D1+-+Trilha+1+-+Média,+moda+e+mediana

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
TRILHA I
EDGAR ABREU
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
APRESENTAÇÃO
Olá querido aluno do MBA e Planejamento Financeiro, bem- vindo à nossa primeira disciplina 
que será de Matemática Financeira.
Sei que pra muitos a grande dor é a matemática, mas essa Matemática é muito diferente. 
Primeiro ela é muito diferente porque é voltada para investimentos, que é a base de todas as 
certificações que vem pela frente como CPA-10, CPA-20, CEA, CFP®
Segundo ela é muito focada no seu dia a dia, é focada nas suas necessidades para você que 
pensa em ser um planejador financeiro, então ela é extremamente importante e ela é a base 
para que você possa entender melhor, lá na frente, os investimentos, e possa assim comparar 
melhor. Dentro dessa disciplina nós vamos trabalhar com os conceitos básicos de Matemática 
Financeira a até algumas coisinhas de Estatística, apesar de não carregar no nome a gente 
vê coisas de Estatística também nesta disciplina, focado nos investimentos por que você terá 
depois, futuramente, outra disciplina de Matemática Financeira focada em operações de 
crédito, que tem outra pegada.
Neste vídeo eu quero fazer a apresentação de como será a disciplina, para nos organizarmos 
nos estudos, vem comigo então:
Primeira coisa é que essa disciplina foi dividida em trilhas e cada trilha é um conjunto de 
assuntos.
Trilha 1: Medidas de Posição Central | Média | Mediana | Moda | Retorno Histórico versus 
Retorno Esperado – que basicamente entra na parte de risco, por isso estou falando na parte 
de risco, que já é a trilha dois, a Unidades de Risco. Apesar de vermos a Matemática Financeira 
falando em Variância e Desvio Padrão, que é um conteúdo lá da Estatística, isso é na verdade 
medida de risco de investimentos, então não veremos só o conteúdo da parte Matemática, mas 
mostrar o que isso tem a ver dentro de investimentos, dentro de cada uma das trilhas.
Trilha 2: Medidas de Dispersão | Variância | Desvio Padrão |
Trilha 3: Medidas de Associação entre duas variáveis | Covariância | Coeficiente de Correlação 
| Coeficiente de Determinação
Trilha 4: Distribuição Normal | Intervalo de Confiança em uma Distribuição 
Trilha 5: Taxa de Juros Nominal versus Taxa Real – entramos bem em Matemática Financeira, 
muito importante para o seu dia a dia e provas de certificações.
Trilha 6: Capitalização Simples versus Capitalização Composta | Taxa de Juros Equivalentes
Trilha 7: Séries Uniformes de Pagamento
Trilha 8: Fluxo de Pagamentos | Método de Análise de Investimentos
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Dentro de cada uma dessas trilhas eu vou dar um conteúdo e teremos interações – nestas 
interações eu darei um conteúdo e vou te perguntar se você quer ver este conteúdo aplicado à 
HP12C, se você prefere ver aplicado ao Excel, de acordo com o que você usa mais no seu dia-a-
dia ou tem acesso mais fácil e eu vou te ensinar nas duas. 
Mas professor eu vou ter que escolher? Escolher é renunciar!
Sim, escolher é renunciar. Se você escolher HP12C, você vai ver HP12C, em alguns casos eu vou 
te dar a oportunidade de escolher os dois, aplicando o assunto nos dois. 
Nos casos que eu não te der a opção para juntar as coisas você pode refazer a disciplina e 
escolher novos caminhos e vai vendo novos conteúdos, desbravando novas informações, 
demais né?
Qual destes caminhos vai cair na prova?
Você tem que pensar em aplicar isso no seu dia-a-dia, esquece prova e relaxa, porque nós 
temos basicamente dois tipos de prova:
Uma é a prova das certificações, então quando acabar o assunto da Trilha 1, ao final dela eu vou 
te fazer uma pergunta pra você ver em qual das certificações você quer aplicar este conteúdo. 
Por exemplo, este conteúdo cai em CPA-20, cai em Ancore, cai em CEA, cai em CFP® então eu 
vou perguntar “Qual das provas você vai fazer que este conteúdo é importante e você quer ver 
como cai”
Ao escolher a prova que é teu objetivo inicial agora, vamos imaginar que você escolheu CPA-20, 
eu vou te mostrar como cai isso na prova de CPA-20 eu ou outro professor do nosso time de 
professores de Certificação Financeira, beleza?
Então você vai ter um foco para aquela prova, não importa a prova que você vai fazer de 
certificação. Então ao final a gente foca na prova, por enquanto a gente vai falando apenas no 
dia a dia, na importância dos conteúdos pro teu dia a dia.
Aí vem a segunda dúvida: 
Mas professor e a nota da disciplina?
A nota da disciplina vai ser baseada nas questões de CPA-10 e CPA-20, CEA
Mas e se eu escolher o caminho errado?
Não existe caminho errado, relaxa. Quando eu te dou duas opções, o mesmo conteúdo é dado 
de formas diferentes. Às vezes eu vou aplicar esse exemplo para o Banco Itaú e esse outro para 
o Banco Bradesco e você vai escolher em qual banco quer aplicar, mas o exemplo é o mesmo, 
então você não vai perder nada em suas escolhas, apenas vai ter um conteúdo mais próximo 
do que você deseja. E aí também tentando te deixar mais tranquilo para a prova da disciplina, 
dentro da plataforma, vou te mostrar que você tem opções de resolver questões e vai cair na 
parte onde escolhe a disciplina para resolver questões e essas sim são a base para sua prova.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA | PROF. EDGAR ABREU
Você vai ter uma noção do que vai ser cobrado na prova da disciplina.
