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1 CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI GEOMETRIA ANALÍTICA GUARULHOS – SP 2 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 6 2 DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES ......................................................... 7 2.1 Matriz retangular ........................................................................................................ 8 2.2 Matriz quadrada ......................................................................................................... 8 2.3 Matriz coluna .............................................................................................................. 8 2.4 Matriz linha ................................................................................................................. 9 2.5 Matriz diagonal ........................................................................................................... 9 2.6 Matriz triangular ........................................................................................................ 10 2.7 Matriz escalar ........................................................................................................... 10 2.8 Matriz identidade ...................................................................................................... 10 2.9 Matriz transposta ...................................................................................................... 11 2.10 Matriz simétrica ...................................................................................................... 11 2.11 Matriz nula.. ............................................................................................................ 12 3 OPERAÇÕES COM MATRIZES ................................................................................. 12 3.1 Igualdade....... ........................................................................................................... 12 3.2 Adição........ .............................................................................................................. 13 3.2.1 Propriedade comutativa ......................................................................................... 13 3.2.2 Propriedade associativa ........................................................................................ 13 3.3 Subtração.. ............................................................................................................... 14 3.4 Multiplicação de uma matriz por um escalar ............................................................ 14 3.5 Multiplicação entre matrizes ..................................................................................... 15 3.5.1 Propriedade associativa ........................................................................................ 18 3.5.2 Propriedade distributiva ......................................................................................... 18 3 3.6 Equação matricial ..................................................................................................... 19 4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES .................................................................... 21 4.1 Sistemas homogêneo e não homogêneo ................................................................. 24 5 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ....................................... 27 5.1 Método de eliminação de Gauss .............................................................................. 27 5.2 Método de eliminação de Gauss-Jordan .................................................................. 30 6 DESCRIÇÃO DE VETORES NO ESPAÇO ................................................................. 31 7 OPERAÇÕES BÁSICAS COM VETORES .................................................................. 33 7.1 Vetores no R² ........................................................................................................... 36 7.2 Vetores no R³ e ℝn .................................................................................................. 37 7.3 Vetores iguais ........................................................................................................... 37 7.4 Vetores unitários ...................................................................................................... 38 8 OPERAÇÕES DE PRODUTOS ENTRE VETORES ................................................... 40 8.1 Produto escalar ........................................................................................................ 40 8.2 Produto vetorial ........................................................................................................ 41 8.3 Produto misto ........................................................................................................... 42 8.4 Duplo produto vetorial .............................................................................................. 43 9 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ........................................................... 45 10 BASES DO ℝn .......................................................................................................... 49 10.1 Bases de um subespaço do ℝn ............................................................................. 50 11 EQUAÇÃO DE RETA NO PLANO ............................................................................ 50 11.1 Representação de retas no plano cartesiano ......................................................... 52 11.2 Relações entre retas .............................................................................................. 54 11.2.1 Retas paralelas aos eixos cartesianos ................................................................ 54 11.2.2 Avaliação das posições das retas em função do coeficiente angular .................. 55 4 12 ESTUDO DA RETA NO ESPAÇO ............................................................................. 56 12.1 Equações de retas no espaço ................................................................................ 56 12.1.1 Equação vetorial .................................................................................................. 57 12.1.2 Equação paramétrica .......................................................................................... 58 12.1.3 Equação simétrica ............................................................................................... 58 12.1.4 Equação reduzida ............................................................................................... 59 12.2 Determinação das equações a partir de pontos ..................................................... 59 13 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ........................................................................ 59 14 INTERSEÇÃO ENTRE RETAS ................................................................................. 60 15 CLASSIFICAÇÃO DE RETAS ................................................................................... 61 15.1 Paralelismo e coincidentes ..................................................................................... 61 15.2 Concorrentes e reversas ........................................................................................ 63 16 CIRCUNFERÊNCIAS ................................................................................................ 65 16.1 Posição relativa de um ponto em relação a uma circunferência ............................ 65 16.2 Posição relativa de uma reta em relação a uma circunferência ............................. 66 17 COORDENADAS POLARES .................................................................................... 67 17.1 Coordenadas polares de um ponto ........................................................................ 69 17.2 Retas e circunferências.......................................................................................... 70 17.2.1 Retas ................................................................................................................... 71 17.2.2 Circunferências ................................................................................................... 72 18 SUPERFÍCIES CÔNICAS, CILÍNDRICAS E QUÁDRICAS ....................................... 72 18.1 O que são superfícies? ........................................................................................... 72 18.2 Superfícies cônicas ................................................................................................ 74 18.3 Superfícies cilíndricas ............................................................................................. 76 18.4 Superfícies quádricas ............................................................................................. 79 5 18.4.1 Superfícies Quádricas Centradas Elipsoides ...................................................... 80 18.5 Superfícies Quádricas Centradas Hiperboloides .................................................... 82 18.6 Superfícies Quádricas Não Centradas Paraboloides Elípticas ............................... 84 18.7 Superfícies Quádricas Não Centradas Paraboloides Hiperbólicas ......................... 