MATEMÁTICA - AULA 7_2012

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PROJETO RECUPERA MATEMÁTICA 
COLÉGIO NAVAL – AULA 7 
ÁLGEBRA 
01. Resolver as equações: 
a) + − =24 4 3 0x x 
b) − + =24 12 9 0x x 
c) − + =22 4 3 0x x 
d) − + =23 13 4 0x x 
e) + + =25 17 6 0x x 
f) + − =228 17 3 0x x 
g) − + =2 3 1 0x x 
h) + − =
2
1
0
2 4
x
x 
i) − + =2
5 1
0
4 5
x x 
j) − − =2 0,25 0x x 
k) − − =27 14 14 0x x 
l) − + + =22 7 15 0x x 
 
02. Sendo r e s as raízes da equação − − =22 7 2 0,x x 
determinar, sem resolvê-la: 
a) +r s 
b) .r s 
c) +2 2r s 
d) +
1 1
r s
 
e) +
1 1
r s
 
f) +3 3r s 
 
03. Resolver as equações: 
a) + + =
+ +
1 1 1
0
2a a x a x
 
b) 
−
− =
− + −
2 2
2 2
2
1
2
b aa
x a a x ax
 
c) 
( )
+ =
+ − −
2
2 2
2 5
4
x x a
x a x a x a
 
 
 
04. O conjunto dos valores de m para os quais as equações 
− + =
2
3 8 2 0x x m e − + =22 5 0x x m possuem uma e 
apenas uma raiz real comum é 
a) unitário, de elemento positivo. 
b) unitário, de elemento não negativo. 
c) composto de dois elementos não positivos. 
d) composto de dois elementos não negativos. 
e) vazio. 
 
05. As equações ( )− − + =
4
2 2 0x x e − + =2 0x kx k 
possuem duas raízes em comum. Neste caso, o valor de k está 
entre: 
a) −1 e 1 
b) 0 e 2 
c) 1 e 3 
d) 2 e 4 
e) 3 e 5 
 
 
06. O número de pares ordenados ( ),a b , de números reais tais 
que as equações + + =2 2 0x ax b e + + =2 2 0x bx a 
possuem pelo menos uma raiz comum é : 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
07. Resolver os sistemas: 
a) 
 + =

+ =
2
12
4
x xy
x y
 
b) 
 + =

+ =
2
2 4
2 2
x xy
x y
 
c) 
 − =

+ =
2 2
16
2
x y
x y
 
 
 
ANÁLISE 
 
01. Nos itens abaixo, determine as coordenadas do vértice da 
função: 
a) f(x) = x²-5x+6 
b) f(x) = -x²+ 5x-6 
c) f(x) = 9- 4x – 2x² 
d) f(x) = 3x³-2x-8 
e) f(x) = (x-2)(5-x) 
02. Considere o gráfico do trinômio = + +2y ax bx c , onde 
∆ = −
2
4b ac , e as seguintes afirmativas : 
 
 
 
 
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COLÉGIO NAVAL – AULA 7 
 
y1 
y2 
x2 
 x1 x3 x 
y 
 
 
(I) 
− − ∆
=
1
2
b
x
a
 e 
− + ∆
=
3
2
b
x
a
 
(II) 
−
=
2
2
b
x
a
 
(III) 
−∆
=
2
4
y
a
 
(IV) =
1
y c 
Quantas são as afirmativas verdadeiras ? 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
03. O vértice da parábola de equação = − +2 8y x x c é um 
ponto do eixo dos x se o valor de c for igual a : 
a) −16 
b) −4 
c) 4 
d) 8 
e) 24 
 
