Aula 5 - Função do segundo grau

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Função do segundo grau
APRESENTAÇÃO
As funções constituem uma ferramenta poderosa na resolução de problemas aplicados, pois 
muitas situações podem ser modeladas por meio delas, ou seja, conhecendo-se a expressão 
analítica de uma função, é possível prever resultados para a situação que está sendo estudada. A 
função do segundo grau, ou função quadrática, pode ser representada graficamente por meio de 
uma parábola e tem a forma f(x) = ax2 + bx + c, onde o coeficiente a deve ser diferente de zero.
Nesta Unidade de Aprendizagem, vamos definir a função do segundo grau, encontrar o seu 
domínio, a sua imagem, as suas raízes (quando existirem no conjunto dos números reais), 
construir o seu gráfico e resolver os problemas aplicados.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir uma função do segundo grau.•
Resolver equações quadráticas pelo método de fatoração e pela fórmula quadrática.•
Desenhar o gráfico da função do segundo grau.•
DESAFIO
Juca está organizando a tão sonhada viagem de fim de ano com toda a sua família. Ele 
pesquisou em várias agências de viagem que oferecem pacotes turísticos coletivos. Juca estima 
que serão 30 pessoas e, se todos forem, a agência "Viaje Mais" informou que cada cliente 
pagará R$ 3000,00 para aéreo e hotel all incluse ao destino desejado. Mas, o valor ofertado é 
especial por ser para 30 clientes. Caso haja desistência, cada pessoa que irá deve pagar mais R$ 
100,00 por cada desistente do pacote de viagem.
Defina a fórmula que apresenta o valor total (R) que a agência Viaje Mais ganhará na 
venda do pacote turístico para Juca e sua família.
INFOGRÁFICO
Conheça, a partir de exemplos do nosso dia a dia, como encontramos a parábola da função do 
segundo grau e seu respectivo vértice, ou seja, a altura máxima ou mínima.
CONTEÚDO DO LIVRO
A função quadrática, ou a função de 2º grau, em uma variável, é uma função que pode ser 
escrita na forma geral f(x)=ax²+ bx + c, sendo que a precisa ser diferente de zero.
Esta função possui algumas especificidades que a caracterizam e facilitam a sua resolução e 
entendimento. É sobre isto que você vai estudar neste capítulo Função do Segundo Grau da obra 
Fundamentos da Matemática.
Boa leitura.
FUNDAMENTOS 
DE MATEMATICA 
Rute Henrique da Silva Ferreira
Função do segundo grau
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir uma função do segundo grau.
 � Resolver equações quadráticas pelo método de fatoração e pela 
fórmula quadrática.
 � Desenhar o gráfico da função do segundo grau.
Introdução
Neste capítulo você aprenderá a reconhecer uma função de segundo 
grau e suas particularidades, bem como conhecerá métodos de resolução 
desse tipo de função, reescrevendo-a na forma fatorada, com base em 
suas raízes.
Por fim, verificará como os gráficos desse tipo de função podem ser 
traçados e quais são suas características mais importantes. 
Função do segundo grau
Definem-se equações como expressões matemáticas que apresentam uma 
relação de igualdade. Funções são equações que relacionarão, pelo menos, 
uma variável independente e uma dependente, com operações de soma, mul-
tiplicação, potências, etc.
Uma função da forma
f(x) = y
indica que x é uma variável independente e que, de acordo com sua varia-
ção, a variável dependente y poderá assumir diferentes valores, conforme a 
relação disposta na função.
Funções polinomiais são definidas pela relação entre duas variáveis, uma 
delas, por exemplo x, apresentando termos da forma anx
n, com n sendo um 
número natural. O maior expoente define o grau da função e o número de 
raízes que ela apresenta. Um exemplo genérico de função polinomial pode 
ser representado por:
f(x) = y = anx
n + an–1x
n–1 + an–2x
n–2 + ... + a1x + a0
formada por uma associação entre os coeficientes dos termos, a0, a1, ⋯ an-2, 
an-1, an, e pela variável independente, x, com seu respectivo grau em cada termo.
Em uma função, o maior expoente presente na variável independente 
define o grau da função. No caso específico deste capítulo, que tratará sobre 
funções do segundo grau, o termo com maior expoente será 2, conforme a 
função a seguir:
f(x) = y = a2x
2 + a1x + a0
Funções que têm como 2 o maior expoente em sua representação são conhe-
cidas como funções do segundo grau, ou funções quadráticas, desde que a2 ≠ 0.
