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UNIDADE 1
ESTUDO DA RETA NO SISTEMA 
CARTESIANO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Caro(a) acadêmico(a)! Com esta unidade, você será capaz de:
•	 conhecer	as	definições	do	Sistema	Cartesiano	Ortogonal;
•	 reconhecer	as	coordenadas	do	ponto;
•	 desenvolver	o	pensamento	algébrico	e	a	representação	geométrica;
•	 identificar	e	aplicar	o	estudo	dos	pontos;
•	 verificar	e	aplicar	as	propriedades	das	equações	da	reta;
•	 adquirir	noções	sobre	as	posições	relativas	de	duas	retas.
Esta	unidade	está	dividida	em	quatro	tópicos.	No	final	de	cada	um	deles,	você	
encontrará	atividades	que	favorecerão	a	fixação	dos	assuntos	apresentados.	
Bons	estudos!	
TÓPICO	1	–	SISTEMA	CARTESIANO	ORTOGONAL
TÓPICO	2	–	ESTUDO	DOS	PONTOS
TÓPICO	3	–	A	RETA
TÓPICO	4	–	POSIÇÕES	RELATIVAS	DE	DUAS	RETAS
Assista ao vídeo 
desta unidade.
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
1 INTRODUÇÃO
A	geometria	é	um	dos	ramos	mais	antigos	da	matemática,	seus	princípios	
baseiam-se	nos	estudos	do	ponto,	da	reta	e	do	plano,	que	estão	fundamentados	em	
axiomas,	postulados,	definições	e	teoremas,	compilados	pelo	filósofo	e	matemático	
grego	Euclides,	por	volta	do	ano	300	a.C.
Nesta	disciplina,	nosso	foco	de	estudos	será	uma	área	ainda	mais	específica	
da	 geometria,	 a	 geometria	 analítica.	Área	 esta,	 também	 chamada	 geometria	 de	
coordenadas	e	de	geometria	cartesiana,	em	que	o	estudo	da	geometria	é	realizado	
por	meio	de	um	sistema	de	coordenadas	e	dos	princípios	da	álgebra.
Desta	forma,	iniciaremos	nossos	estudos	revendo	os	conceitos	envolvidos	
no	estudo	do	sistema	cartesiano	ortogonal.
2 O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
O	 Sistema	 de	 Coordenadas	 Cartesianas,	 Sistema	 Cartesiano	 Ortogonal,	
também	conhecido	como	Plano	Cartesiano,	foi	criado	por	René	Descartes	(1596-
1650),	filósofo	matemático	francês	e	principal	idealizador	da	Geometria	Analítica.	
Em	sua	homenagem	originou-se	o	nome	cartesiano,	pois	Descartes	em	latim	era	
Cartesius.
Como René Descartes associava a geometria à álgebra, o sistema cartesiano 
ortogonal foi a forma que ele inventou para representar expressões algébricas graficamente.
NOTA
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
4
Quando	 temos	 um	 sistema	 de	 eixos	 associado	 a	 um	 plano,	 que	 faz	
corresponder	a	cada	ponto	do	plano	um	par	ordenado	e	vice-versa,	sendo	esses	
eixos	perpendiculares	entre	si	em	um	ponto	O,	denominado	origem,	o	denotamos	
como	sistema	cartesiano	ortogonal.
Sendo	 assim,	 o	 sistema	 cartesiano	 ortogonal	 é	 formado	 por	 dois	 eixos	
perpendiculares	(duas	retas	que	formam	ângulo	de	90º	entre	si):	um	horizontal	e	
outro	vertical	que	se	cruzam	na	origem	das	coordenadas	(0,0).	A	reta	horizontal	é	
chamada	de	eixo	x	ou	eixo	das	abscissas	(x)	e	a	reta	vertical	de	eixo	y	ou	de	eixo	das	
ordenadas	(y).	Esses	eixos	são	enumerados	com	uma	unidade	de	medida	única	e	
os	números	compreendem	o	conjunto	dos	números	reais,	como	podemos	observar	
na	figura	1	do	plano	cartesiano.	Nesta	disciplina,	você	pode	utilizar	1	cm	como	
unidade	de	medida	para	a	resolução	das	autoatividades.
FIGURA 1 – PLANO CARTESIANO
FONTE: Os autores
Atenção! Podemos observar na Figura 1 que a orientação positiva das retas é 
representada por uma seta.
UNI
A	 utilização	 mais	 simples	 do	 Plano	 Cartesiano	 é	 para	 representarmos	
graficamente	a	 localização	de	pontos	em	um	determinado	plano,	ou	seja,	pares	
ordenados	conforme	apresentado	na	próxima	seção.
TÓPICO 1 | SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
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Você sabia?
Que podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude? Esses temas 
relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS. 
O Sistema de Posicionamento Global permite que saibamos nossa localização exata na terra, 
desde que tenhamos em mãos um receptor de sinais GPS, informando a latitude, a longitude e 
a altitude com o auxílio de satélites em órbita da Terra. Os aviões são um exemplo da utilização 
do GPS, pois para não se colidirem são monitorados e informados em qual rota devem seguir 
sua viagem.
FONTE: Adaptado de: <http://www.mundoeducacao.com/matematica/plano-cartesiano.
htm>. Acesso em: 6 dez. 2013.
UNI
3 PARES ORDENADOS
A	representação	dos	pontos	no	plano	é	feita	através	de	pares	ordenados,	
indicados	entre	parênteses,	a	abscissa	(x)	e	a	ordenada	(y)	respectivamente,	e	esse	
par	ordenado	(x,	y)	representa	as	coordenadas	de	um	ponto,	o	qual	é	representado	
por	uma	letra	maiúscula	do	alfabeto	P(x,	y).
Eixo	das	abscissas
P(x,y)
Eixo	das	ordenadas
FIGURA 2 – CLASSIFICAÇÃO DOS EIXOS
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
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O valor da abscissa (o primeiro número do par ordenado) é a medida do 
deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo), ou para a esquerda (se negativo) 
do eixo horizontal (eixo x). E o valor da ordenada (o segundo número do par ordenado) é a 
medida do deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo) 
no eixo vertical (eixo y).
IMPORTANT
E
Vamos	observar	alguns	exemplos	de	pares	ordenados:
•	 o	ponto	A(4,	3)	tem	abscissa	4,	ou	seja,	x	=	4	e	ordenada	3,	ou	seja,	y	=	3,		no	qual	
o	símbolo	(4,	3)	representa	um	par	ordenado;
•	 o	ponto	B(1,	2)	tem	abscissa	1	(x	=	1)	e	ordenada	2	(y	=	2);	
•	 o	ponto	C(-2,	4)	tem	abscissa	-2	(x	=	-2)	e	ordenada	4	(y	=	4);
•	 o	ponto	D(-3,	-4)	tem	abscissa	-3	(x	=	-3)	e	ordenada	-4	(y	=	-4);
•	 o	ponto	E	(3,	-3)	tem	abscissa	3	(x	=	3)	e	ordenada	-3	(y	=	-3).
É importante destacarmos que os pontos M(2, 5) e N(5, 2) são pontos distintos, 
pois em um par ordenado a ordem dos números é relevante.
ATENCAO
Para	representarmos	esses	pontos	no	sistema	cartesiano	ortogonal,	traçamos	
retas	 suportes	 paralelas	 aos	 eixos	 x	 e	 y	 (representadas	 na	 Figura	 3,	 por	 linhas	
tracejadas),	e	onde	essas	retas	se	encontram,	marca-se	o	ponto	(par	ordenado).	
Vamos	analisar	o	ponto	A,	observe	na	Figura	3,	que	traçamos	inicialmente	
uma	 reta	paralela	 ao	 eixo	 y	 sobre	 o	 valor	da	 abscissa	do	ponto,	 nesse	 caso	 4	 e	
depois	 traçamos	 a	 outra	paralela,	 agora	 em	 relação	 ao	 eixo	 x,	 sobre	 o	 valor	da	
ordenada,	ou	seja,	3.	Onde	essas	duas	 retas	paralelas	 (devem	ser	 representadas	
sempre	com	linhas	tracejadas	no	sistema	cartesiano	ortogonal)	se	encontram	é	a	
região	do	plano	em	que	está	o	ponto	A	(4,	3).
TÓPICO 1 | SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
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O	mesmo	 acontece	 com	 os	 demais	 pontos	 do	 exemplo	 e	 com	 qualquer	
outro	par	ordenado	em	que	os	pontos	não	estão	marcados	sobre	o	eixo.	Quando	
isso	acontece	os	pontos	estão	localizados	nos	quadrantes	e	não	é	necessário	traçar	
retas	paralelas.
FIGURA 3 – EXEMPLOS DE PARES ORDENADOS
Fonte: Adaptado de: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm>. 
Acesso em: 9 maio 2013.
Utilizamos o plano cartesiano na representação de gráficos de funções, onde os 
valores relacionados a x determinam o domínio e os valores de y, a imagem da função. A criação 
do Sistema de Coordenadas Cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na 
Matemática, que facilita a observação do comportamento das funções em alguns pontos 
considerados críticos e contribuiu para vários conceitos de cálculo, como limites, derivadas, 
integrais e outros.
NOTA
4 OS QUADRANTES
É	 a	 denotação	 utilizada	 para	 as	 quatro	 regiões	 do	 plano	 resultante	 da	
divisão	do	eixo	x	e	do	eixo	y,	conforme	observamos	na	Figura	4.
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
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Os quadrantes são dispostos em sentido anti-horário.
NOTA
FIGURA 4 – QUADRANTES
Fonte: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/plano-
cartesiano.htm>. Acesso em: 9 maio 2013.
	 No	 sistema	 cartesiano	 ortogonal,	 o	 canto	 superior	 direito	 é	 a	 região	
do	primeiro	quadrante,	à	sua	esquerda	do	outro	lado	do	eixo	das	ordenadas	(eixo	
y),	 é	 a	 região	 do	 segundo	 quadrante.	Abaixo	desse,	 temos	 a	 região	 do	 terceiro	
quadrante	e	à	direita	e,	abaixo	do	primeiro,	temos	a	região	do	quartoquadrante.
Para	os	pontos	 (pares	ordenados)	 localizados	no	primeiro	quadrante,	os	
valores	da	abscissa	e	da	ordenada	serão	sempre	maiores	do	que	zero	(x	>	0	e	y	>	0),	
no	segundo	quadrante	o	valor	da	abscissa	é	menor	do	que	zero	e	o	da	ordenada	
maior	do	que	zero	(x	<	0	e	y	>	0),	no	terceiro	quadrante	os	valores	da	abscissa	e	da	
ordenada	serão	menores	do	que	zero	(x	<	0	e	y	<	0)	e	no	quarto	quadrante	o	valor	
da	abscissa	é	maior	do	que	zero	e	o	da	ordenada	menor	do	que	zero	(x	>	0	e	y	<	0).	
Assim:
•	 no	primeiro	quadrante,	todos	os	pontos	possuem	abscissa	e	ordenada	positivas	
(x,	y).	Exemplo:		A(4,	2);
TÓPICO 1 | SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
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•	 no	segundo	quadrante,	todos	os	pontos	possuem	abscissa	negativa	e	ordenada	
positiva	(-	x,	y).	Exemplo:	B	(-4,	2);
•	 no	terceiro	quadrante	todos	os	pontos	possuem	abscissa	e	ordenada	negativas	
(-	x,	-	y).	Exemplo:	C(-4,	-2),	e
•	 no	 quarto	 quadrante	 todos	 os	 pontos	 possuem	 abscissa	 positiva	 e	 ordenada	
negativa	(x,	-y).	Exemplo:	D(4,	-2).
Quando um ponto (par ordenado) está localizado sobre o eixo das abscissas (eixo 
x), o eixo das ordenadas (eixo y), ou sobre a origem do sistema, não se encontra em nenhum 
quadrante.
IMPORTANT
E
5 BISSETRIZ DOS QUADRANTES
A	bissetriz	dos	quadrantes	é	determinada	por	uma	reta	que	intercepta	o	
ponto	(0,0)	traçando	a	bissetriz	dos	quadrantes	ímpares	no	1º	e	3º	quadrante	ou	a	
bissetriz	dos	quadrantes	pares	no	2º	e	4º	quadrante,	conforme	a	Figura	5.	
FIGURA 5 – BISSETRIZ DOS QUADRANTES
FONTE: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/as-bissetrizes-dos-
quadrantes-1.htm>. Acesso em: 9 maio 2013.
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
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Todos os pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes ímpares possuem 
abscissas iguais às ordenadas e vice-versa, B(b, b).
Todos os pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas 
opostas e vice-versa, B(b, -b).
IMPORTANT
E
Exemplo:	Determinar	o	valor	de	a,	para	que	o	ponto	A	(2a-1,	–	a+2)	pertença	
à	bissetriz	dos	quadrantes	ímpares.
Resolução:	Sabemos	que,	 se	o	ponto	pertence	à	bissetriz	dos	quadrantes	
ímpares,	então,	possuem	coordenadas	(x,	y)	iguais.	Desta	forma,
2a	–	1	=	-a	+	2				Isolando	a	no	primeiro	membro
2a	+	a	=	2	+	1				Juntando	os	termos	semelhantes
3a	=	3				Dividindo	ambos	os	membros	por	3
3a/3	=	3/3				Efetuando	a	divisão
a	=	1
Substituindo	o	valor	de	a	nas	coordenadas	do	ponto,	temos:
A	(2.1	–	1,	-	1	+	2)	→	A	(1,	1)
Portanto,	as	coordenadas	do	ponto	serão	A(1,	1).
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Nesse	tópico,	você	estudou	o	Sistema	Cartesiano	Ortogonal.	Em	seguida,	
a	localização	dos	pontos	e	a	posição	dos	mesmos	de	acordo	com	os	quadrantes.
•	 O	 sistema	 cartesiano	 ortogonal	 é	 formado	 por	 dois	 eixos	 perpendiculares,	 o	
horizontal	é	chamado	de	eixo	x	ou	eixo	das	abscissas	(x)	e	o	vertical	de	eixo	y	ou	
de	eixo	das	ordenadas	(y)	que	são	enumerados	compreendendo	o	conjunto	dos	
números	reais.
•	 A	representação	dos	pontos	no	plano	é	feita	através	de	pares	ordenados	(x,	y),	a	