04. O gráfico de ( ) = + −2f x ax bx c passa pelo ponto 
( )−1, 0 e possui máximo no ponto ( )2, 3 . O valor de 
− +a b c é igual a : 
a) −
1
3
 
b) −
2
3
 
c) 0 
d) 
2
3
 
e) 
5
3
 
 
GEOMETRIA 
 
 01. Duas cordas intersectam-se no interior de um círculo de 
modo que os segmentos de uma delas possuem medidas iguais 
a 2 e 6 enquanto que os segmentos da outra medem 3 e x . 
O valor de x é igual a 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
02. De um ponto P , exterior a um círculo, traçam-se a secante 
PAB e a tangente PT . Se = 25PA , = 144AB e =PT x . 
O valor de x é igual a: 
a) 61 
b) 62 
c) 63 
d) 64 
e) 65 
 
03. Num círculo de diâmetro igual a 6 , sejam AB e XY duas 
cordas que intersectam-se no ponto P tal que = 4AP e 
= 1PB . À medida o ponto X desloca-se sobre o menor arco 
AB , no sentido de A para B , o extremo Y da corda XY , 
desloca-se de B para A . O valor máximo da medida do 
comprimento de XY é igual a: 
a) −3 5 
b) −4 5 
c) −5 5 
d) −6 5 
e) −7 5 
 
04. Para todo círculo de raio R e qualquer ponto P que diste 
d do centro deste círculo, a expressão −2 2d R é chamada 
Potência do ponto P em relação ao círculo. O menor valor possível 
para a potência de um ponto em relação a um círculo é : 
a) 0 
b) 
c) 
d) ( )−
2
d R 
e) − 2R 
 
05. Na figura abaixo os dois círculos são tangentes. Prove que 
os arcos AB e AC possuem mesma medida. 
 
 
 
 
 
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COLÉGIO NAVAL – AULA 7 
06. Na figura abaixo, r e s são perpendiculares e AB = 2 . BC. 
Calcule o ângulo CÔB. 
 
 
07. Determine a distância entre o circuncentro e o baricentro de 
um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 12. 
 
08. Seja D um ponto qualquer sobre o lado AB de um 
triângulo ABC e seja E um ponto do seu interior onde CD 
intersecta a tangente comum externa aos círculos inscritos nos 
triângulos ACD e BCD . Se = 75CA , = 86CB e = 97AB , 
a medida do segmento CE é igual a: 
a) 16 
b) 18 
c) 20 
d) 24 
e) 32 
 
 
ARITMÉTICA 
 
 01. (EPCAR 1983) A expressão (10%)2 – (5%)2 é equivalente a: 
a) 75% 
b) 7,5% 
c) 0,75% 
d) 25% 
e) 2,5% 
 
02. (UFRJ 2007) Para comprar um computador, Zezinho pediu 
ajuda a seus familiares. O tio deu um quinto do dinheiro; a avó 
ajudou com dezoito por cento do preço do computador; uma tia 
contribuiu com 0,12 do total; os pais de Zezinho pagaram o 
resto. Determine a porcentagem do valor do computador 
assumida pelos pais de Zezinho. 
 
 
03. (UFF 1998) O tratamento com um novo xampu recomenda 
sua aplicação por duas vezes: em cada aplicação devem ser 
utilizados, exatamente, 5% do volume existente no frasco. 
Determine a porcentagem do volume inicial que restará no 
frasco após a segunda aplicação. 
 
04. (UFF 2002) Um jovem recebe mesada dos pais e gasta 45% 
com transporte, 25% com lazer e 30% com lanches. A despesa 
com transporte aumentou em 10%, porém, o valor total da 
mesada foi mantido. Determine o percentual que ele precisa 
reduzir da quantia destinada ao lazer para fazer frente a esse 
aumento, sem alterar sua despesa com lanches. 
 
 
05. Um navio parte com uma tripulação de 800 homens e leva 
víveres para 6 meses. Depois de 1 mês e meio, o comandante 
recebe mais 100 homens e nota que o navio precisará ficar no 
mar 1 mês a mais do que se previa, sendo necessário reduzir a 
ração dos tripulantes. Que fração da primeira ração será a 
segunda ração? 
 
