livro_14_fisica_geral_iv

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álgEBra linEar
FÍSICA GERAL IV
doPPLER
(1803-1853)
Christian J. doppler 
físico e matemático 
austríaco. Foi professor 
de Física experimental 
na Universidade de 
Viena. Celebrizou-
se pelo princípio 
denominado efeito 
doppler onde observou 
que o comprimento 
de uma onda sonora 
produzida por uma 
fonte em movimento se 
altera. Quando a fonte 
está se aproximando 
do observador, o 
comprimento de onda 
diminui (tornando o 
som mais agudo); e 
quando se afasta, 
se torna maior 
(fica mais grave). 
Fenômeno, conhecido 
até hoje como efeito 
doppler, se manifesta 
também nas ondas 
eletromagnéticas. 
doppler chegou a 
prever que ele seria 
válido para a luz, 
mas isso só pôde ser 
devidamente explicado 
mais tarde, pelo 
francês Fizeau.
Maringá
2010
FÍSICA GERAL IV
Editora da UnivErsidadE EstadUal dE Maringá
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 Comercialização Norberto Pereira da Silva
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 Solange Marly Oshima
Maringá
2010
FoRmAção dE PRoFESSoRES Em FÍSICA - EAd
FÍSICA GERAL IV
João Mura
Maurício Antonio Custódio de Melo
14
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Coleção Formação de professores em Física - Ead
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Mura, João
 Física geral IV / João Mura, Maurício Antonio Custódio de Melo. - Maringá: 
Eduem, 2010. 159p. il. (Coleção formação de professores em física, v. 14)
 
 ISBN 978-85-7628-273-0
 1. Física – Estudo e ensino. I. Mura, João. II. Melo, Maurício Antonio 
Custódio de.
 CDD 21. ed. 530
M972f
3
Sobre os autores ................................................................................... 5
Apresentação da coleção ..................................................................... 7
Apresentação do livro ........................................................................... 9
1 Propriedades Magnéticas da Matéria ................................................11
2 Circuitos de Corrente Alternada ....................................................... 23
3 Equações de Maxwell e Ondas Eletromagnéticas ............................ 39
4 Óptica Geométrica ...........................................................................57
5 Refl exão da Luz em Superfícies Planas e Esféricas. 
 Formação de Imagens. .....................................................................77
6 Refração da Luz Superfícies Planas e Esféricas ............................... 89
7 Olho Humano e Instrumentos Ópticos ..............................................111
8 Óptica Ondulatória ......................................................................... 129
9 Fótons, Elétrons e Átomos ............................................................... 147
10 Referências ................................................................................... 159
umárioS
5
João Mura
Possui graduação em Física (Licenciatura e Bacharelado) pela Universidade Estadual de 
Campinas (1975) e graduação em Direito pela Universidade Estadual de Maringá (1983). O 
professor Mura obteve sua especialização em Ensino de Física Experimental (1979), mestrado 
(2000) e doutorado em Física (2005) pela Universidade Estadual de Maringá. Desde 1976 é 
professor do Departamento de Física da Universidade Estadual de Maringá. Atualmente, ocupa 
o cargo de Professor Associado. 
Maurício Antonio Custódio de Melo
Licenciado em Física pela Universidade Estadual de Maringá (1987), mestrado em Físico-
Química pela Universidade Federal de Santa Catarina (1990), doutorado em Ciências Naturais 
– Física pela Technische Universität Braunschweig na Alemanha (1995) e realizou um pós-
doutorado no Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (1995-1997). Professor da Universidade 
Estadual de Maringá desde 1997, sendo atualmente Professor Associado. 
obre os autoresS
7
Embora	relativamente	recente	no	Brasil,	a	Educação	a	Distância	foi	imaginada	e		im-
plantada com relativo sucesso, há muito tempo em diversas partes ao redor do mundo. 
Já em 1833, na Suécia, uma publicação se referia ao ensino por correspondência, e 
poucos anos depois, na Alemanha, foi fundada a primeira escola por correspondência 
destinada	ao	ensino	de	línguas.	Com	o	advento	da	transmissão	radiofônica,	as	facilida-
des	se	tornaram	reais	e	as	trocas	de	informações	se	agilizaram	e,	consequentemente,	
a	Educação	a	Distância	experimentou	um	crescimento	signifi	cativo.	Fato	semelhante	
ocorreu	com	a	evolução	dos	setores	de	comunicação	televisiva,	e	defi	nitivamente,	a	
Educação a Distância se consolidou incorporando novas formas de comunicação.
O Ministério da Educação, através da Secretaria de Educação a Distância (SEED) 
tem promovido uma ampla difusão de vários cursos a distância, em parceria com di-
versas Instituições Públicas de Ensino Superior (IPES). O curso de Física em EAD da 
Universidade	Estadual	de	Maringá	(UEM)	foi	 implantado	com	total	apoio	desses	ór-
gãos	ofi	ciais.	Possui	disciplinas	idênticas	e	o	mesmo	conteúdo	programático	do	curso	
presencial. 
Entretanto,	 existem	 pontos	 entre	 ambos,	 que	 não	 podem	 convergir	 devido	 ao	
enfoque:	 enquanto	 o	 curso	 presencial	 requer	 uma	metodologia	 característica,	 com	
a	 relação	 professor-discente	 acontecendo	 quase	 que	 exclusivamente	 dentro	 de	 um	
espaço	físico	próprio,	o	curso	a	distância	deveabranger	e	considerar	a	relação	espaço-
-temporal	para	efetivar	o	aprendizado.	A	coleção	que	ora	apresentamos	refl	ete	essa	
preocupação.	Os	 volumes	 foram	escritos	por	professores	que	possuem	experiência	
sufi	ciente	para	elaborar	o	conteúdo	adequado	a	cada	disciplina	e,	de	forma	bastante	
consistente,	eleger	os	tópicos	exigidos	para	a	formação	de	um	licenciado	em	Física.	O	
leitor	perceberá	que,	mesmo	dentro	de	um	único	livro	escrito	por	diversos	autores,	
a	 linguagem	 não	 é	 uniforme	 e	 os	 enfoques	 são	 diferenciados;	 enfi	m,	 preservamos	
tanto	quanto	possível	as	particularidades	respeitando-se	as	experiências	individuais	e,	
certamente,	isso	se	refl	ete	na	apresentação	do	conteúdo	e	no	estilo	de	exposição	do	
presentação da ColeçãoA
FÍsiCa gEral iv
8
material didático. 
Adicionalmente uma parcela do corpo docente do Departamento de Física – UEM 
tem se dedicado à tarefa de produção de textos direcionados a Educação a Distância, 
os Departamentos de Matemática, de Química, de Fundamentos da Educação e de 
Informática	têm	contribuído	com	os	textos	pertinentes	às	disciplinas	que	usualmente	
ministram	na	modalidade	Presencial.	Ao	fi	nal	do	quarto	ano,	a	coleção	contará	com	
mais	de	trinta	volumes.	Esses	foram	gerados	com	o	objetivo	de	proporcionar	ao	dis-
cente da Educação a Distância um material produzido pelo empenho de um conjunto 
de	professores	que	acreditam	que	a	Educação	a	Distância	seja	uma	alternativa	para	
suprir	a	defi	ciência	de	professores	de	Física	no	ensino	médio.	Percebe-se	também	que	
não	é	a	modalidade	de	ensino	que	determina	o	aprendizado,	mas	ele	depende,	acima	
de	tudo,	do	esforço	e	da	dedicação	de	cada	um.	Esperamos	que	essa	coleção	seja	uma	
forma de tornar essa tarefa mais fácil de Física em EAD.
Sonia Maria Soares Stivari
Organizadora da Coleção
9
	 Este	é	o	último	livro	de	física	geral	desta	série.	Desde	o	início	da	construção	dos	
livros	de	física	geral,	sabíamos	que	não	poderíamos,	dentro	de	quatro	livros,	esgotar	todo	
o	conhecimento	de	física	geral.	O	que	pretendíamos	era	dar	uma	base	de	conhecimento	
segura	para	que	o	estudante	pudesse	entender	o	seu	meio	ambiente	dentro	dos	conceitos	
básicos	da	física.	Esperamos	que	o	nosso	objetivo	tenha	sido	alcançado.
Começamos	tratando	do	fenômeno	do	magnetismo	em	materiais.	O	magnetismo	dos	
materiais	teve	nos	últimos	anos	um	avanço	signifi	cativo,	tanto	no	sentido	de	novos	mate-
riais	como	na	sua	aplicabilidade.	O	capítulo	2	descreve	alguns	 fenômenos	relacionados	
a sistemas com corrente alternada, culminando no entendimento da recepção e emissão 
de	ondas	de	rádio	e	outras.	O	capítulo	3,	trata	das	equações	de	Maxwell,	no	sentido	de	
fazer	um	resumo	básico	do	eletromagnetismo	e	com	essas	equações	descrever	a	natureza	
ondulatória	da	luz.	As	equações	de	Maxwell	estão	para	o	magnetismo,	assim	como	as	leis	
de	Newton	estão	para	a	Mecânica.	A	ótica	geométrica	é	vista	nos	capítulos	4,	5,	6	e	7,	onde	
podemos	compreender	o	caminho	de	um	feixe	de	luz	através	de	lentes	ou	refl	etidos	por	es-
pelhos.	Com	esse	conhecimento	podemos	entender	instrumentos	simples	de	ótica	(óculos,	
telescópios,	microscópios,	e	outros).	No	capítulo	8,	apresentamos	o	efeito	de	interferência	
e	o	efeito	de	difração,	o	que	nos	leva	ao	conceito	da	luz	como	onda.	No	capítulo	9,	a	luz	é	
tida com uma partícula, onde podemos entender a emissão e absorção da luz por átomos.
Para um melhor entendimento, cada capítulo tem uma série de exemplos e exercícios 
propostos. Uma atenção especial deve ser dada a estes exemplos e exercícios.
Os	autores	dedicam	esta	pequena	obra	à	memória	da	Professora	Doutora	Marlete	Apa-
recida	Zamprônio.	A	ela,	nossa	homenagem	pelo	esforço,	dedicação	e,	principalmente,	
amizade	demonstrados	por	ela	a	nós	nos	nossos	anos	de	trabalho	e	convivência	mútua.
OS AUTORES
presentação do livroA
11
Propriedades 
Magnéticas da Matéria
1
1.1 introdução 
1.2 diamagnetismo e paramagnetismo
1.3 Ferromagnetismo e paramagnetismo
FÍsiCa gEral iv
12
1 PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
1.1 Introdução 
A palavra magnetismo está conectada ao acontecimento pelo qual um ente tem o poder 
de atrair e infl uenciar outro ente. A origem do nome está ligada ao nome da província de Magnésia 
(região da atual Turquia), que era rica em magnetita (minério de ferro). As propriedades magnéticas 
da matéria foram observadas por povos mesmo da antiguidade. Possivelmente, foram os gregos 
(por volta de 800 a.C.) que refl etiram primeiramente sobre as propriedades da magnetita (Fe2O4). 
Este mineral, que no seu estado natural, comumente tem o poder de atrair o ferro e outros metais.
A primeira aplicação prática de materiais magnéticos foi provavelmente a bússola. É fato 
que a bússola é uma invenção chinesa muito antiga (fi gura 1.1). Os chineses usaram primeiramente 
a bússola viajando pela terra. Estes objetos eram carruagens com uma pequena estátua. A estátua 
poderia girar em torno de um eixo e teria um braço esticado em que fi cava situada uma barra 
magnética. O braço indicava sempre o sul. Estas carruagens com a bússola eram denonimadas 
tschi-nan-kiu. Os imperadores usaram estas carruagens ao visitar regiões remotas de seu império 
vasto. Considera-se ter sido o inventor destas carruagens com a bússola o imperador Tsche-U-
Kung, que governou ao redor de 110 a.C. Existem relatos mais antigos do uso de bússolas pelos 
Chineses.
1.2 Diamagnetismo e Paramagnetismo
Na matéria, a origem de seus momentos magnéticos µ , permanentes ou induzidos, e 
pela natureza da interação entre eles determina o comportamento dos materiais magnéticos em 
um campo magnético aplicado aplB