86 19 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... 87 6 1 INTRODUÇÃO Prezado aluno! O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material é semelhante ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma pergunta, para que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é que esse aluno faça a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a resposta. No espaço virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas poderão ser direcionadas ao protocolo de atendimento que serão respondidas em tempo hábil. Os cursos à distância exigem do aluno tempo e organização. No caso da nossa disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura do texto base e à execução das avaliações propostas. A vantagem é que poderá reservar o dia da semana e a hora que lhe convier para isso. A organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser seguida e prazos definidos para as atividades. Bons estudos! 7 2 DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES Para que você desenvolva uma intuição inicial sobre matrizes, considere o seguinte exemplo hipotético: você e uma amiga são agentes autônomos e atuam em um escritório ofertando produtos financeiros a clientes que queiram investir na formação de poupança. Os produtos financeiros são: fundos de renda fixa (RF), fundos multimercado (M) e planos de previdência (P). Para o mês de janeiro, você e sua amiga elaboraram um quadro com o quantitativo (Quadro 1) que cada um ofertou desses produtos (SANTOS; FERREIRA, 2009). Quadro 1. Quantidade de cada produto financeiro ofertado Os números apresentados nesse quadro podem ser representados como: O arranjo acima corresponde a uma matriz, e cada número desse arranjo é denominado de elemento da matriz. Cada linha representa o quanto de cada produto financeiro você e sua amiga ofertaram — por exemplo, na segunda linha, é visto que sua amiga ofertou 20 fundos de renda fixa, 8 fundos multimercado e 16 planos de previdência. Já cada coluna representa o quanto você e sua amiga ofertaram de cada tipo de produto financeiro — por exemplo, a primeira coluna mostra que você ofertou 14 fundos de renda fixa, e sua amiga ofertou 20 fundos desse mesmo tipo. Dessa forma, uma matriz é simplesmente um agrupamento retangular de números dispostos regularmente em linhas e colunas. O tamanho de uma matriz é definido pelo número de linhas e colunas que ela contém. Assim, uma matriz é dita ser do tipo m × n (leia-se m por n) quando ela tem m linhas e n colunas. No exemplo anterior, a matriz que representa o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga no mês 8 de janeiro é do tipo 2 × 3 (m = 2 e n = 3). Consequentemente, pode-se desenvolver uma classificação de diferentes tipos de matrizes baseada no tamanho delas. 2.1 Matriz retangular É aquela na qual o número de linhas e colunas é diferente, isto é, m ≠ n. A matriz a seguir é retangular, pois é do tipo 2 × 3: Outro exemplo desse tipo de matriz seria o seguinte, que é uma matriz do tipo 3 × 2: 2.2 Matriz quadrada É aquela que contém o mesmo número de linhas e colunas, isto é, m = n. Esse é o caso de uma matriz do tipo 2 × 2: 2.3 Matriz coluna É um caso particular de matriz retangular, composta por uma única coluna. Por isso, é do tipo m × 1. O exemplo a seguir mostra uma matriz coluna do tipo 3 × 1. Uma matriz linha também pode representar as componentes de um vetor e, por isso, é conhecida por vetor linha (SANTOS; FERREIRA, 2009). 9 2.4 Matriz linha É outro caso particular de matriz retangular, pois é composta por uma única linha e, por isso, do tipo 1 × n. O exemplo a seguir mostra uma matriz linha do tipo 1 × 2. Uma matriz linha também pode representar as componentes de um vetor e, por isso, é conhecida por vetor linha (SANTOS; FERREIRA, 2009). Outra classificação importante de matrizes envolve os elementos da matriz. Considere a matriz A dada por: O elemento que aparece na intersecção da primeira linha, i = 1, com a segunda coluna, j = 2, é o número 0. Assim, ele pode ser representado de forma mais geral como a12 = 0. Dessa maneira, cada elemento da matriz é representado por uma “coordenada de localização” na matriz dada por aij, em que o índice i indica a linha, e o índice j indica a coluna em que se pode localizar um determinado elemento da matriz. Neste exemplo, os elementos da matriz são identificados como: a11 = 1, a12 = 0, a21 = 6 e a22 = 4. Ou seja: Para a matriz do tipo 2 × 3 dada por: os elementos da matriz são identificados como: a11 = –1, a12 = 4, a13 = 0, a21 = 1, a22 = –2 e a23 = 3. 2.5 Matriz diagonal Os elementos da diagonal principal de uma matriz são aqueles em que i = j, ou seja, a11, a22, a33, etc. Uma matriz quadrada em que os elementos fora da diagonal 10 principal são todos nulos, isto é, aij = 0 para i ≠ j, é dita ser diagonal. No exemplo a seguir, a matriz B é diagonal, pois os elementos b21 e b12 são nulos (SANTOS; FERREIRA, 2009). 2.6 Matriz triangular Há dois tipos de matriz triangular: a superior, em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, ou seja, e a inferior, em que os elementos acima da diagonal principal são nulos, ou seja, 2.7 Matriz escalar É uma matriz diagonal em que todos os elementos são iguais. 2.8 Matriz identidade É um caso particular da matriz escalar, pois todos seus elementos da diagonal principal são iguais à unidade, isto é, ajj = 1 para i = j. Uma notação convencional para a matriz identidade é rotulá-la por I. A matriz identidade do tipo 3 × 3 é: e a matriz identidade do tipo 2 × 2 é: 11 2.9 Matriz transposta Dada uma matriz A: do tipo 2 × 3, a matriz transposta de A, denotada por , é obtida pela transposição entre a primeira linha e a primeira coluna, e entre a segunda linha e a segunda coluna, resultando em uma matriz do tipo 3 × 2: 2.10 Matriz simétrica Uma matriz quadrada é simétrica quando = A, o que implica na seguinte relação entre os elementos da matriz fora da diagonal principal: aij = aji (SANTOS; FERREIRA, 2009). Por exemplo, amatriz a seguir é simétrica, uma vez que a12 = a21 = 3. Em contrapartida, uma matriz quadrada é antissimétrica se = –A. Por exemplo, é antissimétrica, pois: 12 2.11 Matriz nula É aquela matriz em que todos os elementos são nulos, isto é, aij = 0 para qualquer valor de i e j. 3 OPERAÇÕES COM MATRIZES Depois de conhecidos os diferentes tipos de matrizes, você aprenderá como efetuar algumas operações importantes com matrizes, tais como: adição, subtração, multiplicação por um escalar e, finalmente, multiplicação entre matrizes (WINTERLE, 2014). 3.1 Igualdade Duas matrizes são iguais quando elas têm o mesmo tamanho, e seus elementos são todos iguais. Se as matrizes quadradas A e B do tipo 2 × 2 são iguais, então aij = bij. 13 3.2 Adição A operação de adição entre duas matrizes A e B de mesmo tamanho é realizada por meio da soma direta dos elementos de cada matriz, que estão localizados em uma mesma linha e uma mesma coluna, ou seja, aij + bij (SANTOS; FERREIRA, 2009). A operação de adição tem duas propriedades importantes, descritas a seguir. 3.2.1 Propriedade comutativa Dadas duas matrizes A e B, o resultado das somas A + B e B + A é igual, A + B = B + A 3.2.2 Propriedade associativa Dadas três matrizes A, B e C, o resultado da soma (A + B) com C é igual ao da soma de A com B + C. (A + B) + C = A + (B + C) 14 3.3 Subtração A operação de subtração entre duas matrizes A e B de mesmo tamanho é realizada por meio da subtração direta dos elementos de cada matriz, que estão localizados em uma mesma linha e uma mesma coluna, ou seja, aij – bij. A matriz resultante de operações de adição ou subtração terá sempre o mesmo tamanho das matrizes que foram usadas nessas operações (WINTERLE, 2014). 3.4 Multiplicação de uma matriz por um escalar Um escalar é simplesmente um número puro (que também pode ser visto como uma matriz 1 × 1). Então, a multiplicação de uma matriz A por um escalar c qualquer implica que cada elemento da matriz será multiplicado pelo escalar, c isto é, caij. Por exemplo, se c = 2, então: Observe que, nesse processo de multiplicação, a matriz resultante tem o mesmo tamanho da matriz original A. A operação de multiplicação de uma matriz por um escalar apresenta algumas propriedades, que são descritas a seguir. 