Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-Cap7

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7 
Teorema de Stokes 
7.1. 
Introdução 
O teorema de Stokes relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma 
curva fechada no espaço com a integral do rotacional do campo em uma região cuja fronteira 
seja a curva. No caso da região estar contida em um plano, o teorema de Stokes é o próprio 
teorema de Green. 
 O resultado apareceu publicamente pela primeira vez como um problema proposto por 
George Stokes (1819-1903) em uma competição de estudantes da Universidade de Cambridge 
em 1854. Tinha sido enunciado em uma carta endereçada a Stokes pelo físico William 
Thomson (Lord Kelvin, 1824-1907). 
 Devido à sua generalidade, o teorema de Stokes tem várias aplicações. Uma delas é 
como ferramenta teórica em eletromagnetismo e mecânica dos fluidos. 
 
7.1.1. 
A Vida de George Stokes 
Matemático e físico britânico nascido em Skreen Sligo, Irlanda, 13 de agosto de 1819, 
faleceu em Cambridge, Inglaterra, 1º de fevereiro de 1903. 
O pai de George Stokes, Gabriel Stokes, era ministro protestante da paróquia de Skreen 
em Município Sligo. A mãe dele era filha de um ministro da igreja, assim Stokes recebeu uma 
educação muito religiosa. Ele era o mais jovem de seis crianças e todos os três irmãos mais 
velhos tornaram-se pastores. 
Gabriel Stokes estudou na Faculdade de Trinity Dublin e ele ensinou para George 
gramática latina. Antes de ir para a escola George teve aulas com o escrivão da paróquia do 
pai, em Skreen. Partindo em 1832 de Skreen, George freqüentou escola em Dublin. Ele 
passou três anos na escola Rev R H Wall's; mas não era um pensionista, viveu com o tio John 
Stokes. Na realidade as finanças familiares não lhe teriam permitido uma educação mais cara, 
mas na escola ele procurou os estudos escolares habituais, e chamou a atenção do mestre 
matemático pela solução de problemas geométricos. 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 87
Durante os três anos em que George estava em Dublin seu pai morreu e isto lhe causou 
um amadurecimento precoce. 
Em 1835, à idade de 16 anos, George Stokes se mudou para a Inglaterra e entrou na 
Faculdade de Bristol. Os dois anos que Stokes ficou em Bristol foram importantes para o 
preparo dos seus estudos em Cambridge. O Reitor da Faculdade, Dr. Jerrard era um irlandês 
que tinha freqüentado a Universidade de Cambridge com William Stokes, um dos irmãos 
mais velhos de George. Claramente o talento de Stokes pela matemática foi mostrado durante 
seus estudos na Faculdade de Bristol e quando ele ganhou um prêmio. Dr. Jerrard escreveu a 
ele: 
“Eu aconselhei para que seu irmão inscrevesse você em Trinity, como eu me sinto 
convencido de que você tem toda a probabilidade humana de sucesso, obtendo um 
Companheirismo naquela Faculdade.” 
Porém sua preferência foi pela Faculdade de Pembroke, em Cambridge, na qual Stokes 
entrou em 1837. 
 
