Resolução de um exercício auto Estrada 1.10

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1 Prof. Diogo Eduardo - Física 
Keith R. Symon 
 
RESOLUÇÃO DE UM EXERCÍCIO 
 
1.10 - Uma curva, em uma autoestrada, cujo raio de curvatura é r, é inclinada num 
ângulo θ de teta com relação à horizontal. Se o coeficiente de atrito for μS, qual a 
velocidade máxima e velocidade mínima de um carro para percorrê-la sem 
derrapar? 
 
*O carro percorrendo a curva sem força de atrito; 
Imagem 01 – bloco em plano 
�⃗�𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑎: Força centrípeta 
�⃗�𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜: Força de Atrito 
�⃗�𝑝𝑒𝑠𝑜: Força Peso: �⃗⃗� = 𝑚. 𝑔 
�⃗⃗⃗� – Força Normal 
Vamos contextualizar e dar valores para as forças através das coordenadas x e y 
e assim chegaremos no valor da equação da Velocidade: 
Em x: �⃗�𝑐 − �⃗⃗⃗�. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 �⃗�𝑐 = �⃗⃗⃗�. 𝑠𝑒𝑛𝜃 
Em y: �⃗⃗� − �⃗⃗⃗�. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 𝑚. 𝑔 = �⃗⃗⃗�. 𝑐𝑜𝑠𝜃 �⃗⃗⃗� =
𝑚.�⃗⃗�
𝑐𝑜𝑠𝜃
 
Substituindo �⃗⃗⃗� 𝑒𝑚 �⃗�𝑐: �⃗�𝑐 =
 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
. 𝑚. 𝑔 �⃗�𝑐 = 𝑚. 𝑔. 𝑡𝑔𝜃 
 
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Sabendo que a definição da Força Centrípeta é: �⃗�𝑐 = 𝑚.
𝑉2
𝑅
 – igualando os valores 
da Força Centrípeta, teremos: 
𝑚.
𝑉2
𝑅
= 𝑚. 𝑔. 𝑡𝑔𝜃 
𝑉 = (𝑅. 𝑔. 𝑡𝑔𝜃)
1
2 ou 𝑉 = √𝑅. 𝑔. 𝑡𝑔𝜃 
*chegamos na definição da equação da Velocidade para um carro em uma 
autoestrada em uma curva – plano inclinado – sem atrito. 
Imagem 02 – Fcentrípeta e Fatrito na mesma direção e sentido oposto 
Vamos contextualizar e dar valores para as forças através das coordenadas x e y e 
assim chegaremos no valor da equação da Velocidade máxima com atrito: 
Em x: 
�⃗�𝑐 − �⃗�𝑎𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝜃 − �⃗⃗⃗�. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 �⃗�𝑐 = �⃗�𝑎𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑁. 𝑠𝑒𝑛𝜃 onde �⃗�𝑎𝑡 = 𝜇. �⃗⃗⃗� 
 �⃗�𝑐 = 𝜇. �⃗⃗⃗�. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + �⃗⃗⃗�. 𝑠𝑒𝑛𝜃 �⃗�𝑐 = �⃗⃗⃗�. (𝜇. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃); sabemos que �⃗�𝑐 = 𝑚.
𝑉2
𝑅
 então 
teremos 𝑚.
𝑉2
𝑅
 = �⃗⃗⃗�. (𝜇. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑉2 = 
�⃗⃗⃗�.𝑅
𝑚
. (𝜇. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃) 
Por outro lado, em y: 
�⃗⃗� + �⃗�𝑎𝑡. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = �⃗⃗⃗�. 𝑐𝑜𝑠𝜃 temos a Força Peso que é �⃗⃗� = 𝑚. 𝑔 substituindo na equação 
teremos 𝑚. 𝑔 + 𝜇. 𝑁. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = �⃗⃗⃗�. 𝑐𝑜𝑠𝜃 �⃗⃗⃗�. 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜇. 𝑁. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚. 𝑔 concluímos que 
�⃗⃗⃗� =
𝑚. 𝑔
(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜇. 𝑐𝑜𝑠𝜃)
 
Substituindo �⃗⃗⃗� em 𝑉2 teremos: 
 
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𝑉2 = 
𝑚.𝑔
(𝑐𝑜𝑠𝜃− 𝜇.𝑐𝑜𝑠𝜃)
.
𝑅
𝑚
. (𝜇. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑉2 = 
(𝜇.𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑠𝑒𝑛𝜃)
(𝑐𝑜𝑠𝜃− 𝜇.𝑐𝑜𝑠𝜃)
.
𝑅.𝑚.𝑔
𝑚
 multiplicando 
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
 
𝑉2 = 
(𝜇.𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑠𝑒𝑛𝜃)
(𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑐𝑜𝑠𝜃− 𝜇.𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑐𝑜𝑠𝜃)
. 𝑅. 𝑔 𝑉2 = 𝑅. 𝑔(
−𝜇
𝜇.𝑡𝑔𝜃
+ 𝑡𝑔𝜃) 𝑉 = √𝑅. 𝑔(𝑡𝑔𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜃) 
*chegamos na definição da equação da Velocidade máxima para um carro em uma 
autoestrada em uma curva – plano inclinado – com atrito. 
Vamos contextualizar e dar valores para as forças através das coordenadas x e y e 
assim chegaremos no valor da equação da Velocidade mínima com atrito: 
Em x: 
�⃗�𝑐 + �⃗�𝑎𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝜃 − �⃗⃗⃗�. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 �⃗�𝑐 = − �⃗�𝑎𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + �⃗⃗⃗�. 𝑠𝑒𝑛𝜃 sabemos que �⃗�𝑎𝑡 = 𝜇. �⃗⃗⃗� e 
�⃗�𝑐 = 𝑚.
𝑉2
𝑅
 então 𝑚.
𝑉2
𝑅
= − 𝜇. �⃗⃗⃗�. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + �⃗⃗⃗�. 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑉2 =
𝑅.�⃗⃗⃗�(− 𝜇.𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝑚
 
Em y: 
𝑚. 𝑔 − �⃗⃗⃗�. 𝑐𝑜𝑠𝜃 − �⃗�𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 𝑚. 𝑔 = �⃗⃗⃗�. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜇. �⃗⃗⃗�𝑠𝑒𝑛𝜃 �⃗⃗⃗� =
𝑚.𝑔
(𝑐𝑜𝑠𝜃+𝜇.𝑠𝑒𝑛𝜃)
 
Substituindo �⃗⃗⃗� em 𝑉2 teremos: 
𝑉2 =
𝑚.𝑔
(𝑐𝑜𝑠𝜃+𝜇.𝑠𝑒𝑛𝜃)
. 𝑅.
(− 𝜇.𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝑚
 𝑉2 = 𝑅. 𝑔.
(− 𝜇.𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃)
(𝑐𝑜𝑠𝜃+𝜇.𝑠𝑒𝑛𝜃)
 multiplicando por 
(
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
) teremos 𝑉2 = 𝑅. 𝑔.
(− 𝜇.𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑠𝑒𝑛𝜃)
(𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜇.𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑠𝑒𝑛𝜃)
 𝑉2 = 𝑅. 𝑔.
(𝑡𝑔𝜃 − 𝜇)
(1+ 𝜇.𝑡𝑔𝜃)
 portanto 
𝑉 = √𝑅. 𝑔.
(𝑡𝑔𝜃 − 𝜇)
(1 + 𝜇. 𝑡𝑔𝜃)
 
*chegamos na definição da equação da Velocidade mínimo para um carro em uma 
autoestrada em uma curva – plano inclinado – com atrito. 
 
Espero ter ajudado