. Os momentos magnéticos µ podem proceder do momento 
angular orbital e no spin dos elétrons nos íons ou átomos que formam a matéria, portanto, dependem 
da distribuição eletrônica dos átomos e moléculas. A grandeza macroscópica que representa o 
estado magnético de um material é o vetor magnetização, representado pela letra M e é defi nida 
como:
dM
dV
µ→
=

Figura 1.2 Modelo de espiras elementares de corrente. A corrente total no interior é nula, 
mas resulta em uma corrente superfi cial análoga à observada em um solenóide
Vamos considerar uma barra de um material qualquer e um campo magnético aplB

 
aplicado na direção x, conforme mostrada na fi gura 1.2. Segundo a lei de Ampère, a aplicação do 
campo magnético intenso resulta em correntes microscópicas, que podem ser correntes circulares 
e estão em um plano perpendicular a x. A homogeneidade da distribuição das correntes faz com 
que a corrente em qualquer curva interior seja zero, pois as correntes vizinhas se cancelam. Como 
fora do material não existem correntes vizinhas para anular a contribuição interna, resultará em 
uma corrente superfi cial, conforme a Figura 2. Seja mj a intensidade de corrente por unidade de 
comprimento, então, o infi nitesimal da corrente superfi cial é dada por:
mdi j dx=
O momento dipolar magnético mµ é igual ao produto da área A e a corrente superfi cial, 
portanto
( ) ˆmd diA iµ =

( ) ˆm md j dxA iµ =

( ) ˆm md j dV iµ =

onde dV é o elemento de volume e o momento dipolar magnético tem a mesma direção do campo 
magnético aplicado.
Figura 1.1 tschi-nan-kiu: 
primeiras bússolas usadas 
pelos chineses
13
propriedades 
Magnéticas da Matéria
Por defi nição, a magnetização M é: 
m
m
dM j
dV
µ
= =
 O módulo do vetor magnetização é igual à corrente por unidade de comprimento. Este 
resultado demonstra que a unidade da magnetização M é ampères por metro [A/m].
 Voltemos a nossa barra de ferro da fi gura 1.2. O efeito observado é o mesmo de um 
solenóide cilíndrico percorrido por uma corrente elétrica i. O módulo do campo magnético 
produzido por um solenóide de n espiras e corrente elétrica i é dado por m oB niµ= . Substituindo 
nipela magnetização M, temos que o campo magnético B produzido pelas correntes superfi ciais no 
interior de cilindro é dado por:
m oB Mµ=
Este produzido campo magnético mB é resposta a um campo magnético aplB

 aplicado. 
Portanto, o campo magnético resultante B

 é a soma vetorial dos campos extB e mB .
apl mB B B= +
  
apl oB B Mµ= +
  
Aqui podemos começar a defi nir os diferentes tipos de ordens magnéticas. Materiais 
paramagnéticos e ferromagnéticos têm o vetor magnetização M

 na mesma direção e sentido do 
vetor aplB

. Isto quer dizer, que há um aumento do campo magnético resultante. Ao contrário, o 
vetor magnetização M

 tem sentido contrário do vetor aplB

 nos materiais diamagnéticos.
Para os materiais paramagnéticos e diamagnéticos, a magnetização é proporcional ao 
campo magnético aplicado, responsável pelo alinhamento dos dipolos magnéticos no interior do 
material. Podemos, assim sendo, escrever
apl
m
o
B
M χ
µ
=


onde mχ é denominado susceptibilidade magnética. A Tabela 1.1 mostra valores da susceptibilidade 
magnética de diversos materiais. Nos materiais diamagnéticos, a susceptibilidade magnética mχ é 
negativa e independe da temperatura. Nos materiais paramagnéticos, mχ é positiva e depende da 
temperatura (ver fi gura 1.3). 
Material mχ
Diamagnético
Bismuto 51,6 10−− ×
Cobre 50,98 10−− ×
Hidrogênio (1atm) 99,9 10−− ×
Paramagnético
Alumínio 52,3 10−×
Titânio 57,06 10−×
Oxigênio (1atm) 92090 10−×
Tabela 1.1 Exemplo de alguns materiais diamagnéticos e paramagnéticos
Figura 1.3 Dependência da susceptibilidade magnética 
com a temperatura de materiais diamagnéticos e paramagnéticos
Como podemos observar na tabela 1.1, materiais diamagnéticos são aqueles que 
apresentam valores de susceptibilidade magnética pequenos e negativos. A causa do diamagnetismo 
são elétrons emparelhados existentes em quase todos os átomos. O momento magnético orbital 
FÍsiCa gEral iv
14
de um único elétron atômico pode ser calculado considerando um elétron movendo-se em órbita 
circular de raio r. O momento magnético IAµ = associado corrente I e a área A é dado por:
IAµ =
Substituindo a área 2A rπ= e a corrente I q T= , onde é o período de rotação. , por 
sua vez, pode ser escrito como ( ) (2 )T v rπ= , assim,
2 2 1
2 2
q r q r vIA qrv
T r
π πµ
π
= = = =
1
2
qr vµ = ×  
Desta forma obtemos o momento magnético µ associado à carga, ao raio da orbita e à 
velocidade (fi gura 1.4). O valor encontrado experimentalmente é de cerca de alguns magnétons de 
Bohr. Mais tarde, vamos usar este momento para entender outros tipos de materiais magnéticos. 
Por enquanto, vamos nos concentrar em materiais diamagnéticos.
Figura 1.4 Momento magnético de elétron em órbita circular
Podemos entender o fenômeno examinando a fi gura 1.5a, onde dois elétrons emparelhados 
se movem em uma órbita circular com a mesma velocidade, mas em sentidos opostos. Sabemos 
que o momento magnético associando à carga, raio da órbita e a velocidade é dado por:
1
2
qr vµ = ×  
Observamos pela fi gura 1.5a e pela equação acima, que sem campo magnético aplicado, 
os momentos magnéticos 1µ

 e 2µ

 se cancelam. Eles se cancelam, pois os vetores velocidade 
têm a mesma intensidade, mas sentidos opostos. Quando aplicamos um campo magnético aplB

 
(fi gura 1.5b), as cargas negativas experimentam uma força adicional F qv B= ×
 

. O sentido da 
força na primeira carga é para o centro da órbita, no mesmo sentido da força centrípeta. Para que 
a carga permaneça na mesma órbita, ela precisa aumentar a velocidade 1v

 em um v∆

, até que o 
acréscimo de velocidade anule a força adicional. Portanto, o momento magnético 1µ

 da primeira 
carga aumenta. No caso da carga à direita, a força provocada pelo aplB

 é para fora da órbita, 
no sentido contrário da força centrípeta. Portanto, há uma diminuição da velocidade 2v

 em uma 
quantidade v∆

. Assim sendo, o momento magnético 2µ

 diminui. Podemos observar que, quando 
aplicado um campo magnético aplB

, a soma dos momentos magnéticos 1µ

 e 2µ

 não se cancela e a 
resultante tem sentido contrário ao do campo magnético aplicado. Estes materiais são denominados 
de diamagnéticos. Estes momentos magnéticos induzidos responsáveis pelo diamagnetismo são 
da ordem de 10-5 magnetons de Bohr. Este valor é muito menor que os momentos magnéticos 
permanentes dos átomos dos materiais paramagnéticos e ferromagnéticos. Portanto, o momento 
diamagnético dos elétrons emparelhados dos átomos é superado em muito pelo momento do 
alinhamento dos momentos magnéticos.
Figura 1.5 Diamagnetismo – a) sem campo magnético aplicado o momento total é igual a zero. 
b) A aplicação de um campo aplB

 resulta em um momento magnético contrário 
ao campo magnético aplicado, devido à diferença de velocidades dos elétrons
15
propriedades 
Magnéticas da Matéria
1.3 Ferromagnetismo e Paramagnetismo
Nos materiais paramagnéticos e diamagnéticos se o campo aplicado for desligado, 
a magnetização M vai para zero. Os materiais ferromagnéticos, em alguns casos, apresentam 
magnetização mesmo na ausência de um campo aplicado. Podemos entender isto, pois estes materiais 
possuem momentos magnéticos permanentes dos átomos ou elétrons e a interação entre eles é forte 
sufi ciente para um alinhamento dos momentos magnéticos. Quando os momentos magnéticos de 
um material estão totalmente alinhados, o momento magnético por unidade de volume do material 
é igual ao produto do número de átomos por unidade de volume n pelo momento magnético μ de 
cada átomo. A magnetização do material, neste caso, é denominada de magnetização de saturação 
SM e é escrita da seguinte forma:
SM nµ=
Para obtermos o número de átomos por unidade de volume n, temos que utilizar a seguinte 
relação:
 