Lembrando: a disciplina é liberada e você tem 30 dias para assistir essas aulas. Após trinta dias 
a disciplina ainda continua disponível, não quer dizer que ela vai sair do ar, você pode rever lá 
na frente, mas tem que ver em pelo menos 30 dias porque após 30 dias nós vamos abrir, por 
uma semana, para que você faça a prova e você terá cinco tentativas, você pode fazer cinco 
vezes a prova e tem que tirar no mínimo 70%, que é o mesmo percentual de acertos utilizados 
nas provas de certificações.
E o que vai cair nessas provas, professor?
O que está aqui nessas questões do banco de dados. Esse banco de dados é com base nas 
provas de certificações também, então faz todo o sentido e as coisas vão casando para que 
você tenha prática e foco nas certificações. Beleza, então lembrando, quando a gente começar 
a falar em Média, Mediana e Moda, preocupe-se apenas em entender o conteúdo, relaxa com 
prova. A hora que você vai se preocupar com a prova de certificação é no final do vídeo, quando 
eu perguntar qual certificação você quer que eu aplique isso, ali começa a focar na certificação 
de verdade, por enquanto começamos com a prática e para a prova da disciplina você vai lá em 
resolver questões. 
Tudo isso nos espera, essa é apenas a primeira disciplina do seu MBA que vai te preparar para 
toda a certificação, e eu tenho o prazer de conduzir essa primeira disciplina, um abraço, nos 
encontramos já na 1 Trilha, não pule nenhuma por que eu tenho certeza que teremos muitas 
novidades e coisas bacanas, mesmo pra você que já conhece uma coisa ou outra, você vai ver 
esta uma coisa ou outra de uma maneira diferente, aplicada ao dia-a-dia e aos investimentos 
financeiros e te tornar um Planejador Financeiro.
Um abraço e até o próximo vídeo.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
TRILHA 1
Olá, queridos alunos vamos falar então da nossa primeira Trilha, onde eu vou falar pra você 
como funciona:
 • Moda;
 • Mediana;
 • Média;
E nós vamos falar também de retorno histórico e retorno esperado, vamos aplicar esses 
conteúdos ao seu dia de investimento. Por incrível que pareça, conhecer esses caras te ajuda 
a tomar uma decisão melhor, fazer investimentos, olha que legal, bacana. É bem tranquilo, 
relaxa, vamos começar primeiro com a parte básica, que é a matemática da coisa e no final nós 
vamos ver como fazer os cálculos em HP e como fazer os cálculos no Excel, mas por enquanto, 
tem que ter essa base que a gente vai começar aqui.
MODA
Então falando primeiro de moda, que é mais fácil.
“Professor o que é que está na moda? Ah, professor, você não está vestido na moda, não está 
combinando muito e tal”.
Moda é isso exatamente, o que a galera está usando. Moda não é aquilo que mais aparece? 
Dentro da Estatística,moda é exatamente o que mais aparece. 
Exemplo: Se eu tenho aqui um conjunto com os números 
4 7 8 2 3 4 5 3 1 4
Eu pergunto, qual é a moda desse conjunto? Basicamente o que eu estou perguntando é quem 
é que está na moda aqui, quem é que aparece mais? Está na moda se vestir de 7? Não está na 
moda se vestir 7 porque só tem um cara vestido de 7. Está na moda se vestir de 8? Não está na 
moda, só tem um cara vestido de 8.
Estar na moda é o cara que mais aparece, é o que mais está aparecendo e nesse caso nós temos 
o 4, por 3 vezes ele apareceu, então é a moda desse conjunto. Olha que legal, então a moda 
nesse conjunto é 4, beleza? 
Conjunto: 4 7 8 2 3 4 5 3 1 4 = {4}
Às vezes, pode aparecer um conjunto de números.
Exemplo:
6 12 4 3 6 5 3 9 6 7 3 
8
Neste conjunto aqui posso te perguntar “meu amigo quem está na moda?” é a mesma pergunta 
que eu te fiz, de maneira diferente. Fazendo essa pergunta você vai olhar o que mais sai. O 6 
aparece três vezes, então o 6 está na moda. Mas você tem o 3, que apareceu três vezes também, 
portanto foram os caras que mais apareceram e empatou. Neste caso tem duas modas, tem 
opção aqui nesse caso. Então a moda aqui é o 3 e o 6.
6 12 4 3 6 5 3 9 6 7 3 = {3, 6}
Este tipo de conjunto nós chamamos de bimodal, porque ele tem duas modas. É tão fácil que 
não costuma cair muito nas provas de certificações porque é muito tranquilo e não se aplica 
muito em investimentos, é uma base.
A Mediana tem certa aplicabilidade, mas nós vamos ver que a grande aplicação no dia-a-dia é 
a Média, que é extremamente importante, é fundamental para os investimentos, mas antes da 
falar da média, vamos para a Mediana.
MEDIANA
A Mediana também é bem tranquila. Na agência onde você trabalha, no mercado de trabalho 
tem um monte de gente que falamos “fulana é mediana” Quer dizer, um cara mediano no 
trabalho ou no dia a dia não é bom e nem ruim, é exatamente mediano. Na Matemática é igual.