abscissa	(x)	e	a	ordenada	(y)	respectivamente	que	representa	as	coordenadas	de	
um	ponto.
•	 Para	 representarmos	 esses	 pontos	 no	 sistema	 cartesiano	 ortogonal,	 traçamos	
retas	paralelas	aos	eixos	x	e	y	(linhas	tracejadas),	e	onde	essas	retas	se	encontram,	
marca-se	o	ponto	(par	ordenado).	
•	 Os	pontos	(pares	ordenados),	localizados	no	primeiro	quadrante,	têm	os	valores	
da	 abscissa	 e	 da	 ordenada	maiores	 do	 que	 zero	 (x	 >	 0	 e	 y	 >	 0),	 no	 segundo	
quadrante,	 o	 valor	 da	 abscissa	 é	menor	 do	 que	 zero	 e	 o	 da	 ordenada	maior	
do	que	zero	(x	<	0	e	y	>	0),	no	terceiro	quadrante	os	valores	da	abscissa	e	da	
ordenada	serão	menores	do	que	zero	(x	<	0	e	y	<	0),	e	no	quarto	quadrante	o	
valor	da	abscissa	é	maior	do	que	zero	e	o	da	ordenada	menor	do	que	zero	(x	>	0	
e	y	<	0).
RESUMO DO TÓPICO 1
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AUTOATIVIDADE
Agora	 chegou	 a	 sua	 vez	 de	 colocar	 em	 prática	 o	 que	 foi	 estudo	 no	
Tópico 1.	 Lembre-se	 das	 orientações	 referentes	 à	 localização	 dos	 pontos	 no	
plano	cartesiano.
1		Construa	 um	 plano	 cartesiano	 e	 localize	 os	 seguintes	 pontos	 (pares	
ordenados):
a)	A(-4,	3)
b)	B(-1,	1)
c)	B(2,	1)
d)	D(-1,	2)
e)	E(3,	-2)
j)	J(3,	3/5)
k)	K(1/2,	-4)
l)	L(-2,5,	-3,3)
m)	M(2,	0)
n)	N(0,	-3)
f)	F(-1,	-1)
g)	G(3,	2)
h)	H(-1,	3)
i)	 Um	ponto	I	na	
origem	do	sistema
2		No	exercício	anterior:
a)	Quais	são	os	pontos	que	pertencem	ao	1º	quadrante?	______________________	
b)	Quais	são	os	pontos	que	pertencem	ao	2º	quadrante?	______________________
c)	Quais	são	os	pontos	que	pertencem	ao	3º	quadrante?	______________________
d)	Quais	são	os	pontos	que	pertencem	ao	4º	quadrante?	______________________
3		Verifique	 se	 os	 pontos	 estão	 localizados	 nos	 quadrantes	 e	 identifique	 em	
qual	quadrante?
a)	A(2,	0)_____________________________________________________________
b)	B(-1,	-1)____________________________________________________________
c)	C(0,	3)_____________________________________________________________
d)	D(2,	-3)____________________________________________________________
e)	E(0,	0)_____________________________________________________________
f)	F(-1,	0)_____________________________________________________________
g)	G(0,	-2)____________________________________________________________
4		No	exercício	anterior:
a)	Quais	pontos	estão	localizados	sobre	o	eixo	das	abscissas?	
b)	Quais	pontos	estão	localizados	sobre	o	eixo	das	ordenadas?	
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5		Complete	utilizando	os	símbolos	=	(igual)	ou	≠	(diferente):
a)	A(2,0).........	M(0,2)	
b)	B(3,	-1).........	N(3,-1)	
c)	C(2,5)................	P(6/3,10/2)	
d)	C(-2,1)...............	Q(1,-2)	
e)	E(-3,-2)..........	R(-2,-3)	
6		Determine	x	e	y	nos	pares	ordenados,	para	que	cada	uma	das	 igualdades	
sejam	verdadeiras:
a)	(x,	y)	=	(1,-2)	_______________________________________________________
b)	(3,	y)	=	(x,	1)	_______________________________________________________
c)	(x	,	-7)	=	(-1	,	y)	_____________________________________________________
d)	(2x,	-2)	=	(	10,	y)	____________________________________________________
e)	(x,	y	+2)	=	(1,	7)	_____________________________________________________
f)	(3x,	2y)	=	(-15,	-8)	___________________________________________________
g)	(x,	y	-	5)	=	(0,	10)	____________________________________________________
h)	(x	+	1,	y	-1)	=	(2,	4)	__________________________________________________
7	Determine	as	coordenadas	de	cada	ponto	do	plano	cartesiano	a	seguir:
14
8			Para	 que	 o	 ponto	 P(-3m	 +5,	 2m+10)	 pertença	 à	 bissetriz	 dos	 quadrantes	
ímpares,	m	deverá	ser:
a)	-	1								
b)	5/3							
c)	-	5										
d)	1										
9	 Observe	o	sistema	cartesiano	a	seguir	onde	as	bissetrizes	de	cada	quadrante	
estão	representadas.	
a)	O	que	 caracteriza	um	ponto	“A”	 situado	 sobre	a	bissetriz	dos	quadrantes	
ímpares?	
b)	Se	o	ponto	C(x,	y)	é	um	ponto	situado	sobre	a	bissetriz	dos	quadrantes	pares,	
podemos	afirmar	que	x	+	y	=	0	sempre?	Por	quê?	
c)	Calcule	o	valor	de	m,	sabendo	que	o	ponto	B	(2m²	+	5,	7m)	pertence	à	bissetriz	
dos	quadrantes	pares.
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TÓPICO 2
ESTUDO DOS PONTOS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
No	 tópico	 anterior,	 vimos	 a	 representação	 de	 um	 ponto	 no	 sistema	
cartesiano.	Neste	tópico	vamos	analisar	as	relações	que	podemos	estabelecer	entre	
dois	ou	mais	pontos,	como	a	distância	entre	dois	pontos,	o	ponto	médio	de	um	
segmento,	 a	 condição	de	 alinhamento	de	 três	 pontos	 e	 como	utilizar	 o	 software 
Winplot para	representar	geometricamente	essas	relações.
No	estudo	dos	pontos,	temos	o	conceito	de	distância	que	perpassa	vários	
conceitos	da	geometria	analítica,	pois	nessa	área	da	matemática	temos	a	relação	
de	 elementos	 geométricos	 com	 os	 algébricos,	 sendo	 que	 o	 elemento	 básico	 da	
geometria	é	o	ponto.
Sabemos	que	na	geometria	a	menor	distância	entre	dois	pontos	é	dada	por	
uma	reta,	já	na	geometria	analítica	esses	pontos	são	representados	por	coordenadas	
no	sistema	cartesiano	ortogonal,	e	por	meio	dessas	coordenadas	podemos	encontrar	
o	valorda	distância	entre	os	dois	pontos.
Através	 dos	 estudos	 de	 Geometria	 Analítica,	 é	 possível	 estabelecer	 a	
relação	entre	a	Álgebra	e	a	Geometria,	 em	situações	que	são	envolvidos	ponto,	
reta	 e	 figuras	 espaciais,	 pois	 quando	 representamos	 graficamente	 uma	 função,	
utilizamos	de	pontos,	podemos	ter	retas	ou	até	mesmo	figuras	em	três	dimensões.
2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Na	disciplina	de	geometria,	você	estudou	que	a	distância	é	a	medida	da	
separação	de	dois	pontos	e	que	por	dois	pontos	passa	apenas	uma	reta,	vamos	
calcular	a	distância	entre	os	pontos	A	e	B	no	sistema	cartesiano	ortogonal.
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
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FIGURA 6 – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
FONTE: Adaptado de: <https://www.google.com.br/
search?q=com+a+dist%c3%a2ncia+entre+dois+pontos>. Acesso em: 10 
maio 2013.
Para	 calcular	 a	 distância	 entre	 dois	 pontos	 recorremos	 ao	 teorema	 de	
Pitágoras.
Temos os pontos: A(xA, yA), com abscissa (xA) e ordenada (yA); e o ponto B(xB, 
yB), com abscissa (xB) e coordenada (yB), ligando esses dois pontos com uma 
reta, podemos formar o triângulo ABC retângulo em C, em que temos o lado BC 
(cateto), o lado AC (cateto) e o lado AB (hipotenusa).
UNI
FIGURA 7 – COMO CALCULAR A DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
FONTE: Adaptado de: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/
distancia-entre-dois-pontos.htm>. Acesso em: 10 maio 2013.
y
yB
yA
xA xB x
C
B
A
y
yB
yA
xA xB x
C
B
A
dAB
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
17
Para	calcular	a	distância	entre	os	pontos	A	e	B,	vamos	aplicar	o	teorema	de	
Pitágoras	no	triângulo	ABC	(Figura	8),	para	descobrir	o	valor	da	hipotenusa	do	
triângulo,	ou	seja,	D	que	é	a	distância	entre	os	pontos	A	e	B.
FIGURA 8 – TRIÂNGULO ABC
FONTE: Os autores
Pelo	 Teorema	 de	 Pitágoras,	 temos	 que	 o	 quadrado	 da	 hipotenusa	 (D)	 é	
igual	à	soma	dos	quadrados	dos	catetos.	Como	o	cateto	BC	é	igual	a	distância	de		
yB	-		yA,	e	o	cateto	AC	é	igual	a		distância	de	xB	-		xA	,	temos:
D² = (XB – XA)² + (YB – YA)²
√D² = √(XB – XA)² + (YB – YA)² aplicando	 a	 raiz	 quadrada	 em	 ambos	 os	
lados	da	igualdade:	
D = √(XB – XA)² + (YB – YA)²
ATENCAO
D = √(XB – XA)² + (YB – YA)² essa é a fórmula para o cálculo da 
distância entre dois pontos no sistema cartesiano ortogonal.
Utilizando	essa	fórmula,	é	possível	determinar	a	distância	entre	dois	pontos	
no	Sistema	Cartesiano	Ortogonal,	desde	que	seja	conhecida	as	suas	coordenadas.
Exemplo 1: Dados	os	pontos	A	(1,	-2)	e	B	(4,	2),	determine	a	distância	entre	
eles	e	represente	geometricamente.
Solução:	Temos	xA	=	1	e		yA	=	-2,	e	xB =	4	e		yB =	2.
Fórmula	da	distância	entre	dois	pontos:
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
18
D = √(XB – XA)² + (YB – YA)²
Substituindo	esses	valores	na	fórmula	da	distância	entre	dois	pontos	temos:
D = √(4 – 1)² + [2 – (–2)]² 
Resolvendo	as	operações	entre	os	parênteses:
D = √(3)² + (4)² 
Elevando	os	termos	ao	quadrado:
D = √9 + 16 
Somando	os	termos	dentro	da	raiz	quadrada:
D = √25 
Resolvendo	a	raiz	quadrada:
D = 5
Logo	a	distância	entre	o	ponto	A	e	o	ponto	B	é	igual	a	5	unidades	de	medida.
Representação geométrica:
FIGURA 9 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 1: DISTÂNCIA ENTRE PONTOS
FONTE: Os autores
Exemplo 2: Calcule	a	distância	entre	os	pontos	P(-1,	4)	e	Q	(1,	-4).
Solução:	Temos	xA	=	-1	e		yA	=	4,	e	xB =	1	e		yB =	-	4.
Substituindo	na	fórmula	teremos:	
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
19
D = √(XB – XA)² + (YB – YA)²
D = √[1 – (–1)]² + (–4 – 4)² 
Resolvendo	as	operações	entre	os	parênteses:
D = √(–2)² + (–8)² 
Elevando	os	termos	ao	quadrado:
D = √4 + 64
Somando	os	termos	dentro	da	raiz	quadrada:
D = √68
Resolvendo	a	raiz	quadrada,	não	temos	um	valor	exato,	portanto	vamos	
fatorar	em	números	primos	o	número	68;
68 2
34 2
17 17
1 2².17
Logo,	
Representação geométrica
√4 √17 2√17=
2√17D = unidades	de	medida,	esse	valor	é	a	distância	entre	o	ponto	A
e	o	ponto	B.
FIGURA 10 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 2: DISTÂNCIA ENTRE PONTOS
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
20
3 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
É	o	ponto	que	divide	o	segmento	de	reta	exatamente	ao	meio,	originando	
dois	novos	segmentos	de	reta,	conforme	podemos	observar	na	Figura	11.
FIGURA 11 – PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
FONTE: Adaptado de: <https://www.google.com.br/
search?q=divide+o+segmento+de+reta+exatamente+ao+meio&>. Acesso 
em: 10 maio 2013.
Seja	M	o	ponto	médio	do	segmento	com	extremidades	A	(xA,yA)	e	B	(xB,yB),	
observamos	na	Figura	12,	dois	triângulos,	AMN	e	ABP	que	são	semelhantes,	pois	
possuem	os	três	ângulos	respectivamente	congruentes	(iguais)	(REIS,	2008).
FIGURA 12 – CÁLCULO DO PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
FONTE: Disponível em: <http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/aulas/
AulasModulo02-pdf/ApostilaVeraCarlos.PDF>. Acesso em: 10 maio 2013.
Portanto,	 pelo	 Teorema	 de	 Tales,	 o	 segmento	 AM	 é	 proporcional	 ao	
segmento	AB	e	o	segmento	AN	é	proporcional	ao	segmento	AP,	logo:
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
21
AB
na	expressão
AM AN
AB AP
=
AM AN
AB AP
=
AB 2(AM)=Sendo pois	M	é	o	ponto	Médio	de
AB 2(AM)=Vamos	subtituir
AM AN
2AM AP
=
Simplificando	e	multiplicando	meios	e	extremos	teremos:
1
2
AN
AP
=
Logo, AP = 2(AN)
Nota! Como foi visto na figura 12, o segmento AP é a distância do ponto A ao 
ponto P, e as coordenadas do ponto A são xA e yA e do ponto P xP = x B e yP = 
yA , e o segmento AN é a distância do ponto A ao ponto N, e as coordenadas do ponto N são 
xn = xM e yn= yA.
UNI
Temos:	 AP )(2 AN=
 )(2 ANAP xxxx −=− portanto	se	 Bp xx = e MN xx = 	logo:
 )(2 AMAB xxxx −=− 	,	aplicando	a	propriedade	distributiva:
 AMAB xxxx 22 −=− 	,	isolando	os	termos	correspondentes:
 AAMB xxxx 22 −=− ,	resolvendo	os	termos	correspondentes:
 AMB xxx −=− 2 	,	isolando	o	 Mx :
 BAM xxx −−=− 2 	,	multiplicando	ambos	os	lados	da	igualdade	por	(-1):
 BAM xxx +=2 	Isolando	o	 Mx :
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
22
 