 
Anúmerode Avogado Nn densidadedomaterial
Massa molar M
ρ=
23
3
6,02 10 
 
 
átomos
kgmoln
kg mM
mol
ρ
 ×     =     
  
O elétron gira em torno de seu próprio eixo, portanto, tem um momento magnético 
intrínseco. Este processo de rotação em torno de seu próprio eixo é denominado de spin. O 
momento magnético do spin do elétron é igual a um magnéton de Bohr Bµ , cujo valor é
24 2 59,27 10 . 5,79 10 /B A m eV Tµ
− −= × = ×
Por conveniência, os valores de momento magnético são geralmente escritos em 
magnétons de Bohr. 
Exemplo 1
Calcule a) a magnetização de saturação e o b) campo magnético para o caso do cobalto, que tem 
1,7 magneton de Bohr por átomo. 
Solucão:
A magnetização de saturação SM é dada por SM nµ= . Para o cobalto, a massa atômica 
358,93 10 /M kg mol−= × e a densidade é 3 38,90 10 /kg mρ = × , portanto,
23
3
3
3
6,02 10 
 
 8,90 10 
58,93 10 
A
átomos
N kgmoln
kgM m
mol
ρ
−
 ×     = = ×     ×   
28 39,09 10 /n átomos m= ×
O magnéton de Bohr 24 2B 9,27 10 .A mµ
−= × , assim,
( ) 28 3 24 21,7 (9,09 10 / )(9, 27 10 . )SM n átomos m A mµ −= = × ×
61, 4 10 .SM A m= ×
O campo magnético no interior é:
m oB Mµ=
7 6(4 10 . / )(1 , 4 10 . )mB T m A A mπ
−= × ×
1,76 mB T=
A principal causa do ferromagnetismo, e também do paramagnetismo, são os elétrons não 
emparelhados existentes em alguns materiais. Como vimos, o momento magnético associado à 
carga, ao raio da órbita e à velocidade é (fi gura 1.4):
1
2
q vrµ = ×  
Portanto, cada átomo que tem um elétron não emparelhado contribui para uma 
magnetização M não nula do material (em geral, os materiais têm menos de um elétron livre por 
átomos).
O paramagnetismo é observado em materiais cujos átomos possuem momentos magnéticos 
que não interagem fortemente. Na ausência de campo magnético aplicado,esses momentos 
magnéticos µ mudam de orientação aleatoriamente com o tempo e a soma total dos momentos 
FÍsiCa gEral iv
16
magnéticos é nula (fi gura 1.6). Os momentos magnéticos tendem a alinhar-se paralelamente a um 
campo magnético aplicado, mas a agitação térmica tende a desalinhar os momentos. Portanto, 
este alinhamento é parcial e dinâmico e depende do valor do campo magnético aplicado e da 
temperatura. A energia potencial de um dipolo magnético de momento µ em um campo magnético 
aplicado aplB

 é dada por:
 apl aplU B cos Bµ θ µ=− = −



A energia potencial é mínima quando o momento e o campo magnético apontam na 
mesma direção ( 00θ = ) e máxima quando o momento e o campo apontam em direções opostas (
0180θ = ). A diferença é igual a 2 aplBµ . Para um momento magnético típico de 1 magnéton de 
Bohr e um elevado valor de campo magnético aplicado de 2T, a diferença de energia potencial é
5 42 2(5,79 10 / )(2 ) 2,32 10aplU B eV T T eVµ
− −∆ = = × = ×
A energia térmica à temperatura ambiente é
5 2(8,62 10 / )(300 ) 2,59 10kT eV K K eV− −= × = ×
Podemos perceber que a agitação térmica é muito maior. Mesmo com um valor elevado 
de campo magnético aplicado, um alinhamento total dos momentos magnéticos não é possível, 
a menos que a temperatura seja sufi cientemente baixa. No caso anterior, a energia térmica se 
iguala à diferença da energia potencial em 2,7 K. Para um alinhamento total seria necessário uma 
temperatura menor que 2,7 K.
Figura 1.6 Paramagnetismo e ferromagnetismo
No ferro, níquel, cobalto e em muitas ligas destes metais é observado o ferromagnetismo. 
O fenômeno é causado por uma forte interação entre os momentos individuais. Esta interação 
é denominada interação de troca, e faz com que os materiais tenham uma energia menor se os 
momentos magnéticos estiverem apontados nos mesmos sentidos do que estiverem apontando em 
sentidos opostos (fi gura 1.6). 
Os materiais ferromagnéticos têm valores positivos muito altos de susceptibilidade 
magnética. Nestes materiais, a aplicação de um pequeno campo magnético externo pode resultar 
em um alto grau de alinhamento dos momentos magnéticos. Nos materiais ferromagnéticos, o 
alinhamento pode persistir mesmo depois que o campo magnético aplicado for zerado (fi gura 
1.6 e 1.7). A agitação térmica sempre tenta provocar desordem nestes sistemas. Acima de uma 
determinada temperatura, denominada temperatura de Curie, a agitação térmica é sufi ciente para 
romper este alinhamento e o material ferromagnético se torna paramagnético.
Vamos analisar um pedaço de ferro no interior de um solenóide. Quando aumentamos a 
corrente I do solenóide, um campo magnético apl oB nIµ= é produzido e o ferro é magnetizado. 
Consideremos o solenóide sufi cientemente longo, de tal forma que possamos ignorar a infl uência 
das extremidades. Assim, podemos escrever o campo magnético resultante B como:
apl oB B Mµ= +
Como ( )/m apl oM Bχ µ= , temos,
( ) 1apl mB B χ= +
O parâmetro ( )1 mχ+ é denominado permeabilidade do material mK e substituindo o 
campo magnético aplicado apl oB nIµ= , portanto,
 m oB K nIµ=
Portanto, o campo magnético resultante B para uma determinada corrente I depende da 
permeabilidade do material mK . Nos materiais ferromagnéticos, o campo magnético observado 
B não varia linearmente com a corrente I, isto é, com o campo magnético aplicado aplB

 (fi gura 
7). Portanto, a permeabilidade mK não é constante. O valor máximo de mK acontece para uma 
magnetização menor do que a magnetização de saturação SM . A tabela 1.2 mostra valores de 
campos magnéticos de saturação o SMµ e o valor de mK de alguns materiais ferromagnéticos.
17
propriedades 
Magnéticas da Matéria
Figura 1.7. Curva de magnetização de um ferromagnético. Observamos a dinâmica dos domínios do 
próprio material. Inicialmente, o material tem seus domínios magnéticos distribuídos de tal forma que 
a magnetização é igual a zero. Com o aumento do campo há um aumento de alguns domínios em 
detrimento de outros. Finalmente, quando o campo é sufi cientemente grande, todos os momentos 
magnéticos estão na mesma direção e a magnetização é máxima e é denominada magnetização
de saturação M
S
. Quando o campo aplicado é desligado o material permanece magnetizado, e a 
magnetização é chamada de magnetização remanente MR. 
No processo de magnetização de um material ferromagnético, dois processos são 
observados (ver fi gura 1.7). O primeiro é o aumento do tamanho dos domínios cuja orientação se 
aproxima da do campo magnético aplicado. Segundo é a variação conjunta da orientação de todos 
os dipolos de um mesmo domínio, passando para uma nova orientação mais próxima da do campo 
magnético aplicado. Quando o campo magnético aplicado é removido, as fronteiras dos domínios 
não retornam completamente à sua confi guração original, e permanece uma magnetização não nula 
no material, chamada de magnetização remanente MR. 
Outros efeitos magnéticos, profundamente relacionados ao ferromagnetismo, são 
encontrados nos materiais, como por exemplo o antiferromagnetismo e o ferrimagnetismo (fi gura 
1.8). Nos materiais antiferromagnéticos, a interação de troca mantém os momentos magnéticos 
adjacentes numa confi guração rigidamente antiparalela. O efeito é uma magnetização nula. 
Acima de uma determinada temperatura, chamada de temperatura de Neel, a agitação térmica 
proporciona a quebra das interações de troca entre os momentos magnéticos e o material passa a ser 
paramagnético. Nos materiais ferrimagnéticos, a interação de troca também mantém os momentos 
magnéticos adjacentes numa confi guração antiparalela, mas como os momentos magnéticos não 
são idênticos, a magnetização não é nula. Como nos casos anteriores, a interação de troca de um 
ferrimagnético é quebrada, quando o material é aquecido acima de uma determinada temperatura.
Figura 1.8. Antiferromagnetismo e ferrimagnetismo.
FÍsiCa gEral iv
18
Temperatura de 
ordenamento magnético 
(temperatura de Curie)
Momento magnético 
μ por átomo
Gadolínio 293,4 K 7,55 μB
Térbio 220 K 9,34 μB
Disprósio 86 K 10,33 μB
Ferro 1044 K 2,217 μB
Cobalto 1360 K 1,729 μB
Níquel 628 K 0,617 μB
EuO 69,2 K 7,0 μB
CrO2 392 K 2,03 μB
Y
3
Fe5O12 560 K 5,03 μB
Tabela 1.2 Propriedades de alguns ferromagnetos.
Exemplo 2
Coloque uma barra de ferro pendurada em fi o pelo centro em um campo magnético inicialmente 
perpendicular à barra. Se a barra for solta, ela começar a oscilar. Descubra o momento magnético 
da barra.
Solução:
Sabemos que o vetor torque τ que age na barra é igual ao produto vetorial entre o vetor momento 
magnético da barra e o vetor campo magnético, assim, 
Bτ µ= ×

