Eletromagnetismo 06 - potencial magnético escalar e vetorial

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ELETROMAGNETISMO
Sidney Cerqueira 
Bispo dos Santos
 
Potencial magnético 
escalar e vetorial
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir potencial magnético escalar.
 � Determinar o potencial magnético vetorial.
 � Relacionar potencial magnético escalar e vetorial.
Introdução
O eletromagnetismo estuda as interações que surgem entre os campos 
elétricos e magnéticos gerados por cargas elétricas. Esses campos podem 
surgir no espaço livre ou na matéria. 
O campo elétrico está intimamente relacionado com a diferença de 
potencial entre dois pontos e pode ser expresso nas formas de integral 
de linha ou diferencial. Esse relacionamento, principalmente este último, 
facilita, em muito, o cálculo de vários problemas de campo eletrostático, 
evitando-se utilizar as leis de Coulomb ou de Gauss diretamente. 
Do mesmo modo, utiliza-se a definição de um potencial relacionado 
a uma densidade de fluxo magnético ou campo magnetostático para 
simplificar a abordagem de diversos problemas do magnetismo.
Neste capítulo, definiremos o que é potencial magnético vetorial 
bem como potencial magnético escalar. Aprenderemos a determinar o 
potencial magnético vetorial em diversas situações e como relacionar o 
potencial magnético escalar com o vetorial. 
Potencial magnético escalar
Quando analisamos o relacionamento entre o potencial eletrostático e o campo 
elétrico, verificamos que o potencial entre dois pontos quaisquer é dado pela 
integral de linha do campo elétrico ao longo de um percurso qualquer entre 
esses dois pontos, ou seja:
V21 = V2 – V1 = – ∫
2
1 E ∙ dl (1)
Na sua versão diferencial, o relacionamento entre V e E é dado por:
E = – ∇V (2)
onde o campo elétrico E é igual ao gradiente do campo potencial V. O sinal 
negativo indica que o campo elétrico tem direção contrária à do crescimento 
do potencial elétrico. 
Esse relacionamento diferencial é muito útil porque permite, em certos 
casos, dada uma determinada distribuição de cargas, primeiro, determinar o 
potencial V e, depois, aplicar a equação (2) para determinar o campo elétrico, 
evitando aplicar a lei de Coulomb diretamente.
Desenvolvendo uma abordagem semelhante, procuraremos definir um 
potencial de forma similar ao potencial eletrostático, só que agora associado a 
um campo magnetostático B. É bom lembrar que essa definição deve garantir 
que ∇ · B = 0, ou seja, o divergente do campo magnetostático deve ser sempre 
igual a zero, pois as linhas de campo magnético são sempre contínuas, e o 
número de linhas de campo que entram numa superfície fechada é igual ao 
de linhas que saem.
O potencial magnético pode ser escalar, chamado de Vm para diferenciar 
do potencial eletrostático V, ou potencial magnético vetorial, chamado de A. 
Antes de definirmos o potencial, convém ressaltar duas identidades vetoriais 
que serão necessárias. A primeira estabelece que a divergência do rotacional 
de qualquer vetor é igual a zero.
∇ ∙ (∇ × A) = 0 (3)
E a segunda, que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é 
igual a zero.
∇ × (∇V ) = 0 (4)
Potencial magnético escalar e vetorial2
À semelhança da equação E = –∇V, vamos definir o potencial magnético 
escalar Vm em relação à intensidade do campo magnético H, como:
H = – ∇Vm (5)
se J = 0, onde J é a densidade de corrente. A exigência de J = 0 pode ser 
vista como:
J = ∇ × H = ∇ × (– ∇Vm) = 0 (6)
Considerando a identidade vetorial apresentada na equação (4), verificamos 
que o potencial magnético escalar somente é definido em regiões em que temos 
a densidade de corrente nula. 
O potencial elétrico é uma grandeza física mensurável, e o potencial magnético escalar, 
ao contrário, é apenas uma figura matemática e não tem significado físico.
A equação (6) nos diz que, quando o rotacional de um campo vetorial é igual 
a zero, se pode escrever esse campo como o gradiente de uma função escalar.