Se colocarmos aqui as notas de uma prova, alguém tirou 3, alguém tirou 5, outro tirou 6, o 
outro tirou 9 e último tirou 10. Então aí estão as notas dos nossos amiguinhos, agora eu te 
pergunto:
A B C D E
3 5 6 9 10
Quem aqui que é o mediano? Neste caso é o C, por que ele nem está entre as maiores notas 
– as duas maiores notas foram dez e nove – e nem entre as piores – 3 e 5- ele é o mediano. O 
mediano é o cara central quando eu tenho uma quantidade de elementos ímpares.
Exemplo:
10 15 6 9 8
Quantidade de números ímpares, beleza. Mediana é o cara que tá no meio? Não! Eu te falei 
que mediano é aquele cara que nem é bom nem ruim, nem o maior nem o menor.
Tem um conceito para encontrar o mediano, que é botar os caras em ordem. A ordem pode ser 
crescente ou decrescente, vai dar no mesmo, não importa. Se tiver em desordem não encontro 
a mediana. Maiores para um lado e menores para o outro.
Organizando:
6 8 9 10 15
Resolvi colocar crescente, mas poderia ser decrescente:
15 10 9 8 6
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Vai dar no mesmo, aí eu vou encontrar o meu mediano. Esse é a mediana do conjunto, é tema 
central.
E se a quantidade for par?
Temos um problema.
Exemplo:
3 6 8 10 12 18 (6 elementos) 
Se a quantidade é par você não tem o cara do meio, você tem dois termos centrais. A mediana 
de um conjunto com elementos par é a média dos termos centrais. Como eu calculo a média 
dos termos centrais?
3 6 8 10 12 18
Somo os termos centrais e divido por dois:
8 + 10 = 18
18/2 = 9
Então a mediana desse conjunto é 9.
3 6 8 10 12 18 = {9}
Então toda vez que tiver quantidade par, você vai pegar os termos centrais – porque não tem 
um só termo central, tem dois termos – e calcular a média dos termos centrais.
A mediana pode ser um cara do próprio conjunto como também um cara que não está no 
conjunto, por exemplo, o 9, que não está no conjunto. O que a mediana faz? Quando acha a 
mediana, ela me dá a mesma quantidade de números acima dela para a mesma quantidade 
de números abaixo dela. Se eu pegar os 6, quantos caras têm menor que o 9? 3. Quantos caras 
acima de 9 tem? 3. 
Você tem que cuidar quando você tem um conjunto comm mais de uma variável ponderável.
Exemplo:
Vamos imaginar que em uma agência do banco você tem dez funcionários que ganham um 
salário de 4 mil reais, cinco funcionários que tem um salário de oito mil reais e dois funcionários 
que ganham um salário de 15 mil reais. Qual é o salário mediano dessa galera? Primeiro tem 
que botar em ordem, crescente ou decrescente. Eu vou colocar primeiro os caras que ganham 
um salário de 4 mil, depois os caras que ganham salário de 8 mil e por último aqueles que 
ganham 15 mil.
Funcionários Salário
10 4.000
5 8.000
2 15.000
10
Quantas pessoas têm? Calcule 10 + 5 + 2 =17
A primeira informação importante: é ímpar o número de pessoas. Sabendo que é ímpar, a 
mediana é um número ou é a média de dois números?
Tudo que eu tenho que fazer é achar quem é o quem é o termo central. Se tem 17 como é que 
eu acho o termo central? Olha para essa dica: quando os caras são grandes. Quando o cara 
grande você faz o seguinte, é ímpar? Você tira um, que é esse cara central. Vou tirar o cara 
central daqui, então sobraram 16. 
17 – 1 = 16
______________________= 17 termos
Divido por dois para distribuir metade antes e metade depois do cara central.
____________ X ____________ = 17 termos
Que quer dizer que o cara central vai estar aqui (no lugar do X), então vai sobrar 16 e nós vamos 
ter metade deles para um lado do cara central e a outra metade para o outro lado do cara 
central, ou seja, o X é o nono cara. A posição do mediano é nono. Contando em ordem, o nono 
cara está entre os dez primeiros funcionários, então ele ganha 4 mil reais, a mediana é 4 mil.
Funcionários Salário
10 4.000
15 8.000
8 15.000
Como é que seria essa brincadeira? 
10 + 15 + 8 = 33 
Como é que eu acho a mediana? Eu vou pegar o total e diminuir um.
33 – 1 = 32
Têm-se 32, metade tem que ser maior que o cara que é mediano e metade têm que ser menor:
32 / 2 = 16
___________________ X ___________________
Se tem 16 antes, qual a posição do mediano? É o 17º, beleza? 
Começando pela ordem crescente de salário, se os dez primeiros funcionários ganham 4 mil, o 
17º está dentro de qual grupo? Dos que ganham 8 mil.
Então professor onde vou usar isso na vida?
Em lugar nenhum, mas na prova de certificações sim, pode ser que caia.
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MÉDIA
Esse aqui o cara mais foda quando eu falo em investimentos, é o mais simples de calcular e 
o mais fácil, é o que mais importa para a prova. Presta atenção nela agora porque é muito 
importante a aplicação da média.