 
 Bsenτ µ θ=
Para pequenos ângulos senθ θ≈ , portanto,
( ) Bτ µ θ=−
O torque τ pode ser escrito como o produto entre o momento de inércia I e a aceleração angular α ,
( ) I Bτ α µ θ= =−
Como a aceleração angular α é a segunda derivado da posição angular θ em relação ao tempo, 
temos, 2
2
 d B
dt I
θ µ θ=−
Uma solução possível da equação anterior é ( )Acos tθ ω= , onde ω é a frequência angular. Substituindo a solução possível na equação anterior obtemos
2 B
I
µω =
Assim, o momento magnético µ é
2 I
B
ωµ =
Como é mais fácil medir o período de oscilação T e como 2 / Tω π= , temos fi nalmente
2
2
 4
momento magnético 
I
T B
πµ =
Há duas classes de grandes classes de materiais magnéticos: os isolantes, que têm 
momentos magnéticos permanentes, e os metais, onde o magnetismo é de elétrons itinerantes ou 
de elétrons da banda. Por volta de 1950 foram consolidados os mecanismos básicos do magnetismo 
dos momentos magnéticos permanentes (isolantes), utilizando a mecânica quântica. Naquela época, 
havia grandes mistérios no magnetismo dos metais. Somente em 1963, John Hubbardpropôs um 
modelo para o magnetismo itinerante, que é muito empregado até hoje, mas que tem enormes 
difi culdades de cálculo.
Os materiais magnéticos exercem um grande papel na tecnologia atual, pois encontramos 
aplicações nos mais variados campos, em um grande número de produtos e processos industriais. 
Estas aplicações vão desde imãs permanentes que são usados em fechaduras, motores elétricos, 
19
balanças eletrônicas, sensores de posição, etc., até em análise na medicina e componentes 
sofi sticados que são usados na indústria de computadores e sistemas de comunicação. Atualmente, 
uma das principais aplicações está na área de gravação magnética de dados.
Exercícios
1) Calcule: 
 a) a magnetização de saturação; 
 b) o campo magnético para o caso do ferro, que tem 1 magneton de Bohr por átomo. 
2) Em que temperatura a magnetização de saturação de um material paramagnético será igual a 1% 
do valor de saturação para um campo magnético aplicado de 1T? (considerar Bµ µ= ).
3) Um campo de 1,0 T é aplicado a um gás paramagnético que tem um momento magnético 
de 92090 10−× (oxigênio). A que temperatura a energia cinética do gás se iguala à energia 
necessária para alinhar os momento magnéticos?
4) Coloque uma pequena barra (raio 1mm e 15 mm de comprimento) pendurada em fi o pelo centro 
em um campo magnético de 0,01T inicialmente com um ângulo de 30O em relação à barra. Se 
a barra for solta, ela começará a oscilar com um período de 1 segundo. Descubra o momento 
magnético da barra.
5) Um solenóide é percorrido por uma corrente constante. Quando um líquido é introduzido o 
campo magnético diminui 0,005%. Qual a susceptibilidade magnética do líquido?
6) O núcleo de titânio de um solenóide longo com corrente constante é retirado. Qual é a variação 
percentual do campo magnético?
7) O ferro tem o valor máximo da permeabilidade K = 5500 para um campo magnético aplicado 
41,6 10aplB T
−= × . Calcule a magnetização M.
8) Em que casos a susceptibilidade magnética é positiva?
9) Uma partícula pode ter momento magnético e não ter momento angular?
propriedades 
Magnéticas da Matéria
FÍsiCa gEral iv
20
Anotações
21
propriedades 
Magnéticas da Matéria
Anotações
FÍsiCa gEral iv
22
Anotações
23
Circuitos de 
Corrente Alternada
2
2.1 Corrente alternada
2.2 valor rMs
2.3 resistores em circuitos Ca
2.4 indutores em Circuitos Ca
2.5 Capacitores em circuitos de Ca
2.6 Circuitos lC sem gerador
2.7 Circuito rlC sem gerador
2.8 Circuitos rlC Com gerador
FÍsiCa gEral iv
24
2 CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA
2.1 Corrente alternada
Quase que na sua totalidade a energia elétrica é produzida por geradores de corrente 
alternada (c.a.) e assim transmitida. Entende-se alternada quando a tensão varia com o tempo, 
obedecendo a uma função senoidal (fi gura 2). Usando a indução magnética, a corrente alternada 
é produzida facilmente por geradores, onde a tensão é senoidal. No Brasil, a eletricidade é gerada 
tanto em 50 Hz (Hz = ciclos por segundo) como em 60 Hz. A corrente alternada tem vantagens 
em relação à corrente contínua quanto a transmissão e transformação para o usuário fi nal. Como 
a perda por efeito Joule depende da corrente envolvida, a energia elétrica é transmitida através 
de grandes distâncias em alta tensão e baixa corrente. Ao chegar ao consumidor fi nal, a tensão é 
diminuída. Esta diminuição da tensão é feita através de um transformador, que discutiremos neste 
capítulo. Alguns equipamentos usam diretamente a corrente contínua (alguns motores e sistemas 
resistivos), em outros equipamentos, corrente alternada é facilmente transformada em corrente 
contínua e utilizada. 
A fi gura 2.1 mostra um gerador de corrente alternada, que é constituído de uma bobina de 
área A e N espiras em um campo magnético uniforme.
Figura 2.1 Gerador de corrente alternada c.a.
Tomamos a situação inicial, como mostrada na fi gura 1, quando a normal ao plano da 
bobina faz um ângulo θ com o campo magnético B

, assim, o fl uxo magnético através da bobina 
é dado por:
m NBAcosθΦ =
Se girarmos a bobina com uma velocidade angular ω, o fl uxo que atravessa varia e assim 
é induzida uma tensão entre os terminais da bobina. Tendo δ o ângulo inicial, podemos escrever o 
ângulo θ em função do tempo t, assim, tθ ω δ= +
Assim, o fl uxo é dado por
( )m NBAcos tω δΦ = +
Como a tensão induzida entre os terminais md dtε
Φ= − , temos,
[ ]( )md dNBA cos t
dt dt
ε ω δ
Φ
= − = − +
( )NBA sen tε ω ω δ= + +
A tensão máxima ou tensão de pico produzida é
max NBAε ω= +
 O ângulo inicial δ pode ser escolhido de tal forma que podemos escrever a tensão induzida 
como:
( )´maxcos tε ε ω δ= +
A fi gura 2.2 mostra o gráfi co de tensão induzida. Geralmente os geradores são muito mais 
complexos do que o modelo aqui apresentado, mas o princípio de funcionamento é o mesmo para 
um gerador de bicicleta ou um gerador em Itaipu (fi gura 2.3).
25
Circuitos de 
Corrente alternada
Figura 2.2 Tensão induzida por um gerador de corrente c.a.
Figura 2.3 Descida do primeiro rotor de gerador da 
hidrelétrica de Itaipu (http://www.gromow.com/A/ITAIPU.htm)
 
2.2 Valor RMS
A maioria dos voltímetros e amperímetros é projetada para medir o valor médio quadrático 
(em inglês Root Mean Square = RMS ou rms) das tensões e correntes alternadas, e não o valor de 
pico. O valor rms de uma tensão, rmsε , é defi nido como:
( )2rms medε ε=
 No caso de uma tensão senoidal, o valor médio de 2ε é
( )2 2 21 ( cos( )) 2máx maxmedmed tε ε ω ε = = 
 Portanto, o valor médio quadrático de uma tensão alternada é
1
2rms máx
ε ε=
 Da mesma forma podemos desenvolver o valor médio quadrático de uma corrente 
alternada, e fi ca assim,
1
2rms máx
I I=
 A potência instantânea é dada por P Iε= . A partir desta defi nição e substituindo as 
funções de corrente e tensão dependentes do tempo, podemos calcular a potência média médP , que 
é dada por:
( )méd médP Iε=
[ ]( cos( ))( cos( ))méd máx máx médP t I tε ω ω=
2cos ( )méd máx máxP I tε ω=
1
2méd máx máx
P Iε=
 Usando as relações 
1
2rms máx
I I= e 
1
2rms máx
ε ε= , temos:
méd rms rmsP Iε=
FÍsiCa gEral iv
26
 A lei de Ohm é dada por RIε = . Quando substituímos as funções de corrente e tensão 
dependentes do tempo, obtemos,
( cos( )) ( cos( ))máx máxt R I tε ω ω=
máx máxRIε =
Utilizando as relações conhecidas 
1
2rms máx
I I= e 
1
2rms máx
ε ε= , temos:
rms rmsRIε =
A relação entre a corrente rms e a tensão rms é a mesma que entre a corrente máxima e a 
tensão máxima.
2.3 Resistores em circuitos CA
Figura 2.4 resistor em circuito de corrente alternada c.a.
 
O circuito da fi gura 4 é construído com um gerador de c.a. e um resistor R. Usando a lei 
de malhas de Kirchhoff para este circuito, temos:
0RVε − =
A queda de tensão RV no resistor é RV RI= e a tensão é cos( )máx tε ε ω= , portanto,
cos( ) 0máx t RIε ω − =
 A corrente no resistor é dada por:
cos( )máxI t
R
ε
ω=
 A razão entre a tensão máxima máxε e resistência R é a corrente, que no caso é a tensão 
máxima ( /máxI Rε= ), assim,
cos( )máxI I tω=
Figura 2.5 Corrente e tensão em circuito com resistor e gerador de c.a.
 Podemos observar pela fi gura 2.5 e pelas equações de corrente e de tensão que a corrente 
está em fase com a tensão no resistor. 
Figura 2.6 Potência dissipada no resistor 
27
Circuitos de 
Corrente alternada
 Temos um pequeno problema em defi nir a potência 2P I R= dissipada no resistor. Como 
a corrente oscila (fi gura 2.5), em alguns instantes ela é nula, portanto, a potência nestes instantes 
também é nula. Em outros instantes a corrente é máxima e assim a potência tem o seu maior valor. 
Valores da potência dissipada oscilam entre zero e o valor máximo e estes valoresse repetem 
depois de cada ciclo (fi gura 2.6). Por essa razão, estamos interessados no valor médio da potência 
dissipada no resistor para um ou mais ciclos, assim,
2 2 cos ( )méd max medP I t Rω =  
2 2 cos ( )méd max medP I R tω =  
O valor média da função 2cos ( )tω é igual a ½, portanto
21 
2méd max
P I R=
2.4 Indutores em Circuitos CA
Figura 2.7 Indutor em um circuito CA.
Quando um indutor é ligado aos terminais de um gerador e a corrente está aumentado, 
a variação do fl uxo magnético produz uma tensão contra a eletromotriz, conforme a lei de Lenz 
(fi gura 7). Portanto, a queda de tensão no indutor LV é dada por:
L
dIV V V L
dt+ −
= − =
Usando a lei das malhas de Kirchhoff no circuito, observamos que: 
0LVε − =
0dIL
dt
ε − =
A tensão ε produzida pelo gerador é dada por cos( )máx tε ε ω= , assim
cos( )máx
dIL t
dt
ε ω=
cos( )máxdI t dt
L
ε
ω=
Integrando os dois membros da equação:
cos( )máxdI t dt
L
ε
ω=∫ ∫
sen( )máxI t
L
ε
ω
ω
=
Como ( )(sen )tω não tem dimensão, máxL
ε
ω
 
 
 
 tem que ter dimensão de corrente, e é o 
próprio valor de corrente máxima máxI , assim sendo, 
( )senmáxI I tω=
Podemos escrever ( )sen cos 2t t
πω ω = − 
 