7.1.2. 
A Matemática de Stokes 
Stokes escreveu em 1901: 
“Naqueles dias que entrei na Faculdade de Pembroke, em Cambridge, em 1837, eu não 
tinha ido tão longe na matemática como é o costume no momento; e não tinha começado o 
cálculo diferencial, tinha tido só seções analíticas recentemente lidas.” 
Foi no segundo ano de Stokes em Cambridge, que ele começou a ser treinado por 
William Hopkins, um tutor famoso de Cambridge que teve um papel tão importante quanto os 
conferencistas. Stokes escreveu: 
“Em meu segundo ano comecei a estudar com Mr Hopkins, que era célebre para um 
grande número de alunos que obtinham os lugares mais altos nos exames Universitários para 
honorários matemáticos...” 
Hopkins teve uma forte influência na direção dos interesses matemáticos de Stokes. 
Em 1841, Stokes foi graduado como Sênior Wrangler (o Primeiro da Classe). A 
Faculdade de Pembroke lhe deu imediatamente uma Bolsa Auxílio. Ele escreveu: 
“Depois de completar meu grau eu continuei residindo na Faculdade e recebi alunos 
privados. Eu pensei que seguiria na pesquisa original...” 
William Hopkins o aconselhou a trabalhar em pesquisa hidrodinâmica e foi realmente 
nesta área que Stokes começou a trabalhar. Além do conselho de Hopkins, Stokes também foi 
inspirado para entrar neste campo pelo recente trabalho de George Green. Stokes teve 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 88
documentos publicados no movimento de fluidos incompressíveis em 1842 e 1843. Depois de 
completar sua pesquisa, Stokes descobriu que Duhamel já tinha obtido resultados semelhantes 
desde quando trabalhava na distribuição de calor nos sólidos. Stokes concluiu que os 
resultados dele foram obtidos em uma situação diferente da sua, para justificar sua publicação. 
Stokes continuou estudando as investigações de Duhamel, quando observou a situação 
onde ele levou em conta fricção interna dos fluidos em movimento. Depois que Stokes 
deduziu as equações corretas de movimento ele soube que não foi o primeiro a obtê-las, pois 
Navier, Poisson e San-Venant já tinham considerado o problema. Na realidade, esta 
duplicação de resultados não era completamente um acidente, mas foi provocado pela falta de 
conhecimento do trabalho de matemáticos em Cambridge naquele momento. Novamente 
Stokes, decidido que os resultados dele foram obtidos com suposições suficientemente 
diferentes para justificar publicação, publicou as teorias da fricção interna de fluidos em 
movimento, em 1845. O trabalho também discutiu o equilíbrio e movimento de sólidos 
elásticos e Stokes usou um argumento de continuidade para justificar a mesma equação de 
movimento para sólidos elásticos como para fluidos viscosos. 
Entre 1845 e 1850, Stokes trabalhou na teoria dos fluidos viscosos. Deduziu uma 
equação (Teorema de Stokes) que poderia ser aplicada ao movimento de uma pequena esfera 
ao cair dentro de um meio viscoso, para obter a sua velocidade sob influência de uma força 
dada, tal como a gravidade. Essa equação podia ser usada para explicar a maneira pela qual as 
nuvens flutuavam no ar e as ondas se desfaziam na água. Poder-se-ia também utilizá-la em 
problemas de ordem prática que envolvesse a resistência da água aos navios que nela se 
moviam. Na verdade, a interconexão da ciência é sempre de tal ordem que seis décadas depois 
de haver sido enunciada a lei de Stokes viria a ser empregada para um objetivo que jamais se 
poderia prever – ajudar a estabelecer a carga elétrica de um único elétron na experiência de 
Millikan. 
Talvez o evento mais importante no reconhecimento de Stokes como um matemático 
principal era o seu relatório em recentes pesquisas de hidrodinâmica apresentado à 
Associação Britânica para o Avanço de Ciência, em 1846. 
Ele também usou o seu trabalho no movimento de pêndulos em fluidos, considerando a 
variação de gravidade a pontos diferentes na Terra, publicando um trabalho em Geodesy de 
importância fundamental na variação de gravidade à superfície da Terra, em 1849. 
Em 1849, Stokes foi nomeado professor de matemática em Cambridge. Em 1851, 
Stokes foi eleito a Royal Society, premiado com a medalha de Rumford em 1852, e foi 
designado a secretário em 1854. Mais tarde, Stokes precisando ganhar dinheiro adicional, 
