xxx 
 
 29x 4 
 
 3x 2 
 
 2.3x.2= 12x 
 
 
Fatoração de polinômios: 
Quando trabalhamos com expressões polinomiais devemos tentar coloca-las numa forma simplificada, 
assim a seguir faremos definições que nos ajudaram a fatorar qualquer polinômio. 
 
Raiz de polinômio: Denomina-se raiz do polinômio 01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 

 ao 
valor da variável x tal que 0)( xP . 
 
Teorema fundamental da Álgebra: Toda equação algébrica 0)( xP , de grau n (n 1), tem pelo 
menos uma raiz real ou complexa. 
 
Teorema da decomposição: Todo polinômio 01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 

 (com 
n 1 e 0na ) pode ser decomposto num produto de n fatores do 1º grau.Ou seja: 
 
 ))...()(()( 21 nn xxxxxxaxP  , onde nxxx ,...,, 21 são as n raízes do polinômio. 
 
1º caso) Fatoração conhecendo pelo menos uma raiz do polinômio. 
Considerando o polinômio 01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 

 e ax  uma raiz. Assim P(x) 
é divisível por )( ax  com resto igual a zero, e teremos )().()( xqaxxP  , onde q(x) é um polinômio de 
grau (n – 1). 
20 
 
 
 
Ex) Seja 4242)( 23  xxxxP e 1x uma raiz de P(x). Assim: 
 )().1()( xqxxP  
Devemos encontrar q(x) usando a relação 
1
)(
)(


x
xp
xq , logo: 
 
 4242 23  xxx 1x 
 23 22 xx  422 2  xx 
 422 2  xx 
 xx 22 2  
 44  x 
 44 x 
 0 
 
Assim 422)( 2  xxxq , logo )422)(1()( 2  xxxxP . Como q(x) é um polinômio do 2º grau 
deveremos, se possível, fazer sua fatoração. Poderemos encontrar suas raízes, neste caso, resolvendo a 
equação do 2º grau correspondente a este polinômio através da formula de Báskara, ou seja: 
 0422 2  xx
)2(2
)4)(2(4)2()2( 2 
 x 
 









1
2
4
62
2
1
4
362
x
x
x 
 
Teremos: )1)(2)(1()(  xxxxP 
 
2ºcaso)Fatoração não conhecendo nenhuma raiz do polinômio. 
Podemos encontrar raízes do polinômio usando a seguinte propriedade: 
“Se a fração racional irredutivel 
q
p
 for raiz da equação algebrica de grau n e coeficientes inteiros 
0... 01
2
2
1
1 

 axaxaxaxa
n
n
n
n , então p é um divisor de a0 e q é um divisor de an.” 
Encontrando uma raiz através da propriedade retornaremos ao primeiro caso. 
 
Ex) Seja 67)( 234  xxxxxP . As possíveis raízes do polinômio serão as soluções da equação: 
 067 234  xxxx 
Pela equação dada, temos 160  naea 
p é divisor de 6 , então  6,6,3,3,2,2,1,1 p 
q é divisor de 1, então  1,1q 
Pela propriedade, as possíveis raízes racionais são: 
 6,6,3,3,2,2,1,1 
q
p
, pesquisaremos qual destes valores vão satisfazer 0)( xP : 
 0)1(P -1 é raiz, daí teremos: 
)().1()( xqxxP  e assim retornaremos ao 1º caso.Vamos encontrar q(x): 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 67 234  xxxx x+1 
 34 xx  673  xx 
 67 2  xx 
 xx 77 2  
 66 x 
 66  x 
 0 
 
 
Assim )67)(1()( 3  xxxxP , como q(x) é um polinômio de 3º grau devemos, se possível, fazer sua 
fatoração: 
Pela equação dada, temos 160  naea 
p é divisor de 6 , então  6,6,3,3,2,2,1,1 p 
q é divisor de 1, então  1,1q 
Pela propriedade, as possíveis raízes racionais são: 
 6,6,3,3,2,2,1,1 
q
p
, pesquisaremos qual destes valores vão satisfazer 0)( xP : 
 12)1(P -1 não é raiz, 
 0)1(P 1 é raiz, daí teremos: 
)().1)(1()( xqxxxP  e assim retornaremos ao 1º caso.Vamos encontrar q(x): 
 
 
 
 
 
 
 670 23  xxx x-1 
 23 xx  62  xx 
 672  xx 
 xx  2 
 66  x 
 66 x0 
 
Assim )6).(1)(1()( 2  xxxxxP , como q(x) é um polinômio de 2º grau devemos, se possível, fazer 
sua fatoração. Usando a formula de Baskara determinamos as raízes 2 e -3. Logo 
 
 )3)(2).(1)(1()(  xxxxxP 
 
 
 
Exercícios: 
 
01)Calcule: 
a) )3765()132( 2323  xxxxxx 
b) )87()5128( 22  yyy 
c) )785()81112( 22  xxxx 
d) )553()834( 224  xxxxx 
22 
 
e) )1)(12( 23  xxxx 
f) )63)(1235( 223  xxxxx 
g) )3(:)627( 3  xxx 
h) )12(:)94( 223  xxxx 
 
