Lista1 cálculo D- questões 1 e 2

Prévia do material em texto

Cálculo D
Lista 1 - Questões 1 e 2
Discente:
Annie Gabrielle de Oliveira Silva
Docente:
Vilton Pinheiro
17 de outubro de 2021
Seja ψ : R→ R dada por
ψ(x) =
{
1 se x ∈ Q
−1 se x /∈ Q
Exercício 1. Seja γ : (−1, 1)→ R2 a curva γ(t) = (t, tψ(t)). A curva γ é continua em algum
t ∈ (−1, 1) ? Justifique.
Primeiramente devemos fazer o estudo da função, verificando sua continuidade. Ao analisarmos
a função vemos que os pontos de γ(t) serão divididos nos casos:{
γ(t) = (t, t) se t ∈ Q
γ(t) = (t,−t) se t /∈ Q
Figura 1: Fonte: Criado pela autora.
Dado que sabemos que no ponto (0,0), a curva γ(t) será contínua, podemos formalizar o estudo
da função usando epsilons e deltas.
Dado � > 0, temos:
1
|γ(t)− γ(0)| = |(t, tψ(t)− (0, 0))| = |t · (1, 1ψ(t))|
= |t|(1, 1ψ(t))|
= |t|
√
12 + (ψ(t)2)
Visto que ψ(t) é bem definida, sabemos que ψ(t)2 = 1, fazemos:
|t|
√
12 + (ψ(t)2) = |t|
√
2
Portanto,
|t|
√
2 se |t| = 0→ t = 0
|γ(t)− γ(0)| = 0⇐⇒ lim
t→0
γ(t) = γ(0)
Portanto, a função é contínua apenas no ponto (0,0).
Podemos provar formalmente que, para valores de t 6= 0, a função não é contínua.
Usaremos a formulação:
lim
n→∞
an = lim
n→∞
bn
Como estamos lidando com funções descontínuas, utilizamos sequências e não fazemos os limites laterais
como em cálculo A e sim o limite desses conjuntos(racionais, irracionais, reais, inteiros, etc.) que limitam
a função.
Seja an = t0 +
1
n
∈ Q, e seja bn = t0 +
√
2
n
/∈ Q
Para o primeiro caso, encontrando o limite de an.
lim
n→∞
(t, tψ(t))
lim
n→∞
(
t0 +
1
n
,
(
t0 +
1
n
)
· ψ
(
t0 +
1
n
))
Como t0 +
1
n
= racional, temos que ψ
(
t0 +
1
n
)
= 1. Fazemos:
lim
n→∞
(
t0 +
1
n
, t0 +
1
n
)
= (t0, t0)
2
Agora para o segundo caso, encontrando o limite de bn.
lim
n→∞
(t, tψ(t))
lim
n→∞
(
t0 +
√
2
n
,
(
t0 +
√
2
n
)
· ψ
(
t0 +
√
2
n
))
Como t0 +
√
2
n
= irracional, temos que ψ
(
t0 +
1
n
)
= −1. Fazemos:
lim
n→∞
(
t0 +
√
2
n
,−t0 −
√
2
n
)
= (t0,−t0)
Portanto, a função é descontínua para t 6= 0.
3
Seja ψ : R→ R dada por
ψ(x) =
{
1 se x ∈ Q
−1 se x /∈ Q
Exercício 2. Seja γ : (−1, 1)→ R2a curva γ(t) = (tψ(t), t2).
(1) A curva γ é continua em algum t ∈ (−1, 1) ? Justifique.
(2) A curva γ é derivável em algum t ∈ (−1, 1) ? Justifique.
Ao fazer o estudo da função, ela ficará dividida nos casos:
{
γ(t) = (t, t2) se t ∈ Q
γ(t) = (−t, t2) se t /∈ Q
Dado o gráfico das curvas para (t, t2) e (−t, t2), respectivamente γ e φ, vemos que ela é contínua
para todos os pontos de R no entanto, quando utilizamos a restrição de t ∈ Q e t /∈ Q a função
torna-se altamente descontínua, onde todos os pontos irracionais(representados pelos triângulos
pretos) entre os racionais adquirem uma abscissa negativa.
Figura 2: Fonte: Criado pela autora.
4
Dado que sabemos que no ponto (0,0), a curva γ(t) será contínua, podemos formalizar o estudo
da função usando epsilons e deltas.
Dado � > 0, temos:
|γ(t)− γ(0)| = |((tψ(t), t2)− (0, 0))| = |t · (ψ(t), t2)|
= |t||(ψ(t), t)|
= |t|
√
(ψ(t))2 + t2
Visto que ψ(t) é bem definida, sabemos que ψ(t)2 = 1, fazemos:
|t|
√
1 + t2
Portanto,
|t|
√
t2 + 1 se |t| = 0→ t = 0
|γ(t)− γ(0)| = 0⇐⇒ lim
t→0
γ(t) = γ(0)
Portanto, a função é contínua apenas no ponto (0,0).
Podemos provar formalmente que, para valores de t 6= 0, a função não é contínua.
Usaremos a formulação:
lim
n→∞
an = lim
n→∞
bn
Como estamos lidando com funções descontínuas, utilizamos sequências e não fazemos os limites laterais
como em cálculo A e sim o limite desses conjuntos(racionais, irracionais, reais, inteiros, etc.) que limitam
a função.
Seja an = t0 +
1
n
∈ Q, e seja bn = t0 +
√
2
n
/∈ Q
Para o primeiro caso, encontrando o limite de an.
5
lim
n→∞
(tψ(t), t2)
lim
n→∞
((
t0 +
1
n
)
· ψ
(
t0 +
1
n
)
,
(
t0 +
1
n
)2)
Como t0 +
1
n
= racional, temos que ψ
(
t0 +
1
n
)
= 1. Fazemos:
lim
n→∞
(
t0 +
1
n
,
(
t0 +
1
n
)2)
lim
n→∞
(
t0 +
1
n
, t20 +
2t0
n
+
1
n2
)
= (t0, t
2
0)
Agora para o segundo caso, encontrando o limite de bn.
lim
n→∞
(tψ(t), t2)
lim
n→∞
(t0 + √2
n
)
· ψ
(
t0 +
√
2
n
)
,
(
t0 +
√
2
n
)2
Como t0 +
√
2
n
= irracional, temos que ψ
(
t0 +
1
n
)
= −1. Fazemos:
lim
n→∞
−t0 − √2
n
,
(
t0 +
√
2
n
)2
lim
n→∞
(
−t0 −
√
2
n
, t20 +
2t0
√
2
n
+
2
n2
)
= (−t0, t20)
Portanto, a função é descontínua para t 6= 0. A função seria diferenciável caso existisse uma
derivada para cada ponto do seu domínio da função, logo a função é descontínua e não derivável.
6