06. (UNB 2002) Uma pilha de melancias tinha 500 kg de massa, 
dos quais 99% eram água e 1% era matéria sólida. Em um dia 
muito quente, as melancias sofreram perda de água por 
evaporação, de forma que a porcentagem de água da massa 
total passou para 98%. Com base nessa situação, faça o que se 
pede, desprezando a parte fracionária do resultado final obtido, 
após efetuar todos os cálculos solicitados. 
a) Calcule a massa, em kg, correspondente à água da pilha de 
melancias antes da evaporação. 
b) Calcule a massa da matéria sólida da pilha de melancias, em 
kg, após a evaporação. 
c) Calcule a massa total da pilha de melancias, em kg, após a 
evaporação. 
 
07. (CN 1983) Duas estradas de iguais dimensões começam 
simultaneamente a ser construídas por 15 operários cada uma 
delas. Mas, exclusivamente devido a dificuldades no terreno, 
percebe-se que enquanto uma turma avançou 
2
3
 na sua obra, a 
outra avançou 
4
5
 da sua. Quantos operários deve-se retirar de 
uma e pôr na outra, para que as duas obras fiquem prontas ao 
mesmo tempo? 
 
08. Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 90% são 
amarelos e 10% são vermelhos. Uma misteriosa doença matou 
muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a 
doença foi controlada verificou-se que no aquário, 75% dos 
peixes vivos eram amarelos. Aproximadamente, que 
porcentagem dos peixes amarelos morreram? 
 
 
 Para exercitar em casa 
 
01. As equações − + =
2
5 6 0x x e − + =
2
7 0x x c 
possuem uma raiz comum. Os valores possíveis de c são 
:4 
PROJETO RECUPERA MATEMÁTICA 
COLÉGIO NAVAL – AULA 7 
a) 10 e 15 
b) 12 e 15 
c) apenas 10 
d) 10 e 12 
e) 10 , 12 e 15 
 
02. Se um inteiro n , maior que 8 é uma solução da equação 
− + =
2
0x ax b e a representação de a no sistema de 
numeração de base n é 18 então, a representação de b no 
sistema de base n é : 
a) 18 
b) 28 
c) 80 
d) 81 
e) 280 
 
03. Se a soma das raízes da equação 
( )− + + − =2 1 1 0mx m x m é 
3
,
2
 determinar: 
a) o produto das raízes 
b) as raízes 
 
04. Uma parábola tem vértice na origem e o eixo y como eixo 
de simetria. Se ela passa pelo ponto ( )= 4,4P a ordenada do 
ponto da parábola de abscissa 6 é igual a : 
a) 
6
2
 
b) 2 6 
c) 6 
d) 9 
e) 24 
 
05. Por um ponto P exterior a um círculo traçam-se duas 
secantes, PAB e PDC tais que = 14PA , = 12AB , = 7PD 
e =DC x . O valor de x é igual a: 
a) 41 
b) 42 
c) 43 
d) 44 
e) 45 
 
06. Num círculo de centro O , a corda BD intersecta o raio 
OC no ponto E . Se = 3DE , = 5EB e = 1BC , o raio do 
círculo é igual a: 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 14 
e) 15 
 
07. (FUVEST 2004) Um reservatório, com 40 litros de 
capacidade, já contém 30 litros de uma mistura gasolina/álcool 
com 18% de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma 
nova mistura gasolina/álcool de modo que a mistura resultante 
tenha 20% de álcool. A porcentagem de álcool nessa nova 
mistura deve ser de: 
a) 20% 
b) 22% 
c) 24% 
d) 26% 
e) 28% 
 
08. (FUVEST 2007) Uma fazenda estende-se por dois 
municípios A e B. A parte da fazenda que está em A ocupa 8% 
da área desse município. A parte da fazenda que está em B 
ocupa 1% da área desse município. Sabendo-se que a área do 
município B é dez vezes a área do município A, a razão entre a 
área da parte da fazenda que está em A e a área total da 
fazenda é igual a 
a) 2/9 
b) 3/9 
c) 4/9 
d) 5/9 
e) 7/9