Questão resolvida - Sendo f(x,y,z)=xsen(yz); a) Determine o gradiente de f; b) Determine a derivada direcional de f no ponto (4,2,0) - cálculo II - Unicamp

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Sendo ; f x, y, z = xsen yz( ) ( )
 
a) Determine o gradiente de f; 
b) Determine a derivada direcional de f no ponto (4,2,0) e na direção .= + 2 -v i j k
 
Solução:
 
a) O gradiente da função f, denotado por , é uma função vetorial dada por;𝛻f
 
𝛻f x, y, z = , ,( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
𝜕f
𝜕z
 
Assim, primeiro vamos encontrar as derivadas parciais de f;
 
= sen yz ; = xzcos yz ; = xycos yz
𝜕f
𝜕x
( )
𝜕f
𝜕y
( )
𝜕f
𝜕z
( )
 
Com isso, o gradiente de f é;
 
𝛻f x, y, z = sen yz , xzcos yz , xycos yz( ) ( ( ) ( ) ( ))
 
 
b) A derivada direcional é dada por:
D f x, y, z = , , ⋅ v , v , v = ⋅ v + ⋅ v + ⋅ vu ( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
𝜕f
𝜕z
( 1 2 3)
𝜕f
𝜕x
1
𝜕f
𝜕y
2
𝜕f
𝜕z
3
, e são as componentes do vetor , unitário de , para achar fazemos:v1 v2 v3 V v V
= ⋅ + ⋅ + ⋅V
1
1 + 2 + -1( )2 ( )2 ( )2
i
2
1 + 2 + -1( )2 ( )2 ( )2
j
-1
1 + 2 + -1( )2 ( )2 ( )2
K
= + +u
1
6
i
2
6
j
-1
6
j
 
= + -u
1
6
i
2
6
j
1
6
j
 
 
(Resposta )
Com isso, ; e v =1
1
6
v =2
2
6
v = -3
1
6
 
e 
4, 2, 0 = sen 2 ⋅ 0 4, 2, 0 = sen 0 4, 2, 0 = 0
𝜕f
𝜕x
( ) ( ) →
𝜕f
𝜕x
( ) ( ) →
𝜕f
𝜕x
( )
 
4, 2, 0 = 4 ⋅ 0 ⋅ cos 2 ⋅ 0 4, 2, 0 = 0 ⋅ cos 0 4, 2, 0 = 0 ⋅ 1 4, 2, 0 = 0
𝜕f
𝜕y
( ) ( ) →
𝜕f
𝜕y
( ) ( ) →
𝜕f
𝜕y
( ) →
𝜕f
𝜕y
( )
 
4, 2, 0 = 4 ⋅ 2 ⋅ cos 2 ⋅ 0 4, 2, 0 = 8 ⋅ cos 0 4, 2, 0 = 8 ⋅ 1 4, 2, 0 = 8
𝜕f
𝜕z
( ) ( ) →
𝜕f
𝜕z
( ) ( ) →
𝜕f
𝜕z
( ) →
𝜕f
𝜕z
( )
 
O derivada direcional de f no ponto (4,2,0) e na direção do vetor é:v
 
D f 4, 2, 0 = 0 ⋅ + 0 ⋅ + 8 ⋅-v ( )
1
6
2
6
1
6
D f 4, 2, 0 = 0 - 0 -v ( )
8
6
 
D f 4, 2, 0 = - ⋅ D f 4, 2, 0 = - D f 4, 2, 0 = -v ( )
8
6
6
6
→ v ( )
8 6
6
2
→ v ( )
8
6
6
 
D f 4, 2, 0 = -v ( )
4
3
6
 
 
(Resposta )