Plano de Aula - Cônicas no GeoGebra

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Henrique Wakimoto de Almeida
Plano de Aula: Construção de cônicas no
GeoGebra
19 de outubro de 2021
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1 Cônicas
Objetivo: Entender as cônicas como lugar geométrico.
Método: por meio do uso do software GeoGebra, construir cônicas (elipse, hipér-
bole e circunferência); esta atividade pode ser feita em duplas.
Materiais: uso de computador/laptop; acesso a internet; projetor; lousa; bar-
bante; régua; compasso; lápis; borracha.
Duração: 4 horas/aula.
BNCC: A Base não cita nenhuma habilidade relacionada ao tópico de cônicas, no
entanto, esse assunto é cobrado em vestibulares, como o da Comvest/UNICAMP.
Pré requisitos: bom conhecimento em geometria analítica; ponto, reta, plano,
reta mediatriz. Se o/a professor/a optar por trabalhar também a equação do plano,
pode ser necessário o uso de trigonometria e matrizes. Familiaridade com uso de
computador e internet.
1.1 Introdução
Professor/a, faça a contextualização histórica deste tema. No texto
abaixo uma pequena introdução é dada, mas outras informações podem
ser acrescentadas. Se preferir, é possível deixar que os/as estudantes
façam uma pesquisa online sobre o tema.
As cônicas são importantes curvas obtidas pela interseção de um plano
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com um cone (veja a construção de um cone em <https://www.geogebra.org/m/
xhq4whvv>) e são há muito estudadas por matemáticos. Entre 262 e 190 a.C.,
as cônicas foram estudadas por Menecmo, Euclides e Arquimedes. Menecmo des-
cobriu que a equação da elipse, quando um plano intersecta um cone circular
retângulo, é y2 = lx, com l constante; quando o plano intersecta um cone acu-
tângulo, a equação obtida é y2 = lx − b2x2
a2
e; quando o plano intersecta um cone
obtusângulo, y2 = lx+ b2x2
a2
.
Professor/a, abra o link da construção do cone e projete a imagem em
uma tela. Comente sobre a reta diretriz e que o cone é uma figura de
revolução.
É interessante notar que Menecmo fez essa descoberta ao tentar resolver o
problema da duplicação do cubo, também conhecido como problema de De-
los. O problema consistia em, usando apenas régua e compasso1, construir um
cubo cujo volume fosse o dobro do volume de um cubo dado. Outros matemáti-
cos após Menecmo tentaram soluções para o problema, obtendo apenas soluções
analíticas, isto é, equações que fossem solução, no entanto, apenas mais de 2000
anos após o problema ser proposto é que se conseguiu provar a impossibilidade de
se construir o tal cubo.
Professor/a, reserve alguns minutos para explorar o exercício a seguir
com os/as estudantes, enfatizando o método da construção por régua
1 Construções com régua e compasso é uma técnica de construção de objetos geométricos usados
na geometria euclidiana. É importante ter em mente que a régua não é graduada, assim, por
exemplo, dado um segmento AB, como construir outro segmento de mesma medida?
https://www.geogebra.org/m/xhq4whvv
https://www.geogebra.org/m/xhq4whvv
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e compasso. Mais que resolver o problema, é interessante estimular a
pesquisa e o pensamento.
Exercício 1.1 Tente resolver o problema em sua forma mais simples: dado um
quadrado ABCD de área A, construa um quadrado de área 2A, usando régua e
compasso.
Outras curvas obtidas pela interseção de um plano com um cone são a pa-
rábola, a circunferência e a hipérbole. Estas curvas podem ainda ser definidas
de modo mais simples, independente do cone e do plano. Assim, as curvas são
definidas como o lugar geométrico dos pontos que satisfazem uma certa condi-
ção. A circunferência, por exemplo, pode ser definida como o lugar o geométrico
dos pontos P tais que, fixado um ponto C, dist(C,P ) = R, isto é, a distância de
qualquer ponto P a C é constante; C é o centro da circunferência.
