Funções trigonométricas

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UFS
DMAI
CHARLES AMORIM
Funções Trigonométricas - Aula I
MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO I
Triângulo Retângulo
Vamos iniciar nosso estudo sobre Trigonometria definindo as relações métricas em um triângulo retângulo.
Considere o triângulo ABC abaixo:
Figura 1: triângulo retângulo
• O lado a = BC oposto ao ângulo reto que mede 90◦ é chamado hipotenusa.
• Os lados b = AC e c = AB são os catetos. Em relação ao ângulo interno θ b é o cateto oposto e c o
cateto adjacente.
Definição 0.1. As relações trigonométricas seno, cosseno e tangente, denotadas por sen θ, cos θ e tg θ , respecti-
vamente, são definidas como
sen θ =
b
a
, cos θ =
c
a
, tg θ =
b
c
.
Em outras palavras podemos dizer:
• O seno de θ é a divisão do cateto oposto a θ pela hipotenusa.
• O cosseno de θ é a divisão do cateto adjacente a θ pela hipotenusa.
• A tangente de θ é a divisão do cateto oposto a θ pelo seu cateto adjacente.
É fundamental observar que cos θ e sen θ dependem apenas do ângulo θ mas não do tamanho do triângulo
retângulo do qual θ é um dos ângulos agudos. Isso faz com que a semelhança de triângulos se torne a base de
sustentação da Trigonometria.
Alguns resultados decorrem destas definições. Um deles usa o famoso Teorema de Pitágoras, que diz que
em um triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Ou seja de
acordo com a figura 1 teŕıamos:
b2 + c2 = a2. (0.1)
Dividindo a equação (0.1) por a2, obtemos
1 =
a2
a2
=
b2 + c2
a2
=
b2
a2
+
c2
a2
=
(
b
a
)2
+
(
c
a
)2
= sen2 θ + cos2 θ.
Assim para todo ângulo agudo θ (isto é, que está entre 0◦ e 90◦) de um triângulo retângulo vale a seguinte
relação:
sen2 θ + cos2 θ = 1. (0.2)
A equação (0.2) é chamada de relação fundamental de da Trigonometria. Além disso, temos que,
tg θ =
b
c
=
b
a
c
a
=
sen θ
cos θ
. (0.3)
Conhecendo essas relações vamos calcular estes valores para alguns ângulos especiais.
1
Exemplo 0.2. Vamos calcular sen 45◦, cos 45◦ e tg 45◦. Utilizaremos a figura 2 para nos auxiliar. Nela temos um
quadrado de lado L e diagonal D.
Figura 2: quadrado
Note que a diagonal D divide o ângulo interno do quadrado que vale 90◦ ao meio, formando deste modo
dois ângulos de 45◦ e dois triângulos retângulos de catetos e hipotenusa medindo L e D respectivamente.
Deste modo pelo Teorema de Pitágoras,
D2 = L2 + L2,
assim temos,
D =
√
2L. (0.4)
A equação (0.4) nos fornece uma fórmula para a diagonal D do quadrado em função do seu lado L e a
usaremos para calcular as relações trigonométricas. Deste modo,
sen 45◦ = cos 45◦ =
L
D
=
L√
2L
=
1√
2
=
√
2
2
, (0.5)
tg 45◦ =
L
L
= 1. (0.6)
Exemplo 0.3. Vamos calcular sen 30◦, cos 30◦, tg 30◦, sen 60◦, cos 60◦, tg 60◦. Utilizaremos o triângulo equilátero
da figura 3 para nos auxiliar.
Figura 3: triângulo equilátero
A altura de um triângulo é o segmento que parte de um de seus vértices e forma um ângulo de 90◦ com o
lado oposto. Esta altura está indicada por H na figura 3. Como nosso triângulo é equilátero, H é mais que a
altura, ela é a bissetriz (divide o ângulo ao meio) e a mediatriz (divide o lado oposto ao meio). Deste modo
notamos que H divide o triângulo equilátero em duas metades, ambas triângulos retângulos de hipotenusa L,
catetos H e L/2 e ângulos agudos 30◦ e 60◦.
Vamos determinar H como função de L, para isso utilizaremos novamente o Teorema de Pitágoras.
L2 = H2 +
(
L
2
)2
,
assim
H =
√
3L
2
.
Agora podemos calcular,
sen 30◦ =
L/2
L
=
1
2
= cos 60◦
2
cos 30◦ =
H
L
=
√
3L/2
L
=
√
3
2
= sen 60◦
tg 30◦ =
L/2
H
=
L/2√
3L/2
=
1√
3
=
√
3
3
tg 60◦ =
H
L/2
=
√
3.
Exerćıcios
1) Pesquise outras relações trigonométricas obtidas a partir das vistas acima, como cotangente, secante e
cossecante.
2) A tangente de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo vale o dobro da tangente do outro.
Sabendo-se que a hipotenusa mede 1 quais os comprimentos dos catetos?
3) Encontre os valores das outras funções trigonométricas sabendo que
cos θ =
x2 − 1
x2 + 1
(x > 1)
4) Use o triângulo retângulo abaixo para provar as seguintes relações para o ângulo agudo θ.
cos θ = sen(90◦ − θ), cotg θ = tan(90◦ − θ), cossec θ = sec(90◦ − θ).
5) Mostre que para todo ângulo agudo θ,
cos2 θ + cos2(90◦ − θ) = 1 = sen2 θ + sen2(90◦ − θ).
6) Encontre o valor exato para
sen2(1◦) + sen2(2◦) + sen2(3◦) + · · ·+ sen2(89◦).
3