, assim,
cos
2máx
I I t πω = − 
 
 A fi gura 2.8 mostra a corrente e a tensão no circuito. Observamos, tanto pela fi gura como 
pelas funções de corrente e tensão, que a corrente está defasada de 90o em relação à tensão entre os 
terminais do indutor. Isto é simples de perceber. Quando a corrente I é nula, mas está aumentando, 
dI dt é máxima e assim a força eletromotriz induzida no indutor é também máxima. Um quarto 
de ciclo depois, a corrente I é máxima, e dI dt é nula e assim sendo LV é nula.
FÍsiCa gEral iv
28
Figura 2.8 Tensão e corrente em um circuito constituído de um indutor e um gerador de c.a.
 A relação entre a corrente máxima e a tensão máxima é dada por 
máx
máxI L
ε
ω
=
 Esta relação é análoga à relação vista na lei de Ohm ( )V RI= . A grandeza Lω 
é denominada de reatância indutiva LX Lω= . A reatância indutiva tem a mesma grandeza da 
resistência R, isto é, em Ω (ohms). Podemos ver que para uma determinada tensão, quanto menor 
a indutância indutiva, maior será a corrente. A reatância indutiva LX não depende somente da 
indutância L, mas também da frequência ω : quanto menor a frequência, menor a reatância. 
Exemplo 1
Um indutor de 10,0 mH é ligado uma fonte ac de tensão máxima de 20,0 V. Qual é a amplitude 
da corrente se a frequência da fonte for de a) 1,0kHz e b)10,0 kHz
Solução:
a)Temos que a reatância indutiva LX para 1,0 kHz é
( )( )0,010 1000 10 LX L H Hz H Hzω= = =
Portanto, a corrente é escrita como:
20 2
10 
máx
máx
L
VI A
X H Hz
ε
= = =
b)No caso do frequência de 10,0 kHz, temos,
( )( )0,010 10000 100 LX L H Hz H Hzω= = =
A corrente é 20 0, 2
100 
máx
máx
L
VI A
X H Hz
ε
= = =
Como podemos perceber a reatância indutiva LX aumenta com o aumento da frequência, e 
como consequência, a corrente diminui.
2.5 Capacitores em circuitos de CA
Figura 2.9 Circuito composto por um capacitor e um gerador de c.a.
A fi gura 2.9 mostra um circuito composto por um gerador de corrente alternada e um 
capacitor. A tensão gerada é dada por cos( )máx tε ε ω= e para determinar a corrente no sistema 
usamos a lei das malhas de Kirchhoff.
0CVε − =
onde CV é a queda de tensão no capacitor, e é dada por
C
QV V V
C+ −
= + =
assim
cos( ) 0máx
Qt
C
ε ω − =
29
Circuitos de 
Corrente alternada
cos( )máxQ C tε ω=
A corrente é dada por: dQI
dt
=
( )senmáxI C tω ε ω= −
 O resultado da função ( )sen tω não tem dimensão, portanto máxCω ε tem dimensão de 
corrente e é o valor máximo da corrente máx máxI Cω ε= , assim
( )senmáxI I tω= −
 Podemos escrever ( )sen cos( / 2)t tω ω π− = + , portanto,
cos
2máx
I I t πω = + 
 
Figura 2.10 Corrente e a tensão em um circuito de corrente alternada com um capacitor
 A fi gura 2.10 mostra a corrente e a tensão em um circuito de corrente alternada com um 
capacitor. Podemos perceber que a corrente e a tensão não estão em fase, a tensão do capacitor está 
atrasada de 900 em relação à corrente. O processo é simples, a corrente do circuito /I dQ dt= é 
máxima quando a carga Q do capacitor é nula e, portanto, CV é nula. Um quarto de ciclo depois, a 
corrente é nula e a carga é máxima.
 Como vimos antes, o valor da corrente máxima está relacionado com a tensão máxima 
por:
máx máxI Cω ε=
Podemos escrever assim
1/ ( )
máx
máxI C
ε
ω
=
onde 1/ ( )Cω é denominado de reatância capacitiva 1/ ( )CX Cω= . A reatância capacitiva é análoga 
à resistência R da lei de Ohm ( )V RI= , portanto, a dimensão de CX é também dada em Ω (ohms). 
A reatância capacitiva depende do valor da capacitância e da frequência. 
Exemplo 2
Calcule a potência dissipada a) em um indutor em um circuito de corrente alternada e b) em um 
capacitor em um circuito de corrente alternada.
Solução:
a) indutor: a potência é dada por:
P Iε=
A tensão é cos( )máx tε ε ω= e a corrente é ( )senmáxI I tω= , assim,
( )cos( ) senmáx máxP t I tε ω ω=
( )cos( )senmáx máxP I t tε ω ω=
Usando a identidade trigonométrica ( ) ( )cos sen (1/ 2) (2 )t t sen tω ω ω= , podemos escrever a 
equação acima como:
(2 )
2
máx máxIP sen tε ω=
O valor da função (2 )sen tω altera de sinal duas vezes em cada ciclo, portanto os valores positivos 
anulam os negativos. Deste modo o valor médio da potência dissipada em um indutor é nulo.
b) capacitor: a potência é dada por:
P Iε=
No capacitor a tensão é cos( )máx tε ε ω= e a corrente é ( )senmáxI I tω= − , assim,
( )cos( ) senmáx máxP t I tε ω ω= −
( )cos( )senmáx máxP I t tε ω ω= −
FÍsiCa gEral iv
30
Como no caso anterior, podemos escrever ( ) ( )cos sen (1/ 2) (2 )t t sen tω ω ω= , assim sendo
(2 )
2
máx máxIP sen tε ω= −
Os valores da função (2 )sen tω se anulam durante o ciclo. De forma análoga ao indutor, o valor 
médio da potência dissipada em um capacitor é também nulo.
Circuito a.c. Impedância Fase da corrente Relação de amplitude Potência média 
Resistor R R 00 RV RI= méd rms rmsP Iε=
Indutor L LX Lω= -900 L LV X I= 0
capacitor C 1/CX Cω= +900 C CV X I= 0
Tabela 2.1 Circuitos c.a. com gerador
2.6 Circuitos LC Sem Gerador
Figura 2.11 Circuito LC sem gerador. O capacitor está carregado e então a chave S é fechada
Quando um capacitor carregado com uma carga Q é ligado a um indutor L pela chave 
S (fi gura 2.11), uma corrente I fl ui no circuito. Usando a Lei das malhas de Kirchhoff, podemos 
escrever:
0dI QL
dt C
+ =
Note que os sinais da carga do capacitor e da corrente no circuito foram devidamente 
escolhidos. A corrente I pode ser substituída por /I dQ dt= , assim,
2
2 0
d Q QL
dt C
+ =
2
2
1d Q Q
dt LC
 = − 
 
Temos que achar uma solução matemática para a equação anterior que descreve um 
circuito LC, isto é, uma função Q que satisfaça essa equação (denominada equação diferencial de 
segunda ordem). Podemos perceber que a segunda derivada de Q em relação ao tempo não é nula. 
Portanto, Q tem que ser dependente do tempo t. Assim,
2
2
( ) 1 ( )d Q t Q t
dt LC
 = − 
 
Procuramos uma função de ( )Q t , tal que a segunda derivada da função seja igual à 
função original com um sinal negativo. As funções trigonométricas seno e cosseno mostram esse 
comportamento, de maneira que podemos construir uma solução em torno de uma ou de ambas as 
funções. Uma sugestão para uma função-solução de x da equação anterior é:
( ) ( )0 0Q t Q cos tω=
 Substituindo a função solução e a segunda derivada na equação diferencial de segunda 
ordem, temos,
( ) ( )2 0 0
1w Acos t Acos t
LC
ω ω − = − 
 
2
0
1
LC
ω =0
1
LC
ω =
31
Circuitos de 
Corrente alternada
 Isto mostra que ( ) ( )0Q t Q cos wt= é uma solução do circuito LC e que a frequência 
angular 0 1/ LCω = . Este resultado mostra que a carga oscila entre os valores de 0Q− e 0Q+ 
com uma frequência angular 0ω . Para determinar a corrente no circuito, temos que
dQI
dt
=
assim, ( ) ( )0 0 0 0I Q sen t I sen tω ω ω= − = −
 Os gráfi cos da tensão e da corrente são mostrados na fi gura 2.12. Podemos perceber que a 
corrente e a carga não estão em fase, mas oscilam com a mesma frequência angular 0 1/ LCω = .
Figura 2.12 Carga e corrente em um circuito LC
O comportamento de um circuito LC é análogo ao de um sistema massa mola. A indutância 
faz o papel da massa, a carga Q faz o papel da posição e o inverso da capacitância fazendo o papel 
da constante da mola. Num sistema massa mola, a energia total é constante e adota alternadamente 
as formas de energia potencial e de energia cinética. No circuito LC também dois tipos de energia 
se alternam, a energia elétrica armazenada no capacitor e a energia magnética armazenada no 
indutor. A energia elétrica eU é dada por: 2
21 1
2 2e
QU QV
C
= =
Podemos substituir Q por ( )0Q cos wt .
( )
2
20
0
1
2e
QU cos t
C
ω=
 A energia magnética armazenada é:
21
2m
U LI=
Substituindo I por ( )0wQ sen wt− , temos,
( )2 2 20 0
1
2m
U Lw Q cos tω=
 Como 2 1/w LC= , temos,
( )2 20 0
1 1
2m
U L Q sen t
LC
ω=
( )
2
20
0
1
2m
QU sen t
C
ω=
 A energia total do sistema é a soma de energia elétrica e da energia magnética, portanto:
Total e mU U U= +
( ) ( )
2 2
2 20 0
0 0
1 1
2 2Total
Q QU cos t sen t
C C
ω ω= +
( ) ( )
2
2 20
0 0
1
2Total
QU cos t sen t
C
ω ω = + 
 Como ( ) ( )2 20 0cos t sen tω ω+ é igual a 1, temos,
2
01
2Total
QU
C
=
 Isto quer dizer que a energia total do sistema se mantém constante, não varia com o 
tempo. Ainda podemos perceber que a energia total é igual à energia inicialmente armazenada no 
capacitor.
FÍsiCa gEral iv
32
2.7 Circuito RLC Sem Gerador
Figura 2.13 Circuito RLC
O circuito RL não apresentava uma resistência desprezível. Se esta resistência do sistema 
não for desprezível ou se ligarmos um resistor em série com o capacitor e o indutor, teremos um 
circuito RLC, como pode ser visto na fi gura 13. Usando a lei das malhas de Kirchhoff, temos,
0dI QL IR
dt C
+ + =
 Substituindo a corrente /I dQ dt= , temos
2
2 0
d Q Q dQL R
dt C dt
+ + =
 Esta equação é análoga à de um oscilador harmônico amortecido. Aqui a resistência faz o 
mesmo papel da força de arraste. A solução da equação anterior é
( ) 20 cos( ´ )
RT
LQ t Q e w t δ
 − 
 = +
onde 
2
2
1´
4
Rw
LC L
= −
A fi gura 2.14 mostra os gráfi cos de carga ( )Q t e também da corrente ( ) /I t dQ dt= . 
Podemos observar que a amplitude decai obedecendo a uma função exponencial ( 2
RT
Le
 − 
  ). No 
entanto, o sistema continua oscilando ( cos( ´ )w t δ+ ).
Figura 2.14 – Corrente e Carga em um circuito RLC
Se a resistência R for pequena, o valor da frequência angular tende a 1/ow LC= , que é a 
frequência angular de um circuito LC (sem resistor). Também para resistência pequena o termo 
2
RT
Le
 − 
  tende a 1. Assim, a solução tenderá para ( ) 0 cos( )Q t Q wt δ= + , que é a solução do circuito 
LC sem resistor.
Quando 2 /R L C= , o valor de w será igual a zero. Neste caso, ocorre o chamado 
amortecimento crítico (fi gura 2.15). O sistema não oscila mais, e, ao ser deslocado e liberado, 
retorna à posição de equilíbrio sem oscilar.
A condição de R maior que 2 /L C corresponde ao superamortecimento. O sistema não oscila, 
porém, retorna à sua posição de equilíbrio mais lentamente que no caso do amortecimento crítico. 
Figura 2.15 Carga Q em função do tempo em um amortecimento crítico ( 2 /R L C= )
33
Circuitos de 
Corrente alternada
2.8 Circuitos RLC Com Gerador
Figura 2.16 Circuito RLC com gerador
 A fi gura 2.16 apresenta um circuito com resistor indutor e capacitor em série com um 
gerador de corrente alternada. Este circuito é denominado de RLC. Quando aplicamos a lei das 
malhas de Kirchhoff ao circuito RLC, obtemos: 
cos( ) 0máx
dI Qt L IR
dt C
ε ω − − − =
onde ω é a frequência desta tensão gerada pelo gerador de corrente alternada.
Como estamos interessados em determinar a corrente I, podemos substituir Q Idt= ∫ e 
rearranjando, temos,
1 cos( )máx
dIL Idt IR t
dt C
ε ω− − =∫
 A solução desta função é dada por 
cos( )´máxI t
Z
ε
ω δ= +
onde Z é a impedância e é dada por 
( )2 2L cZ X X R= − +
e ´δ é obtida por
( )tan ´ L cX X
R
δ
−
=
 Apesar da aparente complexidade da função da corrente em um circuito RLC, podemos 
observar que a corrente oscila na mesma frequência do gerador e que a amplitude máxima da corrente 
máxI é determinada pelos valores das reatâncias LX e CX (indutiva e capacitiva) e da resistência R.
máx
máxI Z
ε
=
 O cálculo da potência média é simples, pois o indutor e o capacitor não dissipam energia. 
Deste modo a potência média é fornecida somente ao resistor e é dada por:
21
2méd máx
P I R=
Usando a relação / 2rms máxI I= , temos
2
méd rmsP I R=
 Assim, substituído o valor da corrente máxima, temos, 
2
2
rms
médP RZ
ε
=
 A impedância total ao quadrado 2Z é dada por:
( )22 2L cZ X X R= − +
Substituindo os valores da indutância indutiva LX Lω= e da indutância capacitiva 
1/LX Cω= , obtemos, 2
2 21Z L R
C
ω
ω
 = − + 
 