De maneira mais didática, e para posterior aprofundamento nos cálculos 
envolvendo uma equação de segunda ordem, reescreveremos a função genérica 
f (x) = y da seguinte maneira:
f(x) = y = ax2 + bx + c
Com a ≠0.
Conforme dito anteriormente, por apresentarem o grau 2, essas funções 
devem apresentar duas raízes.
Quando você trabalha com uma função de segundo grau, ou segunda ordem, 
assim como em qualquer outro tipo de função, pode construir gráficos para 
representá-la. A principal característica dos gráficos de uma função quadrática 
é a sua forma. Toda função de segundo grau apresentará uma parábola em sua 
representação gráfica (Figura 1).
Função do segundo grau2
Figura 1. Gráficos de uma função quadrática ou função de segundo grau.
Fonte: Adaptada de Rogawski e Adams (2018).
y
x
y
x
y
x
y
x
As funções de segunda ordem têm inúmeras aplicações práticas, inclusive 
no nosso dia a dia, como você pode verificar na Figura 2.
Figura 2. Ignorando-se a resistência do ar, uma bola de basquete, 
quando arremessada, segue um trajeto parabólico.
Fonte: Rogawski e Adams (2018, p. 17).
3Função do segundo grau
São exemplos numéricos de equações quadráticas:
y = x2 + 4x + 1
y = 3x2 + 8x – 2
f(x) = –5x2 – 7x + 3
f(x) = 2x2 – 10x + 1
Para obter o valor da função em um valor de x específico, basta substituir 
o referido valor no lugar da variável independente. Por exemplo, seja a função
f(x) = 3x2 + 8x – 2
Se x = 1 → f (x) = f (1) = 3(1)2 + 8(1) – 2; logo, para x = 1→ f (1) = 9 ou y = 9.
Se x = –5 →f (x) = f (–5) = 3(–5)2 + 8(–5) – 2; 
logo, para x = –5 → f (–5) = 33 ou y = 33.
Raiz de uma função é o valor assumido pela variável independente quando a função 
y, ou f (x), assume valor igual a 0 (zero).
Resolução de equações de segundo grau
Ao resolver uma equação, estamos buscando suas raízes. Dessa forma, a 
função genérica
f(x) = ax2 + bx + c
deve ser igualada a zero, de modo que se obtenham as suas raízes.
ax2 + bx + c = 0
Função do segundo grau4
Uma função quadrática completa, que contém todos os termos a, b e c, dife-
rentes de zero, pode ser reescrita como uma multiplicação de outros polinômios
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
em que x1 e x2 são raízes da equação.
Existem diversos métodos para resolução das equações, de qualquer ordem. 
Para as equações de segundo grau, abordaremos a fatoração pelo método da 
fatoração e pela fórmula de Bhaskara (ou fórmula quadrática).
Fatoração de uma função de segundo grau
Fatorar uma função de segunda ordem significa reescrever essa mesma função 
de modo que ela volte à forma primitiva, de uso de propriedade distributiva 
da multiplicação. 
As técnicas de fatoração incluem colocar um fator comum em evidência, 
fatorar por agrupamento e reverter processos usuais envolvendo o uso da 
distributividade dupla e formas notáveis de fatoração (SAFIER, 2011). Al-
gumas dessas técnicas podem ser aplicadas às funções de segunda ordem, 
como veremos a seguir.
 � Colocar um fator monomial comum em evidência:
f(x) = 2x2 + 8x
Nessa função, você pode perceber que o termo 2x é um divisor comum 
para as duas parcelas que a compõem. Assim, é possível reescrevê-la da 
seguinte forma:
f(x) = 2x(x + 4)
Desse modo, consegue-se facilitar o cálculo de suas raízes — basta igualar 
cada termo dessa multiplicação à zero e obter as suas raízes. Assim,
2x = 0 → x = 0
e
x + 4 = 0 → x = –4
5Função do segundo grau
Dessa maneira, as raízes dessa função são x1 = 0 e x2=–4. Se forem colocadas 
na forma de dois binômios, aplicadas as propriedades da distributividade, 
retornariamà função inicial:
f(x) = 2(x + 0)(x + 4) = 2x2 + 8x
 � Colocar um fator não monomial comum em evidência, que poderia 
derivar da última expressão apresentada — uma constante comum, 
que multiplica todas as parcelas envolvidas na função. Como visto 
pelo exemplo anterior
f(x) = 2x2 + 8x
é o mesmo que escrever
f(x) = 2(x2 + 4x)
Isso pode facilitar a obtenção das raízes.