15 • Dadas duas matrizes A e B e um escalar c, o resultado da multiplicação do escalar pela soma das matrizes, c(A + B), é igual à soma das matrizes já multiplicadas individualmente pelo escalar, cA + cB. c(A + B) = cA + cB • Dada uma matriz A e dois escalares c e d, o resultado da soma dos escalares multiplicado pela matriz, (c + d)A, é igual à soma da matriz multiplicada individualmente por cada um dos escalares, cA + dA. (c + d)A = cA + dA • Dada uma matriz A e dois escalares c e d, o resultado da multiplicação de um escalar pela matriz já multiplicada pelo outro escalar, c(dA), é igual ao produto dos escalares multiplicado pela matriz, (cd)A. c(dA) = (cd)A 3.5 Multiplicação entre matrizes A multiplicação entre matrizes exigirá de você um pouco mais de atenção. A única condição necessária para que se possa multiplicar duas matrizes, A e B, é que o número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B. Assim, se a matriz A é do tipo m × n, e a matriz B é do tipo p × q, então o produto AB entre as matrizes somente ocorre se n = p. Além disso, o resultado final dessa multiplicação entre as matrizes A e B será uma nova matriz do tipo m × q, ou seja, com o mesmo número de linhas da matriz A, mas com o mesmo número de colunas da matriz B. Em particular, para o caso de duas matrizes quadradas de mesmo tamanho, a matriz resultante do produto entre elas será do mesmo tamanho que elas (WINTERLE, 2014). A existência dessa relação entre o número de colunas de uma matriz com o número de linhas da outra decorre da 16 necessidade de se envolver um mesmo número de elementos para multiplicação entre as matrizes. Considere o seguinte exemplo: uma matriz A do tipo 2 × 3, dada por: e uma matriz B do tipo 3 × 1, dada por: Como o número de colunas de A, que é 3, é igual ao número de linhas de B, que também é 3, essa multiplicação é possível. Observe também que a multiplicação de uma matriz do tipo 2 × 3 (A) por uma matriz do tipo 3 × 1 (B) resulta em uma matriz do tipo 2 × 1 (AB). Operacionalmente, a multiplicação ocorre da seguinte maneira: multiplica- -se a primeira linha da matriz A pela coluna da matriz B, elemento por elemento na ordem que estão dispostos — primeiro elemento da primeira linha de A, 1, com o primeiro elemento da coluna de B, 2, segundo elemento da primeira linha de A, 1, com o segundo elemento da coluna de B, 3, e assim por diante — somando-se os produtos individuais desses elementos, 1 ∙ 2 + 1 ∙ 3 + 2 ∙ 1 = 7, cujo resultado será o primeiro elemento da matriz coluna resultante do produto entre A e B (SANTOS; FERREIRA, 2009). Repete- se o mesmo procedimento para a segunda linha da matriz A, multiplicando-a com a primeira coluna da matriz B, cujo resultado, 2 ∙ 2 + 3 ∙ 3 + 3 ∙ 1 = 13, corresponderá ao segundo elemento da matriz coluna resultante do produto entre A e B. Veja: Agora, considere uma nova matriz A do tipo 1 × 2, dada por: e uma nova matriz B do tipo 2 × 2, dada por: 17 Nesse caso, o resultado da multiplicação da matriz A pela matriz B será uma matriz do tipo 1 × 2. Agora, para você calcular o produto AB, deve multiplicar a linha da matriz A pela primeira coluna da matriz B, 1 ∙ 2 + 3 ∙ 2 = 8, cujo resultado fornece o primeiro elemento da matriz linha resultante do produto entre A e B (WINTERLE, 2014). O segundo elemento dessa matriz é obtido pela multiplicação da linha da matriz A com a segunda coluna da matriz B, 1 ∙ 3 + 3 ∙ 1 = 6. Veja: O último tipo de multiplicação de matrizes relevante é a multiplicação entre duas matrizes quadradas. Considere duas matrizes do tipo 2 × 2, dadas por: A matriz resultante do produto AB também será uma matriz quadrada do tipo 2 × 2 e é operacionalmente obtida como: 18 A operação de multiplicação entre matrizes apresenta algumas propriedades importantes. Considere três matrizes A, B e C, cujos tamanhos permitem realizar as operações de soma e multiplicação para cada situação de interesse (SANTOS; FERREIRA, 2009). 3.5.1 Propriedade associativa O resultado da multiplicação da matriz A pelo produto das matrizes B e C é igual ao produto das matrizes A e B multiplicado pela matriz C: A(BC) = (AB)C 3.5.2 Propriedade distributiva À direita: o resultado da multiplicação da soma das matrizes A e B pela matriz C é igual à soma dos produtos das matrizes A com C e B com C: (A + B)C = AC + BC À esquerda: o resultado da multiplicação da matriz A pela soma das matrizes B e C é igual à soma dos produtos das matrizes A com B e A com C: A(B + C) = AB + AC Contudo, vale a pena observar que, em geral, o produto entre duas matrizes não é comutativo, isto é, AB ≠ BA (note que o produto entre dois escalares é sempre comutativo, ou seja, 2 ∙ 3 = 3 ∙ 2 = 6). Para que você entenda isso, considere duas matrizes quadradas do tipo 2 × 2: O produto AB é dado por: 19 O produto BA é dado por: Logo, quando você compara elemento por elemento em cada uma das matrizes resultantes de AB e BA (por exemplo, (AB)11 = a11 ∙ b11 + a12 ∙ b21 ≠ a11 ∙ b11 + a21 ∙ b12 = (BA)11), você percebe que eles são todos diferentes. No entanto, a partir desse tratamento geral para o produto de duas matrizes, é possível extrair algumas condições particularesque possibilitam gerar AB = BA (SANTOS; FERREIRA, 2009). Uma primeira condição surge quando uma das matrizes é a matriz identidade. Por exemplo, se B = I, então o produto entre A e I será comutativo: (Faça b11 = b22 = 1 e b12 = b21 = 0 nos resultados acima de AB e BA.) A segunda condição particular é aquela em que as duas matrizes são diagonais, ou seja, Nesse caso, o produto entre as duas matrizes é comutativo, pois: (Faça a12 = a21 = 0 e b12 = b21 = 0 nos resultados acima de AB e BA.) 3.6 Equação matricial Uma equação matricial é uma relação de igualdade entre duas ou mais matrizes, assim como ocorre com os escalares — por exemplo, 2x – 4 = 0. Algumas equações matriciais típicas são: A + B = C; A – 2B = 3C; AX = B; A² = X; e assim por diante. 20 21 4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Talvez a primeira questão que lhe venha à mente ao iniciar o seu estudo sobre o conteúdo deste capítulo é: o que é uma equação linear? Então respondemos: uma equação linear pode ser uma equação da reta no plano (que tem duas dimensões — bidimensional), que pode ser escrita como: y = ax + b em que a e b são duas constantes. Por exemplo, y = 2x + 3. Assim, sabendo o valor da variável x, é possível determinar o valor de y e, com essas duas informações, localizar um ponto qualquer no plano. Nesse exemplo, se x = 1, então y = 5. Se uma reta no plano é descrita por uma equação linear, duas retas nesse mesmo plano serão descritas por duas equações lineares. Pronto! Agora você tem um sistema de duas equações lineares (SANTOS; FERREIRA, 2009). O sistema seguinte exemplifica isso. O esboço do gráfico dessas duas retas aparece na Figura 1a. Observe que essas duas retas contêm um ponto P em comum, demarcando o local no plano onde elas se encontram. Encontrar os valores das variáveis x e y desse ponto P significa resolver esse sistema de duas equações lineares. Essa tarefa é simples nesse exemplo. Igualando as duas equações de reta, 3x + 1 = 2x + 5, você encontra o valor de 4 para a variável x. Logo, substituindo esse valor de x em qualquer uma das duas equações de reta, você obtém o valor de y: 13. Será que sempre é possível resolver um sistema de equações lineares? A resposta é dada na Figura 1b. Veja que se trata de duas retas paralelas, ou seja, um sistema de duas equações lineares. E, por isso, elas não se encontram para nenhum valor de x (ou y). Logo, não há solução para esse sistema. 22 Figura 1. Os gráficos representam (a) a intersecção de duas retas em um ponto P e (b) duas retas paralelas que não se cruzam. De modo geral, uma reta no plano pode ser escrita como: ax + by = c em que a, b e c são constantes. Já a equação geral de um plano no espaço tridimensional (comprimento × largura × altura) pode ser escrita como: ax + by + cz = d em que a, b, c e d são constantes. Com efeito, uma equação linear de n variáveis x1, x2, ..., xn é uma equação do tipo: a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b em que os coeficientes a1, a2, ..., an e b são todos constantes. Para uma reta no plano, n = 2 e x1 = x, x2 = y são as variáveis, e a equação linear fica a1x1 + a2x2 = b. Por outro lado, equações do tipo: não são lineares, pois, nas equações lineares, as variáveis aparecem apenas na potência 1 (lembre-se de que x¹ = x, y¹ = 1 e z¹ = 1) e multiplicadas apenas por coeficientes constantes. As variáveis não estão multiplicadas entre si nas equações 23 lineares. Dessa maneira, o conjunto de mais de uma equação linear constitui um sistema de equações lineares. Um exemplo de sistema de equações lineares do tipo 2 × 2 (são duas equações para duas variáveis) é: A solução desse sistema pode ser obtida da seguinte maneira. Resolvendo a primeira equação para y, você obtém y = 6 + x. Substituindo esse resultado na segunda equação, você terá uma equação apenas para a variável x: 3x + 2(6 + x) = 7, logo x = – 1. Então, y = 6 – 1 = 5. Agora, um exemplo de sistema de equações lineares do tipo 3 × 3 (são três equações para três variáveis) é: A solução desse sistema demanda um pouco mais de trabalho. Resolvendo a primeira equação para y, você obtém y = –x. Assim, você pode reescrever a segunda equação para z como uma função apenas da variável x: z = x – 2(–x) – 3 = 3x – 3. Substituindo esses dois resultados para y e z, como funções de x, na terceira equação, você encontra o valor da variável x que satisfaz esse sistema: 2x – (–x) + 3(3x – 3) = 3, logo, x = 1. Com efeito, y = –1 e z = 3(1) – 3 = 0. É possível que dois sistemas lineares contenham o mesmo conjunto de soluções, e, por isso, eles são denominados de sistemas lineares equivalentes (WINTERLE, 2014). Como exemplo, dois sistemas de equações lineares equivalentes são: Pois x = 3 e y = 2 é a mesma solução para ambos. Contudo, perceba que é mais simples resolver o segundo sistema, que já fornece diretamente o valor de uma das variáveis, do que resolver o primeiro. Há três tipos de soluções para um sistema de equações lineares: uma única solução para as incógnitas; nenhuma solução para as incógnitas; ou infinitas soluções para as incógnitas. Um sistema de equações lineares é denominado de possível (ou 24 consistente) quando ele tem pelo menos uma solução. Um sistema sem nenhuma solução é denominado de impossível (ou inconsistente). 