Professor/a, faça a construção da circunferência na lousa, utilizando
barbante ou algum outro fio.
1.2 Elipse
Professor/a, neste tópico vamos trabalhar a construção de cônicas no
GeoGebra, em especial a elipse. Faça uma contextualização dessa forma
geométrica, explicitando onde esta aparece na natureza e em outros ob-
jetos comuns no quotidiano.
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Todos os corpos que possuem massa se atraem. Assim, por exemplo, a Terra
possui uma grande massa (5, 9736×1024kg) e, por isso, exerce atração sobre a Lua
(7, 349 × 1022kg), que orbita o planeta com uma velocidade suficiente para não
cair sobre a Terra. A Terra, por sua vez, também orbita um corpo celeste – o Sol,
uma estrela de massa 332 900 ×Massa da Terra. Enquanto a Terra se aproxima
do Sol, ganha velocidade e é expulsa de seu entorno, perdendo velocidade ao se
afastar, porém, como ainda é atraída pelo campo gravitacional da estrela, volta a
ganhar velocidade. Assim, a trajetória descrita pelo movimento de translação não
é uma circunferência (porque então, a velocidade de órbita seria constante), mas
sim, uma forma ovalada. Vamos chamar essa forma de elipse.
Figura 1 – Modelo da órbita da Terra (fora de escala)
Professor/a, se achar necessário, mostre os vídeos disponíveis em <https:
//www.youtube.com/watch?v=g1b8zZ3LZhY> e <https://www.youtube.
com/watch?v=iQNpJMBObnQ> para conhecer sobre os modelos de
órbita dos planetas que foram elaborados no desenvolvimento da Astro-
nomia.
Exercício 2.1 Que outras coisas têm a forma de elipse?
https://www.youtube.com/watch?v=g1b8zZ3LZhY
https://www.youtube.com/watch?v=g1b8zZ3LZhY
https://www.youtube.com/watch?v=iQNpJMBObnQ
https://www.youtube.com/watch?v=iQNpJMBObnQ
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Professor/a, apresente a seguinte definição aos estudantes. Enfatize
como o texto matemático é escrito, com clareza e sem ambiguidades, em
especial pelo uso das notações e simbologias próprios desta linguagem.
A seguir, peça aos estudantes que construam, no caderno, uma elipse
utilizando barbantes ou outro fio observando esta definição.
Definição 1 Sejam F1 e F2 pontos do plano tal que dist(F1, F2) = 2c, onde c é
uma constante real. O conjunto E dos pontos P tais que dist(P, F1)+dist(P, F2) =
k, onde k = 2a, é chamado elipse.
2cF1 F2
PE
Figura 2 – Elipse como lugar geométrico
Professor/a, o exercício a seguir explora a definição de cônicas como
a interseção do plano com as folhas do cone. Se achar necessário,
trabalhe com os alunos a equação do plano - considere que esta escolha
implicará no aumento de aulas necessárias.
Exercício 2.2Acesse o applet em <https://www.geogebra.org/classic/WyVw5acx>
e deslize os controles de modo a obter uma elipse. Para fechar a página, clique em
“Sair” na caixa de diálogo aberta.
https://www.geogebra.org/classic/WyVw5acx
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Professor/a, a sequência a seguir trata da construção de cônicas utili-
zando o GeoGebra. Faça algumas demonstrações do recurso aos estu-
dantes para que se familiarizem com a linguagem.
Vamos construir uma elipse no GeoGebra. Acesse o site <https://www.
geogebra.org/> e vá em “Calculadora Gráfica”.
Figura 3 – Home do site GeoGebra
Figura 4 – Principais elementos
https://www.geogebra.org/
https://www.geogebra.org/
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Na guia “Janela de Álgebra” é possível inserir as equações e demais elemen-
tos algébricos e geométricos no campo Entrada. Para inserir uma nova entrada
pressione a tecla enter.