 
02)Calcule usando produtos notáveis: 
a) 2)42( x c)  3
3
1a 
b) 22 )1( x d) 3)2( x 
c) )12)(12( 33  xx 
 
 
03) Fatore os polinômios: 
a) xx 205 3  e) 2)2(16  x i) 31 x 
 b) yzyzyz 23 23  f) 11236 2  xx j) 3232 23  xxx 
c) )3(5)3(2  xxx g) 22 32 yxyyx  l) xx 
3 
d) 22564 y h) 643 z m) xxx 14162 23  
 
 
 
04) Simplifique a expressão: 
a) 
x
x
15
18 3
 d) 
49
214
2
23


y
yyy
 
b) 
2
2
9
3
z
zz


 e) 
23
23
2
632
xx
xxx


 
c) 
12
96
2
2


xx
xx
 f) 
1553
3
23
2


yyy
yy
 
 
 
05)Simplifique: 
a)
9
1
.
1
3 2 

x
x
 d) 
9
61
3
3
22 

 xxxx
 
b) 
8
4
.
2
42
3
2
23
23




y
y
yy
yyy
 e) 
4
4
2
2
6
5
22 



 xxxx
 
c) 
yx
xy
xy
yx
2
2222
42



 
 
 
06)Simplifique a fração composta: 
a) 
22
11
11
yx
yx


 c) 
h
xhx 22
1
)(
1


 
23 
 
b) 
3
3
2
5
13
2




x
x d) 
h
x
x
hx
hx
22 



 
 
 
07) Determine as raízes dos polinômios e escreva-os na forma fatorada: 
 
a) 306)( 23  xxxxP d) 4432)( 234  xxxxxP 
b) 122)( 23  xxxxP e) 27217)( 23  xxxxP 
c) 14344)( 234  xxxxxP 
 
 
 
 
Respostas: 
 
01) a) 2637 23  xxx 
b) 3122  yy 
c) 1537 2  xx 
d) 3824 24  xxx 
e) 1332 234  xxxx 
f) 61317331415 2345  xxxxx 
g) 189)(61217)( 2  xrexxxq 
h) 73)(2)(  xxrexxq 
 
02) a) 16164 2  xx d) 
27
1
3
123  aaa 
 b) 4221 xx  e) 326128 xxx  
 c) 14 6 x 
 
03) a) )2)(2(5  xxx e) )2)(6( xx  i) )1)(1( 2xxx  
 b) )1)(2(  zzyz f) 2)16( x j) )32)(1( 2  xx 
 c) )3)(52(  xx g) ))32([ yxxy  l) )1( 2 xx 
 d) (8+5y)(8-5y) h) )164)(4( 2  zzz m) )1)(7(2  xxx 
 
04) a) 
5
6 2x
 d) 
7
)3(


y
yy
 
 b) 
z
z


3
 e) 
2
2 3
x
x 
 
 c) 
4
3


x
x
 f) 
52 y
y
 
 
05) a) 
3
1x
 d) 
3
1
x
 
24 
 
 b) 
y
1
 e) 
)2)(3(
52


xx
x
 
 c) x2 
 
06) a) 
xy
xy

 c) 
22 )(
2
hxx
hx


 
 b) 
5
3


x
x
 d) 
)2)(2(
2
 hxx
 
 
 
07) a) 5)-3)(x-2)(x(xP(x)  d) 22 )2(1)-(xP(x)  x 
 b) )-1)(x-1)(x2(x P(x)
2
1 e) 9)-3)(x1)(x-(xP(x)  
 c) 2
2
1 )-1)(x-1)(x4(x P(x)  
 
 
PARTE 4 
 
Limites 
 
Enunciaremos alguns teoremas propriedades que permitiram simplificar problemas que envolvam 
limites. 
Teorema) a) IRkkk
ax


,lim 
 b) ax
ax


lim 
 Obs:Esses limites podem servir para a determinação de limites de algumas expressões. 
 
Propriedades) Se )(lim xf
ax
 e )(lim xg
ax
existem ambos, então: 
 a) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax 
 
 
 ex) 













3limlim)3(lim
111 xxx
xx =(-1) + 3 = 2 
 
 
b) )(lim.)(.lim xfkxfk
axax 
 
 
 ex) a) 10)2(5lim5)5(lim
22








xx
xx
 
 
 b) 













