Exercicios_Algebra_Linear_Cap_6
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Exercicios_Algebra_Linear_Cap_6


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Capítulo 6
Valores próprios e vectores próprios
6.1 Encontrar os valores e vectores próprios das seguintes matrizes:
a) \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u221218
03
 b) \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
24
910
 c) \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
04
30
 d) \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u2212\u2212
21
72
 e) \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
00
00
 f) \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
10
01
6.2 Sabendo que as matrizes do exercício precedente representam transformações lineares
T R R: 2 2\u2192 , represente as rectas que se transformam em si próprias por aplicação de T.
6.3 Encontrar os valores próprios e os vectores póprios para as seguintes matrizes:
a) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
102
012
104
 b) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
\u2212
211
01
503
5
1
 c) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212\u2212
\u2212
4519
026
102
 d) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212
\u2212
\u2212
1134
031
101
e) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212 017
011
105
 f) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212\u2212
201
810
265
6.4 Encontrar os valores próprios e bases para os espaços próprios das seguintes matrizes:
a) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
1000
0210
0101
0200
 b) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212
\u2212
\u2212
2100
7200
0024
00910
6.5 Seja T R R: 2 2\u2192 uma transformação linear definida por
T a a x a x a a a a a x a a x( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 2 0 1 2 1 2 0 2 25 6 2 8 2+ + = + + \u2212 + + \u2212
a) Encontrar os valores próprios da transformação.
b) Encontrar os espaços próprios da transformação.
6.6 Seja T M M: , ,2 2 2 2\u2192 uma transformação linear definida por:
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
+
=\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
222112
211121
2221
1211
2
2
aaa
aaa
aa
aa
T
a) Encontrar os valores próprios de T.
b) Encontrar os vectores próprios de T.
6.7 Prove que a existência de um valor próprio \u3bb = 0, para uma transformação linear T, é
equivalente ao facto de T ser não invertível.
6.8 Quais as dimensões dos espaços próprios de cada uma das matrizes:
a) \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
11
11
 b) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212
\u2212\u2212
\u2212
222
214
241
 c) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
111
111
111
 d) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
330
330
006
 e) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
0000
0000
0044
0044
nota- não calcule os vectores próprios.
6.9 Encontre as matrizes unitárias que diagonalizam
a) \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
31
13
 b) \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212 1
1
i
i
 c) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212
\u2212
\u2212\u2212
23036
030
3602
 d) \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
ab
ba
 em que a e b \u2260 0 são reais.
6.10 Seja \u3be \u3be \u3be= ( , )1 2 , com \u3be1 0\u2260 e \u3be2 0\u2260 , tal que \u3be = 1, usando a norma proveniente
do produto interno usual em R2 ; considere a representação de \u3be em termos de um vector
coluna , \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=
2
1
\u3be
\u3be\u3be , e defina uma matriz R de tipo 2 2× através de [ ]21
2
1 \u3be\u3be\u3be
\u3be\u3be\u3be \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
==
TR .
1. Mostre que \u3bb = 0 é um valor próprio de R e determine um vector próprio
correspondente, de norma unitária.
2. Determine um outro valor próprio de R e um vector próprio correspondente, de norma
unitária. (Lembre que \u3be \u3be \u3be2 1= =T ).
3. Seja U a matriz 3 3× definida "por blocos " como segue:
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=
12
1
T
R
U \u3be
\u3be
Verifique que U U2 = e mostre que se \u3bb é valor próprio de R então também é de U.
4 A matriz 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
1525
5242
521
10
1A é da forma de U com \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=
5
2
5
1
\u3be . Afirma-se que "A é
diagonizavel como matriz real".
a) Justifique a afirmação anterior
b) Concretize-a, indicando uma matriz diagonal \u39b e uma ortogonal P tais que \u39b = P APT .
(Exames)
6.11 Para cada uma das seguintes matrizes: \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
43
21
, \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212 31
11
, \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212 35
23
, diga,
justificando, se é verdadeira alguma das seguintes afirmações:
- A matriz é semelhante a uma matriz diagonal real.
- A matriz é semelhante a uma matriz diagonal complexa.
Se alguma destas asserções for verdadeira indique uma matriz de semelhança.
Nota: Diz-se que a matriz B é semelhante à matriz A se existir uma matriz invertível U
tal que B U AU= \u22121 , recebendo U a designação de matriz de semelhança.
2. Seja A uma matriz complexa n n× tal que A A I* = , em que A A t* = (a transposta
conjugada da matriz que se obtém substituindo cada elemento de A pelo seu omplexo
conjugado).
Mostre que se \u3bb é valor próprio de A então \u3bb = 1.
Sugestão: Comece por mostrar que, usando o produto interno usual de Cn , se tem
Ax Ax x x, ,= , para qualquer vector x Cn\u2208 .
