1.Vetores (Solução problemática)

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PROBLEMÁTICA 
 
1) Dado os vetores da figura P1-1, mostrar, num gráfico em 
escala, um representante do vetor 
 
a) u – v b) v – u c) –v – 2u 
 
 
Fig. P1-1. 
 
2) Determinar o vetor w na igualdade 3w + 2u = (1/2)v + w. 
sendo dados u = (3, –1) e v = (–2, 4). 
 
Solução: 3w – w = v/2 – 2u 2w = v/2 – 2u w = v/4 – u 
 
 w = ¼ (–2, 4) – (3, –1) = (–7/2, 2) 
 
3) Encontrar os escalares a1 e a2 tais que w = a1u + a2v, sendo 
u = (1, 2), v = (4, –2) e w = (–1, 8). 
 
Solução: (–1, 8) = a1(1, 2) + a2(4, –2) 
 
 a1 + 4a2 = –1 
 2a1 – 2a2 = 8 
 
 a1 = 3 a2 = –1 
 
4) Dado os pontos A(–1, 2), B(3, –1) e C(–2, 4), determinar, 
usando vetores, o ponto D(x, y) de modo que CD = ½AB. 
 
Solução: CD = (x + 2, y – 4) AB = (4, –3) (x + 2, y – 4) = ½ (4, –3) 
 
 x + 2 = 2 x = 0 y – 4 = –3/2 y = 5/2 
 
 O ponto é: D(0, 5/2) 
 
5) Dado os pontos P(1, 2, 4), Q(2, 3, 2) e R(2, 1, –1), 
determinar as coordenadas de um ponto S tal que P, Q, R e S 
sejam vértices de um paralelogramo. 
 
Solução: conforme a figura abaixo 
 
 
 
 PQ = SR e PS = QR 
 
 Para S(x, y, z) Q – P = R – S ou (1, 1, –2) = (2 – x, 1 – y, –1 – z) 
 
 x = 1 y = 0 z = 1. Logo: S(1, 0, 1) 
 
6) Determine os valores de m e n para que sejam paralelos os 
vetores: 
 
u = (m+1, 3, 1) e v = (4, 2, 2n – 1). 
 
Solução: (m + 1)/4 = 3/2 = 1/(2n – 1) m = 5 n = 5/6 
 
7) Encontrar, usando vetores, as expressões das coordenadas do 
ponto médio do segmento de reta de extremidades A(x1, y1) e 
B(x2, y2). 
 
Solução: Seja M(xm, ym) o ponto médio. Então: AM = ½ AB. Logo 
 
 xm = (x1 + x2)/2 ym = (y1 + y2)/2 
 
8) Usando a desigualdade triangular e também usando produto 
vetorial verificar se são colineares os pontos 
 
a) A(–1, –5, 0), B(2, 1, 3) e C(–2, –7, –1) 
b) A(2, 1, –1), B(3, –1, 0) e C(1, 0, 4). 
 
Solução: a) Usando desigualdade triangular 
 
 ||AB|| = 36 ||AC|| = 6 ||BC|| = 46. ||BC|| = ||AB|| + ||AC|| 
 
 Portanto, os pontos estão alinhados. 
 
 Usando produto vetorial: 
 
 AB = (3, 6, 3) AC = (–1, –2, –1) ||ABAC|| = 0 
 
 b) Pelo mesmo raciocínio do item (a), verifica-se que os pontos não estão alinhados. 
 
9) Dado os vetores u = 4ax – 2ay – az, v = 3ax – ay + 2az e 
w = 5ay – 3az, encontre 
 
a) u . v b) v . (u – w) c) os ângulos entre u e v e u e w. 
 
Solução: a) u . v = 4(3) + (–2)( –1) + (–1)2 = 12 
 
 b) (u – w) = 4ax – 7ay + 2az. v . (u – w) = 3(4) + (–1)( –7) + 2(2) = 23 
 
 c) ||u|| = 21 = 4,58 ||v|| = 14 = 3,74 ||w|| = 34 = 5,83 
 
 u . v = 12 u . w = –7 
 
 Usando a equação (1-7) 
 
 cos1 = 12/(4,58)(3,74) = 0,699 1 = 45,59º 
 
 cos2 = (–7)/(4,58)(5,83) = –0,262 2 = 105,19º 
 
10) Sabendo que a distância entre os pontos A(–1, 2, 3) e 
B(1, –1, m) é 7, calcular m. 
 
Solução: 
2 2 22 ( 3) ( 3) 7m     m = –3 ou m = 9 
 
11) Verificar se são ortogonais os vetors u = (1, 1, 4) e 
v = (–1, 2, 2). 
 
Solução: u . v = 9 ≠ 0. Logo, não são ortogonais 
 
12) Determinar, usando vetores, os ângulos internos do triângulo 
ABC, sendo A(3, –3, 3), B(2, –1, 2) e C(1, 0, 2). 
 
