Solucoes do Capitulo 1
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Solucoes do Capitulo 1


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Algumas soluções do capítulo 1.
1.2 a) (x, y, z) = (2,\u22121, 4)
b) x = \u22122 + t, y = 3\u2212 t, z = t
c) x1 = 6, x2 = \u22121, x3 = \u22124, x4 = 1
d) x1 = 56 + 16x4 \u2212 19x5, x2 = 35 + 9x4 \u2212 11x5, x3 = 15 + 3x4 \u2212 4x5
e) x1 =
31
3
, x2 = 13, x3=
31
3
.
1.2 a) AB =
[
\u22121 0
1 0
]
BA =
\uf8ee
\uf8f0 \u22121 4 \u221222 \u22128 4
4 \u221216 8
\uf8f9
\uf8fb
b) AB =
[
0 0
0 0
]
BA =
\uf8ee
\uf8f0 0 0 02 \u22128 4
4 \u221216 8
\uf8f9
\uf8fb
1.3 a)
\uf8ee
\uf8f0 \u22127 \u22122 \u221267 12 8
\u221215 \u22121 \u22125
\uf8f9
\uf8fb b)
\uf8ee
\uf8f0 \u22123 5 \u221240 3 24
12 \u221227 0
\uf8f9
\uf8fb
1.4
[
1 n
0 1
]
1.5
[
cosn\u3b8 \u2212 sinn\u3b8
sinn\u3b8 cosn\u3b8
]
1.8 x1 =
31
44
, x2 = \u2212
37
44
, x3=
51
22
.e x1 = \u22125, x2 = 2, x3 = 5
a)
\uf8ee
\uf8f0 \u22121 2 15 \u22128 \u22126
\u22123 5 4
\uf8f9
\uf8fb b)
\uf8ee
\uf8f0 \u221253 23 43\u22121 0 1
7
3
\u22121
3
\u22124
3
\uf8f9
\uf8fb c)
\uf8ee
\uf8f0 14 8 38 5 2
3 2 1
\uf8f9
\uf8fb
d)
\uf8ee
\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 \u22122 1 0
0 1 \u22122 1
0 0 1 \u22122
0 0 0 1
\uf8f9
\uf8fa\uf8fa\uf8fb (existem duas alíneas d) em certos enunciados)
\uf8ee
\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0 1
2
0 \u22121 0 1
1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 \u22121
\u22123 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1
2
9 0 \u22123 0 1 0
\uf8f9
\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
e)
[
cos \u3b8 sin \u3b8
\u2212 sin \u3b8 cos \u3b8
]
f)
[
cosh \u3b8 \u2212 sinh \u3b8
\u2212 sinh \u3b8 cosh \u3b8
]
1.10 1
ad\u2212bc
[
d \u2212b
\u2212c a
]
e ad\u2212 bc \ufffd= 0
1.11 a)\u3b1 \ufffd= 11, sistema possível e determinado. Se \u3b1 = 11 e \u3b2 = 20 o sistema
é possível e indeterminado, com uma variável livre e solução x = \u221230 + 29z,
y = 10\u2212 8z, se \u3b1 = 11 e \u3b2 \ufffd= 20 o sistema é impossível.
b) Caso \u3b1 = 1 sistema indeterminado com solução x = 9 \u2212 46t, y = 1 \u2212
3t, z = \u22123 + 16t. Caso \u3b1 \ufffd= 1 o sistema é possível e determinado com solução:(
\u221219
3
, 0, 7
3
, 1
3
)
.
c) \u3b1 \ufffd= 0 e \u3b1 \ufffd= 6, o sistema é possível e determinado.
1
Caso \u3b1 = 0 \u3b2 = \u22122
3
o sistema é indeterminado tendo a sua solução dimensão
1, e se \u3b1 = 0 \u3b2 \ufffd= \u22122
3
o sistema é impossível.
Caso \u3b1 = 6 \u3b2 = \u2212 2
63
o sistema é indeterminado tendo a sua solução dimensão
1, e se \u3b1 = 6 \u3b2 \ufffd= \u2212 2
63
o sistema é impossível.
1.12 Todos
1.13
1 a) Impossível b) Impossível
2 a) Impossível b) a \ufffd= 0 e a \ufffd= \u22128
3
, o sistema é possível e determinado.
Caso a = 0 b = 0 o sistema é indeterminado tendo a sua solução dimensão 1
e se a = 0 b \ufffd= 0 o sistema é impossível.
Caso a = \u22128
3
b = 0 o sistema é indeterminado tendo a sua solução dimensão
1, se a = \u22128
3
, b \ufffd= 0 o sistema é impossível.
1.14 a) (1, 1, 1)
b) a \ufffd= \u22125 possível e determinado. Se a = \u22125 e se c = 1 o sistema
é indeterminado existindo uma variável livre: x1 = 2 + 2x3, x2 = 1 \u2212 3x3,
finalmente se a = \u22125 e se c \ufffd= 1 o sistema é impossível.
c)
\uf8ee
\uf8f0 23 53\u22121
2
\u22123
5
6
\u22122
3
\uf8f9
\uf8fb
1.15
1) a \ufffd= 17
2
o sistema é possível e determinado.
a = 17
2
e b = 1
3
o sistema é possível e indeterminado, com grau de indeter-
minação 1. Finalmente se a = 17
2
e b \ufffd= 1
3
o sistema é impossível.
3) A\u22121 =
\uf8ee
\uf8f0 \u221235 15 3106
5
\u22122
5
\u2212 1
10
\u22122 1 0
\uf8f9
\uf8fb e
\uf8ee
\uf8f0 xy
z
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 15\u22122
5
1
\uf8f9
\uf8fb (A segunda coluna da
inversa de A).
2