Sabendo que o relacionamento entre o campo e a densidade de fluxo mag-
nético é igual a 
B = µ0H = – µ0∇Vm (7)
e
∇ ∙ B = 0 (8)
de modo que
= ∇ ∙ (–µ0∇Vm) = 0
3Potencial magnético escalar e vetorial
E, assim, teremos:
∇2V = 0 (9)
o que mostra que o potencial magnético escalar segue a equação de Laplace.
Da mesma forma que a equação de Laplace nos mostra que o laplaciano do potencial 
eletrostático é igual a zero, ou seja, ∇2V = 0, o potencial magnético escalar também 
satisfaz a equação de Laplace, e ∇2Vm = 0, evidentemente, para J = 0.
Vamos, agora, a título de exemplo, calcular o potencial magnético escalar 
associado a um campo magnético externo gerado por uma corrente percorrendo 
um fio infinito.
O campo magnético de um fio infinito é calculado pela seguinte equação: 
H =
I
2πρ aØ
 em coordenadas cilíndricas.
Utilizando-se da expressão (5):
H = – ∇ Vm =
I
2πρ aØ
Como ∇Vm = aρ
∂
∂ρ
∂
∂z
∂
∂Ø
+ +
aØ
ρ az[ ][Vm] , e o potencial magnético escalar só 
 
tem a componente ∅, a equação se torna ∇Vm = –
I
2�ρ aØ , consequentemente:
Vm = –
I
2� aØ
Potencial magnético escalar e vetorial4
Potencial magnético vetorial
A equação (8) mostrou que: 
∇ · B = 0
Para que as equações (3) e (8) sejam satisfeitas ao mesmo tempo, definiremos 
o potencial magnético vetorial A como: 
B = ∇ × A (10) 
onde B é a densidade de fluxo magnético com unidade dada em Wb/m. 
Lembrando que o potencial eletrostático foi definido como: 
V = ∫
dQ
4�ε0r
Definimos, para uma corrente de linha:
A = ∫L
µ0Idl
4�R (11)
Fica mais fácil obter a equação (10), utilizando-se a abordagem a seguir. 
Considere a Figura 1, onde é mostrado o ponto onde está a fonte (x1, y1, 
z1), o ponto (x, y, z) onde se quer calcular o campo, a distância R entre os dois 
pontos e os vetores r1, ligando a origem ao ponto onde está a fonte, e o vetor 
r ligando a origem ao ponto onde se quer calcular o campo.
Figura 1. (x1, y1, z1) é o ponto onde está a fonte, e (x, y, z) é o ponto onde se quer determinar 
o campo.
(x1, y1, z1)
(x, y, z)
r1
r
R = r – r1
dl
0
5Potencial magnético escalar e vetorial
Considerando o vetor intensidade de campo magnético H, devido a uma 
distribuição de corrente em uma linha (SADIKU, 2004), e que o vetor densidade 
de fluxo magnético é dado pela equação (7), temos:
B = 
µ0
4� ∫L
I dl × R
R3
 (12)
onde: 
R = |r – r1|
∇ 1R( )= – RR3 (13)
Substituindo (13) em (12), temos:
B = –
µ0
4� ∫L I dl × ∇
1
R( ) (14)
Utilizando a seguinte identidade vetorial:
∇ × (gG) = g∇ × G + (∇g) × G (15)
onde g é um escalar e G um vetor, e fazendo g = 1/R e G = dl, na equação 
(15), temos:
( ) ( )dl × ∇ 1R 1R= ∇ × dl – ∇ × dlR
Como o rotacional ∇ é em relação (x, y, z), e dl é uma função de (x1, y1, 
z1), temos que:
∇ × dl = 0
Assim: 
dl × ∇ = –∇ ×( )dlR( )1R
Potencial magnético escalar e vetorial6
Desse modo, a equação (13) se torna:
µ0Idl
4�RB = – ∇ × ∫L (16)
Ao comparar a equação (16) com a equação (10), concluímos que: 
A = ∫L
µ0Idl
4�R
 (17)
para uma distribuição de corrente em uma linha.