1lim5lim)15(lim
000 xxx
xx = 












1limlim5
00 xx
x =5.(0) + 1= 1 
 
c) )(lim).(lim)]().([lim xgxfxgxf
axaxax 

 
 
 
 ex) )4(lim
2
2
x
x 
= ).(lim4
2
xx
x 
=





.)(lim.).(lim4
22
xx
xx
= 4[(-2).(-2)] = 4(-2)
2
 = 4.(4)=16 
 Usando os teoremas anteriores 
 Usando os teoremas anteriores 
 Usando os teoremas anteriores 
 Usando os teoremas anteriores 
25 
 
d) 
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax



 , desde que 0)(lim 

xg
ax 
 
 ex) 
1
32
lim
0 

 x
x
x
 
 Devemos primeiro calcular )1(lim
0


x
x
= )1(lim)(lim
00 

xx
x =(0) - 1= -1 
 Como este limite é diferente de zero , poderemos aplicar o teorema: 
 
 
 
1
32
lim
0 

 x
x
x
=
)1(lim
)32(lim
0
0




x
x
x
x =
)1(
)3(lim)2(lim
00


 xx
x
=
)1(
)3(lim)(lim2
00


 xx
x
= 3
)1(
3
)1(
)3()0(2





 
 
Obs.: Analisando os exemplos anteriores observamos que os limites são calculados substituindo x pela 
tendência que aparece no limite, ou seja, o uso dos teoremas e das propriedades dos limites demonstra 
que o limite pode ser calculado através de uma substituição direta. Assim: 
Propriedade: Seja f uma função definida em IRa , ou seja, existe f(a), então )()(lim afxf
ax


 
 
Ex1) 
56
432
lim
2
1 

 x
xx
x
=
5)1(6
4)1(3)1(2 2


= 1
1
1
56
432



 
 
Ex2) 
1
1
lim
2
1 

 x
x
x
, neste caso a função 
1
1
)(
2



x
x
xf não esta definida em x = 1, assim não podemos 
calcular o limite calculando f(1) pois não existe f(1). Quando fazemos x = 1 na função obtemos 
0
0
, que 
é um caso de indeterminação, neste caso usaremos sempre artifícios algébricos para eliminar essa 
indeterminação e trocar a função por outra que possui o mesmo comportamento da função original em x 
= 1. Ou seja, neste caso o numerador e denominador são polinômios que se anulam para x=1, o que 
significam que possuem raízes comuns, assim fatorando os polinômios encontraremos fatores comuns: 
 
 
1
1
lim
2
1 

 x
x
x
=
1
)1).(1(
lim
1 

 x
xx
x
= 211)1(lim
1


x
x
2
1
1
lim
2
1




 x
x
x
 
 
Ex3) 
x
x
x
11
lim
0


, neste caso a função 
x
x
xf
11
)(

 não esta definida em x = 0, assim não 
podemos calcular o limite calculando f(0) pois não existe f(0), e substituindo x = 0 na função obteremos 
0
0
(caso de indeterminação), neste caso devemos racionalizar o numerador :x
x
x
11
lim
0


=
11
11
.
11
lim
0 

 x
x
x
x
x
=
 
)11(
11
lim
22
0 

 xx
x
x
=
)11(
11
lim
0 

 xx
x
x
=
)11(
lim
0  xx
x
x
 
 =
2
1
11
1
)11(
1
lim
0



 xx
 
 
 Usando os teoremas anteriores 
 Usando os teoremas anteriores 
 Usando diferença de quadrados 
 Usando produto da soma pela diferença 
26 
 
 
Ex4) 1lim
1


x
x
, funções com modulo são funções definidas por varias sentenças, neste caso devemos 
calcular estes limites utilizando, quando necessário, limites laterais: 






01)(x se 1)(x-
01)(x se )1(
1
x
x 






-1 xse 1x-
-1 xse 1
1
x
x 
Assim como a função possui definições diferentes para valores próximos de x = -1, deveremos calcular 
o limite usando limites laterais: 
 
1lim
1


x
x
=












0)1(lim
0)1(lim
1
1
x
x
x
x
 
como os limites laterais são iguais, temos que existe o 1lim
1


x
x
 e assim: 1lim
1


x
x
=0 
 
 
Exercícios: 
 
01) Calcule os seguintes limites: 
a) 
6
3
lim
2 

 x
x
x
 
8
5
:R g) 
t
tt
t


11
lim
0
 1:R 
b) 
113
3
lim
0  hx
 
2
3
:R h) 
21616
4
lim
xx
x
x 


 
128
1
:R 
c) 
25
5
lim
25 

 x
x
x
 
25
5
lim
25 

 x
x
x
 i) 
2
314
lim
2 

 x
x
x
 
3
2
:R 
d) 
x
x
x 

 4
lim
1
4
1
4
 
16
1
:R j) 
4
59
lim
2
4 

 x
x
x
 
25
8
:R 
e) 
372
9
lim
2
2
3 

 tt
t
t
 
5
6
:R k) 







 tttx 20
11
lim 1:R 
f) 
8
2
lim
32 

 x
x
x
 
12
1
:R m) 
 
h
xhx
h
33
0
lim


 
23: xR 
 
02) Encontre, quando existir, o limite das seguintes funções: 
a) )32(lim
3


xx
x
 6:R 
b) )(lim
1
xf
x
 se 







1)2(
11
)(
2
2
xsex
xsex
xf 1 xem limite o existe não : R