(Exames)
6.12 Considere a transformação linear F C C: 3 3\u2192 que, em relação à base canónica de
C3 , tem representação matricial:
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212=
100
001
010
A
Calcule os valores próprios e os vectores próprios de F e indentifique, justificando, se
existe uma base de C3 em relação à qual a representação matricial de F sejadiagonal. Em
caso afirmativo, indique uma tal base, a correspondente representação matricial diagonal
\u39b e a matriz mudança de base S tal que \u39b = S AS1 .
b) Resolva a alínea precedente para o caso em que F é definida como indicado, mas
substituindo C3 por R3.
c) Prove que existe n N\u2208 tal que F In = e calcule o menor valor de n com esta
propriedade. Prove que A é não-singular e determine as matrizes Ak , para todo o k Z\u2208 ,
naturalmente considerando ( )mm AA 1\u2212\u2212 = , para m N\u2208 .
(Exames)
6.13 Seja A=
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
433
232
001
.
1. Determine os valores e os vectores próprios de A.
2. Calcule a matriz P que representa, em relação à base canónica de R3, a projecção
ortogonal (utilizando o produto interno usual em R3) sobre o espaço próprio de A de
maior dimensão.
3. Represente-se por P( )\u3b1 \u3b1 \u3b1 \u3b11 2 3 4 é matriz de permutação cuja linha i é e i\u3b1 , o elemento \u3b1 i da
base canónica de R4 , para i de 1 a 4. Calcule o determinante da matriz
P P( ) ( )1243 31242+
4. Sabendo que os valores reais \u3b3 e \u3b4 são tais que
1 2
1 1
1 2
1
\u3b3
\u3b4
\u3b4 \u3b3+
=
calcule
1 2
22
\u3b3
\u3b4 \u3b4\u3b3 \u3b4 \u3b4
\u3b3\u3b4 \u3b3 \u3b3
+
(Exames)
6.14 Considere o espaço linear V de todos os polinómios, em que as operações de adição
de polinómios e multiplicação por um escalar são as operações usuais num espaço de
funções. Sejam T, S duas transformações lineares de V em V definidas por: para qualquer
p V\u2208
T p x dp
dx
x x R
S p x xp x x R
( )( ) ( )
( )( ) ( )
= \u2208
= \u2208
\u2200
\u2200
1. Mostre que TS ST IV\u2212 = , em que IV representa a identidade em V.
2. Use a alínea anterior para mostrar que não existe p V\u2208 tal que p é simultaneamente
vector próprio de T e de S.
(Exames)
6.15 Considere a trnasformação linear T R R: 3 3\u2192 que em relação à base canónica de R3
tem a seguinte representação matricial:
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
=
201
030
014
A
1) Calcule os valores próprios da transformação assim como os correspondentes espaços
próprios.
2) Indique justificando se existe uma base de R3 em relação à qual a representação
matricial de T seja diagonal. Em caso afirmativo, indique uma base em relação à qual isso
se verifica.
6.16 Classificar as seguintes formas quadráticas, em definidas positivas, semidefinidas
positivas, definidas negativas, semidefinidas negativas ou indefinidas:
a) x y2 2+ b) \u2212 \u2212x y2 23 c) ( )x y\u2212 2 d) \u2212 \u2212( )x y 2 e) x y2 2\u2212 f) xy
g) 3 3 22 2 2x y z xz yz+ + + + h) 3 3 2 82 2 2x y z xz yz\u2212 \u2212 + +
i) 3 4 4 2 22 2 2x y z xz yz xy+ + \u2212 \u2212 \u2212
6.17 Verificar a positividade do candidato a produto interno em P2:
p t q t a b a b a b a b a b a b a b( ), ( ) = + + + + + +3 4 2 21 1 2 2 3 3 1 3 3 1 2 1 1 2
em que p t a a t a t( ) = + +1 2 3 2 e q t b b t b t( ) = + +1 2 3 2 .
6.18 Classificar as seguintes matrizes, em definidas positivas, semidefinidas positivas,
definidas negativas, semidefinidas negativas ou indefinidas:
a) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
100
020
003
 b) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee\u2212
100
000
005
 c) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
100
290
176
 d) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
\u2212
198
037
004
6.19
Encontrar formas canónicas reais para as matrizes do problema 6.3 que não sejam
diagonalizavéis
6.20 Encontrar formas canónicas de Jordan para as seguintes matrizes:
a) \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
21
02
 b) \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
11
32
 c) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
210
020
003
 d) 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212
\u2212
\u2212
1134
031
101
6.21 Seja \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=
dc
ba
A ,
a) Prove que A é diagonalizável numa matriz real se ( )a d bc\u2212 + >2 4 0
b) Prove que A não é diagonalizável numa matriz real se ( )a d bc\u2212 + <2 4 0
6.22 Mostre que se 0 < <\u3b8 pi , então:
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u2212
=
\u3b8\u3b8
\u3b8\u3b8
cossin
sincos
A
não tem valores próprios reais, dê