Eu tenho aqui numa sala cinco alunos de MBA. Um aluno que tem 24 anos, um precoce de 21, 
um com seus 35 anos, nós temos um com 60 e nós temos um com 40 anos. Toda essa galera 
aqui, dentro do MBA. Qual é a média de idade dos alunos? 
Aluno de 24
Aluno de 21
Aluno de 35
Aluno de 60
Aluno de 40
Como é que a gente vai fazer isso? É simples. Quantos alunos têm na sala? Temos 5 alunos na 
sala, então: 
Soma das idades: 24 + 21 + 35 + 60 + 40 = 180
Dividido pelo número de alunos;
180 / 5 = 36
Ou seja, é o somatório das idades, dividido pelo número de alunos.
36 anos é a idade média dos alunos.
Mas o que importa mesmo é a aplicação da média, e isso é o principal dentro de investimentos. 
Quando você fala em investimentos, vamos falar por exemplo no investimento em uma ação, 
vou pegar a ação da Petrobrás, vou pegar a rentabilidade da ação Petro 4, ação preferencial da 
Petrobrás, que teve suas oscilações diárias, vamos pegar os últimos dez dias úteis:
Petrobrás – Petro 4
1º dia – 2%
2º dia + 3%
3º dia + 2%
4º dia – 2%
5º dia + 4%
6º dia + 3%
7º dia + 2%
8 ºdia + 5%
9º dia – 2%
10º dia – 1%
Aqui nós temos a oscilação dessa ação, com base no passado, essa rentabilidade dessa ação 
já passou (eu também poderia estar falando de um fundo de investimentos), tratam-se dos 
últimos dez dias úteis de oscilação do preço da ação. Toda essa rentabilidadepassada nós 
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chamamos de retorno histórico, então o que é o histórico da ação? Trata-se do passado e o que 
passou está lá atrás, beleza? Com base nesse passado eu posso calcular a Média.
Em média, quanto a Petrobrás está oscilando? No cálculo da média – aí um cálculo simples de 
média. 
Como assim professor? 
As negativas em vermelho e as positivas em azul:
- 2 + 3 + 2 - 2 + 4 + 3 + 2 + 5 - 2 - 1 = 13 / 10
Em Matemática a ordem dos tratores não altera o viaduto, 2 + 4 = 6 assim como 4 + 2 = 6. Vou 
pegar os dez termos, somá-los e vou dividir por 10 e é isso a média.
13 / 10 = + 1,3%. Aqui que está a grande sacada: 
A Média dentro de investimento recebe o nome de retorno esperado.
O histórico, que é o que eu olhei pra calcular a média, se chama retorno histórico e toda história 
é passado – retorno observado também está correto, se eu observei é porque passou.
Eu pego esse retorno histórico, calculo a Média, e essa Média nós chamamos de retorno 
esperado. Se você pensar no Português, “esperado” é pretérito perfeito do futuro indicativo 
significa que isso é futuro, campeão! Eu estou esperando que isso aconteça. E a média, ela dá 
exatamente isso: quando eu falo que na média rendeu 1.3 quer dizer o seguinte: que se essa foi 
a rentabilidade dos últimos dias, eu espero que no próximo dia vá render + 1,3.
Quer dizer que vai render +1,3% no outro dia?
Não vai! Então por que fazer isso? Porque se eu tenho uma expectativa, inclusive a Média 
também é esperança, a gente chama média de esperança, pois é o que eu espero que aconteça, 
uma expectativa. Podemos calcular o risco de que isso não aconteça e aí teremos um intervalo 
de tolerância. Cara é muita loucura? É, mas nas próximas trilhas isso ficará claro, pois vai 
encaixando as pecinhas desse Lego aí.
Por enquanto você tem a Média, óbvio que rentabilidade passada não é sinônima nem garantia 
de rentabilidade futura. O passado me disse que esse investimento vai render + 1,3%, mas nós 
sabemos que não necessariamente amanhã vai dar + 1,3%, podem dar mais ou pode dar menos 
– e esse mais ou esse menos é o que nós chamamos de risco. 
Risco é a possibilidade de ter um retorno diferente do esperado.
O retorno esperado é + 1,3%:
 • Se esse investimento amanhã der + 1,5%, essa diferença é o risco;
 • Deu + 2%, essa diferença é o risco; 
 • Se deu – 1,4% essa diferença mesmo 
 • Se deu 1,3% exato, o que é exatamente o esperado, dizemos que esse investimento não 
teve risco, não teve oscilação, risco 0, mas em geral os investimentos têm risco.
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Ou seja, não vai render + 1,3%, vai ter uma oscilação que pode ser para mais ou para menos – e 
aí o risco vai nos dar isso. Por enquanto você precisa saber o que é Média, o que é Mediana e 
entender que a Média te dá o que é o Retorno Esperado, que é o que eu espero para o futuro, 
mas pra calcular um futuro eu tenho que olhar para o passado, para o Retorno Histórico.
Fizemos dois exemplos diferentes aplicados à Média, por que ela se aplica à investimentos. 
Se você gosta desse exemplo aplicado ao Excel eu tenho o exemplo mostrando como calcula 
a Média no Excel. Mas se você quiser, eu também posso te ensinar como calcula a Média na 
HP12C, olha que lindo! Excel HP12C 
Professor eu quero muito nos dois!
Tá bom vou deixar, também pode ser os dois. Lembre-se que se você escolheu os dois, primeiro 
teremos um vídeo explicando em um formato, seja ele Excel ou HP12C.
Vamos interagir? Vem comigo então!
