Calculo Vetorial - FuncDiferenciais

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Apresentação, Funções
Diferenciáveis
Jose´ de Anchieta Delgado
Apresentac¸a˜o, Func¸o˜es Diferencia´veis – p. 1/17
Programa
O curso de Cálculo Diferencial estuda as funções
vetoriais, ou seja F : ℜn → ℜm.
O programa esta divido em quaatro unidades:
Unidade I - Continuidade e derivada de funções
vetorias e sistemas de coordenadas
Unidade II - Campos vetorias.
Unidade III - Integrais de linhas.
Unidade IV - Integrais de superfícies
Apresentac¸a˜o, Func¸o˜es Diferencia´veis – p. 2/17
Trabalho
1. O projeto do trabalho deve ser entregue em
13/08/2010;
2. O Tema: Um probema da física matemática cuja
colução intearge com conteúdo do Cálculo
Vetorial;
3. Cada grupo deve ter no máximo cinco membros;
4. Seminário de avaliação: 22/09/2010 a
29/10/2010;
5. Seminário e entrega do trabalho: 17/11/2010 a
24/11/2010;
6. Todas as bibliografias utilizadas proveniente da
internet ou adquiridas através de meio digital
deve o conteúdo se anexado a um CD e entregue
junto com o trabalho. Apresentac¸a˜o, Func¸o˜es Diferencia´veis – p. 3/17
Temas do trabalho
O tema do trabalho deve está ligado ao conteúdo do
Cálculo Vetorial.
Ele deve sercaracterizado historicamente, tando do
ponto de vista da história da matemática como da
física.
O trabalho deve identificar, equacionar os problemas
inerentes ao tema e resove-los, bem como aplicá-los
em situação real.
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Avaliação
Serão realizadas duas provas parciais e um trabalho,
perfazendo três notas.
A média das avalaições parciais será a soma das notas
obtidas nas provas parciais e trabalho devidida por
três.
Quem obtiver média parcial maior ou igual sete estará
aparovado.
Quem tiver média parcial menor do que sete, se
submeterá a uma prova final e será aprovado se a nota
da prova final somada com as média parcial for maior
ou igual a dez.
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Avaliação
O trabalho será avaliado através de três momentos.
O trabalho terá tre˜s momentos:
o primeiro momento representado pela entrega do projeto de
estudos acadêmicos, de acordo com o modelo apresentado em
classe, a ser entregue em 13/08/2010;
O segundo momento será o seminário de apresentação da
monografia realizado entre os dias 22/09/2010 a 29/09/2010;
O terceiro momento será o seminário de avaliação de monografia
realizado entre os dias 17/11/2010 a 24/11/2010;
O aluno deverá está na sala de aula antes do horário estabelecido.
Haverá, em cada aula, duas chamadas, uma no início e outra no
final.
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Avaliação
O aluno poderá obter o acréscimo de até meio ponto
em cada prova parcial através dos resumos dos tópicos
de conteúdo discutidos até as datas de avaliação.
Este acréscimo dependerá da correção dos resumos.
Os resumos devem ser entregues, unica e
exclusivamente, na data de cada avaliação parcial.
Ele deverá conter definições e exemplos, as
proposições e os teoremas relativos ao conteúdo
cobrado na avaliação em tela.
O aluno que tiver acima de de noventa por cento de
frequência terá sua média final acrescida,
respectivamente, de meio ponto.
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Um pouco de história
O cálculo tem suas origens com os gregos, em particular como
os estudos de Arquimedes.
Estes estudos foram retomados na renacência e os principais
contibuidores foram Galileu, Kopernicus, Decartes e Fermat.
Por volta de 1600 havia mais de mil artigos em cálculo
publicados.
Isaac Neewton e Leibnitz no século XVII consolidaram a teoria
do cálculo.
O principais problemas resolvidos pelo cálculo foram: reta
tangente a uma curva; cálculo de área e volume.
Neste curso estudaremos as principais contribuições de Gauss e
Stokes.
Apresentac¸a˜o, Func¸o˜es Diferencia´veis – p. 8/17
Função Vetorial
Uma função vetorial é uma função f : ℜn → ℜm.
Exemplo:
f(x, y, z) = (x2 − y, x− y3 + z)
é uma função vetorial de ℜ3 em ℜ2
Um função vetorial de ℜn em ℜm é dada por m
funções de ℜn em ℜ.
f(x1, ..., xn) = (f1(x1, ..., xn), ..., fm(x1, ..., xn)).
Apresentac¸a˜o, Func¸o˜es Diferencia´veis – p. 9/17
Função contínua
Um função vetorial
f(x1, ..., xn) = (f1(x1, ..., xn), ..., fm(x1, ..., xn)).
é contínua se cada
fi : ℜ
n → ℜ, fi(x1, ..., xn)
é contínua.
Exemplo:
f(x, y, z) = (x2 − y, x2 − y3 + z, 4x− 5y + z2, 3x− 2y + z),
é uma função contínua, pois
f1(x, y, z) = x
2 − y,
f2(x, y, z) = x
2 − y3 + z,
f3(x, y, z) = 4x− 5y + z
2
f4(x, y, z) = 3x− 2y + z.
são funções contínuas Apresentac¸a˜o, Func¸o˜es Diferencia´veis – p. 10/17
Funções diferenciáveis
Uma função
f : ℜn → ℜm,
é diferenciável em x = (x1, ..., xn) se existe uma
aplicação linear
Dfx : ℜ
n → ℜm
tal que
f(x1 + h1, ..., xn + hn) = f(x1, ..., xn) +
Dfp(h1, ..., hm) + r(x1, ..., xn, h1, ..., hn),
onde,
h = (h1, ..., hn), x = (x1, ..., xn),
|h| =
√
h21 + ...+ h
2
n,
Lim
0
r(x,h)
|h| = 0. Apresentac¸a˜o, Func¸o˜es Diferencia´veis – p. 11/17
Função diferenciável
Um função vetorial
f(x1, ..., xn) = (f1(x1, ..., xn), ..., fm(x1, ..., xn)).
é diferenciável se cada
fi : ℜ
n → ℜ, fi(x1, ..., xn)
é diferenciável.
Exemplo:
f(x, y, z) = (x2 − y, x2 − y3 + z, 4x− 5y + z2, 3x− 2y + z),
é uma função diferenciável, pois
f1(x, y, z) = x
2 − y,
f2(x, y, z) = x
2 − y3 + z,
f3(x, y, z) = 4x− 5y + z
2
f4(x, y, z) = 3x− 2y + z.
são funções diferenciáveis. Apresentac¸a˜o, Func¸o˜es Diferencia´veis – p. 12/17
Função diferenciável
A derivada direcional de uma função vetorial no ponto
x = (x1, ..., xn), na direção, h = (h1, ..., hn), é obtida pelo cálculo
do limite:
dfx.h = Lim
h→0
f(x+th)−f(x)
t
Exemplo: Se f(x, y) = (xy, x2 − y, x− y2) então no ponto (1, 2)
Df(1,2) = Lim
h→0
(f(1+th1,2+th2)−f(1,2))
t
=
(2h1 + h2,−2h1 + h2, h1 − 4h2).
Se x = (x1, ..., xn), h = (h1, ..., hn) e f(x) = (f1(x), ..., fm(x)),
então
Dfx.h =


