Questão resolvida - Determine a derivada direcional de f(x, y, z) = x_(y+z) no ponto (4, 1, 1) na direção do vetor v = 1i+2j+3k - Cálculo II - UEM

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine a derivada direcional de no ponto (4,1,1) na direção do f x, y, z =( )
x
y+ z
vetor .= + 2 + 3v i j k
 
 Solução:
Sendo:
f x, y, z = ; P = 4, 1, 1 ; = 1, 2, 3( )
x
y+ z
( ) v ( )
 
A derivada direcional é dada por:
D f x, y, z = ⋅ v + ⋅ v + ⋅ vu ( )
𝜕f
𝜕x
1
𝜕f
𝜕y
2
𝜕f
𝜕z
3
, e são as componentes do vetor , unitário de , para achar fazemos:v1 v2 v3 V v V
= ⋅ + ⋅ + ⋅V
1
1 + 2 + 3( )2 ( )2 ( )2
i
2
1 + 2 + 3( )2 ( )2 ( )2
j
3
1 + 2 + 3( )2 ( )2 ( )2
K
= + +u
1
14
i
2
14
j
3
14
j
 
= + +u
1
14
i
2
14
j
3
14
j
Agora, fazemos as derivadas parciais em relação a x, y e z e substituimos o ponto;
 
= 4, 1, 1 = 1, 3, 5 =
𝜕f
𝜕x
1
y+ z
→
𝜕f
𝜕x
( )
1
1 + 1
→
𝜕f
𝜕x
( )
1
2
 
f x, y, z = x y+ z = - x y+ z ⋅ 1 = - 4, 1, 1 = -( ) ( )-1 →
𝜕f
𝜕y
( )-2 →
𝜕f
𝜕y
x
y+ z( )2
→
𝜕f
𝜕y
( )
4
1 + 1( )2
4, 1, 1 = - 4, 1, 1 = - 4, 1, 1 = - 1
𝜕f
𝜕y
( )
4
2( )2
→
𝜕f
𝜕y
( )
4
4
→
𝜕f
𝜕y
( )
 
f x, y, z = x y+ z = - x y+ z ⋅ 1 = - 4, 1, 1 = -( ) ( )-1 →
𝜕f
𝜕z
( )-2 →
𝜕f
𝜕z
x
y+ z( )2
→
𝜕f
𝜕z
( )
4
1 + 1( )2
4, 1, 1 = - 4, 1, 1 = - 4, 1, 1 = - 1
𝜕f
𝜕z
( )
4
2( )2
→
𝜕f
𝜕z
( )
4
4
→
𝜕f
𝜕z
( )
 
 
O derivada direcional de f no ponto (4,1,1) e na direção do vetor é:v
 
D f 4, 1, 1 = , - 1, - 1 ⋅ , ,v ( )
1
2
1
14
2
14
3
14
D f 4, 1, 1 = ⋅ + -1 ⋅ + -1 ⋅v ( )
1
2
1
14
( )
2
14
( )
3
14
D f 4, 1, 1 = - - = = - ⋅ = -v ( )
1
2 14
2
14
3
14
1- 4- 6
2 14
9
2 14
14
14
9
2
14
14
2
= -
9
2 14
14
( )
 
D f 4, 1, 1 = -v ( )
9
28
14
 
 
(Resposta)