4.1 Sistemas homogêneo e não homogêneo Os sistemas de equações lineares podem ser de dois tipos: não homogêneo e homogêneo. Um sistema de equações lineares não homogêneo do tipo 3 × 3 é dado por: onde os coeficientes aij, i, j = 1,2,3, e bn , n = 1,2,3 são constantes. Um olhar mais atento para esse sistema de equações lineares indica que ele apresenta naturalmente uma estrutura matricial, ou seja, você pode reescrevê-lo como um produto entre matrizes (WINTERLE, 2014). De fato, ele pode ser visto como uma matriz coluna do tipo 3 × 1, que resulta do produto entre uma matriz dos coeficientes, do tipo 3 × 3, pela matriz coluna das variáveis, do tipo 3 × 1. Veja: onde: 25 Agora, quando a matriz coluna das constates bn for nula, 26 o sistema de equações lineares resultante é denominado de homogêneo: Ou seja: E como a matriz dos coeficientes não é nula em geral, então uma possível solução é aquela em que: Ou seja, x1 = x2 = x3 = 0, que também é conhecida como solução trivial, pois todas as variáveis são nulas. Por exemplo, um sistema linear homogêneo do tipo 2 × 2 pode ser: cuja representação matricial é: Aqui, x = y = 0 é solução do sistema. Observe atentamente que essas duas equações lineares representam retas que passam pela origem; que é exatamente o ponto onde elas se cruzam (SANTOS; FERREIRA, 2009). Além da solução trivial, um sistema linear homogêneo pode admitir infinitas soluções. Esse é o caso quando o número de variáveis é maior que o de equações. Por exemplo, o sistema linear homogêneo: cuja representação matricial é da forma: 27 contém duas equações e três variáveis: x, y e z. Resolvendo a primeira equação para z, você obtém: z = 3x + 2y. Substituindo esse resultado na segunda equação: –x + y + 3(3x + 2y) = 0, que resulta em . Portanto, uma vez escolhido um valor para a variável y, você encontra os valores correspondentes das variáveis x e z. Exatamente por haver infinitas possibilidades de escolha de valor para y, que o sistema contém infinitas soluções. Por exemplo, se y = 0, então x = z = 0; mas se y = 1, então e . 5 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕESLINEARES Em situações envolvendo sistemas com apenas duas equações lineares de duas variáveis, a solução pode ser obtida de forma direta. A partir de uma das equações, escreve-se uma relação que define uma variável em função da outra e, então, substitui- se essa relação na segunda equação, o que permite determinar uma das variáveis e, depois, a outra. Esse método foi empregado na resolução dos sistemas apresentados acima. No entanto, já para um sistema do tipo 3 × 3 e sistemas de equações lineares maiores, esse método é mais trabalhoso e, por conseguinte, suscetível a erros de cálculo nas diversas passagens (SANTOS; FERREIRA, 2009). Com efeito, torna-se necessária a utilização de um método que forneça um procedimento operacional bem-definido, a fim de que a obtenção da solução para qualquer tipo de sistema seja padronizada. A chave para isso você já viu no final da primeira seção deste capítulo: dado um sistema, é interessante encontrar um sistema equivalente que forneça a mesma solução para o sistema original, mas que seja mais fácil de ser resolvido. Você verá, a seguir, dois métodos importantes para a resolução de sistemas de equações lineares. 5.1 Método de eliminação de Gauss O método de eliminação de Gauss consiste em substituir um dado sistema de equações lineares por outro equivalente, que seja mais simples de ser solucionado e que tenha a mesma solução do sistema original. Isso pode ser feito por meio de três tipos 28 de operações matemáticas que visam a eliminar variáveis. Para que você entenda quais são essas operações que mantêm inalterada a solução do sistema original, considere novamente o sistema do tipo 2 × 2: cuja solução é x = –1 e y = 5. As três operações elementares sobre linhas são as seguintes: 1. Multiplicar uma equação por uma constante Se você multiplicar a primeira equação desse sistema por 2, então, o novo sistema será: Resolvendo a primeira equação para y, você obtém 2y = 12 + 2x, ou seja, y = 6 + x. Substituindo esse resultado na segunda equação: 3x + 2(6 + x) = 7, logo x = –1. Então, y = 6 – 1 = 5. A solução original não foi alterada por essa operação elementar (SANTOS; FERREIRA, 2009). 2. Trocar de posição duas equações entre si Isso significa passar a primeira equação para o lugar da segunda, e vice-versa. O novo sistema fica: Daí, resolvendo a segunda equação para y: y = 6 + x. Substituindo esse resultado na primeira equação: 3x + 2(6 + x) = 7, logo, x = –1 e y = 6 – 1 = 5. A solução original não foi alterada por essa operação elementar. 3. Somar um múltiplo de uma equação a uma outra equação Essa operação é menos óbvia. Primeiramente, construa um novo sistema, multiplicando a primeira equação por 3 (operação i): 29 Agora, construa outro sistema no qual a segunda equação será igual à soma das duas equações do sistema acima; ou seja, soma-se a primeira linha com a segunda do sistema: A segunda linha já fornece diretamente o valor da variável y: y = 5. Substituindo esse resultado na primeira equação: –3x + 3(5) = 18, então x = –1. Portanto, novamente a solução original não foi alterada por essa operação elementar. Note que a aplicação das três operações fornece sistemas equivalentes, pois conduz a soluções iguais. Contudo, é a operação (iii) que representa a essência do método de eliminação de Gauss, pois, a partir dela, é possível obter um sistema equivalente em que uma das equações tenha apenas uma variável (SANTOS; FERREIRA, 2009). Como você já deve ter percebido, as três operações acima agem apenas nos coeficientes aij e constantes bn. Por isso, é mais conveniente escrever a matriz aumentada do sistema para aplicar o método da eliminação de Gauss. Uma vez que a matriz dos coeficientes é , e a matriz da constantes é para o exemplo discutido acima, então, a matriz aumentada fica sendo: Agora, você executa as mesmas operações elementares sobre as linhas dessa matriz aumentada. Primeiro passo: multiplique a primeira linha por 3. 3 ∙ (–1 1 6) = (–3 3 18) A primeira linha da nova matriz aumentada fica: Segundo passo: some essa nova primeira linha com a segunda. (–3 3 18) + (3 2 7) = (0 5 25) 30 A segunda linha da nova matriz aumentada fica: Observe que apareceu um zero no primeiro elemento da segunda linha (destacado na cor verde). Se você restabelecer o formato de sistema novamente: Note que, pela segunda linha, 5y = 25, então y = 5. Substituindo esse resultado na primeira equação: –3x + 3(5) = 18, logo, x = –1, como você já esperava. Nessa configuração, a matriz aumentada está em sua forma escalonada por linhas, ou simplesmente forma escalonada, pois a estrutura da matriz assemelha-se à de uma escada. Portanto, o método de eliminação de Gauss consiste em escalonar a matriz aumentada, que essencialmente significa escalonar o sistema de equações lineares, de modo a obter um novo sistema equivalente cuja resolução é mais simples e possui a mesma solução do sistema original (SANTOS; FERREIRA, 2009). 5.2 Método de eliminação de Gauss-Jordan Embora, nesse ponto, você já possa resolver o sistema como anteriormente — a partir do restabelecimento da forma usual do sistema —, a representação escalonada lhe permite avançar um pouco mais em direção à solução direta do sistema, sem a necessidade de substituição do valor de uma variável em outra equação para determinar mais uma variável, e assim por diante. A ideia básica é continuar a fazer operações elementares sobre linhas. Terceiro passo: divida a primeira equação por 3, e a segunda por 5. A primeira e segunda linhas da nova matriz aumentada ficam: 31 Quarto passo: multiplique a primeira equação por –1, e depois some a segunda a ela. –1 ∙ (–1 1 6) + (0 1 5) = (1 0 –1) A primeira linha da nova matriz aumentada fica: Nessa nova configuração, a matriz aumentada está na forma escalonada reduzida por linhas. Quinto e último passo: restabeleça a forma usual do sistema. Você já tem a solução diretamente: x = –1 e y = 5. Esse arranjo final do sistema (ou da matriz aumentada), em que os valores das variáveis são obtidos diretamente sem cálculos adicionais, é conhecido como método de eliminação de Gauss-Jordan. 6 DESCRIÇÃO DE VETORES NO ESPAÇO A descrição de eventos matemáticos ou físicos em grandezas escalares e vetoriais já não é novidade em livros de geometria analítica, no entanto é sempre interessante apresentar a diferença entre essas grandezas no início do estudo de vetores ou cálculo vetorial. De acordo com Santos e Ferreira (2009), uma grandeza é dita escalar quando se especifica apenas sua magnitude e uma unidade, como o comprimento, a massa e o tempo. Já uma grandeza vetorial é expressa por sua magnitude, direção e sentido de atuação e uma unidade, como a força, a velocidade, a aceleração e o torque. A representação gráfica de um vetor é dada por uma seta, e possui em suas extremidades dois pontos que o determinam (WINTERLE, 2014). Na Figura 2, é apresentada a representação geométrica de um vetor. As notações matemáticas para 32 um vetor podem ser as mais diversas, há autores que trabalham com chaves ou colchetes, lembrando representações matriciais ou então como apresentado em linguagem de programação. As mais usuais, e as que aparecerão neste material, serão as seguintes (SANTOS; FERREIRA, 2009): — uma letra seguida de uma flecha sobre ela; — uma letra em negrito; — os dois pontos que deram origem ao vetor seguido de uma flecha sobre eles. Figura 2. Representação gráfica de um vetor. Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009). O módulo de um vetor é considerado o tamanho dele, assim sendo, caso tenhamos um vetor v na direção horizontal com origem em (0,0) e finalem (2,0), o módulo será a distância do ponto de origem até o ponto de destino, sendo, então, um valor de 2. A direção e o sentido são mais bem representados quando desenhados em um plano cartesiano por exemplo. A Figura 3 apresenta vetores V1 e V2 com direção horizontal e sentido da esquerda para a direita no primeiro caso e direita para a esquerda no segundo. Vetores orientados que tenham mesma magnitude (ou módulo), mesma direção e sentido são ditos equivalentes (SANTOS; FERREIRA, 2009). Vamos a um exemplo físico com vetores. Considerando um avião que saiu do aeroporto de São Paulo/Brasil com destino ao aeroporto de Toronto/ Canadá, com velocidade constante de 800 km/h, 33 deslocando para noroeste (45º em relação ao norte), qual é um possível vetor que um controlador de voo poderia desenhar sobre seu mapa (considerando que cada diagonal dos quadrados maiores do mapa vale 200 km/h)? Na Figura 4, é apresentado o vetor v resultante de o avião estar alinhado para seu destino, e com módulo |v| igual a 800 km/h. Figura 3. Vetores na direção horizontal, sentidos opostos e mesmo módulo. Figura 4. Orientação desenhada pelo controlador de voo com notação de vetor. 7 OPERAÇÕES BÁSICAS COM VETORES Assim como fazemos com grandezas escalares, podemos realizar com os vetores operações matemáticas (SANTOS; FERREIRA, 2009). A primeira a ser vista é a multiplicação de um vetor por um escalar. Um vetor pode ser “esticado” ou “encolhido” 34 ou “invertido” quando multiplicado por um escalar, ou seja, se multiplicarmos todas as posições de um vetor por um escalar positivo real e maior do que 1, estamos aumentando a sua magnitude e, assim, “esticando” esse vetor. Caso a multiplicação seja feita por um escalar positivo real menor do que 1, estamos diminuindo sua magnitude e, consequentemente, “encurtando” ou “encolhendo” o vetor. Por fim, caso o vetor seja multiplicado por um número real negativo, o sentido será trocado e assim o estaremos “invertendo”. A Figura 5 apresenta exemplos de multiplicação com escalares diferentes. Figura 5. Vetor v multiplicado por escalares: (a) escalares de diversos valores; (b) escalar unitário negativo. Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009) Veja a seguir propriedades generalizadas para multiplicação de vetores em espaços de n-dimensões (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014). • Distributiva sobre os vetores: α ∙ (u + v) = α ∙ u + α ∙ v • Distributiva sobre os escalares: (α + β) ∙ v = α ∙ v + β ∙ v • Associativa: α ∙ (β ∙ v) = α ∙ β ∙ v • Unitária: 1 ∙ v = v A adição de vetores (não nulos) é definida como: posicionamento dos vetores com suas origens coincidentes e, em seguida, forma-se um paralelogramo com os vetores u 35 e v. O vetor soma u + v é o vetor com a mesma origem de u e v, com magnitude, direção e sentido dados pela diagonal do paralelogramo (SANTOS E FERREIRA, 2009). Essa regra para a adição de vetores, apresentada na Figura 6, é conhecida como regra do paralelogramo. Figura 5. Adição de vetores pela regra do paralelogramo. Fonte: Adaptada de Winterle (2014). Figura 7. Soma de mais de dois vetores. Fonte: Adaptada de Winterle (2014). Para o caso da soma de mais de dois vetores, deve-se utilizar o mesmo método da regra do paralelogramo. Também é possível ligar os vetores, a origem de cada vetor no final do anterior, ao fechar o polígono, assim, o vetor resultante t será o vetor que, ao somar com os outros três, dará valor nulo, por isso, basta inverter seu sentido. A Figura 7 apresenta uma construção como essa. Veja a seguir propriedades generalizadas para adição de vetores em espaços de n-dimensões (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014). 36 • Comutativa: u + v = v + u • Associativa: (u + v) + w = u + (v + w) • Elemento neutro: v + 0 = v • Elemento oposto: v + (–v) = 0 7.1 Vetores no R² Para realizar a operação de adição entre dois vetores u = (x1, y1), v = (x2, y2) e o escalar real α, define-se o seguinte (SANTOS; FERREIRA, 2009). • Adição: u + v = (x1 + x2, y1 + y2) • Multiplicação por escalar: α ∙ u = (α ∙ x1, α ∙ y1) Ou seja, as operações de adição e multiplicação por escalar são realizadas por componente a componente. Lembre-se de que as propriedades de adição são as mesmas para esse espaço bidimensional. A operação de módulo é realizada para obtenção do valor da magnitude de um vetor v. A notação matemática de um módulo de vetor é |v| (SANTOS; FERREIRA, 2009). O módulo é obtido a partir da soma dos quadrados de cada componente e, em seguida, retira-se a raiz quadrada. Veja a seguir um exemplo. Perceba que, caso os vetores sejam equivalentes, ou seja, multiplicados por um escalar, o módulo do vetor multiplicado é igual ao módulo do vetor anterior multiplicado pelo escalar. Lembre-se de que não há forma de o módulo ficar negativo. Vetores podem ser obtidos por dois pontos no plano cartesiano, por exemplo, A (x1,y1) e B (x2,y2). Para gerar o vetor, basta realizar uma subtração entre os pontos. 37 7.2 Vetores no R³ e ℝn Figura 8. Vetores em R³. O tratamento de vetores em espaços de maiores dimensões acaba sendo apenas uma extensão das operações e propriedades apresentadas no espaço bidimensional em R², tornando apenas mais complicado nos momentos em que é necessário desenhar, exigindo uma visão espacial. A Figura 8 apresenta vetores desenhados no espaço de três dimensões. 7.3 Vetores iguais Como dito anteriormente, vetores são representados por sua magnitude (ou módulo), direção e sentido (SANTOS; FERREIRA, 2009). Por isso, se desconsiderarmos as variações de sentido e/ou de direção, a probabilidade de encontrarmos vetores iguais em um mesmo plano ou então em planos diferentes é alta. A Figura 9 apresenta um 38 exemplo disso com a presença de vários vetores iguais em módulo, porém posicionados em diferentes regiões de um plano. Figura 9. Vetores iguais em um mesmo plano. Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009). 7.4 Vetores unitários Um vetor é chamado de unitário quando seu módulo é igual a 1, ou seja, a raiz da soma dos valores das projeções ao quadrado será igual a 1 (WINTERLE, 2014). Vetores unitários são também conhecidos como versores. Todo vetor que não seja unitário pode ser transformado em unitário por meio de um processo chamado de normalização. O processo de normalização consiste das seguintes etapas. 1. Encontrar o valor do módulo do vetor. 2. Dividir o valor de cada posição do vetor pelo módulo. 3. Verificar a transformação realizando o mesmo procedimento de cálculo do módulo; caso seja igual a 1, o vetor foi normalizado e é chamado de unitário. Figura 10. Vetores unitários i, j e k. 39 Há ainda vetores unitários, chamados de i, j e k (SANTOS; FERREIRA, 2009). A Figura 10 apresenta esses vetores no plano tridimensional. 40 8 OPERAÇÕES DE PRODUTOS ENTRE VETORES As operações com grandezas vetoriais são na maioria das vezes parecidas com as operações de grandezas escalares. Um exemplo de diferentes operadores é o caso de produto entre vetores. Este não deve ser tratado como uma operação de multiplicação por escalar. Entre os diferentes tipos de produtos estão os produtos: escalar, vetorial, misto e duplo vetorial. A seguir, vamos tratar de cada um desses produtos, bem como de algumas propriedades e exemplos de aplicação. 8.1 Produto escalar O produto escalar entre dois vetores u (x1,y1,z1) e v (x2,y2,z2) é representado por u ∙ v, sendo o produto feito por: u ∙ v = x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 + z1 ∙ z2 Para quaisquer vetores u, v e we um escalar real α, as propriedades do produto escalar são as seguintes (WINTERLE, 2014). 1. u ∙ v = v ∙ u 2. u ∙ (v + w) = u ∙ v + u ∙ w e (u + v) ∙ w = u ∙ w + v ∙ w 3. α (u ∙ v) = (αu) ∙ v = u ∙ (αv) 4. u ∙ u = |u|² Figura 11. Representação dos vetores e ângulos entre eles. Fonte: Adaptado de Winterle (2014). 41 A Figura 11 representa dois vetores u (x1,y1,z1) e v (x2,y2,z2) e o ângulo θ formado por eles (WINTERLE, 2014). O produto escalar, representado por u ∙ v, está relacionado com o ângulo θ. A expressão que define essa relação será vista mais adiante. 8.2 Produto vetorial O produto vetorial entre dois vetores u (x1,y1,z1) e v (x2,y2,z2) é representado por u × v (WINTERLE, 2014), sendo o produto feito por: A solução do determinante também pode ser expressa por: Para quaisquer vetores u e v, as propriedades do produto vetorial são as seguintes (WINTERLE, 2014). 1. u × v = –(v × u) 2. u × v = 0, se e somente se os vetores são paralelos 3. u × v sempre é ortogonal a u e v 4. O sentido de u × v pode ser determinado pela regra da mão direita A Figura 12 apresenta o sentido do vetor u × v, segundo a regra da mão direita (WINTERLE, 2014). É possível observar também que o resultado do produto vetorial u × v é um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u e v. 42 Figura 12. Orientação do vetor u × v, segundo regra da mão direita. Fonte: Adaptada de Winterle (2014). 