2
BA
M
xx
x
+
=
essa	 é	 a	 fórmula	 para	 o	 cálculo	 da	 abscissa	 (x)	 do	 ponto	
médio	(M),	de	forma	análoga	define-se	a	fórmula	do	cálculo	da	ordenada	(y)	do	
ponto	médio	(M):
2
BA
M
yy
y
+
=
Portanto	M	(
 
2
BA xx + ,
 
2
BA yy + )
Para encontrar as coordenadas do Ponto Médio utilizam-se as fórmulas:
 
2
BA
M
xxx +=
 e 2
BA
M
yyy +=
ATENCAO
Exemplo 1:	 Determine	 o	 ponto	 médio	 dos	 pontos	 A(4,	 -1)	 e	 B(-2,	 5)	 e	
represente	geometricamente:
Solução: Temos xA	=	4	e		yA	=	-1,	e	xB =	-2	e		yB =	5.
Substituindo	nas	fórmulas,	teremos:	
 
2
BA
M
xxx +=
2
BA
M
yyy +=
 
1
2
2
2
)2(4
==
−+
=Mx
 
2
2
4
2
5)1(
==
+−
=My
Portanto,	o	ponto	médio	é:	M	(1,2).
Representação Geométrica:
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
23
FIGURA 13 – MARCANDO O PONTO MÉDIO NO SISTEMA CARTESIANO DO EXEMPLO 1
FONTE: Os autores
Exemplo 2:	O	ponto	A(-2,	3)	é	um	dos	extremos	de	um	segmento	cujo	ponto	
médio	é	M(-1,	-3).	Quais	são	as	coordenadas	do	outro	extremo	desse	segmento	B(x,	
y)?	Represente	geometricamente.
Solução:	Acadêmico(a)!	Note	que	agora	temos	o	ponto	médio	e	queremos	
determinar	a	extremidade	deste	segmento.	Desta	forma,	temos:	xA	=	-2	e		yA	=	3,	e	
xM	=	-1	e		yM	=	-3.
Substituindo	nas	fórmulas,	teremos:	
 2 . (-1) = (-2) + Bx 
-2 = (-2) + Bx 
-2 + 2 = Bx 
 0 = Bx 
 
2
BA
M
xxx +=
2
)2(1 Bx+−=−
2
BA
M
yyy +=
2
33 By+=−
2 . (-3) = 3 + By 
- 6 = 3 + By 
- 6 – 3 = By 
- 9 = By
Portanto,	as	coordenadas	do	outro	extremo,	ponto	B	são	x	=	0	e	y	=	-9,	B	(0,	-9).
 
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
24
FIGURA 14 – MARCANDO O PONTO MÉDIO NO SISTEMA CARTESIANO DO EXEMPLO 2
FONTE: Os autores
4 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Quando	três	pontos	estão	em	linha	reta,	dizemos	que	eles	são	colineares,	
conforme	podemos	observar	na	Figura	15.FIGURA 15 – PONTOS COLINEARES E NÃO COLINEARES
FONTE: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/ponto-reta-e-plano/>. Acesso 
em: 10 maio 2013.
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
25
Com	 ABD~ BCE 	podemos	escrever	a	relação:
xb-xa
xc-xb
=
yb-ya
yc-yb
 
Multiplicando	meios	e	extremos,	temos:
(xb	-	xa).	(yc	-	yb)	=	(xc	-	xb).	(yb	-	ya)
Equação	este	que	podemos	expressar	na	forma:
(xb	–	xa).	(yc	–	yb)	–	(xc	–	xb).	(yb	–	ya)	=	0
Resolvendo	 os	 produtos,	 utilizando	 a	 propriedade	 distributiva	 da	
multiplicação,	temos:
xb yc	–	xb yb	–	xa yc ₊ xa yb	–	(xc yb	–	xc ya	–	xb yb ₊ xb ya ) = 0
Observemos	a	Figura	16,	onde	temos	os	pontos	A (xA, yA), B (xB, yB) e C (xC, 
yC), três	pontos	distintos	em	linha	reta,	ou	seja,	colineares	(alinhados).	Temos	que	
os	 triângulos	ABD	e	BCE	são	retângulos	em	D	e	E,	respectivamente,	bem	como	
apresentam	lados	proporcionais,	logo	são	semelhantes.
Acadêmico(a)! Você estudou a semelhança de triângulos na disciplina de 
Geometria, caso precise relembrar, busque seu Caderno de Estudos impresso ou vá até a Trilha 
de Aprendizagem da disciplina de Geometria e visualize na versão virtual.
UNI
FIGURA 16 – ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
FONTE: Disponível em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/condicao-
de-alinhamento-de-tres-pontos.html>. Acesso em: 10 maio 2013.
A
B
C
D
E
YA
XA
YB
YC
XB XC
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
26
Juntando	os	termos	semelhantes:
xbyc-xayc+xayb-xcyb+xcya-xbya=0 
Agrupando	xa e ya 	temos:
(xayb-xayc)+(xcya-xbya)+(xbyc-xcyb)=0 
Colocando	os	termos	comuns	em	evidência:
xa yb-yc +ya(xc-xb)+(xbyc-xcyb)=0 ( )
Que	podemos	escrever	em	forma	de	matriz:
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
Fazendo	a	regra	de	sinais:
xbyc	–	xbyb	–	xayc ₊ xayb	–	xcyb ₊ xcya ₊ xbyb	–	xbya =	0
Desta	forma,	concluímos	que:
Três	pontos	A (xA, yA), B (xB, yB) e C (xC, yC), estão	alinhados	ou	colineares,	
se	e	somente	se,	o	determinante
 
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
	.	Quando o determinante	não	for	
igual	à	zero,	é	porque	os	pontos	A (xA, yA), B (xB, yB) e C (xC, yC), são	vértices	de	
triângulo.
Substituindo	 as	 coordenadas	 dos	 pontos	 na	 matriz	
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
 e 
aplicando	 a	 Regra	 de	 Sarrus,	 já	 vista	 no	 ensino	médio,	 podemos	 verificar	 se	 o	
determinante	dessa	matriz	é	igual	a	zero,	se	for,	os	pontos	são	colineares,	se	não	
for	igual	a	zero	é	porque	os	pontos	não	são	colineares	(formam	um	triângulo).
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
27
LEMBRAR: Cálculo do determinante pela REGRA DE SARRUS:
 
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
 Repetem-se as duas primeiras colunas:
 
xa ya 1
xb yb 1
xc yc 1
xa
xb
xc
 
ya
yb
yc
=0
 Pela Regra de Sarrus, temos:
 xa·yb·1+ya·1·xc+1·xb·yc - xc·yb·1+yc·1·xa+1·xb·ya =0 ( () )
 Veja mais em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/regra-de-sarrus.html>.
UNI
Exemplo 1:	Vamos	verificar	geometricamente	e	algebricamente	(através	do	
cálculo)	se	os	pontos	A	(2,	5),	B	(3,	7)	e	C	(5,	11),	estão	alinhados	(são	colineares):
Solução Geométrica: Vamos	observar	a	localização	dos	pontos	no	sistema	
ortogonal	cartesiano	na	Figura	17.
FIGURA 17 – SOLUÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 1: PONTOS ALINHADOS
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
28
Observamos	no	Sistema	Cartesiano	Ortogonal	(Figura	16)	que	os	pontos	A,	
B	e	C	estão	alinhados	e	são	colineares.
Solução Algébrica:	Temos xa = 2 e ya = 5, xb = 3 e yb = 7, e xc = 5 
e yc = 11.
Substituindo	na	condição	de	alinhamento	de	três	pontos
 
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
temos: 
0
1115
173
152
= 
calculando	o	determinante	da	matriz	pela	regra	de	Sarrus,	teremos:
1º Passo:	Repetimos	as	duas	primeiras	colunas	da	matriz	original.
 