 � Reverter a distributividade:
Considere-se a função:
f(x) = x2 + 6x + 8
Como a função de segunda ordem se origina de uma multiplicação de 
binômios, para a função apresentada, precisamos determinar dois números 
que, se forem multiplicados, resultam em 8 e, se somados, resultam em 6, uma 
vez que a(x – x1)(x – x2) = a[x
2 – (x1 + x2)x + x1x2], para a≠0. 
E, assim, temos que os números –2 e –4, se somados, resultam em 6, e, 
se multiplicados, em 8.
Portanto, a função pode ser reescrita em termos de suas raízes, da seguinte 
forma:
f(x) = (x + 2) (x + 4)
Função do segundo grau6
Fórmula quadrática
A função genérica
f(x) = ax2 + bx + c
desde que a≠0, pode ser resolvida utilizando-se a fórmula de Bhaskara (ou 
fórmula quadrática), definida por:
x = –b ±√b
2 – 4ac
2a
Ao colocar cada termo da função em seu devido lugar na fórmula, obtêm-
-se, assim, as raízes x1 e x2.
Tomaremos como exemplo f (x) = x2 + 6x + 8, em que a = 1, b = 6 e c =. 
Colocando esses termos na fórmula de Bhaskara:
x =–6 ±√(6)
2 – 4(1)(8)
2(1)
Logo, 
x = –6±√36 – 322
–6 ± √4
2=
x = = –3 ± 1
–6 ± 2
2
Assim, x1 = –3 + 1 resultando em x1 = –2; e x2 = –3 –1 resultando em x2 = 
–4. Mais uma vez, comprova-se que as raízes da função, reescritas na forma 
de multiplicação de binômios, ficarão:
f(x) = (x + 2)(x+4)
A fórmula de Bhaskara pode ser utilizada para qualquer função de segunda ordem, 
completa ou não, desde que o coeficiente a≠0. Para funções não completas, no lugar 
referente ao coeficiente, b ou c, complete com (zero).
7Função do segundo grau
Gráfico de uma função do segundo grau
Na fórmula de Bhaskara, a expressão sob a raiz quadrada, (b2 – 4ac), é chamada 
de delta, ou representada pela letra grega ∆. 
Conforme já demonstrado neste capítulo, os gráficos de uma função do 
segundo grau são sempre uma parábola. E algumas de suas características 
serão determinadas pelo coeficiente a e pelo ∆, ou, como na Figura 3, cha-
maremos o delta de D:
Figura 3. Gráficos de uma função quadrática ou função de segundo grau: (a) a > 0, D > 0; 
(b) a > 0, D = 0; (c) a > 0, D < 0; (d) a < 0, D > 0; (e) a < 0, D = 0; (f) a < 0, D < 0.
Fonte: Adaptada de Rogawski e Adams (2018).
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
(a) (b) (c)
(d) (e) (f )
Observe que a parábola, de acordo com sua concavidade, possuirá um 
ponto de máximo ou de mínimo, denominado vértice.
As coordenadas desse ponto podem ser calculadas pela expressão:
V = b_( 2a �- - �_4a )
Função do segundo grau8
onde a, b e c são os coeficientes da função e Δ = b2 ‒ 4ac.
Note que:
Se a > 0, então V é um ponto de mínimo da função.
Se a < 0, então V é um ponto de máximo da função.
Para construir um gráfico de uma função de segundo grau, basta, a partir 
da função, atribuir valores para x, substituindo-os na função. Dessa forma, é 
possível obter o valor de y correspondente.
Por exemplo, para construir o gráfico da função f (x) = x2, que tem a > 0 e 
D = 0, inicialmente estabeleceremos os pares ordenados referentes à função, 
atribuindo valores para x e determinando seu respectivo y.
Para x = 3 → y = f(3) = (3)2 ∴ y = 9;
Para x = 2 → y = f(2) = (2)2 ∴ y = 4;
Para x = 1 → y = f(1) = (1)2 ∴ y = 1;
Para x = 0 → y = f(0) = (0)2 ∴ y = 0;
Para x = –1 → y = f(–1) = (–1)2 ∴ y = 1;
Para x = –2 → y = f(–2) = (–2)2 ∴ y = 4;
Para x = –3 → y = f(–3) = (–3)2 ∴ y = 9.