22
2 2 2
2
1LZ R
LC
ω
ω
 = − + 
 
 Em um circuito LC sem gerador, a corrente oscila com uma frequência angular 
1/ow LC= , que denominaremos de frequência natural do circuito. Portanto,
( )
2 22 2 2
2 o
LZ w Rω
ω
= − +
FÍsiCa gEral iv
34
 Assim sendo, a potência média é dada por:
( )
2 2
22 2 2 2
`rms
méd
o
RP
L w R
ε ω
ω ω
=
− +
 O gráfi co da potência média fornecida pelo gerador em função da frequência do próprio 
gerador é mostrado na fi gura 2.17 para dois valores de resistência R. Podemos perceber que quando 
o valor da frequência do gerador ω se aproxima do valor da frequência natural ow a potência 
aumenta. Este aumento da potência em torno da frequência natural é denominado de ressonância. 
Podemos perceber ainda pela análise do gráfi co da fi gura 17, que quando a resistência é pequena, o 
pico de ressonância é estreito, e quando o valor da resistência aumenta, há um alargamento do pico 
de ressonância. O circuito absorve muito mais energia nas proximidades da frequência natural, por 
isso o aparecimento do pico de ressonância. Quando a resistência é grande esta absorção acontece 
em todas as frequências e o pico de ressonância diminui na sua altura e se alarga. Este alargamento 
é determinado pelo parâmetro largura de linha ω∆ , que é a largura do pico medido na metade da 
sua altura. A medida da nitidez da ressonância é o fator Q, que é defi nido como:
0 02 fEQ
E f
ωπ
ω
= ≈ =
∆ ∆ ∆
Os circuitos RLC são usados em receptores de rádio. Variando o valor da capacitância, é 
possível mudar o valor da frequência natural do circuito. A ressonância acontece quando a frequência 
natural do circuito é igual à frequência usada por uma estação de rádio, que se deseja sintonizar. Na 
ressonância existe uma corrente relativamente grande no circuito da antena. Se o fator Q for grande, as 
correntes produzidas pelas frequências das outras estações fora da ressonância são muito menores do 
que as correntes produzidas pela frequência da estação para a qual o circuito esta sintonizado. 
Figura 2.17 Potência média em um circuito RLC com gerador em função da frequência do gerador 
Exemplo 3
Um circuito RLC é construído com um resistor100 R = Ω , um indutor de 30 mH , um capacitor 
de 15 C Fµ= e uma fonte com 10,6 max Vε = e freqüência 50 f Hz= . Calcule impedância Z, a 
corrente rmsI e a potência média médP .
Solução:
A relação entre a frequência f e a frequência angular ω é dada por:
2 fω π=
assim, ( )2 50 314 /Hz rad sω π= =
A indutância capacitiva é dada por:
6
1 1
212 
(314 / )(15 10 )c
X
C rad s Cω −
= = = Ω
×
A indutância capacitiva é dada por:
3(314 / )(30 10 ) 9,4 cX l rad s Cω
−= = × = Ω
A impedância Z é dada por:
( ) ( ) ( )2 2 22 9,4 212 100 225 L cZ X X R= − + = Ω − Ω + Ω = Ω
Para calcular a corrente rmsI , temos que calcular a tensão rms do circuito
 / 2 10,6 / 2 7,5 rms max V Vε ε= = =
35
Portanto, 7,5 
0,0333 
225 
rms
rms
VI A
Z
ε
= = =
Ω
A potência é dissipada no resistor, assim sendo, 
( )2 2(0,0333 ) 100 0,111 méd rmsP I R A W= = Ω =
Transformadores
A tensão produzida por uma hidroelétrica é aumentada para transporte em grandes distâncias, 
então, a tensão é baixada para uso doméstico, e em alguns casos é baixada novamente para uso em 
alguns equipamentos. Portanto, quando há necessidade e aumentar ou baixar a tensão, usamos um 
dispositivo denominado de transformador. A fi gura 2.18 mostra um transformador simples, no qual 
temos duas bobinas que compartilham o mesmo núcleo de ferro. A bobina ligada a uma fonte de 
corrente alternada é chamada de bobina primária, enquanto que a outra bobina é denominada de 
bobina secundária. O núcleo de ferro tem como função de concentrar a linhas de campo magnético, 
aumentar o campo magnético da bobina primária e também fazer com que o fl uxo magnético seja o 
mesmo para ambas bobinas. O funcionamento do transformador está baseado no fato que a bobina 
primária cria um campo variável e induz uma diferença de potencial na bobina secundária. 
Figura 2.18 Transformador. Corrente elétrica, fl uxo magnético e 
diferença de potencial em um transformador 
Vamos considerar um transformador com uma tensão CA V
1
 aplicada na bobina primária 
com N
1
 voltas. A bobina secundária tem N2 voltas. Ignorando as resistências internas, podemos usar 
a lei de malhas de Kirchhoff inicialmente na parte da bobina primária do transformador. Assim, 
1 1 0
magdV N
dt
Φ
− =
1
1
magd V
dt N
Φ
=
Usando agora a lei de malhas de Kirchhoff na parte da bobina secundária do transformador, 
temos:
2 2 0
magdV N
dt
Φ
− =
2
2
magd V
dt N
Φ
=
Como o fl uxo magnético é idêntico para as duas bobinas, podemos igualar as funções de 
variação do fl uxo magnético do lado à bobina primária e da bobina secundária
1 2
1 2
V V
N N
=
Portanto, a tensão induzida 2V é dada por:
2
2 1
1
NV V
N
=
• Para o número de voltas no primário maior que no secundário 1 2N N> , temos que 
2 1 1N N < , portanto 1 2V V> . Isto quer dizer que a tensão no secundário é menor que no 
primário. Neste caso, temos um transformador abaixador de tensão.
• Para o número de voltas no primário menor que no secundário 1 2N N< , temos que 
2 1 1N N > , portanto 1 2V V< . Neste caso, a tensão no secundário é maior que no primário. 
Para este caso temos um transformador elevador de tensão.
Quando ligamos uma resistência R aos terminais da bobina secundária, surge no circuito da bobina 
secundária uma corrente 2I . Em função desta corrente 2I , um fl uxo adicional 2 espiraN Φ na bobina do 
Circuitos de 
Corrente alternada
FÍsiCa gEral iv
36
secundário surge. Este fl uxo se opõe ao fl uxo original. Contudo, a tensão entre os terminais da bobina 
primária é determinada pelo gerador c.a., que não depende do circuito secundário, isto é, a variação do 
fl uxo magnético no primário deve permanecer a mesma, com ou sem a resistência no secundário. 
Assim sendo, para manter o fl uxo original 
1 magN dΦ surge uma corrente adicional 1I . Esta corrente 
no primário produz um fl uxo proporcional à 1 1IN . A relação entre a corrente adicional 1I e a corrente 
2I no secundário é dada por:
1 1 2 2I IN N= −
onde o sinal negativo vem da defasagem das correntes de 1800. Como 1 2 2 1IN N I= − e 
1 2 1 2VN N V= e utilizando os valores rms, temos,
1, 1, 2, 2,Irms rms rms rmsV I V=
O produto rms rmsV I é igual a potencia média médP , por conseguinte, 
1, 2,méd médP P=
 Logo, desprezando as perdas no próprio transformador a potência de entrada é igual à 
potência de saída de um transformador. 
Se o número de voltas 1N e 2N for idêntico, a tensão de entrada é igual à tensão de saída. 
Normalmente, transformadores deste tipo são usados para isolar um equipamento da rede.
Exemplo 4
Vamos considerar um transformador com 400 voltas no primário e 800 voltas no secundário. 
a) Calcule a diferença de potencial no secundário se aplicarmos uma voltagem ac de 120V 
no primário. b) Nesta confi guração, o transformador é elevador ou abaixador de tensão? c) Se 
invertemos o transformador, e aplicarmos uma tensão de 240 V, qual a tensão de saída? Fazendo 
a inversão, o transformador é elevador ou abaixador de tensão?
Solução: 
a)Temos que 1 400N = , 2 800N = e 1 120 V V= , portanto:
2
2 1
1
800
120 240 
400
NV V V V
N
= = =
b) Como a tensão aumentou na saída, temos aqui um elevador de tensão.
c) Se invertermos, temos que,
2
2 1
1
400
240 120 
800
NV V V V
N
= = =
d) Como a tensão diminui na saída, temos aqui um abaixador de tensão.
Na prática, podemos utilizar um transformador que elevador de tensão como um abaixador de 
tensão. O que temos de fazer é invertermos a saída e a entrada do transformador.
Exemplo 5
A resistência de um cabo usado em uma linha de transmissão 
é igual a 0,02Ω/km. Uma potência de 20kW é necessário passar 
por este cabo. Calcule a perda de potência por kilômetro 
(efeito Joule) se a tensão for de 100V e se a tensão for de 5kV.
Solução:
Se a transmissão for com uma tensão for de 120V, temos
20000 
166 
120 
P WI A
V V
= = =
A cada kilômetro temos uma resistência de 0,02Ω, assim o efeito Joule é dado por:
2 555,5 P I R W= =
Se a transmissão for com uma tensão for de 5000V, temos
20000 4 
5000 
P WI A
V V
= = =
A cada kilômetro temos uma resistência de 0,02Ω, assim o efeito Joule é dado por:
2 0,32 P I R W= =
Podemos perceber que a perda quando a tensão é baixa é mais alta do que quando a tensão é alta. 
Por isso, a vantagem de usar linhas de transmissão de alta tensão.
37
Exercícios
1) Quais as vantagens da corrente alternada sobre a corrente contínua?
2) Quais são as potências média dissipadas em um indutor, um capacitor e um resistor quando 
submetidos a corrente alternada? 
3) Quando submetidos a corrente alternada, quais são as diferenças de fases em um indutor, 
capacitor e resistor? 
4) Um capacitor de 50,0 μF é ligado uma fonte ac de tensão máxima de 120 V. Qual é a amplitude 
da corrente se a frequência da fonte for de a) 300Hz e b)1 kHz?
5) Um indutor de 50,0 mH é ligado uma fonte ac de tensão máxima de 120 V. Qual é a amplitude 
da corrente se a frequência da fonte for de a) 300Hz e b)1 kHz?
6) Temos um circuito RC, que é construído com um resistor 10 R = Ω , um capacitor de 150 C Fµ= 
e uma fonte com 7 max Vε = e frequência 60 f Hz= . Calcule indutância capacitiva, a corrente 
rmsI e a potência média médP .
7) Um resistor 10 R = Ω , um indutor de 300 mH , e uma fonte com 7 max Vε = e frequência 
60 f Hz= estão ligados em série (RL) . Calcule indutância indutiva, a corrente rmsI e a 
potência média médP .
8) Um circuito RLC é construído com um resistor 10 R = Ω , um indutor de 300 mH , um capacitor 
de 150 C Fµ= e uma fonte com 7 max Vε = e freqüência 60 f Hz= .Calcule impedância Z, a 
corrente rmsI e a potência média médP .
9) Um capacitor de 150 C Fµ= foi carregado por uma fonte de 10V e depois ligado a um indutor 
de 300 mH. Calcule a frequência de oscilação do circuito e a corrente máxima no circuito.
10) Um resistor 10 R = Ω e um indutor de 300 mH em série são ligados a um capacitor de 
150 C Fµ= carregado. O capacitor foi carregado por uma fonte de 10V. Calcule a frequência 
de oscilação do circuito e determine a equação da carga em função do tempo.
11) Um resistor 10 R = Ω , um indutor de 300 mH , um capacitor de 150 C Fµ= estão ligados a 
uma fonte de corrente alternada de 7 max Vε = . Calcule a frequência de ressonância e a potência 
dissipada na ressonância.
12) A tensão na minha casa é de 120V e tenho um equipamento que funciona com 240 V e uma 
corrente de 15 A. Qual deve ser a relação N
1
 e N2 do transformador? Qual é a corrente de 
entrada?
13) A resistência de um fi o usado em casa é igual a 0,00327Ω/m. Uma potência de 1000W é 
necessário passar por este fi o de 20 metros. Calcule a perda de potência (efeito Joule) se a 
tensão for de 110V e se a tensão for de 220V.
14) Se você pudesse escolher a tensão (110 ou 220 V) e a frequência (50 ou 60 Hz), qual seria a 
sua escolha (justifi que)?
Circuitos de 
Corrente alternada
FÍsiCa gEral iv
38
Anotações
39
Anotações
Circuitos de 
Corrente alternada
FÍsiCa gEral iv
40
Anotações
41
Equações de Maxwell e
Ondas Eletromagnéticas
3
3.1 Corrente de deslocamento, Equações de Maxwell 
 e ondas Eletromagnéticas.
3.2 velocidade de uma onda Eletromagnética
3.3 Energia de uma onda Eletromagnética
3.4 Momento de uma onda Eletromagnética 
3.5 produção e detecção de ondas Eletromagnéticas
3.6 Espectro Eletromagnético
FÍsiCa gEral iv
42
3. EQUAÇÕES DE MAXWELL E ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
3.1 Corrente de Deslocamento, Equações de Maxwell e Ondas Eletromagnéticas.
James Clerk Maxwell (1831 - 1879), grande físico escocês, propôs uma série de quatro 
equações que relacionam os vetores campo magnético B