0
115
73
52
1115
173
152
=
2º Passo:	Calculamos	o	valor	da	diagonal	principal	da	matriz,	multiplicando	
os	elementos:
teremos		Dp	=	(2.7.1)	+	(5.1.5)	+	(1.3.11)	
Dp	=	14	+	25+	33	=	72	
 
0
115
73
52
1115
173
152
=
3º Passo:	 Calculamos	 o	 valor	 da	 diagonal	 secundária	 da	 matriz,	
multiplicando	os	elementos:
teremos		Ds	=	(1.7.5)	+	(2.1.11)	+	(5.3.1)	
Ds	=	35	+	22+	15	=	72	
 
0
115
73
52
1115
173
152
=
4º Passo:	 Subtraímos	 o	 valor	 da	 diagonal	 secundária	 do	 valor	 diagonal	
principal,	para	encontrar	o	valor	do	determinante	da	matriz,	se	ele	for	igual	a	zero	
os	pontos	estão	alinhados:	
D	=		Dp	-	Ds =	72	-72	=	0
Portanto,	os	pontos	A,	B	e	C	estão	alinhados,	ou	seja,	são	colineares.
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
29
Exemplo 2:	Considerando	os	pontos	A(2,	2),	B(–2,	–1)	e	C(–3,	1),	verifique	
se	eles	estão	alinhados	e	represente	geometricamente.
Solução: Temos xa = 2 e ya = 2, xb = - 2 e yb = -1, e xc = -3 e yc = 1.
Substituindo	na	condição	de	alinhamento	de	três	pontos,	
 
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
 
temos:
 
0
113
112
122
=
−
−− 	 calculando	 o	 determinante	 da	 matriz	 pela	 regra	 de	 Sarrus,																																												
teremos:
1º Passo:	Repetimos	as	duas	primeiras	colunas	da	matriz	original
 
0
13
12
22
113
112
122
=
−
−−
−
−−
2º Passo:	Calculamos	o	valor	da	diagonal	principal	da	matriz,	multiplicando	
os	elementos:
teremos	 	 Dp	 =	 [2.(-1).1]	 +	 [2.1.(-3)]	 +	 [1.(-
2).1]	
Dp	=	-2	+	(-6)+	(-2)	=	-10	
 
0
13
12
22
113
112
122
=
−
−−
−
−−
3º Passo:	 Calculamos	 o	 valor	 da	 diagonal	 secundária	 da	 matriz,	
multiplicando	os	elementos:
teremos		Ds	=	[1.(-1).(-3)]	+	(2.1.1)	+	[2.(-2).1]	
Ds	=	3	+	2+	(-4)	=	1	
 
0
13
12
22
113
112
122
=
−
−−
−
−−
4º Passo:	 Subtraímos	 o	 valor	 da	 diagonal	 secundária	 do	 valor	 diagonal	
principal,	para	encontrar	o	valor	do	determinante	da	matriz,	se	ele	for	igual	a	zero	
os	pontos	estão	alinhados:
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
30
D = Dp - Ds = -10 -1 = -11
Portanto,	os	pontos	A,	B	e	C	não	estão	alinhados,	ou	seja,	não	são	colineares.
Representação geométrica: 
FIGURA 18 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 2: PONTOS NÃO ALINHADOS
FONTE: Os autores
Observamos	no	Sistema	Cartesiano	Ortogonal	(Figura	18)	que	os	pontos	A,	
B	e	C	não	estão	alinhados,	logo	não	são	colineares.
5 A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE WIN PLOT
O	 programa	 Winplot	 é	 uma	 excelente	 ferramenta	 computacional	 para	
fazer	gráficos	em	duas	dimensões	(2D)	e	três	dimensões	(3D),	de	forma	simples	e	
clara,	foi	desenvolvido	pelo	Professor	Richard	Parris	"Rick",	por	volta	de	1985	e	é	
totalmente	gratuito.	
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
31
Você pode baixar o programa Winplot gratuitamente, acessando a página: <http://
www.baixaki.com.br/download/winplot.htm>.
DICAS
Vamos	utilizar	o	programa	Winplot para	traçar	gráficos	em	duas	dimensões	
(2D),	ou	seja,	no	sistema	cartesiano	ortogonal,	selecionamos	a	opção	2	–	dim,	no	
menu	janela.
FIGURA 19 – MENU WINPLOT 
FONTE: Disponível em: <http://www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/
winplot.html>. Acesso em: 15 maio 2013.
Em	seguida,	o	programa	mostrará	uma	nova	tela,	como	na	Figura	20.
FIGURA 20 – TELA WINPLOT 
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
32
Na	opção	equação	(menu	superior	do	programa)	vamos	selecionar	a	opção	
ponto	e	em	seguida	(x,	y),	como	na	Figura	21.
FIGURA 21 – SELECIONAR PONTO NO WINPLOT
FONTE: Os autores
Depois	 para	 traçarmos	 pontos	 no	 Sistema	 Cartesiano	 Ortogonal	 com	 o	
programa	Winplot,	é	somente	digitar	as	informações	das	coordenadas,	abscissa	(x)	
e	ordenada	(y)	do	ponto	na	tela	que	abrirá	no	programa	na	sequência,	e	selecionar	
a	opção	OK.
FIGURA 22 – INSERINDO PONTOS NO WINPLOT
FONTE: Os autores
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
33
O	programa	vai	projetando	os	pontos	no	Sistema	Cartesiano	Ortogonal,	
conforme	a	Figura	23,	e	na	tela	“inventário”	ficarão	registradas	as	coordenadas	dos	
pontos	projetados.
FIGURA 23 – PONTOS NO SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO WINPLOT
FONTE: Os autores
Da	 mesma	 forma,	 é	 possível	 traçar	 segmentos	 de	 reta,	 inserindo	 as	
coordenadas	dos	pontos	que	são	os	extremos	do	segmento,	selecionando	no	menu	
Equação	a	opção	Segmento	e	(x,y),	conforme	a	Figura24.
FIGURA 24 – SEGMENTO DE RETA NO WINPLOT
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
34
Inserindo	as	coordenadas	dos	pontos	na	tela	(Figura	25),	aberta	na	sequência	
no	programa,	tem-se	o	segmento	de	reta	(Figura	26).
FIGURA 25 – INSERINDO SEGMENTO DE RETA NO WINPLOT
FONTE: Os autores
FIGURA 26 – SEGMENTO DE RETA NO SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO 
WINPLOT
FONTE: Os autores
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
35
Observe	na	Figura	27,	que	projetando	os	pontos	no	Winplot,	no	menu	dois,	
selecionando	a	opção	distância,	o	programa	calcula	a	distância	entre	os	pontos.
FIGURA 27 – DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS NO WINPLOT
A	utilização	desse	programa	é	fácil,	existe	a	opção	ajuda	em	todas	as	partes	
do	programa	e	as	funções	matemáticas	podem	ser	inseridas	de	modo	natural.	
FONTE: Os autores
Com o programa Winplot, você pode conferir, com a representação geométrica, 
se a solução do exercício está correta.
NOTA
36
RESUMO DO TÓPICO 2
Nesse	tópico,	você	verificou	a	distância	entre	os	pontos,	o	ponto	médio	e	a	
condição	de	alinhamento	de	pontos.
Fórmula	para	o	cálculo	da	distância	entre	dois	pontos	no	sistema	cartesiano	
ortogonal:	
 )²()²( ABAB yyxxD −+−=
Fórmula	para	o	cálculo	da	abscissa	(x)	do	ponto	médio	(M):
 
 
2
BA
M
xxx +=
Fórmula	do	cálculo	da	ordenada	(y)	do	ponto	médio	(M):
 
 
2
BA
M
yyy +=
Coordenadas	do	Ponto	Médio:	
 


 +
2
BA xxM
, 
 


+
2
BA yy
Para	 que	 três	 pontos	 estejam	 alinhados	 (colineares)	 o	 determinante	 da	
matriz	3x3	tem	que	ser	igual	a	zero: 
0
1
1
1
=
yx
yx
yx
BB
AA
37
Você	deverá	colocar	em	prática	o	que	foi	estudo	no	Tópico	2.	Lembre-se	
das	orientações	referentes	a	distância	dos	pontos,	ponto	médio	e	alinhamento	
dos	pontos.
1	 Calcule	a	distância	entre	os	pontos:
a)	A	(2,3)	e	B	(2,	5)_____________________________________________________
b)	C	(6,3)	e	D	(2,7)_____________________________________________________
c)	E	(2,1)	e	F	(-2,4)	_____________________________________________________
2	 Determine	o	ponto	médio	do	segmento	de	extremidades:
a)	A	(2,	3)	e	B	(8,	5)__________________				b)	C	(3,	-2)	e	D	(-1,	-6)_________________						
c)	E	(-2,	-4)	e	F	(5,	2)	_________________			d)	H	(0,	7)	e	I	(6,	0)	___________________									
e)	J	(3,	2)	e	K	(5,	4)	__________________				f)	P	(-3,	-4)	e	Q	(-7,	0)	_________________
3	 Dados	 os	 pontos	 A	 (5,	 -2),	 B	 (3,	 0),	 C	 (1	 ,	 -5)	 e	 D	 (-8,	 -1),	 determine	 as	
coordenadas	dos	pontos	médios	dos	segmentos:
a)	AB_______________________							b)	AD___________________________
c)	BD_______________________							d)	AC	__________________________								
e)	CD	______________________
4	 Represente,	 no	 Sistema	 Cartesiano	 Ortogonal,	 os	 triângulos	ABC	 e	 PQR.	
Determine	as	coordenadas	dos	pontos	médios	de	cada	lado	dos	triângulos	e	
calcule	o	comprimento	(distância)	dos	lados	AC	e	PQ.
a)	Δ	ABC	:	A	(3,	5),	B	(5,	9)	e	C	(3,	7)
b)	Δ	PQR:	P(2,	8),	Q(2,	2)	e	R(6,	2)
5	 Calcule	os	pontos	médios	dos	lados	dos	triângulos	com	vértices:
a)	Δ	ABC:	A	(4,	0),	B	(0,	6)	e	C(8,	2)								
b)	Δ	EFG:	E	(2,	-6),	F(-4,	2)	e	G(0,	4)				
c)	Δ	JKL:	J(-3,	6),	K(1,	-2)	e	L(5,	2)
6	 Determine	as	coordenadas	do	ponto	B	sabendo	que	M	(-1,	-1)	é	o	ponto	médio	
de	AB	com	A	(-1,	1).
7	 O	ponto	A	(-4,	3)	é	um	dos	extremos	de	um	segmento	cujo	ponto	médio	é	M	
(-1,	-3).	Quais	são	as	coordenadas	do	outro	extremo	desse	segmento	B	(x,	y).
AUTOATIVIDADE
38
8	 Sabendo	que	os	pontos	A	(x,	y),	B	(-3,	2)	e	M	(3,	5)	são	colineares,	e	M	é	o	
ponto	médio	de	AB,	determine	as	coordenadas	do	ponto	A.
9	 (UNIRIO)	Uma	universidade	organizou	uma	expedição	ao	sítio	arqueológico	
de	 Itaboraí,	 um	 dos	 mais	 importantes	 do	 Rio	 de	 Janeiro.	 Para	 facilitar	 a	
localização	dos	 locais	de	escavação,	 foi	 adotado	um	sistema	cartesiano	de	
coordenadas.	O	objetivo	da	 expedição	 é	 realizar	 escavações	nos	pontos	A	
(0,	 0),B	 (6,	 18)	 e	C	 (18,	 6).	 Se	 o	 chefe	 da	 expedição	pretende	 acampar	 em	
um	ponto	 equidistante	 (situado	a	 igual	distância)	dos	 locais	de	 escavação	
determine	as	coordenadas	do	local	do	acampamento.
10	Um	campo	de	futebol	tem	60m	de	comprimento	por	40m	de	largura.	Construa	
um	 sistema	 de	 coordenadas	 e	 determine	 as	 coordenadas	 dos	 seguintes	
pontos:	(REIS,	2008,	p.	17)
a)	dos	quatro	cantos	do	campo;
b)	do	centro	do	campo.
Assista ao vídeo de 
resolução da questão 6
39
TÓPICO 3
A RETA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Caro(a)	 acadêmico(a)!	Você	 estudou	nos	 tópicos	 anteriores	 as	definições	
em	relação	ao	ponto.	Agora	chegou	a	hora	de	conhecer	as	definições	em	relação	
à	 reta.	No	postulado	básico	da	Geometria,	 temos	que	pôr	dois	 ou	mais	pontos	
alinhados	para	poder	passar	uma	reta,	logo	se	faz	necessário	conhecer	a	equação	
da	reta,	compreender	como	os	seus	coeficientes	são	 importantes	para	analisar	o	
seu	posicionamento	no	Sistema	Cartesiano	Ortogonal,	possibilitando	verificar	sua	
inclinação	e	os	pontos	onde	a	reta	intercepta	(corta)	os	eixos	do	Sistema	Cartesiano	
Ortogonal	(eixo	x	e	eixo	y).
A	 seguir,	 vamos	 estudar	 as	 seguintes	 equações:	 equação	 geral	 da	 reta,	
equação	 reduzida	 e	 equação	 segmentária	 e	 também	 vamos	 verificar	 o	 ângulo	
formado	entre	as	retas	e	a	distância	entre	um	ponto	e	uma	reta.
2 EQUAÇÕES DA RETA
Conseguimos	determinar	a	equação	da	reta	do	sistema	cartesiano	ortogonal	
quando	são	conhecidos:	um	ponto	e	o	coeficiente	angular	da	reta	ou	dois	pontos	
da	reta.
Coeficiente angular é número que mede a inclinação (ou declividade) de uma 
reta em relação ao eixo das abscissas. Logo, na equação reduzida da reta segundo a lei de 
formação: “y = mx + n”, dizemos que “m” é o coeficiente angular dessa reta. Ou então, dada a 
equação (geral) de uma reta: “ax + by + c = 0”, dizemos que “-a/b” é o coeficiente angular dessa 
reta.
NOTA
40
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Essa	equação	pode	receber	as	seguintes	denotações:	equação	geral	da	reta,	
equação	reduzida	da	reta	e	equação	segmentária	da	reta.	Cada	denotação	tem	suas	
regularidades,	como	veremos.
• Equação geral da reta
a) Equação geral da reta quando é conhecido um ponto e o seu coeficiente angular.
FIGURA 28 – EQUAÇÃO GERAL DA RETA
FONTE: Disponível em: <http://www.infoescola.com/geometria-
analitica/equacoes-da-reta/>. Acesso em: 15 maio 2013.
Como	podemos	observar	na	Figura	28	o	coeficiente	angular	(m)	é	obtido	
através	 das	 propriedades	 trigonométricas	 do	 triângulo	 retângulo,	 dado	 pela	
fórmula:
m = tg α
Sendo	que	
tg =
cateto oposto
cateto adjacente
 
