Questão resolvida - Determine a derivada direcional de f(x, y, z) = x_y+z no ponto (4, 1, 1) na direção do vetor v = 1i+2j+3k - Cálculo II - UEM

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine a derivada direcional de no ponto (4,1,1) na direção do f x, y, z = + z( )
x
y
vetor .= + 2 + 3v i j k
 
 Solução:
Sendo:
f x, y, z = + z; P = 4, 1, 1 ; = 1, 2, 3( )
x
y
( ) v ( )
 
A derivada direcional é dada por:
D f x, y, z = ⋅ v + ⋅ v + ⋅ vu ( )
𝜕f
𝜕x
1
𝜕f
𝜕y
2
𝜕f
𝜕z
3
, e são as componentes do vetor , unitário de , para achar fazemos:v1 v2 v3 V v V
= ⋅ + ⋅ + ⋅V
1
1 + 2 + 3( )2 ( )2 ( )2
i
2
1 + 2 + 3( )2 ( )2 ( )2
j
3
1 + 2 + 3( )2 ( )2 ( )2
K
= + +u
1
14
i
2
14
j
3
14
j
 
= + +u
1
14
i
2
14
j
3
14
j
Agora, fazemos as derivadas parciais em relação a x, y e z e substituimos o ponto;
 
= 4, 1, 1 = = 1 1, 3, 5 = 1
𝜕f
𝜕x
1
y
→
𝜕f
𝜕x
( )
1
1
→
𝜕f
𝜕x
( )
 
f x, y, z = xy + z = - xy = - 4, 1, 1 = - 4, 1, 1 = - 4( ) -1 →
𝜕f
𝜕y
-2
→
𝜕f
𝜕y
x
y2
→
𝜕f
𝜕y
( )
4
12
→
𝜕f
𝜕y
( )
 
= 1 4, 1, 1 = 1
𝜕f
𝜕z
→
𝜕f
𝜕z
( )
O derivada direcional de f no ponto (4,1,1) e na direção do vetor é:v
 
 
 
D f 4, 1, 1 = 1, -4, 1 ⋅ , ,v ( ) ( )
1
14
2
14
3
14
D f 4, 1, 1 = 1 ⋅ + -4 ⋅ + 1 ⋅v ( )
1
14
( )
2
14
3
14
D f 4, 1, 1 = - + = -v ( )
1
14
8
14
3
14
4
14
 
D f 4, 1, 1 = -v ( )
4
14
 
 
(Resposta)