∂f1
∂x1
...
∂f1
∂xn
. ... .
. ... .
∂fm
∂x1
... ∂fm
∂xn




h1
.
.
hn


Apresentac¸a˜o, Func¸o˜es Diferencia´veis – p. 13/17
Exercícios
Exercício 1 - Mostre que uma função F : ℜn → ℜ é
continua em a = (a1, ..., an) se, só se,
Lim
x→0
f(x) = f(a),
Exercício 2 - Mostre que toda função vetorial
diferenciável em a = (a1, ..., an) é continua em a.
Exercício 3 - Determine os pontos de
descontinuidades das funções:
(a) f(x, y) = ( xy
x2+y2 ,
x
x−y ,
x
x2+y2 ).
(b) f(x, y, z) = (xsen1
y
, y2sen1
z
),
(c) f(x, y) = tg(x2 + y2).
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Exercícios
Exercício 4 - Mostre que o conjunto das funções contínuas de
ℜn em ℜm forma um espaco vetorial sobre ℜ.
Exercício 5 - Mostre que o produto vetorial de duas funções
continuas, f, g : ℜn → ℜ3, é uma função continua.
Exercício 6 - Determine o conjunto dos pontos de continuidade
das funções:
(a)f(r, θ) = (r cos θ, r sen θ),
(b)f(r, θ, φ) = (r senφ cos θ, r sen φ sen θ, r cosφ)
(c)f(r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z).
Exercício 7 - Mostre que uma função vetorial é contínua se, só se
a imagem inversa de aberto é um conjunto aberto.
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Exercícios
Execício 8 - Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
(a) f(x, y) = x2y
x2+y2
,
(b) f(x, y) = x4
x2+y2
.
(c) f(x, y) =


e
1
(x2+y2−1) se x2 + y2 < 1
0 se x2 + y2 ≤ 1
Exercício 9 - Considere a função f(x, y) = 1− x2 − y2. Seja α
o plano tangente ao gráfico de f no ponto (a, b, f(a, b)), com
a > 0, b > 0 e a2 + b2 < 1. Seja V o volume do treataedro
determinado por α e pelos panos coordenados.
(a) Expresse V como uma função de a, b.
(b) Detemine a e b para que se tenha ∂V
∂a
= ∂V
∂b
= 0.
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Exercícios
Exerc’icios 10 - Seja f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 e
γ(t) = (x(t0, y(t), z(t)) uma curva diferenciável cuja
imagem está contida na superfície de nível
x2 + y2 + z2 = 1. Seja γ(to) = (xo, yo, zo). Prove
que γ′(to) • ∇f(xo, yo, zo) = 0. Interprete
geometricamente.
Apresentac¸a˜o, Func¸o˜es Diferencia´veis – p. 17/17
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