18-GRAVITAÇÃO (1)

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Gravitação Universal 
1º) A aceleração da gravidade na superfície do planeta X é √
𝟔
𝟏𝟏
𝒈, onde 𝒈 é a aceleração da gravidade na superfície 
da Terra. A densidade média do planeta X é 𝟐/𝟑 da densidade média da Terra. Se a velocidade de escape na superfície 
da Terra é de 𝟏𝟏𝐤𝐦/𝐬, qual é a velocidade de espace na superfície do planeta 𝐗, em 𝒌𝒎/𝒔? 
 
2°) Em uma esfera 𝑬 de raio 𝟐𝑹 e densidade 𝟒. 𝝆 foram feitos dois buracos de raios 𝑹 e preenchidos com duas esferas 
𝑨 e 𝑩, de densidades 9. 𝝆 e 𝝆, respectivamente, como na figura. Determine a aceleração da gravidade exercida pelo 
sistema descrito no ponto 𝑷, distante 𝟒. 𝑹 do centro da esfera maior, e sobre a linha que une os 𝟑 centros das esferas. 
 
3°) Sabe-se que por causa da rotação do planeta a aceleração da gravidade aparente no equador é menor que nos 
polos. A que altura 𝒉 sobre a superfície do planeta, no polo, a força da gravidade será igual à força gravitacional 
aparente no equador? Suponha que a terra tem raio 𝑹, período 𝑻 e densidade 𝝆. 
4°) Se o sistema solar fosse reduzido proporcionalmente de tal modo que a distância média entre o Sol e a Terra 
fosse de 𝟏𝒎, quanto tempo duraria um ano? Considere que as densidades do Sol e da Terra permaneceram as mesmas. 
5°) Um foguete é lançado de um planeta e retorna ao mesmo planeta, de raio 𝑹, de tal forma que o vetor velocidade 
no retorno é paralelo ao vetor velocidade no lançamento. A separação angular no centro do planeta entre o ponto 
de lançamento e o de retorno é 𝜽. Quanto tempo dura o vôo do foguete, se o período de um satélite cuja órbita 
tangencia a superfície da Terra é 𝑻𝟎? 
6°) Dois planetas de massa 𝑴 e raio 𝑹 estão em repouso, um em relação ao outro, com os seus centros distantes de 
𝟒𝑹. Faz-se um furo que atravessa todo o planeta 𝟏, de superfície a superfície, liso e passando por seu centro. Esse 
furo está alinhado com os centros dos planetas. Deseja-se atirar um projétil do centro do planeta 𝟏 de modo que 
consiga alcançar a superfície do planeta 𝟐. Qual é a mínima velocidade inicial necessária para isto acontecer? 
 
 
7°) Qual a profundidade da cratera que devemos fazer num planeta de raio 𝑹 para que, lançando um projétil do 
fundo da mesma com a velocidade de escape da superfície do planeta, sua altura máxima alcançada em relação à 
superfície do planeta seja igual à profundidade da cratera? 
 
8°) Quatro estrelas de mesma massa m ocupam os vértices de um quadrado de lado 𝒅, bastante afastadas de qualquer 
outra massa considerável, executando movimentos circulares em torno do centro de massa comum. Nestas condições, 
determine, em função da constante universal de gravitação 𝑮: 
 
a) a distância de qualquer estrela ao centro de massa comum; 
b) o período de revolução das estrelas; 
c) a velocidade linear de cada estrela; 
d) a energia potencial do sistema; 
e) a quantidade mínima de energia necessária para separar completamente as quatro estrelas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1 − 𝐶 
2 − 𝐶 
3 − 𝑅. {𝑇. [
𝐺.𝝆
𝐺.𝝆.𝑻𝟐−3.𝜋
]
1
2
− 1} 
4 − 1𝑎𝑛𝑜 
5 − 𝑇0. [
1
2
+
1
𝜋
. cos (
𝜃
2
)] 
6 − √
3. 𝐺. 𝑀
2. 𝑅
 
7 − 𝑥 = 𝑅 𝑜𝑢 𝑥 = 𝑅√2 
8 − 𝑎) 
𝑑√2
2
𝑚; 𝑏) 𝑇 = 2. 𝜋. √𝑑3. [
4 − √2
7. 𝐺. 𝑚
] ; 𝑐) 𝑣
= √𝐺. 𝑚. (
2. √2 + 1
2. 𝑑
) ; 
 𝑑) 𝐸𝑃 = −
𝐺. 𝑚2
𝑑
. (4 + √2); 𝑒) 𝐸𝑃 = −
𝐺. 𝑚2
𝑑
. (3 − √2)