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Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral - Funçoes

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2) 
4
)6(3 3
22 xx +
 + c 
3) cx +−−
6
)21( 2
32
 4) cx ++
2
)ln2( 2
 
5) cxxx +++
5
2
3
42
2
5
2
3
2
1
 6) ce
x
++
4
)1( 4
 
7) cx +−
6
)2(cos 3
 8) c
tgx
++
−
1
1
 
9) cxcb
c
a +−− )ln(
2
3 222
2 10) ln(lnx) + c 
11) cx +)2ln(sec
2
1
 12) c
e x
+− 44
1
 
 
13) cxx ++)ln(sec l 14) cgx +−
2
)(cot 2
 
15) cxxtgxxtg +++− )44ln(sec
2
14
4
1
 
16) cxba
b
++ )secln(1 17) c
sensenx x
+− 33
11
 
18) cxtgxxtg ++−
3
3
 19) cxxxtg +−+ 2sec2 
20) ctgxgx ++− cot 21) c
b
xarctg
b
a +2
2
22
 
22) c
t
t +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+
32
32ln
12
1
 23) c
sen
sen +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+
θ
θ
2
2ln
4
1
 
24) cxarc +2sec
2
1
 25) cx +−
3
arccos3
 
26) c
x
x +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
+
3
3
5
5ln
56
1
 27) carctgx +)ln( 
28) carctgex + 29) cxarctg +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
3
sec2
6
1
 
30) cxarctg +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
2
1
2
1
 31) cxarcsen +− )32( 
32) 
( ) cxarc ++
3
12sec 
33) cxx +−+− 2
2
1
2
arccos
 
34) c
x
xxx +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−−−+
73
33ln
30
13)743ln(
3
1 2
 
 
35) 
( ) cxarcsenxx +−+−+−
6
33627 2 
36) cxxx +++++ )121ln( 2 
37) cxxx +++−+ )942ln(
2
194
4
3 22
 
38) cxarctgxx +−++−
2
23
2
1.
9
13)8129ln(
9
1 2
 
39) cxsen ++ 212 
40) cearctg
x
+
22
1
 
41) cxarcsen +
1
ln
 
42) ctgxarctg +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
3
2
6
1
 
43) ( ) 3437 23
6
1)23(
21
1 +−+ xx 
Cálculo Diferencial e Integral 
 100
AULA 19 
 
10.3 - INTEGRAIS POR PARTES 
 
∫ ∫−= duvvudvu ... 
 
1) ∫ =dxex x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) ∫ =dxxx .ln.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) ∫ =+ dxxx3 23 
Cálculo Diferencial e Integral 
 101
4) ∫ =++ dxxx )1ln( 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) ∫ =xdxsenesenx 2 
Cálculo Diferencial e Integral 
 102
AULA 19 – EXERCÍCIOS 
 
1) ∫ =arcsenxdx 
 
2) ∫ =xdxsen2 
 
3) ∫ =xdx3sec 
 
4) ∫ =dxsenxx ..2 
 
5) =∫ dxex x .. 23 
 
6) =∫ dxex x.. 23 
 
7) ∫ =dxarctgxx .. 
 
8) ( )∫ =− 321. x
xdxarcsenx 
 
9) ∫ =dxxxtg .sec. 32 
 
10) ∫ =− dxxarctgx 1. 2 
 
11) ∫ =+ 2)1( .lnx dxx 
 
12) ∫ =+ dxx xarcsen 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) cxarcsenxx +−+ 21. 
 
2) cxsenx +−
4
2
2
 
 
3) ctgxxtgxx +++ )ln(sec
2
1.sec
2
1
 
 
4) cxxsenxxx +++− cos22cos.2 
 
5) cxex +− )1(
2
1 22 
 
6) cxxxe x +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−− 122
3
4..
8
3 232 
 
7) cxxarctgx +−+ )1( 2 
 
8) c
x
x
x
arcsenx +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+−− 1
1ln
2
1
1 2
 
 
9) ctgxxxtgxxtgx ++−− )ln(sec
8
1sec
8
1sec
4
1 3 
 
10) cxxarctgx +−−− 1
2
11
2
1 222 
 
11) c
x
x
x
x +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+++− 1ln)1(
ln
 
 
12) 
cxarctgx
x
xxarcsen ++−+1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 103
 