		logo	podemos	escrever:
Uma das formas de representar uma reta r do Sistema Cartesiano Ortogonal por 
meio de uma equação é conhecendo um ponto dessa reta e a sua inclinação (coeficiente 
angular).
ATENCAO
Temos	a	reta	r	(não	vertical)	que	passa	pelo	ponto	A	(xA,	yA)	e	tem	coeficiente	
angular	(m),	para	obter	a	equação	dessa	reta,	é	preciso	o	ponto	P(x,	y)	tal	que	o	
ponto	P	seja	diferente	do	ponto	A	(P	≠	A).
TÓPICO 3 | A RETA
41
 
A
A
xx
yym
−
−
= 		multiplicando	meios	e	extremos:
 )( AA xxmyy −=− 	essa	é	a	fórmula	da	equação	geral	da	reta.
 
Exemplo1:	Determine	a	equação	geral	da	reta	r	que	passa	pelo	ponto	A	(2,	
1),	e	tem	coeficiente	angular	igual	a	2	(m	=	2).	
Solução1:	Temos	xA = 2, yA = 1 e m = 2.
Substituindo	em	 )( AA xxmyy −=− 	teremos:
 )2(21 −=− xy ,	aplicando	a	propriedade	distributiva	temos:
 421 −=− xy ,	igualando	a	zero,	teremos:
0421 =+−− xy ,	resolvendo	os	termos	semelhantes:
 032 =+− xy ,	 essa	 é	 a	 equação	 geral	 da	 reta	 que	 passa	 pelo	 A,	 com	
coeficiente	angular	igual	a	2.
b) Equação geral da reta quando são conhecidos dois de seus pontos. 
Sabemos pelos estudos da geometria que por dois pontos distintos passa uma 
única reta. Assim também podemos determinar a equação da reta quando são conhecidos 
dois de seus pontos.
ATENCAO
 
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx
xyA + xBy + xAyB – xByA – xyB – xAy = 0 
x (yA – yB) + y(xB - xA) + (xAyB – xByA) = 0
42
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Como	xA,x B, yA e yB são	valores	reais,	podemos	fazer:
yA – yB = a
xB - xA= b
xAyB – xByA = c
Assim, teremos a fórmula da equação geral da reta: ax + by + c = 0.
ATENCAO
Exemplo 2: Determine	a	equação	da	reta	que	passa	pelos	pontos	A	(2,	5)	e	
B	(3,	7),	e	represente	geometricamente:
Solução:	Temos	xA = 2, yA = 5 e xB = 3, yB = 7.
1º	Passo:	Substituir	as	coordenados	dos	pontos	na	fórmula	e	resolver:	
 
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx 
0
173
152
1
=
yx 
0
73
52
173
152
1
=
yxyx
temos	na	diagonal	secundária:
DP= (1. 5. 3) + (x . 1 . 7) + (y . 2 .1) 
DP = 15 + 7x + 2y
E	na	diagonal	principal	Ds= (x. 5. 1) + (y . 1 . 3) + (1 . 2 .7) 
Ds = 5x + 3y + 14
Como		temos	DP - Ds = 0:
5x + 3y + 14 – (15 + 7x + 2y) = 0,	resolvendo:
 -2x + y - 1= 0,	essa	é	a	equação	geral	da	reta	que	passa	pelos	pontos	A	
(2,	5)	e	B	(3,	7).
TÓPICO 3 | A RETA
43
FIGURA 29 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 2: EQUAÇÃO DA 
RETA
FONTE: Os autores
Todas as retas no sistema ortogonal cartesiano apresentam uma equação na 
forma ax + by + c = 0, onde a, b e c são constantes, e a e b não são simultaneamente nulos.
IMPORTANT
E
• Equação reduzida da reta
Para	determinarmos	a	equação	reduzida	da	reta,	 isolamos	y,	na	equação	
geral	da	reta	(ax	+	by	+	c	=	0).
Na	equação	ax	+	by	+	c	=	0,	em	que	a,	b	e	c	são	números	reais,	ao	isolarmos	
y	temos:
 
b
cx
b
ay −−=by = - ax - c 
Em	que	 
b
a
− 	é	o	coeficiente	angular	da	reta	(m)	e	
 
b
c
− 	é	o	coeficiente	linear	
(n)	da	reta.	
Sendo	assim,	y = mx + n	é	a	forma	reduzida	da	equação	da	reta.
44
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Quando já temos a equação geral da reta, basta isolarmos y para termos a equação 
reduzida da reta.
NOTA
Exemplo:	Vamos	determinar	a	equação	reduzida	da	reta,	que	passa	pelos	
pontos	A	(2,	5)	e	B	(3,	7):
Solução: Temos	xA = 2, yA = 5 e xB = 3, yB = 7.
Já	 resolvemos	esse	 exemplo	anteriormente	onde	encontramos	a	 equação	
geral	dessa	reta	pela	condição	de	alinhamento	dos	pontos.	Agora	vamos	primeiro	
determinar	o	coeficiente	angular	usando	a	fórmula:	
 
A
A
xx
yym
−
−
= 	em	x	e	y,	nesse	
caso	são	xB e yB,	logo:
 
2
1
2
23
57
==
−
−
=m
	considerando	o	ponto	A	(2,	5)	e	substituindo	na	fórmula
 )( AA xxmyy −=− ,	temos:
 )2(25 −=− xy 	resolvendo:	
 425 −=− xy 	isolando	y:
y = 2x – 4 + 5,	resolvendo:
y = 2x + 1,	essa	é	a	equação	reduzida	da	reta	que	passa	pelos	pontos	A	(2,	5)	e	B	(3,	
7),	e	tem	coeficiente	angular	2	e	coeficiente	linear	1.
O coeficiente linear (n) é a ordenada do ponto onde a reta intercepta (corta) o 
eixo das ordenadas (eixo y). 
IMPORTANT
E
Equação segmentária da reta
Com	essa	forma	de	representação	da	equação	da	reta	é	possível	verificar	
TÓPICO 3 | A RETA
45
claramente	onde	a	reta	intercepta	o	eixo	da	abscissa	(eixo	x)	e	o	eixo	da	ordenada	
(eixo	y),	ou	seja,	sua	visualização	gráfica.
Vamos	 denotar	 os	 pontos	 onde	 a	 reta	 intercepta	 os	 eixos	 coordenados,	
como:	A	(0,	q)	e	B	(p,	0).
FIGURA 30 – EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA
FONTE: Os autores
Com	a	condição	de	alinhamento	dos	pontos	temos:
 
0
10
10
1
=
p
q
yx
	resolvendo	encontramos	a	equação	
 
1=+
q
y
p
x
,	onde	p	e	q	
são	os	valores	onde	a	reta	intercepta	os	respectivos	eixos,	da	abscissa	(x)	e	eixo	da	
ordenada	(y).
Exemplo:	Determine	a	equação	segmentária	da	reta	de	equação	geral	2x	+	
3y	-	12	=	0	e	faça	sua	representação	geométrica.
Solução:	Sendo	a	equação	2x	+	3y	-	12	=	0,	vamos	passar	a	equação	geral	da	
reta	para	sua	forma	segmentária,	isolando	x	e	y.
2x	+	3y	=	12,	depois	dividimos	tudo	por	12:
 
12
12
12
3
12
2
=+
yx
,	efetuando	as	simplificações	temos:
 
1
46
=+
yx
,	 essa	 é	 a	 equação	 segmentária	 da	 reta,	 onde	 os	 pontos	 que	
interceptam	os	eixo	y	e	x	são:	A	(0,	4)	e	B	(6,0).
y
x
r
A (0, q)
B (p, 0)
46
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Representação geométrica:
FIGURA 31– SOLUÇÃO DO EXEMPLO: EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA
FONTE: Os autores
Sempre que não for indicado no texto, é porque a equação da reta está na sua 
forma geral, quando for equação reduzida ou equação segmentária estará especificado no 
texto.
ATENCAO
3 ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS
Vamos	 considerar	 duas	 retas	 distintas	 (r	 e	 s)	 e	 concorrentes	 do	 plano,	
não	perpendiculares	entre	 si	 e	oblíquas	aos	eixos	coordenados.	Como	podemos	
observar	na	Figura	32,	temos	um	ângulo	formado	entre	essas	retas,	denominado	
por α .
Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. 
Retas oblíquas são retas que estão inclinadas.
UNI
TÓPICO 3 | A RETA
47
FIGURA 32 – ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
FONTE: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/
angulo-formado-entre-duas-retas.htm>. Acesso em: 15 mai. 2013.
Para	determinar	 o	 ângulo	 formado	 entre	 as	 retas	 ( α ),	 vamos	utilizar	 a	
fórmula	da	tangente	e	o	coeficiente	angular	das	retas,	no	triângulo	ABC,	podemos	
observar:
FIGURA 33 – ÂNGULO FORMADO ENTRE RETAS
FONTE: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/
angulo-formado-entre-duas-retas.htm>. Acesso em: 15 out. 2013.
Temos srsr ααβαβα −=⇒+= 	 tg	 β =	 tg	 ( sr αα − )	 utilizando	 a	
igualdade	trigonométrica,	temos:	
tg
 
sr
sr
sr
sr
mm
mm
tg
tgtg
tgtg
.1.1 +
−
=⇒
+
−
= β
αα
αα
β
48
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Como	 β 	 é	 um	 ângulo	 agudo,	 tg	 β >	 0	 e	 β 	 pode	 ser	 calculado	 pela	
expressão:
rs
rs
mm
mm
tg
.1+
−
=β
Quando	uma	reta	for	vertical	e	a	outra	oblíqua,	ou	seja,	uma	das	retas	é	
perpendicular	ao	eixo	x,	não	temos	coeficiente	angular	de	uma	das	retas,	pois	a	tg	
90º	não	existe.	
FIGURA 34 – ÂNGULOS COMPLEMENTARES
FONTE: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/
matematica/angulo-formado-entre-duas-retas.htm>. Acesso em: 15 
out. 2013.
Ângulos complementares são dois ângulos que somados totalizam 90º, isto é, 
um é complemento do outro.
IMPORTANT
E
Logo,	podemos	determinar	o	ângulo	(α )	com	o	coeficiente	angular	da	reta	
r,	usando	a	fórmula:
rm
tg 1=β
Caro	acadêmico!	Como	você	pode	observar	na	figura	34,	β	e	 rα
	são	ângulos	
complementares,	assim	podemos	escrever	que	tg 
rtgα
β 1= ,	consequentemente,												
 
 
rm
1
=β
.
tg
TÓPICO 3 | A RETA
49
Exemplo 1:	Determine	o	ângulo	formado	entre	as	retas	r:	x	+	y	=	0	e	s:	2x+	
4y	–	12	=0.
Solução:	Para	determinar	o	ângulo	formado	entre	essas	retas,	precisamos	
do	coeficiente	angular,	então	vamos	passar	as	equações	da	forma	geral	para	reduzir	
e	verificar	o	valor	de	m	(coeficiente	angular).
Temos	a	equação	da	geral	da	reta	r:	x	+	y	=	0,	logo	a	equação	reduzida	é	y	=	
-x,	e	o	coeficiente	angular	dessa	reta	é	-1	(mr =	-1).
E	a	equação	geral	da	reta	s:	2x+	4y	–	12	=0,	logo	a	equação	reduzida	será:		
 xy 2124 −= 
 