8.3 Produto misto O produto misto é uma combinação entre o produto escalar de um produto vetorial feito anteriormente entre dois vetores (SANTOS; FERREIRA, 2009). Dados três vetores u (x1,y1,z1), v (x2,y2,z2) e w (x3,y3,z3), o produto misto é definido por: A solução do determinante também pode ser expressa por: Para quaisquer vetores u, v, w e x, e o escalar α, as propriedades do produto misto são as seguintes (WINTERLE, 2014). 43 1. O resultado do produto muda de sinal caso alterar a posição entre dois vetores, por exemplo: u ∙ (v × w) = –u ∙ (w × v) 2. (u + x) ∙ (v × w) = u ∙ (v × w) + x ∙ (v × w) 3. αu ∙ (v × w) = u ∙ (αv × w) + u ∙ (v × αw) 4. u ∙ (v × w) = 0, se e somente se os três vetores forem coplanares. 8.4 Duplo produto vetorial O duplo produto vetorial é uma operação entre vetores não muito vista ou mesmo utilizada em aplicações mais práticas. No entanto, é importante conhecer o procedimento de cálculo (WINTERLE, 2014). Dados três vetores u (x1,y1,z1), v (x2,y2,z2) e w (x3,y3,z3), o duplo produto vetorial é definido por: u × (v × w) A solução do duplo produto vetorial pode ser com a aplicação sucessiva de um produto vetorial entre v e w, como visto anteriormente. E, com o resultado, aplicar um novo produto vetorial de u em relação a v × w. Outra alternativa é por meio da relação: 44 u × (v × w) = (u ∙ w)v – (u ∙ v)w Em que são substituídas as operações de produto vetorial por dois produtos escalares e, em seguida, multiplica-se o escalar simples pelos vetores indicados. A seguir, será apresentado um exemplo dos dois procedimentos de cálculo (SANTOS; FERREIRA, 2009). 45 9 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Começamos com o resgate do conceito de combinação linear. Dado um conjunto de vetores em ℝn diremos que o vetor é uma combinação linear desses, se existirem a1, a2, ..., ak em ℝ, tais que: Veja, a seguir, um exemplo de combinação linear. Consideremos, agora, um conjunto de vetores { } em ℝn , que diremos que é linearmente independente, se os únicos valores de a1, a2, ..., ak em ℝ, que tornam a combinação verdadeira, são a1, a2, ..., ak = 0. 46 Em outras palavras, um conjunto de vetores é linearmente independente se, e somente se, a única combinação deles, que resulta no vetor nulo, for a que apresenta todos os coeficientes iguais a zero. O conjunto apresentado na segunda parte do exemplo anterior nos fornece um primeiro exemplo de um conjunto linearmente dependente. Diremos que um conjunto { }em ℝ é linearmente dependente se existirem coeficientes a1, a2, ..., ak em ℝ, tais que: Isto é, existe uma combinação não nula que resulta no vetor nulo. Uma interpretação importante de um conjunto linearmente dependente é que qualquer um dos 47 vetores desse conjunto pode ser escrito como combinação linear dos demais (WINTERLE, 2014). Veja o exemplo a seguir. Um importante teorema sobre esse assunto é apresentado em Nicholson (2006). Teorema: se { }em ℝn é um conjunto linearmente independente, então, todo vetor em ger{ } tem uma escrita única como combinação linear dos vetores . Em palavras, se um conjunto de geradores é linearmente independente, cada vetor do espaço gerado é escrito de maneira única, a menos da ordenação, como combinação linear dos vetores geradores. Veja o seguinte exemplo sobre conjuntos geradores linearmente independentes. 48 49 10 BASES DO ℝN Uma base do ℝn é um conjunto: de vetores linearmente independentes, tal que B ⊂ ℝn, e B é gerador de ℝn. Isto é, se ∈ ℝn, e B é uma base de ℝn, então podemos escrever, de forma única, como uma combinação linear dos vetores em B, a saber: onde α1, ..., αn ∈ ℝ. Adicionalmente, os números α1, ..., αn são chamados de coordenadas do vetor na base B. A base mais simples que podemos definir no ℝn é o que chamamos de base canônica do ℝn. Essa base é formada pelos n vetores , que têm 1 na i-ésima componente e 0 nas demais. Nicholson (2006). 50 Genericamente falando, usamos bases não canônicas em ℝn, quando queremos estudar aspectos do problema que não ocorrem nas direções canônicas desse espaço. Pode parecer difícil, mas, de certa forma, já estávamos estudando alguns aspectos desse assunto quando trabalhamos a definição de autovetores. Uma observação que podemos fazer em relação ao exemplo anterior é que a solução calculada (3,–1,0,2) realmente descreve coordenadas do vetor = (11,–3,7,4) na base B. Isto é, estamos considerando um sistema de referência diferente do sistema de coordenadas definido pela base canônica, e isso está definindo outra maneira de nos referirmos a esse vetor. Aproveitando, definimos a notação: se esse é o vetor formado pelos coeficientes de na base B de ℝn. O caso particular, onde B é a base canônica, temos que ( ) B = . 10.1 Bases de um subespaço do ℝn De forma similar ao que definimos anteriormente, dado um subespaço vetorial E do ℝn, uma base de E é um conjunto B de vetores linearmente independentes, tal que B⊂E e B é gerador de E. Isto é, se ∈ E e B é uma base de E, então existem , tal que: Essa combinação é única em E. Adicionalmente, os números α1, ..., αm são chamados de coordenadas do vetor na base B. 11 EQUAÇÃO DE RETA NO PLANO As retas são representadas por meio de equações (SANTOS; FERREIRA, 2009). Essas equações podem ser obtidas por pontos no plano cartesiano e relações com vetores (Figura 13). Na construção da equação da reta por meio de vetores, temos as 51 chamadas equações vetoriais. Aqui, vamos abordar a construção da equação através de pontos, na qual é necessário o uso de no mínimo dois pontos para determinar umsegmento de reta ou reta completa (Figura 14). Figura 13. Reta r orientada pelo vetor v e com pontos A e P. Fonte: Adaptada de Winterle (2014) Figura 14. Retas construídas através de dois pontos. Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009). Imagine que uma reta é feita por dois pontos, um ponto localizado na origem e outro na coordenada B (5,5). Quais são os pontos que pertencem à reta que tem como base esses pontos? Se um ponto de referência da reta está na origem, isso significa que a reta passa pelo ponto (0,0). O segundo ponto está em (5,5). Os demais pontos devem estar em coordenadas que são iguais nos valores de x e y. Sendo assim, alguns dos pontos que pertencem a essa reta são os seguintes. Nicholson (2006). 52 A Figura 15 apresenta esses pontos no plano cartesiano. Figura 15. Representação dos pontos de uma reta no plano cartesiano. Como os valores de x e y devem ser iguais para pertencer à reta, podemos dizer que uma relação/equação que a representa é y = x. Assim, todo valor de y será igual a x. Mas o que ocorre se a equação da reta não é tão facilmente previsível? Como determiná- la? 11.1 Representação de retas no plano cartesiano Retas podem ser construídas a partir de dois pontos no plano cartesiano. A Figura 15, vista anteriormente, apresenta uma reta r construída a partir de dois pontos A (x0,y0) e B (x1,y1). O uso desses pontos também permite o cálculo do coeficiente angular da reta. Esse coeficiente representa o valor da tangente referente ao ângulo de inclinação α: 53 De posse do coeficiente angular, é possível gerar a equação da reta (SANTOS e FERREIRA, 2009): y = a ∙ x + b O valor de b, chamado de coeficiente linear, representa o valor de translação da reta no sentido do eixo y. Caso a reta passe pela origem, esse valor será igual a zero. Para encontrar o valor de b, é preciso substituir o valor de y e x por um dos pontos que compõem a reta. A equação de reta é: b = y – ax 3 – 2 ∙ 1 = 1 y = a ∙ x + b y = 2x + 1 Na Figura 16, os pontos A, B e P geraram a reta no plano, e o ângulo α representa a inclinação da reta (SANTOS; FERREIRA, 2009). Perceba que, quando o coeficiente angular é positivo, a reta é ascendente; quando é negativo, a reta é descendente. 54 Figura 16. Retas com coeficientes angulares positivo (reta ascendente) e negativo (reta descendente). Fonte: Adaptada de matma/Shutterstock.com. 11.2 Relações entre retas 11.2.1 Retas paralelas aos eixos cartesianos Quando obtemos equações de retas em que o coeficiente linear é igual a zero, a reta passa pela origem do sistema. Quando o coeficiente angular é igual a zero, o valor da tangente do ângulo de inclinação é igual a zero, ou seja, o único valor de ângulo que satisfaz essa tangente é zero grau. Nicholson (2006). 55 Por isso, podemos perceber que há retas sem as variáveis x ou y, sendo x igual a uma constante ou y igual a uma constante. Quando isso acontece, dizemos que a reta está paralela aos eixos cartesianos (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014). Quando não houver x, a reta está paralela ao eixo x; quando não houver y, a reta está paralela ao eixo y. Observe na Figura 17 como as retas r e s são paralelas aos eixos x e y, respectivamente. 