Sistema linear 3x3 exercícios

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M14Sistemas Lineares
Matemática15
a) Substituindo os valores dados para x, y e z no sistema de equações,
obtém-se:
� a 0 1 0 2a − a = 1, ou seja, a = 0
� a 0 1 − 2a 0 a = 1, ou seja, 1 = 1
� −a − 1 0 2a 0 a = 1, ou seja, a = 1
Logo, não existe solução desse tipo.
b) Somando membro a membro as duas primeiras equações, obtém-se x = 1.
Somando membro a membro a primeira e a terceira, obtém-se y = 1.
Somando membro a membro a segunda e a terceira, obtém-se z = 1.
Logo, a única solução é x = 1, y = 1 e z = 1.
a) Existe uma solução do tipo x = a 0 1, y = 2a e z = a?
b) Ache todas as soluções do sistema.
x 0 y − z = 1
x − y 0 z = 1
−x 0 y 0 z = 1
18 (PUC-RJ) Dado o sistema .
1
4
2
4
3
x 0 3y − 4z = 0
3x 0 y = a
4x 0 bz = 0
19 (UFPR) A respeito do sistema de equações
, em que a e b são números reais,
é correto afirmar:
a) Se a = 0, existe algum valor de b para o qual o sistema
é impossível.
b) Se o valor de b for tal que o determinante da matriz
 
1 3 4
3 1 0
4 0
−
b
não










 seja nulo, o sistema terá uma
única solução, qualquer que seja o valor de a.
c) Se a = 1 e b = 2, o sistema tem mais de uma solução.
d) Se a = b = 0, o sistema possui somente a solução nula.
1
4
2
4
3
a) Correto
Se a = 0, temos o sistema: , que é um sistema
homogêneo, admitindo portanto a solução (0, 0, 0), independentemen-
te do valor de b.
b) Correto
A matriz considerada é a dos coeficientes das incógnitas. Se esse
determinante não for nulo, o sistema será possível e determinado, ten-
do uma única solução.
c) Incorreto
Se a = 1 e b = 2:
x 0 3y − 4z = 0
3x 0 y = 0
4x 0 bz = 0
1
4
2
4
3
x 0 3y − 4z = 0
3x 0 y = 1 Θ y = 1 − 3x
4x 0 2z = 0 Θ z = −2x
1
4
2
4
3
Substituindo na 1a equação:
x 0 3(1 − 3x) − 4(−2x) = 0
x 0 3 − 9x 0 8x = 0 Θ 0x = −3 Θ Ξ x
Segue que o sistema não tem solução.
(Outra resolução seria pelo determinante da matriz dos conjuntos das
incógnitas do sistema.)
d) Correto
Se a = b = 0:
a) Para que valores de m o sistema é determinado?
b) Resolva o sistema para m = 0.
16 (FGV-SP) Considere o sistema linear nas incógni-
tas x, y e z:
x 0 y 0 m 9 z = 3
2x 0 3y − 5z = −7
3x − y 0 z = 4
1
4
2
4
3
a) O sistema é determinado se, e somente se,
x 0 y 0 m 9 z = 3
2x 0 3y − 5z = −7
3x − y 0 z = 4
1
4
2
4
3
 
1 1
2 3 5
3 1 1
0 3 15 2 9 5 2 0
19
11
m
m m m−
−
ϑ − − − − − ϑ ϑ −→ →
b) Para m = 0, temos:
x 0 y = 3
2x 0 3y − 5z = −7
3x − y 0 z = 4
1
4
2
4
3
Θ
x 0 y = 3
y − 5z = −13
−4y 0 z = −5
1
4
2
4
3
x 0 y = 3
y − 5z = −13
−19z = −57
1
4
2
4
3
x = 1
y = 2
z = 3
a) Mostre que para a = 1 o sistema é impossível.
b) Encontre os valores do parâmetro a para os quais o sis-
tema tem solução única.
17 (Unicamp-SP) Considere o sistema linear abaixo,
no qual a é um parâmetro real:
ax 0 y 0 z = 1
x 0 ay 0 z = 2
x 0 y 0 az = −3
1
4
2
4
3
a3 − 3a 0 2 ϑ 0 Θ (a − 1)(a2 0 a − 2) ϑ 0
a ϑ 1 e a ϑ −2
 
D
a
a
a
= ϑ
1 1
1 1
1 1
0
b) Para que o sistema linear tenha solução única, pelo teorema de Cramer:
a) Para a = 1 o sistema linear é impossível, pois se reduz a um sistema
de três equações incompatíveis:
x 0 y 0 z = 1
x 0 y 0 z = 2
x 0 y 0 z = −3
1
4
2
4
3
e segue-se que x = y = z = 0.
x 0 3y − 4z = 0
3x 0 y = 0
4x = 0
1
4
2
4
3
Θ
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