Você quer um exemplo aplicado à HP12C, ao Excel ou aos dois casos? 
Pode escolher. Então você escolheu aprender no Excel!
QUAL EXEMPLO VOCÊ 
GOSTARIA DE SEGUIR?
OU SIGA PARA A PÁGINA 15 OU SIGA PARA A PÁGINA 19
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
EXCEL
EXCEL 
Então você escolheu aprender no Excel!
Olha só, que legal! Eu mudei um pouco o formato, o Excel vai aparecer aqui atrás de mim e 
vou mexer nele milagrosamente. Vou te ensinar no Excel, que ao contrário da HP12C, na qual 
a gente calcula basicamente a média – ela não calcula a Mediana e nem a Moda, mas também 
nem faz tanto sentido, no Excel você consegue calcular todos eles e eu vou dar uma palhinha 
de Moda e Mediana mas nós vamos focar mesmo na Média, que é o que é importante, beleza? 
Porque a média dentro de investimento tem aquela relação que a gente falou do Retorno 
Esperado. Eu vou pegar essa planilha aqui e inserir os números (nesse caso aleatórios), depois a 
fórmula para calcular Moda, Mediana e Média.
5 12 6 8 4 4 3
MODA
Vamos começar primeiro com a Moda. Moda que na prática você não usa tanto, mas se você 
quiser falar Moda no Excel é bem simples, lembrando que a Moda é aquele cara que mais 
repete.
=MODO.ÚNICO(D2:D8) (No Excel você dá Enter e reza)
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Retorna o valor mais repetido, isso é moda Realmente o 4 é o cara que mais se repete, se 
houvesse um numero maior, o Excel indicaria apenas o número maior (ele não mostra duas 
Modas).
MEDIANA
Calculamos a mediana com a seguinte fórmula: =med(D2:D8) Mediana 5
Se eu filtrar e classificar em ordem, verei que tenho três caras maiores e três caas menores, 
sendo que o 5 é a Mediana mesmo.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA | PROF. EDGAR ABREU
MÉDIA
É o que nos interessa. Quando você for colocar, tome cuidado para não colocar células em 
branco, pois ela impacta na Média. Como resolvo isso? Não pode botar campo zerado, pois na 
hora de dividir, ele conta o campo zerado.
Agora vou te fazer uma nova pergunta, olha que legal, agora eu quero aplicar isso algum 
conteúdo e você vai definir no que a gente vai aplicar isso.
Podemos aplicar isso a Ações ou Fundos de Investimentos.
Lembrando que se você quiser, eu posso aplicar nos dois. Se você escolher os dois aí sim você 
vai ver primeiro um e depois vai ver o outro, beleza?
Escolha agora qualquer opção que você queira um exemplo.
QUAL EXEMPLO VOCÊ 
GOSTARIA DE SEGUIR?
OU SIGA PARA A PÁGINA 23 OU SIGA PARA A PÁGINA 27
HP 12C
Que bom que você escolheu HP12C! Eu também prefiro HP12C porque ela é prática, é rápida, 
você carrega, é portátil. Se você baixa um aplicativo de celular, já pode ter a HP12C.
Nós vamos apenas padronizar algumas informações na tua HP12C para não termos conflito 
de informação e aí eu vou te mostrar esses dois exemplos de como calcular a Média na HP12C 
como prometido.
A primeira coisa é que vamos trabalhar com duas casas depois da vírgula. É porque eu quero 
trabalhar com duas, mas pode mais. É importante porque dependendo do número de casas a 
HP faz um arredondamento, então, como é que padronizo o número de casas da HP12C? F é a 
função que vai me dar o número de casas lá, então se eu colocar F9 ela vai me dar nove casas 
depois da vírgula. Lembrando que aqui tem um ponto porque está padronizado com a maneira 
americana, se for uma vírgula é a maneira brasileira, porque nós brasileiros – e na verdade o 
mundo inteiro praticamente – separamos os números com uma vírgula. Se eu quiser escrever 
dois mil e quatrocentos reais e vinte e dois centavos (R$ 2.400,22) é assim que eu escrevo: um 
ponto separa milhar. Se na tua HP aparece um ponto (R$ 2.400.22) é porque ela está no modelo 
americano e a gente quer usar esse modelo aqui do Brasil, tá? Para mudar isso tem que segurar 
o ponto, ligar e desligar, x
_ 
Para estipularmos a quantidade de algarismos decimais, pressione a tecla [ f ] seguida do 
número indicativo da quantidade de casas desejadas.
Vamos lá
F4 – 4 casas 
F5 – 5 casas
F8 – 8 casas 
Eu quero duas casas, então F2 – 2 casas.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
HP 12C
A HP12C originariamente se encontra na notação americana. Então, à medida que 
se digita o número, ela vai automaticamente dividindo a parte inteira em grupos 
de três, bastando apenas apertar a tecla [ . ] quando for separar a parte inteira da 
fracionária. Para passar da notação americana para brasileira e vice-versa:
1) desligue a calculadora;
2) Mantenha a tecla [ . ] pressionada e depois a tecla [ON], primeiro solte a tecla 
[ON] e depois a tecla [ . ].
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A primeira médiatem um investimento x:
Jan 4% 4%
Fev 5% – 2%
Mar 4% 3%
Abr 2% – 3%
Mai 5% – 4%
Jun 4% 6%
Calcula a média como se fosse fazer manual, como seria essa média?
