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Lista 6 - Aplicações de derivadas

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Aplicac¸o˜es de Derivadas
Prof.: Alonso Sepu´lveda Castellanos Sala 1F 106
a) Mostre que a func¸a˜o f(x) = x101 + x51 + x+ 1 na˜o tem nem ma´ximo, nem mı´nimo local.
b) Fac¸a um estudo completo de cada uma das seguintes func¸o˜es e esboc¸e o gra´fico.
1) f(x) = 2 cosx+ sen 2x 2) y = ln(4− x2) 3) y = x+ 2
x
4) y = ex−x
2
5) y =
1
x2 − 9 6) y =
x
x2 + 9
7) y =
x− 1
x2
8) y =
x2
x2 + 3
9) y = x
√
5− x
10) y =
√
x2 + 1− x 11) y = x√
x2 + 1
12) y =
√
1− x2
x
13) y = x− 3x1/3 14) y = x+√|x| 15) y = 3sen x− sen 3x
16) y = xtg x,−pi/2 < x < pi/2 17) y = 2x− tg x,−pi/2 < x < pi/2 18) y = 1
2
x− sen x, 0 < x < 3pi
19) y = sen 2x− 2sen x 20) y = sen x
1 + cosx
21) y =
1
1 + e−x
22) y = x ln x 23) y = xe−x 24) y = ln(sen x)
25) y = xe−x
2
26) y = e3x + e−2x 27) y = arctg
(
x− 1
x+ 1
)
28) y =
−2x2 + 5x− 1
2x− 1 29) y =
x2 + 4
x
30) y =
2x3 + x2 + 1
x2 + 1
Problemas de Otimizac¸a˜o
f) Uma ilha esta´ em um ponto A, a 6 km do ponto mais pro´ximo de uma praia reta, ponto B. Um
armaze´m esta´ em um ponto C, a 7 km de B, na praia. Se um homem pode remar a 4 km/h e
caminhar a 5 km/h, onde o mesmo devera´ desembarcar para ir da ilha ao armaze´m no menor
tempo poss´ıvel? Determine o tempo mı´nimo.
g) Um campo retangular situado a`s margens de um rio deve ser cercado e na˜o se exige cerca ao longo
do rio. Se o material custa 2.000 pesos colombianos por metro para as laterais perpendiculares
ao rio e 3.000 pesos colombianos por metro para a cerca paralela ao rio, calcule as dimenso˜es do
campo de maior a´rea poss´ıvel que pode ser cercado com um custo de 2’400.000 pesos colombianos.
Calcule sua a´rea.
i) Encontre a a´rea do triaˆngulo iso´sceles de 18 cm de per´ımetro que possui a´rea ma´xima.
j) Um fabricante de caixas de estanho sem tampa deseja fazer uso de pedac¸os retangulares deste
material com 8 cm por 15 cm, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados
para cima. Quanto deve ser cortado para se obter uma caixa aberta de maior volume poss´ıvel?
k) Os pontos A e B sa˜o opostos um ao outro a`s margens de um rio reto de 3 km de largura. Um
ponto C esta´ na mesma margem que B, a 6 km de B, rio abaixo. Uma companhia telefoˆnica deseja
estender um cabo de A a C. Se o custo por quilometro de cabo e´ 25 por cento mais caro sob a
a´gua do que em terra, qual seria a opc¸a˜o mais barata para a companhia?
l) Encontre as dimenso˜es do cilindro circular reto inscrito em uma esfera de raio a que possui a maior
a´rea lateral poss´ıvel.
m) Uma caixa fechada com base quadrada deve ter um volume de 2.000 cm3. Se o material da tampa e
da base custa R.$3 por cm2 e o material das laterais custa R.$1,50 por cm2, encontre as dimenso˜es
da caixa de modo que o custo da mesma seja mı´nimo.
n) Uma janela estilo normando tem a forma de um retaˆngulo encimado por uma semicircunfereˆncia.
Para um per´ımetro de 5 metros, encontre as dimenso˜es de tal janela de forma que ela admita a
maior quantidade poss´ıvel de luz. Como seria a modelagem matema´tica do problema se o vidro
empregado no retaˆngulo transmisse, por unidade de a´rea, o dobro da luz que o vidro usado no
semic´ırculo.
o) Encontre dois nu´meros cuja diferenc¸a seja 100 e cujo produto seja o menor poss´ıvel.
p) Se 1200 cm2 de material estiverem dispon´ıveis para fazer uma caixa com base quadrada e sem
tampa, encontre o maior volume poss´ıvel da caixa.
q) Encontre os pontos sobre a elipse 4x2 + y2 = 4 que esta˜o mais distante do ponto (1, 0).
r) Encontre as dimenso˜es do retaˆngulo com maior a´rea que pode ser inscrito em um triaˆngulo
equila´tero com lado L, se um dos lados do retaˆngulo estiver sobre a base do triaˆngulo.
s) Encontre as dimenso˜es do triaˆngulo iso´sceles de maior a´rea que pode ser inscrito em um c´ırculo de
raio r.
t) Um poˆster deve ter uma a´rea de 180 cm2 com uma borda de 1 cm na base e nos lados, e uma
borda de 2 cm em cima. Que dimenso˜es dara˜o a maior a´rea impressa?
u) Um copo de papel em forma de cone e´ feito de maneira a conter 27 cm3 de a´gua. Ache a altura
eo raio do copo que usa a menor quantidade poss´ıvel de papel.
v) Em que pontos da curva y = 1 + 40x3 − 3x5 a reta tangente tem a sua maior inclinac¸a˜o?
w) Um fio de comprimento ` e´ cortado em dois pedac¸os. Com um deles se fara´ um c´ırculo e com o
outro um quadrado. Como devemos cortar o fio a fim de que as duas a´reas comprendidas pelas
figuras seja: a) mı´nima b) ma´xima .
y) Trac¸ar uma tangente a` elipse 2x2 + y2 = 2 de modo que a a´rea do triaˆngulo que ela forma com os
eixos coordenados positivos seja mı´nima. Obter as coordenadas dos pontos de tangeˆncia e a a´rea
mı´nima.
z) Um cilindro circular reto esta inscrito num cone circular reto de altura 6 metroˆs e raio da base 3,5
metroˆs. Determinar a altura e o raio da base do cilindro de volume ma´ximo.
”A fe´ vem pelo ouvir a Palavra de Deus”Rm 10:17