Utilizando-se de processos semelhantes, para distribuição de corrente em 
uma superfície, chegamos:
A = ∫S
µ0KdS
4�R
 (18)
onde K é a densidade de corrente em uma superfície (em A/m).
Para uma distribuição de corrente em um volume,
A = ∫v
µ0Jdv
4�R (19)
onde J é a densidade de corrente em um volume (em A/m2).
Para se obter o fluxo magnético, basta substituir a equação (10) em 
φ = ∫S B ∙ dS = ∫S (∇ × A) ∙ dS, e aplicar o teorema de Stokes para obter φ = ∮L A ∙ dl (20).
Agora, analisaremos um exemplo, onde determinaremos o potencial mag-
nético vetorial a partir do campo magnético H que é gerado por uma película 
infinita plana de correntes de densidade K, uniforme, como mostrado na 
Figura 2, e, posteriormente, calcularemos o fluxo magnético a partir do po-
tencial encontrado.
7Potencial magnético escalar e vetorial
Figura 2. Densidade de corrente uniforme K, passando por uma película infinita plana.
a
z
y
x
b
cd
N
N
K
Primeiro, calcularemos o campo magnético. Utilizandoa lei de Biot-Savarte verificando a simetria do problema, na figura, é possível ver que o campo 
magnético tem somente a componente x. Utilizando da lei de Ampère ao 
caminho especificado por abcda, temos:
∮ H ∙ dl = H ∙ 2N + 0 + H ∙ 2N + 0 = K ∙ 2N
Assim:
4N ∙ H = 2N ∙ K
H =
K
2 ax, z > 0
Para uma orientação n qualquer: 
H =
1
2 K × an (21)
Potencial magnético escalar e vetorial8
O potencial magnético vetorial para z > 0 é calculado da seguinte forma: 
∇ × A = B =
µ0K
2
ax, assim:
∂Az
∂y
∂Ay
∂z
– =
µ0K
2
O vetor A deve ser independente de x e y, de modo que:
∂Ay
∂z
– =
µ0K
2
Ay = –
µ0K
2
(z – z0)
A = –
µ0K
2
(z – z0) ay
Ou, generalizando, para z > 0, temos:
A = –
µ0
2
(z – z0) K (22)
Para z < 0, temos:
A = 
µ0
2
(z – z0) K
A seguir, calcularemos o fluxo magnético a partir do resultado anterior. 
Consideraremos a situação apresentada na Figura 3, onde temos uma área 
retangular no plano yz e queremos calcular o fluxo magnético que atravessa 
essa área.
9Potencial magnético escalar e vetorial
Figura 3. Área retangular no plano yz.
x
y
z
(0, 0, z2)
(0, 0, z1) (0, y1, z1)
(0, y1, z2)
K
Utilizando a equação (22) e fazendo a referência z0 = z2, temos:
A = –
µ0
2
(z – z2) K
A equação (20) relaciona o fluxo magnético com o potencial magnético 
escalar:
φ = ∮L A · dl 
Analisando a Figura 3, verificamos que o vetor A se anula em z = z2 e é 
perpendicular ao retângulo em dois lados, como em:
φ = ∫y = 0 A ∙ dl = – 
y = y
1
µ0
2 (z1 – z2) ∫0
y1 K dy = µ0K
φ = µ0K
Potencial magnético escalar e vetorial10
Relação entre potencial magnético vetorial e 
potencial magnético escalar
Existe uma diferença básica entre o potencial escalar eletrostático e o poten-
cial escalar magnético. Enquanto o eletrostático é um campo conservativo, 
o magnético não é.
Ao se fixar a referência zero para o potencial eletrostático, existirá somente 
um valor de tensão que pode ser calculado em cada ponto do espaço, ou seja, 
o potencial eletrostático é uma função unívoca.
Isso não acontece com o potencial escalar magnético. Para que ele seja 
uma função unívoca, será necessário que, além da densidade de corrente ser 
igual a zero no ponto considerado, a corrente que está no interior do campo 
magnético da região de interesse tem que ser, também, zero.