aceitou ser professor de física. 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 89
 Ele investigou a teoria de onda de luz, nomeou e explicou o fenômeno de 
fluorescência em 1852, e em 1854 teorizou uma explicação do Fraunhofer sobre linhas no 
espectro solar. Ele sugeriu que estas fossem causadas por átomos nas camadas exteriores do 
Sol que absorvem certos comprimentos de onda. Porém, mais tarde, quando Kirchhoff 
publicou esta explicação, negou qualquer descoberta anterior de Stokes. O próprio Stokes 
(cujo caráter ressaltava modéstia e generosidade) sempre insistiu que não havia esclarecido 
certos pontos críticos dos problemas então em jogo e que, por isso, não reclamara para si 
nenhuma prioridade. 
Certamente a carreira de Stokes tomou um rumo bastante diferente em 1857, quando ele 
passou do período de pesquisa teórica e se tornou mais envolvido com administraçãoe 
trabalho experimental. Stokes noivou para se casar com Mary Susanna Robinson, a filha do 
astrônomo do Observatório de Armagh, na Irlanda. No dia 21 de janeiro de 1857, ele escreveu 
seus sentimentos a ela: 
“Eu era capaz de ser movido, matematicamente, como seja, pela convicção de que um 
curso particular era o certo; e eu acredito que Deus pôs estas visões em minha mente, 
enquanto trabalhando por meio do que estava em prover como estava querendo.” 
Uns três dias depois escreveu: 
“Você tem razão dizendo que não se pode pensar sobre os próprios sentimentos da 
pessoa, em uma família que é fácil, mas você não sabe o que é viver totalmente só.” 
No dia 31 de março de 1857, ele escreveu expressando seus sentimentos novamente em 
condições bastante matemáticas: 
“Eu também sinto que tenho pensado muito ultimamente, mas de um modo diferente, 
minha cabeça está correndo em série divergente, como feita descontinuidade de constantes 
arbitrárias..., eu pensei freqüentemente que você teria me impedido de passar tanto tempo 
por essas coisas.” 
Estas cartas não expressaram o amor claramente que Mary esperou achar nelas e, 
quando Stokes lhe escreveu uma carta de 55 páginas, ela quase desmanchou o casamento à 
última hora. Ao receber uma carta dela, mostrando sua infelicidade em prosseguir com o 
matrimônio, Stokes respondeu: 
“Então estou certo de que você deveria se retirar até mesmo agora, entretanto eu 
deveria ir para a sepultura como máquina de pensamento defeituosa...” 
O matrimônio prosseguiu e Stokes, longe da vida de intensa pesquisa matemática. 
Naquele momento, membros em Cambridge tinham que ser solteiros, mesmo assim 
levou adiante o matrimônio. Stokes deveria deixar a Faculdade de Pembroke. Porém, uma 
mudança nas regras, em 1862, permitia que homens casados continuassem lá. Stokes 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 90
continuou como secretário da Royal Society até 1885, quando foi eleito presidente. Ele 
ocupou o cargo de presidente até 1890. Ele também foi presidente do Victoria Institute de 
1886 até sua morte em 1903. Participou de outras tarefas administrativas. Em 1859 escreveu a 
Thomson: 
“Eu tenho outro ferro no fogo agora: fui designado há pouco a um cargo de secretário 
adicional da Comissão Universitária de Cambridge.” 
Stokes recebeu a Copley Medal da Royal Society de Londres em 1893 e foi o honorário 
mais alto da Faculdade, onde serviu como mestre entre 1902 e 1903. 
Stokes influenciou muito as novas gerações: 
Stokes era uma influência formativa muito importante em gerações subseqüentes de 
homens de Cambridge, inclusive Maxwell. Como Green tinha influenciado Stokes, seguindo 
o trabalho francês, especialmente os de Lagrange, Laplace, Fourier, Poisson e Cauchy. Isto é 
visto claramente nos seus estudos teóricos em ótica e hidrodinâmica; mas também deve notar-
se que Stokes, até mesmo como um estudante universitário, realizou experimentos 
incessantemente. Ainda seus interesses e investigações estenderam além da física, seu 
conhecimento em química e botânica era extenso, e freqüentemente o seu trabalho em ótica o 
atraiu a esses campos. 
Os documentos de Stokes foram publicados em 5 volumes, os primeiros três, Stokes 
editou em 1880, 1883 e 1891. Os últimos dois foram editados por Senhor Joseph Larmor 
incluindo um trabalho completo em 1905. 
 