AULA 20 
 
10.4 – INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
 As identidades seguintes são empregadas no cálculo das integrais trigonométricas do 
presente capítulo: 
 
i). 1cos22 =+ xxsen 
ii). xxtg 22 sec1 =+ 
iii). xxg 22 seccoscot1 =+ 
iv). )2cos1(
2
12 xxsen −= 
v). )2cos1(
2
1cos2 xx += 
vi). xsenxsenx 2
2
1cos =⋅ 
vii). [ ])()(
2
1cos yxsenyxsenysenx ++−=⋅ 
viii). [ ])cos()cos(
2
1 yxyxsenysenx +−−=⋅ 
ix). [ ])cos()cos(
2
1coscos yxyxyx ++−=⋅ 
x). xsenx
2
12cos1 2=− 
xi). xx
2
1cos2cos1 2=+ 
xii). ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −±=± xsenx π
2
1cos11 
 
Exemplos: 
1) ∫ =xdxsen2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) ∫ =xdx3cos2 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 104
 
3) ∫ =xdxsen3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) ∫ =xdx6cos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) ∫ =xdxxsen 22 cos 
Cálculo Diferencial e Integral 
 105
6) ∫ =xdxsenxsen 2.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) ∫ =dxxxsen .5cos.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) ∫ =dxxx .2cos.4cos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) ( )∫ =+ dxx .3cos1 23 
Cálculo Diferencial e Integral 
 106
10) ∫ =− dxxcos1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) ∫ =− xsendx 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) =∫ dxxtg .4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) ∫ =xdxg 2cot 3 
Cálculo Diferencial e Integral 
 107
AULA 20 – EXERCÍCIOS 
 
1) ∫ =xdx5cos 
2) ∫ =xdxsen4 
3) ∫ =dxxsenx .2.2cos 34 
4) ∫ =xdxxsen 3cos.3 53 
5) ∫ =xdxxsen 44 cos. 
6) ∫ =dxx
xsen
3 4
3
cos
 
7) ∫ =xdxtg 5 
8) ∫ =xdx2sec4 
9) ∫ =xdxtgx 34 .sec 
10) ∫ =xdxxtg 2sec.2 33 
11) ∫ =xdxxtg 44 sec. 
12) ∫ =xdxg 3cot 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) Cxsenxsensenx ++− 53
5
1
3
2
 
2) Cxsenxsenx ++− 4
32
12
4
1
8
3
 
3) Cxx +− 2cos
10
12cos
14
1 57 
4) Cxx +− 3cos
18
13cos
24
1 68 
5) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++− Cxsenxsenx
8
843
128
1
 
6) Cxx ++− 3531 cos
5
3cos3 
7) Cxxtgxtg ++− secln
24
24
 
8) Cxtgxtg ++ 2
2
12
6
1 3 
9) Cxtgxtg ++
64
64
 ou Cxx +−
4
sec
6
sec 46
 
10) Cxx +− 2sec
6
12sec
10
1 35 
11) Cxtgxtg ++
75
75
 
12) Cxxgxg +++− 3cot
3
13cot
9
1 3 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 108
AULA 21 
 
10.5 – INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 
 Esta técnica é usada para integrar funções racionais próprias, isto é, funções da forma 
)(
)()(
xq
xpxR = , onde p e q são polinomiais e o grau de p(x) é menor que o grau de q(x). A ídéia é 
desdobrar o integrando R(x) em uma soma de funções racionais mais simples, que podem ser 
integradas. 
 É fácil verificar que: 
 
1
1
1
1
1
2
2 +
−+−=− xxx 
 
A expressão à direita é o que se chama uma decomposição em frações parciais de 
1
2
2 −x . 
Pode-se usar esta decomposição para calcular a integral indefinida de 
1
2
2 −x . 
Basta integrarmos cada uma das frações da decomposição, obtendo: 
 ∫ ∫ ∫ +−+−=− dxxdxxdxx 1111122 
 
O desdobramento do integrando pode ser feito de acordo com os casos seguintes: 
 
CASO 1: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores distintos do 1o grau. Neste 
caso, a cada fator da forma (ax + b), *ℜ∈a e , ℜ∈b , que aparece no denominador, corresponde 
uma fração da forma 
)( bax
A
+ . 
Exemplos: 
 
)1)(1(
2
)1(
2
2 +−=− xxxxx 
 
)1()1()1(
2
2 ++−+=− x
C
x
B
x
A
xx
 
 
Calcule ∫ =−+ −+ dxxxx xx 32 9134 23
2
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 109
CASO 2: O denominador de R(x)