4
2
4
12 xy −=
 
 
2
3 xy −=
,	portanto	o	coeficiente
	angular	da	reta	s	é	 
2
1− 	mg=(	 2
1− )
Agora	 que	 já	 conhecemos	 os	 valores	 dos	 coeficientes	 angulares,	 vamos	
substituir	na	fórmula	do	ângulo	entre	duas	retas:	
rs
rs
mm
mm
tg
.1+
−
=β
 
)1.(2
11
)1(2
1
−−+
−−−
=βtg , resolvendo	os	sinais	e	a	multiplicação,	teremos:
 
2
11
12
1
+
+−
=βtg ,	resolvendo	as	frações,	(lembre	os	denominadores	diferentes)
	precisamos	resolvê-las	por	fração	equivalente: 
12
1 +−
 = 
 
2
1
2
2
2
1 =+−
 
2
3
2
1
=βtg ,	efetuando	a	divisão	entra	as	frações	(mantemos	a	fração	do	
numerador	e	invertemos	a	fração	do	denominador,	efetuando	uma	multiplicação	
entre	elas):
3
1
3
1
6
2
3
2.
2
1
====βtg
Para	 determinarmos	 o	 ângulo	 α ,	 fazemos	 arc	 tg	 3
1 ,	 ou	 seja,	
aproximadamente	18º.
50
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Na calculadora científica, você deve primeiro fazer 1 dividido por 3, depois 
selecionar a tecla da segunda função (2ndf ou Shift) e apertar no botão da tangente (tan).
UNI
Representação geométrica:
FIGURA 35– SOLUÇÃO DO EXEMPLO 1: ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
FONTE: Os autores
Para	 determinar	 o	 ângulo	 através	 do	Winplot,	 selecione	 intersecções	 no	
menu	doise	marque	a	caixa	referente	ao	ângulo	de	intersecção	em	graus,	conforme	
na	figura	30.
Exemplo 2:	Determine	o	ângulo	formado	entre	as	retas	r:	y	=	3x	+	4	e	s:	y	
=	-	x	+	4	e	represente	geometricamente.
Solução:	Temos	o	coeficiente	angular	da	reta	r	igual	a	3	(mr	=	3)	e	da	reta	
s	igual	a	-1	(ms	=	-	1),	substituindo	na	fórmula	do	ângulo	entre	as	retas,	teremos:
rs
rs
mm
mm
tg
.1+
−
=α
)1.(31
)1(3
−+
−−
=αtg resolvendo	os	sinais	e	a	multiplicação,	teremos:
 
2
4
−
=αtg resolvendo	a	divisão:
 2−=αtg 	 =	 2	 como	 temos	 a	 representação	 de	 módulo	 na	 fórmula,	
desconsideramos	o	sinal	negativo.
TÓPICO 3 | A RETA
51
Para	encontramos	o	ângulo	 α ,	fazemos	arc	tg	2,	ou	seja,	aproximadamente	
63º.
A função arco tangente (arc tg) é a função trigonométrica inversa da tangente.
UNI
FIGURA 36 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 2: ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
FONTE: Os autores
4 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Para	calcularmos	a	distância	(dPr)	entre	um	ponto	P(xp,	yp)	e	uma	reta	r:	
ax	+	by	+	c	=	0,	precisamos	da	equação	da	reta	e	das	coordenadas	do	ponto,	pois	
unindo	o	ponto	à	reta,	através	de	um	segmento	que	forma	com	a	reta	um	ângulo	
reto	(90º),	é	possível	determinar	a	distância	entre	eles,	como	podemos	visualizar	
na	Figura	37,	pois	a	distância	entre	ponto	e	reta	é	definida	pela	menor	distância	
entre	ambos,	sendo	que	a	menor	distância	é	definida	traçando	um	segmento	entre	
o	ponto	e	a	reta,	formando	com	esta,	um	ângulo	reto.
52
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
FIGURA 37 – DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
FONTE: Adaptado de: <http://alfaconnection.net/pag_avsm/gan0201.htm>. 
Acesso em: 15 out. 2013.
No	 triângulo	 PAB,	 temos	 sua	 área	 determinada	 por	 base	 vezes	 altura,	
divididos	por	2.
A=
b·h
2
 
Substituindo	pelas	coordenadas	da	Figura	37,	temos:
A=
dAB·d
2
 
Definindo																							e	isolando	d,	obtemos:
d=
D
dAB
 1 
.	
•	 Cálculo	da	distância	dAB 
A	distância	dAB ,	obtemos	aplicando	o	 teorema	de	Pitágoras	no	 triângulo	
retângulo	formado.
a2=b2+c2 
dAB
2=(xA-xB)
2+(yA-yB)
2 
dAB 	=	√ (xA-xB)2+(yA-yB)
2 
Definindo	yA-yB=a e xA-xB=b ,	substituindo:
dAB=a 2+b
2 2 √
•	 Cálculo	de		D
dAB·d=D 
TÓPICO 3 | A RETA
53
Conforme você já estudou na disciplina de geometria, a área de um triângulo é 
obtida multiplicando ½ pelo módulo do determinante das coordenadas dos vértices.
ATENCAO
As	coordenadas	dos	vértices	do	triângulo	PAB,	são:	 xP,yP ( )	,	( )xA,xA e ( )xB,yB 
respectivamente.
Calculando	o	determinante,	temos:
xP yP 1
xA yA 1
xB yB 1
 
xP
xA
xB
 
yP
yA
yB
 
D	=	 xP·yA·1+yP·1·xB+1·xA·yB ( )	–	 xB·yA·1+yB·1·xP+1·xA·yP ( )
Efetuando	as	multiplicações	e	aplicando	a	propriedade	distributiva:
D=xPyA+xByP+xAyB-xByA-xPyB-xAyP 
Agrupando	os	termos	semelhantes:
D=xPyA-xPyB+xByP-xAyP+xAyB-xByA 
Colocando	xP e yP 	em	evidência:
D=xP(yA-yB)+yP(xB-xA)+(xAyB-xByA) 
Definindo	yA-yB=a, xB-xA=b e xAyB-xByA=c 	substituindo:
D=axP+byP+c 3 
Substituindo	as	equações	2	e	3	na	primeira	equação,	temos:
Substituindo	os	valores	da	equação	da	reta	e	das	coordenadas	do	ponto	na	
fórmula determinamos	a	distância	entre	o	ponto	e	a	reta.
54
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Exemplo 1:	Vamos	calcular	a	distância	do	ponto	P(1,2)	à	reta	r:	x	+	2y	+	1	=	0.
Solução:	Temos	as	coordenadas	do	ponto	P,		x1	=	1	e		y1	=	2,		e	coeficientes	
da	reta	r,	a	=	1,	b	=	2		e	c	=	1.	Substituindo	na	fórmula	da	distância	entre	o	ponto	e	
a	reta	
 
²²
11
Pr ba
cbyax
d
+
++
= ,	teremos:
 
²2²1
11.21.1
+
++
=prd ,	resolvendo	as	multiplicações	e	as	potências:
 
41
121
+
++
=prd ,	efetuando	os	cálculos	de	adição:
 
5
4
=prd ,	racionalizando	(multiplicando	o	numerador	e	o	denominador	pela	raiz	
quadrada):
5
54
5
5.
5
4
==prd
Representação geométrica:
FIGURA 38 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 1: DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
FONTE: Os autores
55
RESUMO DO TÓPICO 3
Nesse	tópico,	você	conheceu	as	equações	da	reta,	o	ângulo	formado	entre	
as	retas	e	a	distância	entre	o	ponto	e	uma	reta.
•	Equação	geral	da	reta	(ax	+	by	+	c	=	0)	quando	é	conhecido	um	ponto	e	o	seu	
coeficiente	 angular	 é	 dada	 pela	 fórmula	 )( AA xxmyy −=− ,	 onde	 m	 é	 o	
coeficiente	angular,	dado	pela	fórmula:	
 
A
A
xx
yym
−
−
= .
•	 Equação	geral	 da	 reta	 (ax	 +	 by	 +	 c	 =	 0)	 quando	 são	 conhecidos	dois	de	 seus	
pontos	é	determinada	pela	condição	de	alinhamento	de	pontos,	
 
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx
.
•	 Equação	reduzida	da	reta	(y	=	mx	+	n),	onde	m	é	o	coeficiente	angular	da	reta	e	
n	é	o	coeficiente	linear	da	reta.
•	 Equação	segmentária	da	reta	
 






=+ 1
q
y
p
x
,	onde	p	e	q	são	os	valores	que	a	reta	
intercepta	os	respectivos	eixos,	da	abscissa	(x)	e	eixo	da	ordenada	(y).
•	 O	ângulo	formado	entre	as	retas	( α )	é	encontrado	usando	a	fórmula	da	tangente	
rs
rs
mm
mm
tg
.1+
−
=β ,	m	é	o	coeficiente	angular	das	retas.
•	 A	distância	entre	o	ponto	e	a	reta	é	dada	pela	fórmula	
 
²²
11
Pr ba
cbyax
d
+
++
= .
56
Agora,	você	deverá	colocar	em	prática	o	que	 foi	estudo	no	Tópico	3,	
relembrando	também	algumas	definições	dos	tópicos	1	e	2.
1	 Encontre	a	equação	geral	da	reta	que	passa	pelos	pontos	(2,3)	e	(1,5)	e	faça	a	
representação	geométrica.
2	 Dada	a	equação	da	reta	r:	-	x	+	y	–	1	=	0	e	as	afirmações:
I	–	o	ponto	(1,1)	pertence	a	r					
II	–	a	reta	passa	na	origem	do	sistema	cartesiano
III	–	o	coeficiente	angular	de	r	é	–1				
IV	–	r	intercepta	a	reta	s:	x	+	y	–	2	=	0	no	ponto	P(1,2)
a)	Apenas	I	é	verdadeira.	
b)	Apenas	III	é	verdadeira.
c)	Nenhuma	é	falsa.
d)	Apenas	I	é	falsa.
e)	Nenhuma	das	alternativas.
 