Na guia Ferramentas você pode selecionar diversas ações, como criar uma
circunferência, retas paralelas etc. Quando você seleciona uma das opções, a ins-
trução aparece no rodapé da página. Por exemplo, se quisermos obter o ponto
médio, selecionamos essa opção em Ferramentas e seguimos a instrução apresen-
tada, conforme a figura abaixo.
Figura 5 – Exemplo de como criar um ponto médio
A guia Tabela não será usada em nossas atividades.
No campo Entrada, para criar um ponto, digite o nome do ponto em
letra maiúscula seguido pelo sinal de igual e o par ordenado entre parênteses,
por exemplo, A = (1, 1). Pressione a tecla enter. Para criar um vetor digite o
nome do vetor em letra minúscula seguido pelo sinal de igual e o par ordenado
entre parênteses, por exemplo, A = (1, 1). As equações podem ser digitadas
normalmente. Para inserir um expoente insira o caractere ˆ digite o expoente e8
pressione a seta para direita para sair do modo sobrescrito.
Como criar uma cônica
1. Escolha dois pontos quaisquer no plano. Para isso, digite no campo Entrada
um ponto qualquer na forma F_1=(m,n) e tecle enter ; digite outro ponto
na forma F_2=(o,p) e tecle enter. Por exemplo, se você digitar F_1=(1,2)
vai aparecer o ponto F1 = (1, 2) no plano.
2. Vá à guia Álgebra. No campo Entrada digite “2a”. Esse comando criará um
controle deslizante.
3. Sobre o Controle deslizando, clique com o botão direito do mouse e selecione
Configurações. Na guia Controle deslizante, no campo min digite “0”.
4. Crie uma circunferência com centro F_1 e raio 2a. Para isso, na guia Fer-
ramentas, escolha a opção Círculo: Centro e Raio. Selecione o ponto F_1
clicando sobre ele com o botão esquerdo do mouse e digite “a” na caixa de
diálogo aberta e tecle OK.
5. Clique com o botão direito do mouse sobre a circunferência e depois selecione
a opção Configurações. Mude o “Nome” para C_1 e tecle enter.
6. Na guia Ferramentas, escolha a opção Ponto em Objeto e clique sobre a
circunferência para obter um ponto qualquer pertencente à ela.
7. Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto e em seguida selecione
a opção Configurações e digite “T” no campo Nome para renomear o ponto;
tecle enter.
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8. Volte para a Janela de Álgebra, clicando na guia Álgebra. No campo Entrada,
digite “Reta(F1, T )”.
9. Clique com o botão direito do mouse sobre a reta, selecione a opção Confi-
gurações e digite “r” no campo Nome; tecle enter.
10. Na guia Ferramentas selecione a opção Mediatriz e em seguida clique com o
botão esquerdo do mouse sobre os pontos F2 e T .
11. Clique com o botão direito do mouse sobre a reta mediatriz, selecione a opção
Configurações e no campo Nome digite “t”; tecle enter.
12. Na guia Ferramentas, selecione a opção Interseção entre Dois Objetos e em
seguida clique sobre as retas r e t para criar o ponto de interseção entre as
retas.
13. Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto, selecione a opção Con-
figurações e no campo Nome “P ”; tecle enter.
14. Na guia Ferramentas selecione a opção “Círculo dados Centro e um ponto”.
Clique com o botão esquerdo do mouse sobre o centro P e sobre o ponto F2.
15. Clique com o botão direito sobre a circunferência criada, selecione Configu-
rações, e no campo Nome digite C_2; tecle enter.
16. Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto P e selecione a opção
Exibir Rastro.
17. Clique com o botão esquerdo do mouse, segure e arraste o ponto T e observe
que o ponto P descreve uma cônica.
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18. No campo Entrada, digite “LugarGeométrico=(P,T)”.