4 + 5 + 4 + 2 + 5 + 4 = 24
24 / 6 = 4%
Queremos aprender como fazer na HP, então vem comigo, era só para a gente ter a prova real. 
Na HP pra você calcular a Média você tem que passar essa pilha (os números) pra dentro da HP. 
A primeira coisa como na Média não faz diferença, não importa a ordem.
E como que põe a informação dentro da HP12C? Utilizo essa função aqui: + Σ
Primeiramente vamos limpar a memória da HP12C. F e depois reg, que limpa o registrador 
(sempre que eu apertar a tecla laranja, ela vai ativar as funções que estão em laranja) .
Lá vou eu somar aqueles caras, sem colocar %:
4 Σ + 5 Σ + 4 Σ + 2 Σ + 5 Σ + 4 
Vai aparecer o número de elementos que estão sendo somados. Feito isso, você está pronto 
para calcular a média.
Não decore qual é a Média, saiba qual é o símbolo: X
_
  é o símbolo da média
Média X
_
  = 4
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MATEMÁTICA FINANCEIRA | PROF. EDGAR ABREU
Agora a gente vai aprender na calculadora HP12C a média quando tem números negativos. 
Esse primeiro foi fácil, agora eu vou ter rentabilidades negativas (lembrando que todas as 
rentabilidades são Histórico – passado observado) e isso aqui é o que é esperado ou seja, 
espero que no mês de julho esse fundo renda 4%.
Professor, pode ser que ele renda mais ou renda menos?
Pode! Culpa de quem? RISCO. Mas isso é assunto para a próxima aula.
Se tu não limpares a memória, ele continua com essas informações anteriores. Então:
F Reg e vamos limpar tudo.
Agora começa comigo:
X
_
  = 4 Σ – 2 CHS Σ + 3 Σ – 3 CHS Σ – 4 CHS Σ + 6 Σ
X
_
  = 67% é o retorno esperado nesse investimento. Bem fácil na HP, olha que legal aprender 
então como calcula a média na HP12C 
Estou preparando agora um exemplo prático para você. Vai ter mais uma vez a opção de 
poder escolher: você quer ver como é o cálculo do retorno esperado com base no passado, no 
histórico de um Fundo de Investimento ou Ações?
Podemos aplicar isso a fundos de investimento e podemos aplicar isso a Ações, você escolhe. 
Lembre-se que depois você pode mudar as escolhas e ver um outro caminho.
Escolha agora Fundos de Investimento ou Ações, em qual você quer que eu aplique esse 
conteúdo?
QUAL EXEMPLO VOCÊ 
GOSTARIA DE SEGUIR?
OU SIGA PARA A PÁGINA 33 OU SIGA PARA A PÁGINA 35
AÇÕES NO EXCEL
Olá, querido aluno! que bom que você escolheu Ações no Excel! Vem comigo, eu vou explicar 
como faz para calcular a média, como se aplica, então olha só:
Vamos pegar Ações da Petrobras, Petro 4 que é o clássico e têm mais liquidez, primeiramente 
eu vou selecionar o histórico do período de um mês:
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
AÇÕES | EXCEL
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Agora vamos baixar os dados, olha só que legal, vamos salvar esse dado e vamos abrir essa 
planilha. Aí está a planilha, bonitinha e nela temos uma série de informações, deixei só o que 
eu quero trabalhar que é o que está oscilando em média.
O percentual está separado com um ponto, conforme padrão americano, vou utilizar o comando 
Ctrl+u e substituir todos os pontos localizados por vírgulas:
Para transformar em percentual eu vou selecionar a célula e dividir por 100, conforme a 
fórmula: =célula inicial / 100
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MATEMÁTICA FINANCEIRA | PROF. EDGAR ABREU
Depois de colocar em percentual vou utilizar duas casas, agora a média é muito fácil, uso a 
fórmula: =média(célula inicial + célula final)
Viu como trabalhar o dado é legal? aqui nós temos a média de oscilação das ações. Então o que 
a média? É retorno esperado, ou seja, eu espero que o retorno da Petrobrás seja esse.
Então agora minha pergunta para você é: Você quer aplicar esse conteúdo a qual certificação? 
Podemos aplicar esse conteúdo e ver como cai em CPA-20, em CEA, em ANCORE ou CFP®. 
Professor, mas não cai em CPA-10?
Essa não cai! Mas temos trilhas desta disciplina que cai em CPA-10. Essa não é uma das trilhas 
que cai, mas cai em todas as outras certificações. Você também pode escolher em aplicar em 
nenhuma das certificações e apenas aprender.
A gente vai se encontrar na próxima trilha, e você faz sua escolha agora!
FUNDOS DE INVESTIMENTO NO EXCEL
Então você quer Fundos de Investimentos! 
Vamos lá, então Excel para Fundos de Investimentos.
Vamos pegar a tabela de rentabilidades, ela está dividida por classificação:
Pegaremos fundos que costumam ter oscilações bacanas como os Fundos de Ações. 
Aqui ele coloca a cota dia-a-dia, com muitas casas pois para quem tem milhões, muitas casas 
isso é importante.