3	 Verifique	a	equação	reduzida	da	reta	que	passa	pelos	pontos	A(-3,	2)	e	B(5,	
-4),	e	confirme	com	a	representação	geométrica.
4	 Quais	são	os	coeficientes	angular	e	linear	da	reta	2y	-	x	+	8	=	0?
5	 Determine	a	equação	segmentária	da	reta,	representada	pelo	gráfico:
AUTOATIVIDADE
57
6	Verifique	a	equação	geral	e	reduzida	da	reta	representada	no	gráfico:
7		Ache	a	equação	segmentária	da	reta	de	equação		-x	+	y	–	9	=	0.
8		Calcule	a	distância	do	ponto	P(1,	3)	à	reta	3x	–	4y	–	2	=	0.
9		Determine	a	distância	do	ponto	P(1,3)		à	reta	que	passa	pelos	pontos	(-1,1)	e	
(3,	1).
10	Quais	são	os	coeficientes	angular	e	linear	da	reta	y	+3x	–	6	=	0?
11	Determine	a	distância	entre	a	reta(s):		-	4x	+	y	–	1	=	0	e	o	ponto	P(1,-2):
12	Determine	o	ângulo	formado	entre	as	retas	r	e	s:	
a)		(r)	2x	–	2y	+	6	=	0				e		(s)	–	4x	+	4y	–	1	=	0
b)		(r)	–	4x		+	2y	-	1	=	0			e			(s)	2x	–	5y	-	4=	0	
Assista ao vídeo de 
resolução da questão 9
58
59
TÓPICO 4
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
As	posições	relativas	correspondem	a	posições	entre	duas	ou	mais	retas	do	
plano.	Duas	retas	podem	ser	paralelas,	concorrentes,	coincidentes	ou	concorrentes	
perpendiculares,	como	veremos	nesse	tópico.
Em	algumas	dessas	situações,	as	retas	possuem	um	ponto	em	comum,	ou	
seja,	um	ponto	de	intersecção.	Veremos	também	como	determinar	as	coordenadas	
desse	ponto.
2 RETAS PARALELAS
Sabemos que duas retas são paralelas quando não possuem nenhum ponto em 
comum, ou seja, são equidistantes durante toda sua extensão.
ATENCAO
Retas	 paralelas	 apresentam	 a	 mesma	 inclinação,	 ou	 seja,	 coeficientes	
angulares	iguais,	como	podemos	observar	na	Figura	39	as	retas,	r	e	s,	no	sistema	
cartesiano	ortogonal.
60
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
FIGURA 39 – RETAS PARALELAS
FONTE: Os autores
Na	linguagem	matemática,	quando	duas	retas	são	paralelas,	temos	que	a	
reta	r	é	paralela	a	s,	se	e	somente	se,	o	ângulo	teta	for	igual	ao	ângulo	alfa	(r	//	s	
 αθ =⇔ ).	Portanto,	uma	das	formas	de	determinar	se	duas	retas	são	paralelas,	
é	verificando	os	coeficientes	angulares,	quando	são	iguais,	as	retas	são	paralelas.			
Exemplo 1: Verifique	se	as	retas	r:	2x	+	3y	–	7	=	0	e	s:	–	2x	–	3y	+	9	=	0	são	
paralelas,	e	faça	sua	representação	geométrica.
Solução:	Para	isso,	vamos	determinar	o	coeficiente	angularde	cada	uma	
das	retas.
•	 Coeficiente	angular	da	reta	r	(mr):	
2x	+	3y	–	7	=	0,	vamos	isolar	y	na	equação	da	reta:
3
7
3
2
+
−
=
xy ,	logo	mr	=	
 
3
2− .
•	 Coeficiente	angular	da	reta	s	(ms): 
–	2x	–	3y	+	9	=	0,	isolando	y	na	equação	da	reta:
 923 −=− xy
 
3
9
3
2
−
−
+
−
=
xy ,	resolvendo:
 3
3
2
+−=
xy ,	logo	ms	=	
 
3
2− .
Concluímos	que	os	coeficientes	angulares	são	iguais	(mr	=	ms),	portanto,	as	
retas	r:	2x	+	3y	–	7	=	0	e	s:	–	2x	–	3y	+	9	=	0	são	paralelas.
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
61
Representação geométrica:
FIGURA 40 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 1: RETAS PARALELAS
FONTE: Os autores
Exemplo 2:	Determine	a	equação	geral	da	reta	t	que	passa	pelo	ponto	P(2,	
2)	e	é	paralela	à	reta	r	de	equação	x	–	y	+	2	=	0.	Faça	a	representação	geométrica.
 
Solução:	Para	encontrarmos	a	equação	da	reta	t,	vamos	usar	a	definição	de	retas	
paralelas,	como	a	reta	t	é	paralela	à	reta	s,	as	duas	têm	o	mesmo	coeficiente	angular,	
vamos	determinar	o	coeficiente	da	reta	r:
•	 Coeficiente	angular	da	reta	r	(mr):	
x	–	y	+	2	=	0,	vamos	isolar	y	na	equação	da	reta:
–	y	=	–	x	–	2	,	multiplicando	ambos	os	lados	da	igualdade	por	(-	1):
	y	=	+	x	+	2,	portanto	mr =	1.
62
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
•	 Equação	da	reta	t:
Como	as	retas	são	paralelas,		mt	=	mr,	conhecendo	o	coeficiente	angular	da	reta	
t	(mt	=	1)	e	um	ponto,	P(2,	2)	da	reta	t,	substituindo	na	fórmula		
 )( AA xxmyy −=− 
temos	a	equação	da	reta	t:
 )2(12 −=− xy ,	efetuando	a	propriedade	distributiva:
 22 −=− xy ,	igualando	a	zero:
 022 =+−− xy ,	resolvendo:
 0=− xy ,	essa	é	a	equação	geral	da	reta	t.
Representação geométrica:
FIGURA 41 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 2: RETAS PARALELAS
FONTE: Os autores
Exemplo 3: Verifique	se	as	 retas	r:	x	+	y	–	1	=	0	e	s:	–	2x	–	y	+	2	=	0	são	
paralelas	e	faça	sua	representação	geométrica.
Solução:	Vamos	determinar	o	coeficiente	angular	de	cada	uma	das	retas.
•	 Coeficiente	angular	da	reta	r	(mr):
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
63
x	+	y	–	1	=	0,	vamos	isolar	y	na	equação	da	reta:
 1+−= xy ,	logo	mr	=	-1.
•	 Coeficiente	angular	da	reta	s	(ms):	
–	2x	–	y	+	2	=	0,	isolando	y	na	equação	da	reta:
 22 −=− xy ,	multiplicando	ambos	os	lados	da	igualdade	por	-1:
 22 +−= xy ,	logo	ms	=	-2
Concluímos	que	os	coeficientes	angulares	são	diferentes	(mr ≠	ms),	portanto,	
as	retas	r:	x	+	y	–	1	=	0	e	s:	–	2x	–	y	+	2	=	0	não	são	paralelas.
Representação geométrica:
FIGURA 42 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 3: RETAS CONCORRENTES OU 
NÃO PARALELAS
FONTE: Os autores
64
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
3 RETAS CONCORRENTES
Duas	 retas	 são	 concorrentes	 no	 sistema	 cartesiano	 ortogonal	 quando	
possuem	um	ponto	 P(x0,	 y0)	 em	 comum	 e	 coeficientes	 angulares	 diferentes,	 ou	
seja,	se	duas	retas	distintas	e	coplanares	tiverem	um	único	ponto	em	comum	são	
denominadas	concorrentes	e	seus	gráficos	concorrem	neste	ponto.
FIGURA 43 – RETAS CONCORRENTES
FONTE: Disponível em: <http://www.google.com.br/
imgres?imgurl=http://www.mundoeducacao.com.br>. Acesso em: 15 
maio 2013.
Dessa	forma,	como	representado	na	Figura	43,	a	reta	t	é	concorrente	à	reta	r,	
se	e	somente	se,	o	coeficiente	angular	da	reta	t	for	diferente	do	coeficiente	angular	
da	reta	r	(mT ≠	mr).
Duas retas são concorrentes quando seus coeficientes angulares são diferentes.
ATENCAO
Exemplo 1:	Verifique	se	as	retas	r:	2x	–	y	+	6	=	0	e	s:	2x	+	3y	–	6	=	0	são	
concorrentes	e	represente	geometricamente.	
Solução 1:	Vamos	determinar	o	coeficiente	angular	da	reta	r	e	da	reta	s.
•	 Coeficiente	angular	da	reta	r	(mr):	
2x	-	y	+	6	=	0,	vamos	isolar	y	na	equação	da	reta:
 62 −−=− xy ,	multiplicando	ambos	os	lados	da	igualdade	por	-1.
 62 += xy ,	logo	mr	=	2.
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
65
•	 Coeficiente	angular	da	reta	s	(ms):	
2x	+	3y	-	6	=	0,	isolando	y	na	equação	da	reta:
 623 +−= xy ,	dividindo	por	3.
 
3
6
3
2
+−=
xy ,	logo	ms	=	
 
3
2
− .
Concluímos	que	os	coeficientes	angulares	são	diferentes	(mr ≠	ms),	portanto,	
as	retas	r:	2x	–	y	+	6	=	0	e	s:	2x	+	3y	–	6	=	0	são	concorrentes.
Representação geométrica: 
FIGURA 44 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 1: RETAS CONCORRENTES
FONTE: Os autores
2x + 3y – 6 = 0
2x – y + 6 = 0
4 PERPENDICULARIDADE DE DUAS RETAS
Duas	retas	concorrentes	são	perpendiculares	quando	formam	ângulo	reto	
(90º),	vamos	considerar	duas	retas	perpendiculares	r e s,	como	na	Figura	45.
66
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
FIGURA 45 – PERPENDICULARIDADE DE DUAS RETAS
FONTE: Disponível em: <http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://
www.brasilescola.com>. Acesso em: 15 maio 2013.
Consideremos	as	retas	r	e	s,	perpendiculares	no	ponto	C,	representadas	em	
um	plano	cartesiano,	conforme	a	Figura	46.	Consideremos,	também,	o	ângulo	de	
inclinação	da	reta	s	como	sendo	β,	então	o	ângulo	de	inclinação	da	reta	r	será	90°	+	
β,	pois	é	o	ângulo	externo	ao	triângulo	formado	pelo	ponto	de	interseção	das	duas	
retas	com	o	eixo	Ox.
FIGURA 46 – PERPENDICULARIDADE DE DUAS RETAS
FONTE: Os autores
Dessa	forma	teremos:	
Coeficiente	angular	da	reta	s:	ms	=	tg	β	
Coeficiente	angular	da	reta	r:	mr	=	tg	(90°	-	β)	
Aplicando	as	fórmulas	de	adição	de	arcos	é	possível	comparar	o	coeficiente	
angular	das	duas	retas:
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
67
Como	ms	=	tg	β	e	mr	=	-	1	/	tg	β,	podemos	dizer	que: 
ms	=	-1	/	mr	ou	ms	.	mr	=	-1	
Na	 linguagem	 matemática,	 duas	 retas	 são	 perpendiculares	 quando	 o	
ângulo	formado	entre	elas	é	de	90º,	representamos	que	a	reta r	é	perpendicular	à	
reta s	pela	simbologia:	r⊥ s,	e	o	produto	dos	seus	coeficientes	angulares	for	igual	
a	um	negativo	(mr	.	ms	=	-1).
Duas retas são perpendiculares quando o produto dos seus coeficientes angulares 
for igual a um negativo (mr . ms = -1).
ATENCAO
Exemplo 1:	Determine	se	as	 r:	x	+	2y	+	3	=	0	e	s:	 -	16x	+	8y	+	10	=	0	são	
perpendiculares	e	confirme	com	a	representação	geométrica.
Solução 1:	Vamos	determinar	o	coeficiente	angular	da	reta	r	e	da	reta	s.
•	 Coeficiente	angular	da	reta	r	(mr):	
x	+	2y	+	3	=	0,	vamos	isolar	y	na	equação	da	reta:
 32 −−= xy ,	dividindo	por	2:
 
2
3
2
−−=
xy ,	logo	mr	=	
 
2
1−
•	 Coeficiente	angular	da	reta	s	(ms):	
-	16x	+	8y	+	10	=	0,	isolando	y	na	equação	da	reta:
 10168 −= xy ,	dividindo	por	8:
 
8
10
8
16
−=
xy ,	simplificando:
 
4
52 −= xy ,	logo	ms =	2.
68
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Portanto,	vamos	verificar	se	mr	.	ms	=	-1,	condição	de	perpendicularismo:
 1
2
22.
2
1
−=
−
=−
Logo,	as	retas	r:	x	+	2y	+	3	=	0	e	s:	-	16x	+	8y	+	10	=	0	são	perpendiculares.
Representação geométrica: 
FIGURA 47 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 1: RETAS 
PERPENDICULARES
FONTE: Os autores
5 INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS
Encontramos	o	ponto	de	interseção,	ou	seja,	o	ponto	em	comum	entre	duas	
retas,	resolvendo	o	sistema	linear	formado	pelas	equações	das	retas.	
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
69
Exemplo 1:	Encontre	o	ponto	de	interseção	entre	as	retas	r:	x	+	y	–	1	=	0	e	
s:	–	2x	–	y	+	2	=	0	e	confirme	o	resultado	com	a	representação	geométrica.
Solução: Temos	as	equações	da	reta	r:	x	+	y	–	1	=	0	e	da	reta	s:	–	2x	–	y	+	2	=	
0,	vamos	estabelecer	o	sistema	de	equações:	