11.2.2 Avaliação das posições das retas em função do coeficiente angular As retas variam suas inclinações em função do coeficiente angular. Quando temos coeficientes angulares iguais em retas diferentes, temos retas com o mesmo grau de inclinação e, portanto, paralelas (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014). Quando temos coeficientes angulares diferentes, temos um ângulo de diferença entre as retas comparadas. Como cada reta possui um ângulo correspondente em relação ao eixo horizontal, se a diferença entre esses ângulos for igual a 90° (ou igual a um múltiplo de 90º), temos, então, um caso de ortogonalidade entre retas. Observe, na Figura 18, retas com inclinações diferentes em função de coeficientes angulares diversos. Figura 18. Retas r e s são paralelas (coeficiente angular igual a 4). Retas s e u ortogonais entre si (coeficientes angulares iguais a 1 e –1). 56 12 ESTUDO DA RETA NO ESPAÇO Retas no espaço são representadas em três dimensões x, y e z (SANTOS; FERREIRA, 2009). O comportamento linear das retas no espaço é o mesmo de quando situadas em um plano bidimensional. Uma equação de reta no espaço tem estrutura parecida à representada em um plano. Deve ser, no entanto, orientada por vetores e alguns pontos de referência. Um exemplo de equação de reta no espaço está representado a seguir. r: (x,y,z) = (x1, y1, z1) + t(a,b,c) Os valores dos coeficientes e dos pontos mudam de reta para reta; são obtidas soluções, por meio de pontos x, y e z, que satisfaçam a equação. Como se trata de uma reta, sabemos que dois pontos a definem. Entretanto, devemos atentar para o fato de que a reta contém uma infinidade de pontos (SANTOS; FERREIRA, 2009). Veja, na Figura 19, uma reta r no espaço R³ e alguns pontos distribuídos em sua extensão. Figura 19. Reta r no espaço R³. 12.1 Equações de retas no espaço As retas são representadas por meio de equações. Essas equações podem ser obtidas por pontos no plano cartesiano e por relações com vetores (SANTOS; FERREIRA, 2009). Dentre as diferentes apresentações de equações, estão a equação vetorial, a paramétrica, a simétrica e a reduzida (WINTERLE, 2014). A seguir, 57 trataremos de cada um desses equacionamentos, bem como de alguns exemplos de construção dessas equações. 12.1.1 Equação vetorial Uma reta r pode ser construída com base na orientação ou referência de um vetor (SANTOS; FERREIRA, 2009). Considerando um ponto A (x1, y1,z1) e um vetor diretor v (a,b,c), temos que só existe uma reta que passa pelo ponto A e que possui a mesma direção do vetor diretor v. Se buscarmos por um ponto P (x,y,z) que pertence à reta, o vetor AP formado pelos pontos A e P é paralelo a v (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014). A Figura 20 apresenta a reta r paralela ao vetor diretor v. A equação vetorial é descrita por: AP = t ∙ v P – A = t ∙ v P = A + t ∙ v (x,y,z) = (x1,y1,z1) + t ∙ (a,b,c) Figura 20. Reta r orientada pelo vetor v, com os pontos A e P. Fonte: Adaptada de Winterle (2014). Perceba que a equação vetorial fica em função do parâmetro t, que é a variável da reta. Conforme variamos t, obtemos pontos (x,y,z) que pertencem à reta r. 58 12.1.2 Equação paramétrica As equações paramétricas são derivadas da equação vetorial anteriormente apresentada. A apresentação de uma reta por meio de equações paramétricas é feita pela geração de um sistema de equações para cada posição em relação ao espaço (SANTOS; FERREIRA, 2009). Observe: (x,y,z) = (x1,y1,z1) + t ∙ (a,b,c) (x,y,z) = (x1 + a ∙ t, y1 + b ∙ t, z1 + c ∙ t) O sistema de equações que representa as equações paramétricas da reta r é: 12.1.3 Equação simétrica A apresentação de uma reta r pode ser feita com uma representação chamada de simétrica. Esse modelo consiste basicamente em uma manipulação algébrica, onde o escalar t é isolado em cada uma das equações paramétricas, posteriormente igualadas (WINTERLE, 2014). Veja, a seguir, a sua construção: 59 12.1.4 Equação reduzida Esse último modelo de equação de reta é obtido por meio de mais uma simplificação algébrica das equações simétricas. Nesse caso, tomamos uma das posições e a transformamos em variável de duas novas equações (SANTOS; FERREIRA, 2009). Observe a representação: 12.2 Determinação das equações a partir de pontos 13 DISTÂNCIAENTRE DOIS PONTOS Dois pontos no espaço definem o que é um vetor, assim, se temos dois pontos A e B, construímos o vetor AB. Entre suas características, um vetor possui uma chamada de módulo, que constitui o comprimento do vetor (SANTOS; FERREIRA, 2009). Com isso, quando pensamos em calcular uma distância entre dois pontos, a melhor maneira é construir um vetor com esses pontos e extrair o módulo dele, logo o comprimento entre dois pontos A e B é dado pelo módulo de AB: d = |AB| Por exemplo, qual é a distância entre os pontos A (0,1,2) e o ponto B (–1,2,0)? Construímos o vetor AB: AB = B – A = (–1,2,0) – (0,1,2) = (–1,1,–2) 60 Com o vetor AB, extraímos o módulo dele e, assim, obtemos o valor da distância entre A e B: 14 INTERSEÇÃO ENTRE RETAS As retas são representadas por meio de diversas formas de equações. Essas retas, apesar de expressas com equações diferentes, podem ter relações de coincidência, paralelismo e concorrência entre elas (WINTERLE, 2014). Como ponto de partida para análise das relações entre retas no espaço, vamos observar a presença de pontos de interseção entre elas. Quando duas retas r e s estão no espaço, é possível haver um ponto de interseção I entre elas, como mostra a Figura 21. Em diversos campos de estudos, a busca por esse ponto pode ser um processo de otimização de sistemas ou mesmo melhor custo-benefício. Figura 21. Ponto de interseção I entre as retas r e s. Fonte: Adaptada de Winterle (2014). Sendo assim, qual é o ponto de interseção entre as retas r e s, representadas pelas equações a seguir? 61 Para encontrar o ponto de interseção I entre as retas r e s, substituímos os valores de x, y e z dados pelas equações paramétricas da reta s nas mesmas posições do sistema de equação reduzida da reta r, obtendo assim: Da primeira equação obtemos t igual a -7 e da segunda obtemos t igual a -2. Como não há equivalência entre os resultados, não há ponto de interseção I entre as retas. 15 CLASSIFICAÇÃO DE RETAS Retas dispostas no espaço podem ter diversas relações entre elas, dentre as quais o paralelismo e a coincidência são analisados a partir dos vetores diretores. A concorrência e a reversão são analisadas com os vetores diretores e a presença de ponto de interseção. Por fim, retas podem pertencer a um mesmo plano, sendo assim chamadas de retas coplanares (SANTOS; FERREIRA, 2009). 15.1 Paralelismo e coincidentes A determinação de paralelismo entre retas no espaço ocorre por meio de uma análise dos vetores diretores de cada uma delas (SANTOS; FERREIRA, 2009). Se os vetores diretores u e v são múltiplos escalares, consideramos que as retas terão a mesma direção e serão paralelas, como mostra a Figura 22. Figura 22. Retas r e s paralelas. Fonte: Adaptada de Winterle (2014). 62 É possível ainda existir uma coincidência total entre as retas, chamando assim de retas coincidentes. Para verificar isso, é necessário inicialmente que os vetores diretores sejam múltiplos escalares e, em seguida, que se teste um ponto de uma reta na outra; caso a inserção do ponto seja válida, concluímos que as retas são coincidentes (BOULOS; CAMARGO, 1987). Caso os vetores sejam diferentes, é possível a existência ou não de concorrência, para verificar isso, basta igualar as duas equações de retas e ver se há um ponto de interseção I. Veja nos exemplos a seguir a demonstração dessa verificação para paralelismo e coincidência. Determine se há paralelismo entre as retas r e s a seguir Inicialmente extraímos os vetores diretores u e v das retas r e s. Caso os vetores possuam relação escalar entre eles, as retas são paralelas: O vetor diretor u e v serão: u(1,1,–2) v(–2,–2,4) Portanto, analisando os vetores, vemos que o vetor v é igual a u multiplicado pelo escalar -2, logo as duas retas r e s são paralelas, ou seja, r // s. Quando temos duas retas paralelas, conforme apresentado na Figura 22, podemos ver que não haverá nenhum ponto de interseção entre elas. A única maneira de isso acontecer é se os vetores diretores u e v forem iguais, assim sendo, toda a reta r será coincidente à reta s, e, 63 portanto, todos os pontos serão de interseção. De qualquer maneira, vamos verificar o ponto de coincidência substituindo r em s: Se igualarmos dois a dois as partes das equações simétricas, veremos que os valores de t encontrados não são iguais e, portanto, não haverá ponto de interseção entre as retas, conforme duas retas paralelas devem se comportar. Agora verifique a posição relativa entre as retas r e s, dadas pelas equações a seguir. Novamente extraímos os vetores diretores u e v das retas r e s (a reta s foi alterada para equações simétricas a fim de facilitar encontrar o vetor diretor): O vetor diretor u e o v serão: u(1,–1,–1) v(1,–1,–1) Como os vetores são iguais, podemos concluir que as retas r e s são coincidentes. 15.2 Concorrentes e reversas Quando as retas são previamente determinadas como não paralelas e/ou coincidentes, elas podem ser classificadas como concorrentes, quando há um ponto de interseção, ou reversas, quando não há interseção alguma (STEINBRUCH; WINTERLE, 64 2014). Para a determinação de retas reversas, é necessário provar que não há ponto algum de interseção, como mostra a Figura 23. Veja a seguir exemplos de retas reversas e concorrentes. Figura 23. Retas reversas. Fonte: Adaptada de Winterle (2014). As retas a seguir são reversas ou concorrentes? Substituindo r em s: Resolvendo as igualdades, obtemos um valor de t igual para todos, ou seja, t igual a 2. Desse modo, concluímos que as retas são concorrentes. Indo além, substituímos t na equação de r e obtemos o ponto I: O ponto de interseção das retas concorrentes é I (1,2,–2). 