Lista 8 - Integral Definida

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Integral Definida
a) Nos itens abaixo, justifique porque f e´ integra´vel no intervalo considerado e calcule, pela definic¸a˜o,
a integral considerada
1)
∫ 5
−1
(1 + 3x) dx 2)
∫ 2
0
(2− x2) dx 3)
∫ 2
1
x3 dx
b) Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.
1)
∫ pi/4
0
sen 3x dx ≤
∫ pi/4
0
sen 2x dx 2) 2 ≤
∫ 1
−1
√
1 + x2 dx ≤ 2
√
2 3)
pi
6
≤
∫ pi/2
pi/6
senx dx ≤ pi
3
c) 2. Utilize o Teorema Fundamental do Ca´lculo para obter:
1)
∫ 3
−1
x5 dx 2)
∫ 2
1
3
x4
dx 3)
∫ pi/4
0
sec2 t dt
4)
∫ 1
−1
x2 + 1
x2 + 2
dx 5)
∫ 4
−3
|x+ 1| dx 6)
∫ 1/2
−3/2
1
4x2 + 12x+ 13
dx
7)
∫ 1
0
10x dx 8)
∫ 1
−1
(
y − |y|
2
)
dy 9)
∫ pi
−pi
(sen θ + | cos θ|) dθ
10)
∫ ln√3
0
et
1 + e2t
dt 11)
∫ −√2/2
−1
1
y
√
4y2 − 1 dy 12)
∫ epi/4
1
4
t(1 + ln2 t)
dt
b) Esboce a regia˜o limitada pelas curvas dadas e calcule a a´rea da regia˜o.
1) y = 1/x, y = 1/x2, x = 2 2) y = x+ 1, y = 9− x2, x = −1, x = 2 3) y = x2, y2 = x
4) y = lnx, x = e, y = 0 5) 4x+ y2 = 12, x = y 6) y = |x|, y = x2 − 2
7) y = x2, y3 = x, x+ y = 2 8) y = cosx, y = sen 2x, x = 0, x = pi/2 9) y = x2, y = 2/(x2 + 1)
c) Encontre a a´rea da regia˜o limitada pela para´bola y = x2, pela reta tangente a essa para´bola no
ponto (1,1) e o eixo x.
d) Encontre o nu´mero b tal que a reta y = b divida a regia˜o limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 em
duas regio˜es de a´reas iguais.
e) Encontre os valores de c tal que a a´rea da regia˜o limitada pelas para´bolas y = x2− c2 e y = c2−x2
seja 576.
“E sabemos que todas as coisas contribuem juntamente para o bem daqueles que amam a Deus,
daqueles que sa˜o chamados segundo o seu propo´sito.” Rom 8:28