7.2. 
Teorema de Stokes 
Seja S uma superfície lisa por partes, orientada, no espaço, cuja fronteira C é uma curva 
lisa por partes, simples e fechada, orientada positivamente (sentido anti-horário) em relação à 
normal. Seja ( ) ( ) ( ) ( )→→→→ ++= kz,y,xRjz,y,xQiz,y,xPz,y,xF um campo vetorial com 
componentes contínuas e deriváveis, 
→
n é o vetor normal unitário à S, 
→
t o vetor tangente 
unitário à C e D um domínio do espaço contendo S. 
 Nessas condições, tem-se: 
 
 ∫
C
→
F .d
→
r = ∫∫
S
(rot
→
F .
→
n )dS (7.1) 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 91
Obs: a escolha de um vetor normal contínuo determina o sentido de C. Quando a curva 
é percorrida no sentido anti-horário o vetor 
→
n (normal) aponta para fora e se for percorrida no 
sentido horário 
→
n aponta para dentro da superfície. 
 
Figura 7.1- Teorema de Stokes 
 
Considere a superfície S, dada na forma z = z(x,y). Seja D sua projeção no plano Oxy, 
quando L = (x, y) percorre D, o ponto M(x,y,z(x,y)) percorre S. Quando L percorre a fronteira 
B de D, M percorre o bordo C da superfície S. Seja 
→
t o vetor unitário tangente à C, cujo 
sentido indica o percurso sobre C, que corresponde ao sentido positivo do percurso sobre B. 
Mais precisamente, quando M percorre C no sentido indicado por 
→
t , a projeção L de M 
percorre B no sentido positivo. 
Queremos transformar a integral de linha 
 ∫
C
P.dx + Q.dy + R.dz = ∫∫
S
(rot
→
F .
→
n )dS (7.2) 
onde ( ) ( ) ( ) ( )→→→→ ++= kz,y,xRjz,y,xQiz,y,xPz,y,xF . 
O teorema de Stokes torna-se: 
dSkRndSjQndSiPn
dSkRjQiPnRdzQdyPdx
SSS
S
C
→→→→→→
→→→→
×∇⋅+×∇⋅+×∇⋅=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++×∇⋅=++
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫
 (7.3) 
Para demonstrar o teorema de Stokes, basta mostrar que os dois lados da equação (7.3) 
são iguais. 
 
 
Da Figura 7.1 nota-se o caminho para 
demonstrar o teorema de Stokes: 
utilizando o teorema de Green já 
enunciado, utilizando a projeção da 
superfície no plano xy. 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 92
Exercícios: 
1) Seja um balão de ar quente, com um formato esférico de raio r = 5, conforme a figura 
abaixo. O ar quente escapa através dos poros da superfície deste balão com um campo de 
velocidade vetorial 
→
V (x,y,z) = Φ×∇ (x,y,z), quando Φ (x,y,z) = -y →i + x →j . Se o raio da 
circunferência do bordo é r = 5/4, calcule o volume do fluxo de ar quente que atravessa a 
superfície do balão. 
Solução: 
 
 
 
A figura abaixo mostra a representação de alguns vetores do campo vetorial dado por 
→
F (x,y,z) = -y
→
i + x
→
j . Como o raio do balão é r = 5, e o seu centro está sobre o eixo-z, a 
variação do raio das curvas de nível desta esfera (balão) é de 0 a 5. 
 
Aplicando o Teorema de Stokes: ∫
C
→
F .d
→
r = ∫∫
S
(rot
→
F .
→
n )dS temos que a circulação 
através da superfície é igual à circulação em torno do bordo desta superfície. 
Seja γ, [0,2π] → 3ℜ 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 93
γ(t) = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 0,tsen
4
5,tcos
4
5 
γ`(t) = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− 0,cos
4
5,
4
5 tsent 
→
F (γ(t)) = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− 0,cos
4
5,
4
5 tsent 
Substituindo γ(t) e γ`(t) em 
∫
C
→
F .dr = ∫
b
a
→
F ((γ(t)).γ`(t)dt 
Tem-se: 
∫π2
0
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− tcos
4
5,tsen
4
5 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− tcos
4
5,tsen
4
5 dt = ∫
π2
0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ + tsen
16
25tcos
16
25 22 dt = 
= 
16
25 ∫
π2
0
[ ]tcostsen 22 + dt = 
16
25 ∫
π2
0
dt = 
16
)2(25 π = 
8
25π 
 
2) Seja S uma superfície aberta através da qual fluam as linhas de um vetor indução magnética 
→
B , e Φ o fluxo de 
→
B através de S, chamada fluxo magnético, Φ = ∫∫
S
→
B .dS . 
Solução: 
 
Como a superfície é aberta, ela é limitada por uma curva C, cuja orientação em relação 
à dS obedece à regra da mão direita. À circulação de um campo elétrico 
→
E ao longo de C dá-
se o nome de força eletromotriz, 
ξ ≡ ∫
C
→
E .d
→
r 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 94
Verifica-se experimentalmente que o fluxo da indução magnética e a força eletromotriz 
induzida estão relacionados por meio de ξ ≡ 
dt
d− c/ 
Ou, em termos das respectivas integrais, 
∫
C
→
E .d
→
r = 
dt
d− ∫∫
S
→
B .dS 
Esta é a forma integral da lei de Faraday da indução eletromagnética. O sinal negativo 
no segundo membro da equação acima é devido ao fato de que o sentido das linhas de 
→
E tal 
que o campo elétrico tem, em relação ao de d
→
B /dt, o sentido oposto ao que seria dado pela 
regra da mão direita (lei de Lenz) 
 