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FUNDOS DE INVESTIMENTO | EXCEL
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Você seleciona a primeira coluna, depois clica em “dados”:
Depois de dados, você clica em texto para coluna, aí então marca a opção “delimitado”
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Eu quero ver não a Média do preço da cota, eu quero ver a média das oscilações, então temos 
que calcular as oscilações, o quanto está oscilando, vamos ter que criar uma coluna que vai 
ser essa oscilação. Se no dia 02.05 o valor da cota foi menor e em 30.04 era um valor maior, 
significa que ela caiu, certo? Teve uma perda, vamos ver o quanto perdeu. Peguei o dia 02.05 e 
subtraí o dia 30.04, essa diferença eu vou dividir pelo dia anterior e terei o percentual.
Colocando em percentual e arrastando a célula temos a oscilação do período:
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Então eu tenho oscilação de um dia para o outro. Se você quiser calcular a Média no Excel, você 
pode usar a fórmula, como aprendemos nos vídeos anteriores.
Uma informação importante para você, e que também é uma coisa bem legal, é que você 
seleciona a coluna ele já te mostra no canto de baixo a média – às vezes é uma média 
aproximada.
Calculamos então a média da oscilação de um Fundo de Investimento – lembrando que em 
essa oscilação aqui é o Retorno Histórico, ou passado observado e essa média ela me dá o que 
o retorno esperado, é coisa do futuro.
Agora o futuro é aplicar na sua prova de certificação, olha que bacana!
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Agora você tem que fazer uma nova escolha, você tem que escolher em qual das certificações 
você quer aplicar esse conteúdo. Lembrando que em CPA-10 não cai.
Qual prova você quer fazer: CPA-20, CEA, ANCORD, CFP® ou nenhuma das certificações, pois 
não quer focar na certificação, só queria o conteúdo aplicado ao dia-a-dia – neste caso você já 
teve isso, então para você encerrou aqui essa trilha, você vai para a próxima trilha.
Se você quer aplicar a uma prova de certificação, clique que você vai ver como cai na prova de 
certificações, verá questões e aí vai focar na prova de certificação, beleza?
Escolha agora qual certificação você quer aplicar esse conteúdo.
AÇÕES NA HP 12C
Então você quer ver o exemplo para uma Ação! 
Olha só, vamos aplicar agora então média em ações na HP12C.
Escolhi ações da Petrobrás e no Google encontrei o site de maior credibilidade para baixar os 
dados, usei o site da UOL – o site da firma. Para quem não sabe Petr 4 é o código da ação 
preferencial da Petrobrás, peguei o histórico, que ele puxa direto da bolsa de valores, ou seja, 
super confiável. Aqui temos o histórico da cotação, eu vou te mostrar para você entender um 
pouco mais e também não ficarem tão vagos os cálculos. 
Escolhi um período, por exemplo, 24/04 23/04 22/04 18/04 que aparecem na primeira coluna 
e na segunda coluna tem a cotação que essa ação fechou. A terceira e quarta coluna tratam do 
mínimo e do máximo, mas o que são? Ao longo do dia, a ação foi oscilando, qual foi o preço mais 
barato que ela chegou? Isso é o mínimo (R$ 27,60), a ação chegou a subir a R$ 27,89, entretanto 
fechou – e que realmente importa é quando ela fecha, no final do dia – em R$ 27,60, passou 
de R$ 27,68 no dia anterior para R$ 27,60 quando fechou, oscilou 0,08 centavos. Estes R$ 0,08 
representam uma queda de 0,29%. (- 0,29% de variação). A poupança rende 0,5% no mês, aqui 
em um dia você ganhou R$ 3,18, mas também em outro dia você perdeu7%. A pergunta é, em 
média, o quanto está oscilando a Petrobrás? Porque isso tudo é retorno histórico, inclusive o 
que eu pesquisei no Google foi “histórico de cotação”.
Vamos pegar cinco dias para calcular a média:
3,05%
0,39%
 – 7,75%
 – 2,71%
 – 1,30%
Na HP12C:
1º limpo a memória: F Reg
2º insiro os números:
Vamos colocar o 3.05 primeiro e apertar Σ, se aparecer o número 1 estamos no caminho certo, 
se não aparecer, temos que apertar F Reg e limpar a memória.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
AÇÕES | HP 12C
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Conta:  X
_
  = (3,05 + 0,39 – 7,75 – 2,71 – 1,30) / 5
Na HP 12C: 3,05Σ 0,39 Σ 7,75 CHS Σ 2,72 CHS Σ 1,30 CHS Σ g  X
_
  
Resultado (rentabilidade ou retorno esperado):  X
_
  = – 1,66%
Ou seja, eu espero que essa ação vá cair – olhando um histórico de cinco dias – o ideal é você 
fazer isso com histórico longo, quanto maior o seu histórico mais preciso será, se você pegar 
100 dias, você tem uma precisão muito grande em relação ao próximo dia. Lembrando que:
3,05%
0,39%
 – 7,75% (colocar chave) é retorno histórico
 – 2,71%
 – 1,30%
 X
_
  = – 1,66% é retorno esperado.
Para retornos muito grandes o ideal é o Excel, perderíamos muito tempo na HP12C. Lembrando 
que vai ter uma situação que chamamos de risco, e pra não ter risco de você não aplicar esse 
conteúdo em uma prova e ser reprovado na certificação, eu vou dar a opção para você escolher 
qual certificação fazer agora, lembre-se, você tem que focar em uma certificação de cada vez, 
não vai fazer duas ou três. Esse assunto não cai em CPA-10, por isso que não tem opção do CPA-
10, mas você pode escolher se você quer ver esse assunto aplicada CPA-20, CEA, ANCORD, CFP® 
ou não fazer nenhuma das certificações acabou por aqui aprendi demais já sei aplicar tudo por 
meu dia-a-dia.Vamos focar nessa prova de certificação então! Nos encontramos no próximo 
assunto.
