Questão resolvida - Se f(x,y,z) x sen yz_ a)Determine o gradiente de f b)Determine a derivada direcional de f em (1,3,0) na direção de v i2j-k - Cálculo II - IFS

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• Seja f x, y, z = xsen yz( ) ( )
a) Determine o gradiente de .f
b) Determine a derivada direcional de em na direção de .f 1, 3, 0( ) = i + 2j - Kv
 
 Solução:
 
a)
 
O gradiente de é dado por;f x, y, z( )
 
𝛻f x, y, z = ⟨ , , ⟩( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
𝜕f
𝜕z
Assim, fazemos as derivadas parciais em relação a após, substituimos o ponto x , y e z,
;1, 3, 0( )
 
f x, y, z = xsen yz = sen yz ; = xcos yz z = xzcos yz ; = xcos yz y = xycos yz( ) ( ) →
𝜕f
𝜕x
( )
𝜕f
𝜕y
( ) ( )
𝜕f
𝜕z
( ) ( )
 
 
Com isso, o gradiente de é;f
 
𝛻f x, y, z = ⟨sen yz , xzcos yz , xycos yz ⟩( ) ( ) ( ) ( )
 
A derivada direcional é dada por:
 
v f x, y, z = ⋅ u + ⋅ u + ⋅ uu ( )
𝜕f
𝜕x
1
𝜕f
𝜕y
2
𝜕f
𝜕z
3
, e são as componentes do vetor , unitário de , para achar fazemos:u1 u2 u3 u v u
 
= ⋅ + ⋅ + ⋅u
1
1 + 2 + -1( )2 ( )2 ( )2
i
2
1 + 2 + -1( )2 ( )2 ( )2
j
-1( )
1 + 2 + -1( )2 ( )2 ( )2
k
 
= + -u
1
1 + 4 + 1
i
2
1 + 4 + 1
j
1
1 + 4 + 1
k
 
 
 
= - +u
2
6
i
6
6
j
3
6
k
 
Já temos as derivadas parciais em relação a e , substituimos o ponto ;x , y z 1, 3, 0( )
 
1, 3, 0 = sen 3 ⋅ 0 = sen 0 = 0
𝜕f
𝜕x
( ) ( ) ( )
 
1, 3, 0 = 1 ⋅ 0 ⋅ cos 3 ⋅ 0 = 0 ⋅ cos 0 = 0 ⋅ 1 = 0
𝜕f
𝜕y
( ) ( ) ( )
 
1, 3, 0 = 1 ⋅ 3 ⋅ cos 3 ⋅ 0 = 3 ⋅ cos 0 = 3 ⋅ 1 = 3
𝜕f
𝜕z
( ) ( ) ( )
 
 
A derivada direcional de na direção do vetor em é;f v 1, -1, 2( )
v f 1, 3, 0 = 0 ⋅ + 0 ⋅ - + 3 ⋅u ( )
2
6
6
6
3
6
v f 1, 3, 0 = 0 + 0 + = ⋅ = =u ( )
9
6
9
6
6
6
9 6
6
2
9
6
6
 
v f 1, 3, 0 =u ( )
3
2
6
 
 
(Resposta)