19. No campo Entrada digite “EquaçãoDoLugarGeométrico(P,T)” para obter a
equação da cônica construída.
20. Movimente os pontos T e F2 e veja outras cônicas serem construída.
Professor/a, deixe que os estudantes explorem a construção feita, mo-
vimentando os elementos geométricos e observando o comportamento
da curva obtida. No exercício a seguir, discuta as hipóteses para a
construção da circunferência, da hipérbole e da elipse.
Exercício 2.4 Qual é a relação entre as distâncias dos pontos F1, F2 e o raio da
circunferência C1? Ou seja, por exemplo, se a distância entre F1 e F2 for maior
que o raio de C1, qual é a cônica obtida?
Professor/a, apresente a definição abaixo e estimule a discussão sobre
a equivalência entre a Definição 1 e a Definição 2.
Definição 2 A elipse de focos F1 e F2 é o lugar geométrico dos centros das cir-
cunferências que contêm F2 e tangenciam a circunferência C, sendo 2a > F1F2.
Professor/a, o exercício a seguir explora os principais elementos da
elipse e como estes parâmetros modificam a forma da elipse. Deduza
com os/as estudantes a equação da elipse antes de apresentar o exer-
cício.
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Exercício 2.5 Acesse o applet em <https://ggbm.at/ucfj7pgf> e modifique os
valores de a e b para obter a elipse laranja.
• Escreva a equação dessa elipse.
• Com a elipse verde coincidindo com a elipse laranja, posicione o ponto P
sobre o eixo vertical modificando os valores de x0. Calcule a área do triângulo
F1PF2.
• Para qual valor de a e b obtemos uma circunferência?
• Marque a caixa de seleção “Exibir as projeções de P”. Escreva as medidas
dos segmentos OQ e OR em função do ângulo.
Professor/a, com este exercício buscamos a ideia de parametrização
da elipse (e da circunferência). Explicite a ideia de movimento que a
parametrização traz, e que a escolha dos parâmetros implica no sentido
do movimento - anti-horário ou horário.
Exercício 2.6 - DESAFIO Seja ABC um triângulo com A e B sobre os focos
de uma elipse que passa por P. Mostre que o triângulo que possui área máxima é
isósceles2.
2 Para demonstrar uma propriedade, sua demonstração não pode depender de seu desenho, isto
é, não importa qual é a elipse ou qual é o triângulo, a propriedade é sempre válida. Então,
não é possível demonstrar a propriedade para cada um dos triângulos existentes, portanto,
uma boa demonstração deve ser genérica.
https://ggbm.at/ucfj7pgf
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Exemplo de um triângulo construído na elipse. Observe a variação da área
conforme se varia o ponto P sobre a elipse.
Professor/a, com o exercício anterior buscamos trazer uma noção mais
rigorosa da matemática, pedindo uma demonstração aos estudantes.
Estimule a discussão, começando por casos particulares, analisando al-
gumas áreas e comparando, fornecendo bases para uma bom chute - a
conjectura. Deixe que os/as estudantes escrevam sua própria demons-
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tração e depois apresente uma demonstração finalizada, destacando a
linguagem utilizada e o rigor.
Alguns aprofundamentos podem ser feitos, em conjunto à disciplina de
Física, observando a Primeira Lei de Kepler, “O planeta em órbita
em torno do Sol descreve uma elipse em que o Sol ocupa um dos focos”;
a Segunda Lei de Kepler, “A linha que liga o planeta ao Sol varre
áreas iguais em tempos iguais” e; a Terceira Lei de Kepler, “Os qua-
drados dos períodos de translação dos planetas são proporcionais aos
cubos dos semi-eixos maiores de suas órbitas”.