Imagine uma densidade de corrente no interior de um condutor, a qual 
apresenta uma corrente somente em seu interior, e não existem linhas de 
corrente fora dele. Mas um campo magnético exterior ao condutor pode en-
volver toda corrente no interior deste. Assim, o potencial Vm não poderá ser 
determinado univocamente; o potencial magnético escalar só pode ser definido 
nos pontos de cálculo da intensidade do campo elétrico, onde a densidade de 
corrente for zero.
O potencial magnético escalar só pode ser utilizado em uma região sem fontes.
Pelo apresentado até agora, verificamos que a densidade de fluxo magnético 
pode ser calculada utilizando tanto o potencial magnético escalar Vm pela 
expressão (7), como pelo potencial magnético vetorial, utilizando a expressão 
(10). A natureza do problema é que indicará a melhor escolha. 
Entretanto, devido às limitações do potencial magnético escalar, foi defi-
nido outro potencial, chamado de potencial magnético vetorial, que pode ser 
utilizado em regiões com densidades de correntes diferentes de zero.
11Potencial magnético escalar e vetorial
O potencial magnético vetorial é um recurso bastante poderoso na resolução 
de problemas que envolvem campos eletromagnéticos. Uma área em que se 
utiliza muito essa técnica de solução de problemas é a de Antenas, principal-
mente para calcular valores do campo irradiado. É muito mais prático, em 
problemas que envolvem antenas, calcular a densidade de fluxo magnético 
B, calculando, primeiramente, o vetor magnético vetorial A.
1. Considerando que o campo elétrico 
gerado por uma película plana 
infinita de correntes com densidade 
K, paralela ao eixo y, passando pelo 
ponto referência z0 = 0 
e perpendicular ao eixo z, é dada 
por H = K/2, o potencial magnético 
vetorial, para z > 0, é dado por: 
a) - µ0 K z/2 ax.
b) - µ0 K z/2 ay.
c) - µ0 K z/2 az.
d) - µ0 K y/2 ay.
e) - µ0 K y/2 ax.
2. O potencial magnético escalar 
associado a um campo magnético 
externo gerado por uma 
corrente I = 5 A, percorrendo 
um fio infinito, é dado por:
a) – 2,5/π aΦ A.
b) 2,5/π aΦ A.
c) – 2,5/π aρ A.
d) 2,5/π aρ A.
e) – 2,5/π ar A.
3. O rotacional do potencial 
magnético vetorial é igual:
a) ao fluxo magnético.
b) à densidade de fluxo magnético.
c) à intensidade do 
campo magnético.
d) ao gradiente da densidade 
do fluxo magnético.
e) a zero.
4. O potencial magnético 
escalar somente é definido 
em regiões onde:
a) a densidade de fluxo 
magnético for igual a zero.
b) a intensidade do campo 
magnético for igual a zero.
c) a densidade de corrente 
for igual a zero.
d) a densidade de campo 
magnético for igual a zero.
e) a densidade do fluxo de 
corrente for igual a zero.
5. Uma corrente de 100 ay A/m 
percorre o plano z = – 2. Se Vm é 
igual a zero na origem, o potencial 
magnético escalar, dado por 
Vm = – 50 x, em (2,3,1), é igual a:
a) 100 A.
b) – 100 A.
c) – 50 A.
d) 50 A.
e) – 100 A/m.
Potencial magnético escalar e vetorial12
SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2004.
Leituras recomendadas
EDMINISTER, J. A.; NAHVI, M. Eletromagnetismo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. 
(Coleção Schaum). 
HAYT JR., W. H.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. 
MACHADO, K. D. Teoria do eletromagnetismo. Ponta Grossa: UEPG, 2000.
NOTAROS, B. M. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: Pearson, 2012.
REGO, R. A. Eletromagnetismo básico. Rio de Janeiro: LTC, 2010. 
SILVA, C. E. et al. Eletromagnetismo: fundamentos e simulações. Rio de Janeiro: Pe-
arson, 2014.
WENTWORTH, S. M. Eletromagnetismo aplicado: abordagem antecipada das linhas 
de transmissão. Porto Alegre: Bookman, 2008.
WENTWORTH, S. M. Fundamentos de eletromagnetismo. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
Referência
13Potencial magnético escalar e vetorial
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.