65 16 CIRCUNFERÊNCIAS A circunferência pode ser definida como “[…] o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo é constante” (SANTOS; FERREIRA, 2012, p. 63). Observe os elementos e a equação cartesiana da circunferência na Figura 24. Figura 24. Circunferência com centro na origem O e raio r. (a) Centro e raio. (b) Centro na origem e raio r. Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2012). A Figura 24a mostra o ponto fixo, denominado centro da circunferência, e a distância de seus pontos ao centro que chamamos de raio da circunferência. Para obtermos a equação cartesiana, consideraremos uma circunferência de raio r e centro na origem O (0,0), como mostra a Figura 24b. Para que P (x,y) seja um ponto da circunferência, devemos ter , e, assim, pela fórmula da distância entre dois pontos: 16.1 Posição relativa de um ponto em relação a uma circunferência Leite e Castanheira (2017) explicam que, para determinar a posição relativa a um ponto em relação a uma circunferência de equação (x – h)² + (y – k)² = r², deve-se calcular a distância do ponto P(a,b) ao centro C(h,k) da circunferência e comparar-se a distância d com o raio R, atentando para o seguinte. 66 •Se P é exterior à circunferência (d > R), temos: (a – h)² + (b – k)² > R² (a – h)² + (b – k)² – R² > 0 • Se P pertence à circunferência (d = R), temos: (a – h)² + (b – k)² = R² (a – h)² + (b – k)² – R² = 0 • Se P é interior à circunferência (d < R), temos: (a – h)² + (b – k)² < R² (a – h)² + (b – k)² – R² <0 16.2 Posição relativa de uma reta em relação a uma circunferência Leite e Castanheira (2017) apontam que, para determinar a posição de uma reta r: Ax + By + C = 0 em relação a uma circunferência de equação (x – h)² + (y – k)² = r², deve-se calcular a distância da reta ao centroda circunferência e comparar-se a distância d com o raio R, observando que: 67 • d < R ↔ reta secante à circunferência; • d = R ↔ reta tangente à circunferência; • d > R ↔ reta externa à circunferência. 17 COORDENADAS POLARES Thomas (2009) define as coordenadas polares da seguinte forma: fixamos primeiro uma origem O (chamada polo) e uma semirreta orientada (denominada eixo polar) a partir de O, como mostra a Figura 24. Então, cada ponto P pode ser localizado associando a ele um par de coordenadas polares (r,θ), no qual r é a distância orientada de O a P e θ é o ângulo orientado a partir do eixo polar até OP. Figura 24. Definindo coordenadas polares. Para definir coordenadas polares no plano, começamos com uma origem, chamada polo, e uma semirreta orientada, o eixo polar. Fonte: Adaptada de Thomas (2009). 68 Outro ponto importante destacado por Thomas (2009) é o fato de que, em trigonometria, θ é positivo quando medido no sentido anti-horário e negativo quando medido no sentido horário. O ângulo associado a dado ponto não é único. 69 17.1 Coordenadas polares de um ponto Observe a Figura 25, na qual o polo do sistema de coordenadas polares coincide com a origem do sistema de coordenadas cartesianas, e o eixo polar foi sobreposto ao semieixo positivo das abscissas. Conhecidas as coordenadas polares r e θ de um ponto, podemos determinar suas coordenadas cartesianas x e y por meio das relações: Figura 25. Coordenadas polares e coordenadas cartesianas. Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009). Note que as equações e são válidas somente se r ≠ 0. Em particular, se r = 0, as coordenadas polares (0,θ), para qualquer valor de θ, sempre se referem ao polo, cujas coordenadas cartesianas são (0,0) (SANTOS; FERREIRA, 2009). 70 Analogamente, conhecidas as coordenadas cartesianas de x e y de um ponto, é possível determinar suas coordenadas polares r e θ por meio das equações: Quando usarmos essas equações, devemos atentar para que os valores de r e θ sejam consistentes com o quadrante em que se encontra o ponto de coordenadas cartesianas (x,y). Sem perda de generalidade, podemos considerar r ≥ 0, isto é, (SAN- TOS; FERREIRA, 2009). Santos e Ferreira (2009) destacam ainda que a função arco- tangente tem imagens restritas ao intervalo aberto , e o valor do ângulo θ pode ser obtido por meio de uma das expressões: 17.2 Retas e circunferências Santos e Ferreira (2009) apontam duas estratégias para obtermos a equação em coordenadas polares de um dado lugar geométrico: a partir da equação cartesiana do lugar geométrico, utilizar as relações e para obter a equação correspondente em coordenadas polares e obter diretamente a equação polar do lugar geométrico a partir de sua propriedade geométrica. Vamos identificar agora a equação em coordenadas polares de retas e circunferências e vice-versa. 71 17.2.1 Retas Obtemos as equações polares de retas a partir de suas equações cartesianas. Vamos considerar as retas verticais que possuem equação cartesiana da forma x = a. Assim, pela relação , teremos rcos(θ) = a (SANTOS; FERREIRA, 2009). Ao restringir θ ao intervalo , de modo que cos(θ) ≠ 0, podemos escrever: Essa é a equação em coordenadas polares de uma reta vertical que passa pelo ponto de coordenadas cartesianas (a,0). Note que, quando θ varia sobre o intervalo aberto , obtêm-se todos os pontos da reta vertical. Se a reta for horizontal, sua equação cartesiana será da forma y = a. E, usando a relação , teremos rsen(θ) = a (SANTOS; FERREIRA, 2009). Restringindo θ ao intervalo 0 < θ < π, de modo que sen(θ) ≠ 0, podemos escrever: Essa é a equação em coordenadas polares de uma reta horizontal que passa pelo ponto de coordenadas cartesianas (0,a). Note que, quando θ varia sobre o intervalo aberto 0 < θ < π, obtêm-se todos os pontos da reta horizontal (SANTOS; FERREIRA, 2009). Se a reta tem equações cartesianas da forma y = ax (reta não vertical e que passa pela origem), obtemos: Considerando que o coeficiente angular é a reta tangente da inclinação ∝ da reta, temos: Essa é a equação em coordenadas polares de uma reta (não vertical) que passa pela origem. 72 17.2.2 Circunferências Considere um ponto P qualquer, de coordenadas polares P(r,θ), sobre a circunferência de raio a e centro no ponto C, de coordenadas polares C(b,∝), como mostra a Figura 26. Aplicando a lei dos cossenos no triângulo POC, obtemos a² = b² + r² – 2brcos(θ – ∝). Isolando r² nessa equação, obtemos a equação polar geral da circunferência com centro no ponto C(b,∝) e raio a: r² = a² – b² + 2brcos(θ – ∝). Nessa última equação, obtemos todos os pontos da circunferência quando o ângulo θ varia no intervalo 0 ≤ θ < 2π. A partir dessa equação, podemos obter as equações polares de várias circunferências. Figura 26. Circunferência com centro em C(b,∝) e raio a. Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009). 18 SUPERFÍCIES CÔNICAS, CILÍNDRICAS E QUÁDRICAS 18.1 O que são superfícies? Para a definição de superfície cônica, considere no plano yz a reta g de equações z = my, x = 0, como mostra a Figura 27a. A rotação dessa reta em torno do eixo Oz resulta na superfície circular como mostra a Figura 27b. A reta g é chamada geratriz da superfície, e o ponto O, que separa as duas folhas, é o vértice da superfície (WINTERLE, 2014). 73 Figura 27. (a) Reta g no plano yz. (b) Superfície circular. Fonte: Adaptada de Winterle (2014). Para a definição de superfície cilíndrica, considere C uma curva plana e r uma reta fixa não paralela ao plano de C. Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta g que se move paralelamente à reta fixa r em contato permanente com a curva plana C. A reta g que se move é denominada geratriz, e a curva C é a diretriz da superfície cilíndrica (WINTERLE, 2014). Observe a Figura 28. Figura 28. Superfície cilíndrica. Fonte: Adaptada de Winterle (2014). Winterle (2014) destaca que essa superfície pode ser vista como um conjunto de infinitas retas paralelas que são as infinitas posições da geratriz. 74 18.2 Superfícies cônicas Uma cônica em R² é um conjunto de pontos P = (x,y) cujas coordenadas em relação ao referencial padrão {e1 = (1,0), e2 = (0,1)} satisfazem a equação quadrática (PERES, 2014): ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 Em que a, b, c, d, e, f são números reais com a ≠ 0 ou b ≠ 0 ou c ≠ 0. Podemos observar que a equação da cônica envolve: • uma forma quadrática, φ(x,y) = ax² + bxy + cy²; • uma forma linear, £(x,y) = dx + ey; • um termo constante f. Isto é, a equação que define uma cônica pode ser reescrita da seguinte forma: φ(x,y) + £ (x,y) + f = 0 O gráfico da equação ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 é uma seção cônica, uma curva assim nomeada porque é produzida pela interseção de um plano com um cone circular reto de duas folhas. Conforme Peres (2014), uma cônica pode, em sua forma mais geral, ser representada pela equação matricial , isto é, Uma generalização direta para três dimensões seria escrever: 75 O termo é denominado forma quadrática, e o termo BX continua sendo chamado de forma linear.
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