Sobre
Henrique Wakimoto de Almeida é (quase ) licenciado em
matemática pela Universidade Estadual de Campinas (UNI-
CAMP). Em caso de erros, dúvidas e sugestões, envie e-mail
para waki.henrique@gmail.com.
mailto:waki.henrique@gmail.com
ANEXO - Construção no GeoGebra
1. Escolha dois pontos quaisquer no plano. Para isso, digite no campo Entrada um ponto qualquer na forma
F_1=(m,n) e tecle enter ; digite outro ponto na forma F_2=(o,p) e tecle enter. Por exemplo, se você
digitar F_1=(1,2) vai aparecer o ponto F1 = (1, 2) no plano.
2. Vá à guia Álgebra. No campo Entrada digite “2a”. Esse comando criará um controle deslizante.
3. Sobre o Controle deslizando, clique com o botão direito do mouse e selecione Configurações. Na guia
Controle deslizante, no campo min digite “0”.
4. Crie uma circunferência com centro F_1 e raio 2a. Para isso, na guia Ferramentas, escolha a opção
Círculo: Centro e Raio. Selecione o ponto F_1 clicando sobre ele com o botão esquerdo do mouse e
digite “a” na caixa de diálogo aberta e tecle OK.
5. Clique com o botão direito do mouse sobre a circunferência e depois selecione a opção Configurações.
Mude o “Nome” para C_1 e tecle enter.
6. Na guia Ferramentas, escolha a opção Ponto em Objeto e clique sobre a circunferência para obter um
ponto qualquer pertencente à ela.
7. Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto e em seguida selecione a opção Configurações e digite
“T” no campo Nome para renomear o ponto; tecle enter.
8. Volte para a Janela de Álgebra, clicando na guia Álgebra. No campo Entrada, digite “Reta(F1, T )”.
9. Clique com o botão direito do mouse sobre a reta, selecione a opção Configurações e digite “r” no campo
Nome; tecle enter.
10. Na guia Ferramentas selecione a opção Mediatriz e em seguida clique com o botão esquerdo do mouse
sobre os pontos F2 e T .
11. Clique com o botão direito do mouse sobre a reta mediatriz, selecione a opção Configurações e no campoNome digite “t”; tecle enter.
12. Na guia Ferramentas, selecione a opção Interseção entre Dois Objetos e em seguida clique sobre as retas
r e t para criar o ponto de interseção entre as retas.
13. Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto, selecione a opção Configurações e no campo Nome
“P ”; tecle enter.
14. Na guia Ferramentas selecione a opção “Círculo dados Centro e um ponto”. Clique com o botão esquerdo
do mouse sobre o centro P e sobre o ponto F2.
15. Clique com o botão direito sobre a circunferência criada, selecione Configurações, e no campo Nome
digite C_2; tecle enter.
16. Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto P e selecione a opção Exibir Rastro.
17. Clique com o botão esquerdo do mouse, segure e arraste o ponto T e observe que o ponto P descreve
uma cônica.
18. No campo Entrada, digite “LugarGeométrico=(P,T)”.
19. No campo Entrada digite “EquaçãoDoLugarGeométrico(P,T)” para obter a equação da cônica construída.
20. Movimente os pontos T e F2 e veja outras cônicas serem construída.
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Referências
JR, A. C. Josê Carlos de S. Estudo das cônicas com Geometria Dinâmica. 2008.
Disponível em: <https://www.rpm.org.br/cdrpm/68/13.html>. Acesso em:
19/10/2021.
RIZZATO, F. B. As cônicas. 2008. Disponível em: <https://www.matematica.
br/historia/conicas.html>. Acesso em: 19/10/2021.
VECINO, S. Elipse. 2012. Disponível em: <https://www.geogebra.org/m/
ZwGFgtaT>. Acesso em: 19/10/2021.
https://www.rpm.org.br/cdrpm/68/13.html
https://www.matematica.br/historia/conicas.html
https://www.matematica.br/historia/conicas.html
https://www.geogebra.org/m/ZwGFgtaT
https://www.geogebra.org/m/ZwGFgtaT
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	Referências