Como é mais fácil discutir-se a lei de Faraday a partir da sua forma diferencial, vamos 
escrever a equação nessa forma. Para isso, basta usarmos o Teorema de Stokes no primeiro 
membro e lembramos que,a segunda parcela, o operador d/dt atravessa o operador de 
integração para aplicar-se ao setor indução B: 
∫∫
S
(∇ x →E )dS = - ∫∫
S ∂
∂ →B dS 
 
Como a superfície é arbitrária e aberta, podemos concluir que: 
∇ x →E = - ∂
∂ →B 
E esta é a forma diferencial da lei de Faraday da indução eletromagnética. 
 
 
 
 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 95
3) Aplique o Teorema de Stokes para calcular ∫ →→
C
sd T . F , onde C é a elipse que o plano 
z = y + 3 intercepta o cilindro x2 + y2 = 1. Oriente a elipse no sentido anti–horário quando 
vista de cima, e tome 
→
F (x, y, z) = 3z 
→
i + 5x 
→
j – 2y 
→
k . 
Solução: 
Plotando o gráfico vemos que a interseção entre o cilindro e o plano gera uma elipse 
com semi-eixos 1 e 2 . A orientação dada de C corresponde ao vetor normal 
→
n = (-
→
j + 
→
k ) 
apontando para cima e normal à região elíptica S no plano z = y + 3, delimitada por C. 
Mas, 
rot 
→
F = 
2y5x3z
zyx
k ji
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂ = - 2 →i + 3 →j + 5 →k 
Assim, 
 ( rot 
→
F ) . 
→
n = (-2
→
i + 3
→
j + 5
→
k ) . (-
→
j + 
→
k ) = -3 + 5 = 2 
Logo, pelo Teorema de Stokes, 
∫ →
C
ds T. F 
r
 = ∫∫ →→
S
dS n . )F rot ( = ∫∫
S
dS 2 = 2 área(S) = π2 2 
porque, pode-se ver que S é uma elipse com semi-eixos 1 e 2 . Assim sua área é 2π . 
 
4) Aplique o Teorema de Stokes para calcular ∫∫ →→→∇
S
dS n . ) F x ( ,onde 
→
F = 3z
→
i + 5x 
→
j –
2y
→
k e S é a parte da superfície parabólica z = x2 +y2 que está abaixo do plano z = 4 e cuja 
orientação é dada pelo vetor normal unitário superior . 
Solução: 
Parametriza-se o círculo fronteira C de S por x = 2cos(t), y = 2sen(t), z = 4, com 
0 2t π≤≤ . Então, dx = -2sen t dt, dy = 2cos t dt e dz = 0. 
 O Teorema de Stokes dá, pois, 
∫∫ ∫ ∫ +==∇ →→→→→
S C C
dz2y -dy 5x dx3z dS T . F dS n . ) F x ( 
= 0 . )2sen t ( . 2 )dt t cos 2 ( ) t cos 2 ( . 5 )dt sen t 2- ( . 4 . 3 
2
0
++∫ π 
= ) 2t cos 10 10 t sen24- ( dt ) t cos 20 t sen24- ( 
2
0
2
0
2 ∫∫ ++=+ ππ 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 96
= [ ] π202t sen 5 10t t cos 24 ++ = 20π 
 
5) Seja o campo de forças 
→
F definido por 
→
F ( x, y, z ) = -4y 
→
i + 2z 
→
j + 3x 
→
k e suponha que 
S seja a parte do parabolóide z = 10 – x2 – y2 acima do plano z = 1. Verifique o Teorema de 
Stokes para esse 
→
F e para S, calculando: 
 
 ∫∫ →→
S
dS n . )F rot ( 
Solução: 
Plotando o gráfico vemos que a interseção entre o parabolóide e o plano projeta uma 
superfície S sobre o plano xy. A região é delimitada pela circunferência x2 + y2 = 9. A curva 
C, que é a fronteira de S, é a circunferência com centro em ( 0, 0, 1) e raio 3 no plano z = 1. 
Calculamos primeiro o rot
→
F . 
 rot 
→
F = 
x3 z2y4
z
 
yx
 
k ji 
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
→→→
 = - 2 
→
i –3
→
j + 4 
→
k 
Assim, 
∫∫ ∫∫ →→→→→→ +=
S S
 dS n . ) k 4 j 3- i 2- ( dS n . ) F rot ( 
Para calcular essa integral de superfície devemos encontrar o vetor n
→
normal unitário 
superior, como a equação da superfície é z = 10 – x2 – y2 sua derivada parcial em relação a x 
é –2x e em relação a y é –2y, daí temos o vetor normal. 
Logo, 
∫∫ ∫∫ +=→→
S D
dy dx] 4 )2y - )( 3- ( - 2x)- )( 2- ( - [ dS n . ) F rot ( 
 = ∫∫ +
D
dy dx ) 4 6y - 4x- ( 
 