Solução: vértice A: AB = (–1, 2, –1); AC = (–2, 3, –1); ||AB|| = 6; ||AC|| = 14; AB.AC = 9 
 
 cosA = 9/84 = 0,99 A = 10,89º 
 
 vértice B: BA = (1, –2, 1); BC = (–1, 1, 0); ||BA|| = 6; ||BC|| = 2; BA.BC = –3 
 
 cosB = –3/12 = –0,87 B = 150º 
 
 vértice C: CA = (2, –3, 1); CB = (1, –1, 0); ||CA|| = 14; ||CB|| = 2; CA.CB = 5 
 
 cosC = 5/28 = 0,95 C = 19,11º 
 
13) Provar que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, –1) e 
C(2, 2, –2) é um triângulo retângulo em B. 
 
Solução: BA = (0, 2, 2); BC = (0, 1, –1); BA.BC = 0. Logo B = 90º (é retângulo no vértice B) 
 
14) Determinar um vetor ortogonal aos vetores v1 = (1, –1, 0) e 
v2 = (1, 0, 1). 
 
Solução: v1v2 = –ax – ay + az 
 
15) Encontre o versor de cada um dos vetores abaixo e em 
seguida calcule a norma de cada versor obtido. 
 
 a) u = (3, –4), b) v = (0, 2, 0), c) w = (4, –2, –3, 8). 
 
Solução: a) au = u/||u|| = (3, –4)/5 = (3/5, –4/5) ||au|| = 1 
 
 b) av = v/||v|| = (0, 2, 0)/2 = (0, 1, 0) ||av|| = 1 
 
 c) aw = w/||w|| = (4, –2, –3, 8)/93 = (0,42; –0,20; –0,31; 0,83) ||aw|| = 1 
 
16) Dados u = 3ax – 4ay + 2az, v = 2ax + 5ay – 3az e 
 w = 4ax + 7ay + 2az, onde ax, ay e az são os vetores da base 
canônica, calcule 
 
 a) 2u – 3v, b) 3u + 4v – 2w, c) u·v, 
 
d) ||u||, ||v|| e ||w||. 
 
Solução: a) –23ay + 13az b) 9ax – 6ay – 10az c) –20 
 
 d) ||u|| = 29 ||v|| = 38 ||w|| = 69 
 
17) Dado os vetores u = (2, –2, 3), v = (1, –3, 4) e 
 w = (3, 6, –4), encontre o valor de cada uma das expressões 
abaixo. 
 
 a) ||u + v|| b) ||u|| + ||v|| c) ||u – v|| 
 
d) ||u|| – ||v|| e) ||3u – 5v + w|| 
 
Solução: a) 83 = 9,11 b) 17 + 26 = 9,22 c) 3 d) 17 – 26 = –0,98 
 
 e) 466 = 21,59 
 
18) Seja v = (–2, 3, 0, 6). Encontre todos os escalares k tais que 
||kv|| = 5. 
 
Solução: ||kV|| = |k|||v|| = 
2 2 2| | ( 2) 3 6 | | 7k k    7|k| = 5 k = 5/7 ou k = -5/7 
 
19) Considerando os vetores do problema 17, encontre o volume 
do paralelepípedo formado por eles. 
 
Solução: (u, v, w) = 
2 2 3
1 3 4 3
3 6 4

  

 volume = |–3| = 3 
 
20) Considerando os vetores u e v do problema 17, encontre a 
área do paralelogramo formado por eles. 
 
Solução: u × v = ax – 5ay – 4az, Área = ||u × v|| = √42. 
 
21) Um vetor a do plano xy tem comprimento de 9 unidades e 
aponta na direção e sentido que está a 120º anti-horário a partir 
do eixo x positivo e um vetor b naquele plano tem um 
comprimento de 5 unidades e aponta na direção y positiva. 
Encontre a · b. 
 
Solução: utilizando a eq. (1-7) temos: a.b = ||a|| ||b||cos = 9(5)cos(30º) = 38,97 
 
22) Resolva a equação 5x – 2v = 2(w – 5x) em x, sabendo que 
v = (1, 2, –4, 0) e w = (–3, 5, 1, 1). 
 