E seu gráfico pode ser verificado na Figura 4.
Figura 4. Gráfico da função de segundo grau f (x) = x2.
Fonte: Safier (2011, p. 105).
y
x
8
6
4
2
21–1–2–3 3
y = x2
9Função do segundo grau
Considerando agora uma função f (x) = –x2 + 6x, que tem a < 0 e D > 0, 
determinaremos os pares que ela ordena:
Para x = 3 → y = f(3) = –(3)2 + 6(3) ∴ y = 9;
Para x = 2 → y = f(2) = –(2)2 + 6(2) ∴ y = 8;
Para x = 1 → y = f(1) = –(1)2 + 6(1) ∴ y = 5;
Para x = 0 → y = f(0) = –(0)2 + 6(0) ∴ y = 0;
Para x = –1 → y = f(–1) = –(–1)2 + 6(–1) ∴ y = –8;
Para x = –2 → y = f(–2) = –(–2)2 + 6(–2) ∴ y = –16;
Para x = –3 → y = f(–3) = –(–3)2 + 6(–3) ∴ y = –27.
E seu gráfico pode ser verificado na Figura 5.
Figura 5. Gráfico da função de segundo grau 
f (x) = x2 + 6x.
Fonte: Safier (2011, p. 97).
y
x
5
–5
–10
–15
–2 2 4 6 8
Função do segundo grau10
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 1.
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (Coleção Schaum).
Leituras recomendadas
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: 
Bookman, 2015.
AYRES JR., F.; MENDELSON, E. Cálculo. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. (Coleção 
Schaum).
Sempre de um ∆ negativo, como está sob uma raiz de ordem par, as raízes da função 
de segundo grau serão raízes complexas, com partes real e imaginária ou somente 
parte imaginária.
11Função do segundo grau
DICA DO PROFESSOR
O vídeo a seguir trata dos principais assuntos da unidade. Veja!
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EXERCÍCIOS
1) O método por fatoração para resolver uma equação quadrática baseia-se na 
propriedade do produto ________________. Consequentemente, a fim de resolvermos 
a equação quadrática por fatoração, um dos lados da equação deve ser igual a 
________________. A opção que, respectivamente, preenche corretamente as lacunas 
acima é: 
A) dois, zero.
B) zero, zero.
C) par, par.
D) ímpar, ímpar.
E) par, ímpar.
2) Resolva a seguinte equação por fatoração: x2 – 19x = 20. 
A) x = 1, x = 20.
B) x = 1/2; x = -20.
C) x = -1; x = 20.
D) x = -1/2; x = -20.
E) x = 20.
3) Encontre a função do segundo grau para que a soma entre dois números positivos 
seja 30 e o produto entre eles seja 230. 
A) x2 – 30x + 230 = 0
B) x2 – 230x + 30 = 0
C) x2 – 30x = 0
D) x2 + 230 = 0
E) x2 – 3x + 30 = 0
4) Considere a função f do segundo grau, em que f (0) = 5, f (1) = 3 e f (−1) = 1. A 
lei de formação dessa função pode ser escrita conforme: 
A) f(x)= −x2 + x + 5
B) f(x)= 5x2 + x + 3
C) f(x)= −5x2 + x + 3
D) f(x)= −3x2 + x + 5
E) f(x)= 3x2 + x + 5
5) Considere uma sala de tamanho retangular cuja área é 12. 800 cm2. Sabendo-se que 
a largura é o dobro da altura do local, encontre as dimensões da sala. 
A) Largura: 30 cm/ Altura: 30 cm.
B) Largura: 40 cm/ Altura: 80 cm.
C) Largura: 80 cm/ Altura: 40 cm.
D) Largura: 80 cm/ Altura: 160 cm.
E) Largura: 160 cm/ Altura: 80 cm.
NA PRÁTICA
 
 
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Funções - Como esboçar uma parábola
Esse vídeo apresenta dicas de como esboçar o gráfico de uma parábola a partir do cálculo das 
raízes, vértice e concavidade da função.
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Funções - Como encontrar o vértice da parábola?
Esse vídeo aborda o cálculo do vértice da parábola, localizando-o no gráfico da função.
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Funções - Delta, Baskara - Raízes da parábola passo a passo
Esse vídeo apresenta passo a passo como encontrar as raízes de uma função do segundo grau, 
relacionando o valor do delta com um dos três tipos de gráficos possíveis.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!