=+
=+
0 2 y -2x - 
 0 1 -y x 
Vamos utilizar o método da substituição para resolver o sistema linear, mas você 
pode utilizar outro método que preferir para resolução de sistemas lineares.
IMPORTANT
E
1º		Passo:	Isolar	y	em	uma	das	equações,	de	preferência	na	equação	mais	simplificada.
x	+	y	–	1	=	0
y	=	1	–	x
2º		Passo:	Substituir	o	valor	isolado	na	outra	equação.
–	2x	–	y	+	2	=	0
-	2x	–	(1	–	x)	+	2	=	0
-	2x	-	1	+	x	+	2	=	0
-2x	+	x	-1	+	2	=	0
-x	+	1	=	0
-	x	=	-1
x	=	1
3º		Passo:	Substituir	o	valor	de	x	em	na	equação	 isolada	que	é	o	 resultado	do	1º	
passo.
y	=	1	–	x
y	=	1	–	1	=	0
Portanto	o	ponto	de	interseção	da	reta	r:	x	+	y	–	1	=	0	e	s:	–	2x	–	y	+	2	=	0	é	
P(1,	0).70
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Representação geométrica:
FIGURA 48 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO DE INTERSEÇÃO DE RETAS
FONTE: Os autores
6 O SOFTWARE WIN PLOT NA PROJEÇÃO DE RETAS
Como	já	vimos	anteriormente,	para	traçar	gráficos	em	duas	dimensões	(2D)	
com	o	Winplot,	escolhemos	a	opção	2-dim	no	menu	principal,	e	depois	selecionamos	
a	opção	reta,	conforme	a	Figura	49.
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
71
FIGURA 49 – OPÇÃO RETA NO WINPLOT
FONTE: Os autores
Quando	 a	 opção	 reta	 for	 selecionada,	 o	 programa	 abrirá	 uma	nova	 tela	
para	você	inserir	as	informações	dos	coeficientes	(a,	b	e	c)	da	equação	da	reta,	veja	
na	Figura	50.
FIGURA 50 – INFORMAÇÕES DA EQUAÇÃO DA RETA NO WINPLOT
FONTE: Os autores
72
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Quando	você	clicar	em	Ok,	a	reta	será	projeta,	e	uma	nova	tela,	inventário	
apresentará	as	informações	da	reta.
FIGURA 51 – PROJEÇÃO DA RETA NO WINPLOT
FONTE: Os autores
Você	 pode	 inserir	 uma	 ou	 mais	 retas	 no	 mesmo	 sistema	 cartesiano	
ortogonal.
FIGURA 52 – RETAS PARALELAS NO WINPLOT
FONTE: Os autores
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
73
FIGURA 53 – RETAS CONCORRENTES NO WINPLOT
FONTE: Os autores
FIGURA 54 – RETAS PERPENDICULARES NO WINPLOT
FONTE: Os autores
74
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Observe	na	Figura	55,	que	selecionando	a	opção	interseção	no	menu	Dois,	
o	programa	apresenta	as	coordenadas	do	ponto	de	intersecção	(x,	y)	e	também	é	
possível	saber	o	ângulo	formado	entre	as	retas,	como	você	pode	verificar	no	tópico	
anterior.
FIGURA 55 – PONTO DE INTERSECÇÃO DE RETAS NO WINPLOT
FONTE: Os autores
Agora	é	com	você,	descubra	no	programa	Winplot o	que	é	possível	fazer	
para	inserir	informações	adicionais	na	projeção	ou	até	mesmo,	mudar	a	cor	da	reta.
Aproveite essa ferramenta (Winplot) para conferir seus cálculos com a confirmação 
na representação geométrica.
IMPORTANT
E
LEITURA COMPLEMENTAR
SURGIMENTO DA GEOMETRIA ANALÍTICA
Hygino	H.	Domingues
 
A	Geometria,	como	ciência	dedutiva,	foi	criada	pelos	gregos.	Mas,	apesar	
do	seu	brilhantismo	faltava	operacionalidade	à	geometria	grega.	E	isto	só	iria	ser	
conseguido	mediante	a	Álgebra	como	princípio	unificador.	Os	gregos,	porém,	não	
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
75
eram	muito	bons	em	álgebra.	Mais	do	que	isso,	somente	no	século	XVII	a	álgebra	
estaria	razoavelmente	aparelhada	para	uma	fusão	criativa	com	a	geometria.
Ocorre	que	o	 fato	de	haver	condições	para	uma	descoberta	não	exclui	o	
toque	 de	 genialidade	 de	 alguém.	 E	 no	 caso	 da	 geometria	 analítica,	 fruto	 dessa	
fusão,	o	mérito	não	foi	de	uma	só	pessoa.	Dois	franceses,	Pierre	de	Fermat	(1601-
1665)	e	René	Descartes	 (1596-1650),	 curiosamente	ambos	graduados	em	Direito,	
nenhum	deles	matemático	profissional,	são	os	responsáveis	por	esse	grande	avanço	
científico:	o	primeiro	movido	basicamente	por	seu	grande	amor,	a	matemática	e	o	
segundo	por	razões	filosóficas.	E,	diga-se	de	passagem,	não	trabalharam	juntos:	a	
geometria	analítica	é	um	dos	muitos	casos,	em	ciência,	de	descobertas	simultâneas	
e	independentes.
Se	o	bem	sucedido	Pierre	de	Fermat,	zeloso	e	competente	conselheiro	junto	
ao	Parlamento	de	Toulouse,	dedicava	muitas	de	suas	melhores	horas	de	 lazer	à	
matemática,	certamente	não	era	porque	faltasse,	alguém	em	sua	posição,	outras	
maneiras	de	preencher	o	tempo	disponível.	Na	verdade	Fermat	simplesmente	não	
conseguia	fugia	à	sua	verdadeira	vocação	e,	apesar	de	praticar	matemática	como	
hobby,	 nenhum	de	 seus	 contemporâneos	 contribuiu	 tanto	 para	 o	 avanço	 desta	
ciência	quanto	ele.	Além	da	geometria	analítica,	Fermat	teve	papel	fundamental	na	
criação	do	Cálculo	Diferencial,	do	Cálculo	de	Probabilidades	e,	especialmente,	da	
teoria	dos	números,	ramo	da	matemática	que	estuda	as	propriedades	dos	números	
inteiros.
A	contribuição	de	Fermat	à	geometria	analítica	encontra-se	num	pequeno	
texto	 intitulado	 Introdução	aos	Lugares	Planos	e	Sólidos	e	data	no	máximo,	de	
1636	 mais	 que	 só	 foi	 publicado	 em	 1679,	 postumamente,	 junto	 com	 sua	 obra	
completa.	É	que	Fermat,	bastante	modesto,	era	avesso	a	publicar	seus	trabalhos.	
Disso	resulta,	em	parte,	o	fato	de	Descartes	comumente	ser	mais	lembrado	como	
criador	da	Geometria	Analítica.
O	 interesse	 de	 Descartes	 pela	 matemática	 surgiu	 cedo,	 no	 “College	 de	
la	Fleche”,	 escola	do	mais	alto	padrão,	dirigida	por	 jesuítas,	na	qual	 ingressará	
aos	 oito	 anos	 de	 idade.	 Mas	 por	 uma	 razão	 muito	 especial	 e	 que	 já	 revelava	
seus	 pendores	 filosóficos:	 a	 certeza	 que	 as	 demonstrações	 ou	 justificativas	
matemáticas	proporcionam.	Aos	vinte	e	um	anos	de	idade,	depois	de	frequentar	
rodas	matemáticas	 em	Paris	 (além	de	 outras)	 já	 graduado	 em	Direito,	 ingressa	
voluntariamente	na	carreira	das	armas,	uma	das	poucas	opções	“dignas”	que	se	
ofereciam	a	um	jovem	como	ele,	oriundo	da	nobreza	menor	da	França.	Durante	os	
quase	nove	anos	que	serviu	em	vários	exércitos,	não	se	sabe	de	nenhuma	proeza	
militar	realizada	por	Descartes.	É	que	as	batalhas	que	ocupavam	seus	pensamentos	
e	seus	sonhos	travavam-se	no	campo	da	ciência	e	da	filosofia.
A	Geometria	Analítica	de	Descartes	apareceu	em	1637	no	pequeno	texto	
chamado	A	Geometria	como	um	dos	três	apêndices	do	Discurso	do	método,	obra	
considerada	 o	marco	 inicial	 da	 filosofia	moderna.	 Nela,	 em	 resumo,	 Descartes	
defende	o	método	matemático	como	modelo	para	a	aquisição	de	conhecimentos	
em	todos	os	campos.
76
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
A	Geometria	Analítica,	como	é	hoje,	pouco	se	assemelha	às	contribuições	
deixadas	por	Fermat	e	Descartes.	Inclusive	sua	marca	mais	característica,	um	par	
de	 eixos	ortogonais,	não	usada	por	nenhum	deles.	Mais,	 cada	um	a	 seu	modo,	
sabiam	 que	 a	 ideia	 central	 era	 associar	 equações	 a	 curvas	 e	 superfícies.	 Neste	
particular,	Fermat	foi	mais	feliz.	Descartes	superou	Fermat	na	notação	algébrica.
FONTE: Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/historia/analitica.php>. Acesso em: 20 
maio 2013.
77
RESUMO DO TÓPICO 4
Nesse	 tópico,	 você	 conheceu	 as	 posições	 relativas	 de	 duas	 retas,	 como	
determinar	o	ponto	de	interseção	de	duas	retas	e	como	projetar	retas	no	programa	
Winplot.	
•	 Para	 determinar	 se	 duas	 retas	 paralelas	 (//),	 verificamos	 se	 os	 coeficientes	
angulares	das	retas	são	iguais.			
•	 Duas	retas	são	concorrentes	quando	possuem	um	ponto	P(x0,	y0)	em	comum	e	
coeficientes	angulares	diferentes.
•	 Duas	 retas	 são	perpendiculares	 ( ⊥ )	 quando	 o	 produto	dos	 seus	 coeficientes	
angulares	for	igual	a	um	negativo	(mr	.	ms	=	-1).
•	 Encontramos	o	ponto	de	interseção	entre	duas	retas,	resolvendo	o	sistema	linear	
formado	pelas	equações	das	retas.	
78
AUTOATIVIDADE
Agora	 é	 sua	 vez	de	 verificar	 se	 compreendeu	 o	 que	 foi	 estudado	no	
Tópico	4,	relembrando	também	algumas	definições	do	Tópico	1,	2	e	3.
 
1		Verifique	se	as	retas	r:	4x	-	2y	–	3	=	0			e	s:	-10x	+	5y	+	9	=	0	são	concorrentes	ou	
paralelas.
2	 Determine	a	equação	da	reta	que	passa	pelo	ponto	P	(-1,-3)	e	é	perpendicular	
a	reta	s:	-2x	+	5y	+	6	=	0	e	faça	a	representação	geométrica.
3	 Determine	o	ponto	de	interseção	entre	as	retas	3x	+	2y	+	3	=	0		e	–	x	–	y	-	1=0.
4	 Encontre	a	equação	da	reduzida	da	reta	r,	que	passa	pelo	ponto	P(2,	-2)	e	é	
paralela	à	retas:	2x	–	3y	-6	=	0.
5	 Determine	a	equação	segmentária	da	reta	que	passa	pelo	ponto	A(2,	1)	e	é	
paralela	à	reta	4x	–	y	+	1	=	0.
6	 Escreva	a	equação	geral	da	reta	que	passa	pelo	ponto	P(1,	5)	e	é	perpendicular	
à	reta	de	equação		x	+	3y	-	12	=	0,	e	confirme	o	resultado	com	a	representação	
geométrica.
7	 Determine	a	equação	da	reta	que	passa	pelo	ponto	(-2,5)	e	é	paralela	à	reta	s:	y	=	4x	
+	3	e	utilize	o	programa	Winplot	para	confirmar	o	resultado	com	a	representação	
geométrica.
8	 Determine	o	valor	de	“m”	para	que	as	retas	2x	+	3y	-	1	=	0	e	mx	+	6y	–	3	=	0	
sejam	paralelas.	
9	 Encontre	as	coordenadas	dos	pontosde	intersecção	das	retas	r:	-	2x	+	y	-	6	=	
0	e	s:	-2x	-	3y	+	6	=	0	e	faça	a	representação	geométrica	utilizando	o	programa	
Winplot.	
10	(OSEC-SP)	Qual	é	a	posição	relativa	das	retas	r	:	x	+	2y	+	3	=	0				e	s:	4x	+	8y	+	
10	=	0?
11	Determine	o	ponto	de	intersecção	da	reta	que	passa	pelo	ponto	P	(-1,-3)	e	é	
perpendicular	a	reta	s:	-2x	+	5y	+	6	=	0	e	faça	a	representação	geométrica.
12	Verifique	se	as	retas	r:	4x	-	2y	–	3	=	0			e	s:	4x	+	5y	+	9	=	0	são	concorrentes	ou	
paralelas.
Assista ao vídeo de 
resolução da questão 6