Solução: Expressando x temos 
 
 x = 2v/15 + 2w/15 = (2, 4, –8, 0)/15 + (–6, 10, 2, 2)/15 = (–4, 14, –6, 2)/15 
 
23) Verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwartz 
para os pares de vetores: 
 
 a) u = (3,2) e v = (4, –1) b) u = (–3, 1, 0) e v = (2, –1, 3) 
 
Solução: a) |u.v| = 10 ||u|| ||v|| = 14,87 10 < 14,87 
 
 b) |u.v| = 7 ||u|| ||v|| = 11,83 7 < 11,83 
 
24) Para quais valores de k, se houver, são u e v ortogonais? 
 
a) u = (2, k, k) e v = (1, 7, k) b) u = (k, k, 1) e v =( k, 5, 6) 
 
Solução: a) (2, k, k).(1, 7, k) = 0 k = –0,30 ou k = –6,70 
 
 b) (k, k, 1).(k, 5, 6) = 0 k = –2 ou k = –3 
 
 
25) Os campos magnéticos atuando num dado ponto do espaço 
são dados por 
 
H1 = –2ax + 3ay + az, H2 = 5ax – 4ay + az, H3 = –2H1. 
 
Encontre o campo magnético resultante, bem como a sua 
intensidade. 
 
Solução: H3 = 4ax – 6ay – az. 
 
 HT = H1 + H2 + H3 = 7ax – 7ay 
 
 A intensidade é ||HT|| = 7√2 
 
26) Determinar o vetor projeção de u = (2, 3, 4) sobre o vetor 
v = (1, –1, 0). 
 
Solução: w = 
2|| ||
u v
v
v

 u.v = –1 ||v||2 = 2 w = (–1/2, 1/2, 0) 
 
27) Sejam os vetores: u = (3, 1, –1) e v = (a, 0, 2). Calcular o 
valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u e v 
seja igual a 2√6. 
 
Solução: ||uv|| = 26 ||uv|| = 
2 24 ( 6) 2 6a a    a = –2 ou a = –4 
 
28) Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam 
coplanares: 
 
a) u = (2, –1, k), v = (1, 0, 2) e w = (k, 3, k) 
b) u = (2, 1, 0), v = (1, 1, –3) e w = (k, 1, –k). 
 
Solução: a) 
2 1
1 0 2 0
3
k
k k

 k = 6 b) 
2 1 0
1 1 3 0
1k k
 

 k = 3/2 
 
29) Dado os pontos A(1, –2, 3), B(2, –1, –4), C(0, 2, 0) e 
D(–1, m, 1), determinar o valor de m para que seja de 20 o 
volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB, AC e 
AD. 
 
Solução: |(AB, AC, AD)| = 20 AB = (1, 1, –7) AC = (–1, 4, –3) AD = (–2, m + 2, –2) 
 
 
1 1 7
1 4 3 20
2 2 2m

  
  
 m = 6ou m = 2 
 
30) O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e 
AD. Sendo M e N os pontos médios de DC e AB, 
respectivamente, calcule 
 
 a) AD + AB b) BA + DA c) AC – BC 
 
d) NA + BC e) MD + MB f) BM – ½ DC 
 
Solução: O paralelogramo é mostrado abaixo 
 
 
 
 a) AC b) –AC c) BA 
 
d) BM ou ND e) MN f) DB 
 
31) A direção de propagação de um onda eletromagnética é 
muitas vezes perpendicular aos campos elétrico e magnético que 
compõem essa onda. Se as direções dos campos elétrico e 
magnético de certa onda é dada, respectivamente, pelos vetores 
E = 2ax – ay + az e H = –ax + 3ay + 2az, encontre um vetor que 
dá a direção de propagação dessa onda 
 
Solução: V = EH = –5ax – 5ay + 5az 
 
32) Verifique se os CPF dados abaixo são CPF validos. 
 
a) 044 474 842 – 37 
b) 159 842 375 – 20 
 
33) Encontre a + b + c considerando os vetores da figura P1-2. 
 
 
Fig. P1-2. 
 
Solução: Como a + b = –c, então a + b + c = 0 
 
34) Considere os vetores da figura P2-1 e mostre que, nessa 
situação, ab = bc = ca. 
 
Solução: Usando o resultado do problema 37 temos 
 
 a(a + b + c) = 0 aa + ab + ac = 0. Então, ab = –ac = ca 
 
 b(a + b + c) = 0 ba + bb + bc = 0. Então bc = -ba = ab 
 
35) Considerando o resultado do problema 38, deduza a lei dos 
senos para a trigonometria plana. 
 
Solução: Considerando o triângulo abaixo 
 
 
 
 ||a|| ||b||sen(180 – C) = ||b|| ||c||sen(180 – A), donde tiramos ||a||/senA = ||c||/senC 
 
 ||b|| ||c||sen(180 – A) = ||c|| ||a||sen(180 – B), donde tiramos ||a||/senA = ||b||/senB 
 
 Logo: ||a||/senA = ||b||/senB = ||c||/senC 
 
36) Prove que se ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2, então u e v são 
ortogonais. 
 
Solução: Vimos que ||u + v||2 = ||u||2 + 2u.v + ||v||2 , então para que a igualdade acima seja satisfeita, 
temos que ter u.v = 0, o que implica ser u e v ortogonais.