FUNDOS DE INVESTIMENTO NA HP 12C
Então, já que você quer ver em Fundos de Investimento, eu vou te mostrar como
calcular a Média em Fundos de Investimentos, utilizando HP12C. Para isso escolhi um fundo 
aleatório, resolvi escolher esse fundo do Bradesco Prime – Fundo de Investimento em Cotas de 
Fundos de Ações Ibovespa Ativo, ou seja, é um fundo de ações, então vai comprar ações e ele 
quer superar o Ibovespa, um objetivo desse fundo é render mais que o Ibovespa.
Aqui vem uma primeira informação (errada, mas normalmente os bancos trabalham assim 
como uma maneira de simplificar) e os bancos usam uma tabelinha de risco para o investidor, 
dizendo qual é o tamanho do risco do fundo. Nesse caso o risco é 4. Algumas vezes usam cores 
como amarelo, depois laranja, até ficar vermelho. Isso está errado, não existe risco em número 
fixo assim como não existe risco em cor, mas é uma maneira das pessoas entenderem de forma 
fácil porque olha, se vai até o 5 e o risco está no 4 é porque tem muito risco esse fundo. 
O risco, ele é calculado estatisticamente e ele tem valor. Não é 4 o risco, tudo bem? Porque o 
risco depende da oscilação. Essa divisão que eles fazem do risco, depende da composição do 
fundo, por exemplo: quando é Ações colocamos em risco um pouco maior, no caso de Renda 
Fixa indicamos como um risco menor, assim tendo uma forma simplificada. Entretanto isso 
não é o risco, risco se calcula e não é o demonstrado na tabela – e não estou falando mal do 
Bradesco, pois todos os grandes bancos fazem isso.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
FUNDOS DE INVESTIMENTO | HP 12C
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Aqui nós temos as rentabilidades acumuladas, eu peguei um fundo que tem um histórico 
bacana. Em 2015 ele perdeu 14,93% de rentabilidade (líquida de despesas, mas não de 
imposto), da rentabilidade divulgada você sempre tira a taxa de administração, mas não o 
imposto porque o imposto depende do prazo, depende na verdade da classificação do fundo. 
Apesar de fundos de ações serem sempre 15% mas não se tira o imposto da rentabilidade, 
além de 2015 nós vamos trabalhar com 2016 + 31,42% | 2017 + 22,74% | 2018 18,23%:
– 14,93% em 2015
+ 31,42% em 2016
+ 22,74% em 2017
+ 18,23% em 2018
Essas foram as rentabilidades nos últimos quatro anos desse fundo de investimento, de posse 
dessa informação eu posso calcular em média o quanto esse fundo está rendendo. Lembrando 
que estes retornos anteriores são chamados de retorno histórico ou rentabilidade observada. 
Com base nos dados eu vou calcular a média, que vai ser a soma desses caras dividido pela 
quantidade de caras que a gente tem.
Vamos jogar esses dados na HP12C:
Primeiro vamos limpar a memória: f + Reg
Depois digito o primeiro termo 14,93, troco o sinal com CHS+ Σ para trocar o sinal ( pois a 
rentabilidade de 2015 foi negativa) e insiro os demais elementos seguidos da tecla Σ e assim 
que a calculadora mostrar que temos 4 elementos,já podemos fazer a média apertando as 
teclas g e depois  X
_
  :
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MATEMÁTICA FINANCEIRA | PROF. EDGAR ABREU
Conta:  X
_
  = (- 14,93 CHS Σ + 31,42 Σ + 22,74 Σ + 18,23) / 4
Na HP12C: 14,93CHS Σ 31,42 Σ 22,74 Σ 18,23 g  X
_
  
Resultado (rentabilidade ou retorno esperado):  X
_
  = 14,37%
Ou seja, na média esse fundo rendeu 14,37% este é o retorno esperado, portanto é de se 
esperar que em 2019 esse fundo renda 14,37%, é expectativa. Será que vai ser exatamente 
isso? Provavelmente não porque têm risco se tem risco tem oscilação.
Professor, como é que você sabe que tem risco?
Porque variaram os números de ano a ano, com oscilações, se apertarmos g + . aparece o risco 
20,28% que é muito alto!
Olha que bacana, nós aprendemos média, moda, mediana e nós vimos como funciona, pois 
vimos isso aplicado, você escolheu HP12C e depois deixei você escolher sobre preferir um 
exemplo de fundo de investimentos ou exemplo de ações. Você escolheu, aqui estou eu no 
exemplo de fundos de investimento que você decidiu e agora a melhor parte: Você vai escolher 
em qual das certificações que você quer aplicar esse conteúdo ! Lembrando que em CPA-10 
esse conteúdo não cai, então se você está pensando em fazer CPA-10 não precisa escolher o 
conteúdo, ele não vai cair. Mas cai em CPA-20, CEA, ANCORD e CFP®.
Você vai escolher agora qual dessas certificações você quer aplicar, se você não fizer nenhuma 
prova de certificação acabamos por aqui porque eu já apliquei à sua vida e já te mostrei como 
funciona o conteúdo. Agora se você quer fazer uma prova de certificação, escolha agora que 
vamos focar nessa prova de certificação.