 e campo elétrico E

 às suas fontes, que 
podem ser cargas elétricas, correntes ou campos variáveis. Portanto, elas delineiam, em princípio, 
todos os problemas clássicos de eletricidade e magnetismo. Infelizmente, em alguns casos elas 
requerem um tratamento matemático sofi sticado demais. Mesmo assim, as equações de Maxwell 
são de imprescindível valor do ponto de vista conceitual, e a importância delas no eletromagnetismo 
é análoga à vista pelas leis de Newton, na mecânica clássica. 
No livro anterior foi apresentada uma introdução do eletromagnetismo. A tabela 1 mostra 
as equações básicas do eletromagnetismo. Você deve estar se perguntando onde está a lei de 
Coulomb ( 2/F kQq r= ) e a Lei de Biot e Savart ( 20 /
4
ˆd IdB r rlµ
π
= ×


). Certamente as duas citadas 
são importantes, mas ambas podem ser deduzidas a partir das equações apresentadas na tabela 3.1. 
1) 
0
1
. no interio
S
rdA QE ε
=∫
 

 Lei de Gauss
2) . 0
S
dAB =∫
 

 Lei de Gauss para o magnetismo
3) .
SC
n
dd B dl A
t
E
d
= − ∫∫



 Lei de Faraday
4) .
C
OB Ild µ=∫



 Lei de Ampère
 
Tabela 3.1. Lista de equações básicas do eletromagnetismo para meios isotrópicos e não dispersivos (vácuo)
Quando observamos a lista de equações básicas do eletromagnetismo, notamos que as 
equações possuem certas similaridades, apesar de assimetrias. Olhando a tabela 3.1, na equação 1, 
temos do lado direito a carga elétrica no interiorQ , mas na equação 2 não encontramos o correspondente 
magnético no lado direito da equação. Essa assimetria se deve ao fato que embora exista centros 
de cargas isolados (elétrons, prótons e outros), não foi até hoje observado na natureza centros 
magnetismo isolados, os chamados monopólos magnéticos. De tal modo, na Lei de Faraday 
(equação 4) observamos do lado direito a corrente elétrica I, mas não encontramos uma corrente 
de monopólos magnéticos na Lei de Ampère (equação 3). Essas duas assimetrias nas equações foi 
motivação para procurar monopólos magnéticos, coisa que ainda não foi observada. 
Ainda na tabela 3.1, podemos observar na lei de Faraday que se há variação do 
campo magnético, existe um campo elétrico (equação 3). Na Lei de Ampère, o efeito contrário 
correspondente (variação do campo elétrico produz um campo magnético) não é contemplado. 
Maxwell apontou uma falha na lei de Ampère. O problema não é só de simetria, mas surge quando 
a corrente é descontínua, com no caso de um capacitor. A fi gura 1 mostra um capacitor sendo 
carregado. Tanto as superfícies S
1
 e S2 são limitadas pela curva C. A corrente que atravessa a 
superfície S
1
 é I, mas a corrente que atravessa a superfície S2 é nula. A Lei de Ampère afi rma que 
a integral do campo magnético ao longo de qualquer curva fechada é proporcional à corrente 
que atravessa qualquer superfície limitada pela curva. Na fi gura 3.1, vemos um caso em que a 
corrente depende da superfície limitada pela curva. Experimentos mostram realmente a existência 
de campo magnético produzido em campos elétricos variáveis no interior de um capacitor.
Figura 3.1 Capacitor de placas paralelas e duas superfícies S
1
 e S2, delimitadas pela curva C (tracejada). 
Podemos observar que a corrente passa pela superfície S
1
, mas não passa pela curva S2
Maxwell sugeriu que a lei de Ampère pode ser generalizada para cobrir todas as situações 
somando um outro termo, que chamou de corrente de deslocamento dI , assim defi nido:
43
Equações de Maxwell e 
ondas Eletromagnéticas
0
e
d
dI
dt
ε
Φ
=
onde eΦ é o fl uxo do campo elétrico e a forma generalizada da lei de Ampère fi ca assim,
. ( )
C
O ddB l I Iµ= +∫



0.
e
O
C
OB
dd Il
dt
µ µ ε
Φ
= +∫



Como o fl uxo elétrico e n
S
E dAΦ = ∫
0. O O n
SC
d Il E dAB µ µ ε= + ∫∫



Exemplo 1
Considerando o capacitor da fi gura 1, com 10 cm de lado, sendo carregado, determine o campo 
magnético no interior das placas, em um ponto a 2 cm do centro, se a corrente instantânea que 
entra na placa positiva é de 2A.
Solução:
Se o capacitor está sendo carregado, a corrente que chega às placas não é constante. Desta forma 
o campo elétrico entre as placas varia com o tempo, assim sendo, temos pela lei da Ampère 
generalizada um campo magnético entre as placas e paralelo as placas. Usando a lei de Ampère 
generalizada, sem corrente (no interior das placas não temos corrente I) 
0.
e
C
O
dd
d
B l
t
µ ε
Φ
=∫



0 (2 ) eO
dB r
dt
π µ ε
Φ
=
O fl uxo elétrico eΦ é o produto da área delimitada pelo raio r 
2( )rπ e o campo elétrico entre 
as placas 0/E σ ε= . A densidade de carga σ é igual à carga total dividida pela área das placas 
A. Assim,
( ) ( )
( )2 00
0 0
//
 2 O O
d r Q Ad A
B r
dt dt
π εσ ε
π µ ε µ ε= =
Somente a carga varia com o tempo e a variação da carga em relação ao tempo é a corrente 
( /dQ dt I= ), assim sendo,
( )
2 2
0
0
 2 O Or rdQB r I
A dt A
µ ε π µ π
π
ε
= =
6 2,5 10
2
OrB I T
A
µ −= = ×
Com a modifi cação da Lei de Ampère, Maxwell resumiu o comportamento dos campos 
elétrico e magnético, bem como suas interações com a matéria, em um grupo de quatro equações, 
vistos na tabela 3.2. Este grupo é denominado de Equações de Maxwell, assim chamadas em honra 
de James Clerk Maxwell, e funciona em meios isotrópicos e não dispersivos (vácuo).
1) 
0
1
. no interio
C
rdA QE ε
=∫
 

 Lei de Gauss
2) . 0
C
dAB =∫
 

 Lei de Gauss para o magnetismo
3) .
C
n
S
dd B dE l A
dt
− ∫∫



 Lei de Faraday
4) . O O O n
SC
dd A
t
l I E
d
B dµ ε µ= + ∫∫



 Lei de Ampère-Maxwell
 
Tabela 3.2 Equações de Maxwell para meios isotrópicos e não dispersivos (vácuo).FÍsiCa gEral iv
44
A lei de Gauss garante que o fl uxo do campo elétrico ( n
C
E dAΦ = ∫ ) através de qualquer superfície 
fechada é proporcional à carga no interior dessa superfície. 
Por sua vez, a lei de Gauss para o magnetismo afi rma que o fl uxo do campo magnético através 
de uma superfície fechada é nulo. Ela é uma consequência da não existência de pólos magnéticos 
isolados.
A lei de Faraday relaciona a integral do campo elétrico ao longo de qualquer curva fechada e 
o negativo da taxa de variação do fl uxo do campo magnético através de qualquer superfície 
fechada é nulo. 
Lei de Ampère-Maxwell ou Ampére generalizada mostra que a integral do campo magnético ao 
longo de qualquer curva fechada é igual à soma de dois termos: o primeiro é o proporcional à 
corrente que atravessa qualquer superfície limitada pela curva: o segundo é o proporcional à taxa 
de variação do fl uxo do campo magnético através da mesma superfície.
Em meios anisotrópicos e dispersivos, os campos E

 e B

 da Lei de Gauss e a Lei de 
Ampère-Maxwell são relacionados D

 e H

 por:
D Eε=
 
 e H Bµ=
 
onde: 
D

 é o campo elétrico de deslocamento ou densidade superfi cial de campo elétrico (unidade SI: 
coulomb por metro quadrado), 
H

 é a intensidade de campo magnético (unidade SI: ampère por metro),
ε é a constante dieléctrica ou permissividade elétrica,
μ é a permeabilidade magnética, 
1) . no interior
S
D d QA =∫


 Lei de Gauss
2) . 0
S
AB d =∫


 Lei de Gauss para o magnetismo
3) . n
C S
dE d B d
t
l A
d
= −∫ ∫



 Lei de Faraday
4) . n
C S
dH d I D dA
dt
l = +∫ ∫



 Lei de Ampère-Maxwell
 
Tabela 3.3 Equações de Maxwell para meios anisotrópicos e dispersivos
Figura 3.2 a) Lei de Faraday - variação do fl uxo magnético induz um campo elétrico. b) Lei de 
Amperè-Maxwell sem corrente elétrica - variação do campo elétrico produz um campo magnético. 
c) Lei de Faraday e Lei de Amperè-Maxwell sem corrente elétrica - variação do fl uxo magnético 
induz um campo elétrico que por sua vez produz um campo magnético
A implicação das equações de Maxwell é que os campos elétricos e magnéticos induzem 
os outros (fi gura 3.2). Este efeito pode ser bastante semelhante ao fato que uma compressão de gás 
45
Equações de Maxwell e 
ondas Eletromagnéticas
gera uma pressão e por sua vez faz uma deformação da área circundante (compressão). Maxwell 
questionou, portanto, se não existe uma onda eletromagnética, análoga à onda mecânica, e quais as 
características que ela deva ter. Para analisar isto, aqui vamos considerar uma onda progressiva na 
direção x. O campo elétrico deve depender do tempo e do espaço no eixo x, assim, 
0
xE E senw t
v
 = − 
 
onde w é a frequência e v é a velocidade da onda. 
Como resultados das equações de Maxwell temos: 
- O campo elétrico 0
xE E senw t
v
 = − 
 
, dependente do tempo, induz um campo magnético, também 
dependente do tempo. 
- Este campo magnético deve estar perpendicular ao campo elétrico. 
- O campo magnético e elétrico estão em fase, isto é tem os valores máximos e mínimos nas 
mesmas posições.
Usando estes resultados das equações de Maxwell, podemos intuir que o campo magnético 
de uma onda eletromagnética é 
0
xB B senw t
v
 = − 
 
A fi gura 3.3 mostra os vetores campo elétrico e campo magnético de um modelo de onda 
eletromagnética 
Figura 3.3 Vetores campo elétrico e campo magnético de uma onda eletromagnética
3.2 Velocidade de uma Onda Eletromagnética
Figura 3.4 Onda eletromagnética passando por dois retângulos de altura h e base dx. 
A alteração do fl uxo do campo elétrico no retângulo da fi gura (a) induz um campo magnético. 
Ao mesmo tempo, a variação do campo magnético no retângulo da fi gura (b) induz um campo elétrico 
A variação do fl uxo do campo magnético da fi gura 3.4b induz um campo magnético, 
portanto,
. B
C
dE dl
dt
Φ
= −∫



 
(lei de Faraday)
Escolhemos fazer a integral de caminho .
C
E dl∫



 sobre um caminho retangular de base dx 
e altura é h da fi gura 4a. Nas bases de tamanho dx , o campo elétrico E

 é perpendicular a dx , 
assim, . 0xE d =


. Fica somente a contribuição dos lados de altura h, assim, 
( ).
C
E d E dE h Eh hdEl = + − =∫



FÍsiCa gEral iv
46
Considerando que o campo magnético B é constante dentro do retângulo de lados h e dx, 
o fl uxo magnético é dado por,
( )B B hdxΦ =
Substituindo o fl uxo magnético BΦ e a integral de .
C
E dl∫



 na lei de Faraday, temos,
dBhdE hdx
dt
= −
dE dB
dx dt
= −
Como 0
xE E senw t
v
 = − 
 
 e 0
xB B senw t
v
 = − 
 
, assim 0
dE w xE cosw t
dx v v
 = − − 
 
 e 
0
dB xB wcosw t
dt v
 = − 
 
, deste modo,
0 0
w x xE cosw t B wcosw t
v v v
   − = −   
   
0
0
E v
B
=
Fazendo um procedimento análogo para a fi gura 3.4a, onde a variação do campo elétrico 
induz um campo magnético, devemos usar aqui a lei de Amperè-Maxwell. Como não temos 
corrente elétrica I, a lei de Amperè-Maxwell fi ca,
. EO O
C
dB d
dt
l ε µ Φ=∫



Escolhemos fazer a integral de caminho .
C
B dl∫



 sobre um caminho retangular de base dx e 
altura é h da fi gura 6b. Nas bases de tamanho dx , o campo elétrico B

 é perpendicular a dx , assim, 
. 0B dx =


. Fica somente a contribuição dos lados de altura h, assim, 
( ).
C
B d B dB h Bh h Bl d= − + + = −∫



Considerando que o campo magnético E é constante dentro do retângulo de lados h e dx, 
o fl uxo elétrico é dado por, ( )E E hdxΦ =
Substituindo a integral de .
C
B dl∫



 e o fl uxo elétrico BΦ na lei de Amperè-Maxwell 
. EO O
C
dB d
dt
l ε µ Φ=∫



, temos,
dEhdB hdx
dt
− =
O O
dB dE
dx dt
ε µ− =
Como 0
xB B senw t
v
 = − 
 
 e 0
xE E senw t
v
 = − 
 
, portanto 0
dB w xB cosw t
dx v v
 = − − 
 
 e 
0
dE xE wcosw t
dt v
 = − 
 
, logo,
0 0O O
w x xB cosw t E wcosw t
v v v
ε µ   − − = −   
   
0
0
1
O O
E
B vε µ
=
Usando o resultado anterior 0
0
E v
B
= , temos, 
1
O O
v
vε µ
=
1
O O
v
ε µ
=
Esta equação descreve a velocidade de onda eletromagnética e é função da constante 
dieléctrica ou permissividade elétrica no vácuo Oε e da permeabilidade magnética no vácuo Oµ
. Substituindo os valores tabelados de 12 2 28,85 10 / .O C N mε
−= × e 7 2 24 10 /O Ns Cµ π −= × , obtemos,
12 2 2 7 2 2
1
299863380 /
(8,85 10 / . )(4 10 / )
v m s
C N m Ns Cπ− −
= =
× ×
47
Equações de Maxwell e 
ondas Eletromagnéticas
A velocidade das ondas eletromagnéticas no espaço livre é denominada frequentemente 
por c, assim sendo, 299863380 /c m s=
Foi uma incrível fusão de toda a óptica na eletrodinâmica. A primeira demonstração 
satisfatória veio com Heinrich Hertz, em 1880, quinze anos depois que Maxwell havia predito 
teoricamente. Hertz construiu um aparelho para produzir e detectar ondas de rádio VHF ou UHF, 
como mostrado na fi gura 3.5
Figura 3.5 Descoberta das ondas eletromagnéticas por Heinrich Hertz
3.3 Energia de uma Onda Eletromagnética
A energia é descrita por sua intensidade e o momento por unidade de tempo e por unidade 
de área é denominada pressão de radiação.
A intensidade I é igual a potência média médP por unidade de área A perpendicular a 
propagação da onda, assim,
médPI
A
=
A potência média de uma onda é:
( )med
méd
E
P
t
∆
=
∆
A taxa temporal da energia é igual ao produto entre a densidade média da energia médu e