Fazendo a mudança de parâmetros, x = r cosθ , y = r senθ e dxdy = rdr θd , com 
3 r 0 ≤≤ e 0 πθ 2≤≤ , temos: 
 
 ddr r ) 4 sen 6r - cos4r - ( 
2
0
3
0∫ ∫ +π θθθ 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 97
θθθπ d ]2r sen2r - cos r 
3
4 - [ 30
2332
0
+∫ 
∫ +π θθθ20 d ) 18 sen 54 - cos 36- ( = 
 = [ -36 senθ +54 cosθ + 18θ ] π20 = 36π 
 
6) Verifique o teorema de Stokes para o campo 
→→→→ ++= kxjziyF , onde S é o parabolóide 
z = 1 - x2 - y2 , z≥0. Ver figura abaixo. 
Solução: 
 
 
Comecemos por determinar o integral de linha. O contorno 
C é a circunferência de raio unitário no plano XY, pelo que 
 
→
r ( t ) =cos t 
→
i + sen t 
→
j 
 
→
r ´( t ) = - sen t 
→
i + cos t 
→
j 
∫ ⋅
C
drF = ∫π2
0
[( sen t ) ( - sen t )] dt = - π 
 
Para determinar o integral de superfície, precisamos de determinar ×∇→ →F = - →i - →j - →k . 
Para calcular um vetor normal à superfície, basta recordar que esta é a superfície 
equipotencial w = 0 do campo escalar w = z =1 - x2 - y2, pelo que 
→
n = wx
→
i + wy
→
j + wz 
→
k = 
-2x
→
i -2y
→
j –
→
k . No ponto de coordenadas ( ½ , ½, ½ ) o vetor 
→
n aponta para o interior do 
parabolóide. Isso significa que o sentido de 
→
n não está de acordo com o sentido de 
circulação de C. Portanto, ou mudamos o sentido de 
→
n ou então ficamos desde já a saber que 
vamos obter o simétrico do resultado pretendido. Com isto em mente, podemos então 
escrever ∫∫ →→
S
dS n . )F rot ( = ∫∫ ×→→
S
x dxdyyn . )Frot ( σσ = ∫∫ ++
S
dxdy ) 1 2y 2x ( . A solução 
é mais simples se convertermos o integral para coordenadas cilíndricas. Obtemos, então, 
∫∫ →→
S
dS n . )F rot ( = πϕϕρϕ
π
=++∫ ∫
2
0
1
0
1) sin2ρcos (2 dρ ρ d , que é o resultado simétrico, 
como se pretendia. 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 98
 
7) Aplicar o teorema de Stokes para 
→
A = ( 2x – y ) 
→
i – ( yz2 ) 
→
j – ( y2z ) 
→
k , onde S é a 
metade superior da superfície da esfera x2 + y2 + z2 = 1 e C é sua curva limítrofe. 
Solução: 
A linha limite C de S é uma circunferência no plano xy, de raio unitário e centro na 
origem. Seja x = cos t, y = sen t, z = 0, π2t0 ≤≤ as equações paramétricas de C. 
 Logo, 
 
∫∫ ∫ =−−=−−−=⋅ →→
π2
0
2
C C
2 πdt ) t sen( ) t sent 2cos (dzydyyzdx )y 2x ( Rd A 
E também, rot 
→
A = 
z22 yyz-y-2x
zyx
k ji
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂ = →k 
Assim, 
 ∫∫ →→
S
dS . ) rot ( nA = ∫∫ →→⋅
S
dS k n = ∫∫
R
dxdy 
π 1 4 4
22
2
1
0
1
0
2
1
1
1
0
1
1
=−== ∫ ∫∫ ∫∫
−−
−−=−=
dxxdxdydxdy
xx
xyx
 
e o teorema de Stokes é verificado. 
 
8) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha ∫ →→
C
ds T . F se 
→
F ( x, y, z ) = xz
→
i + 
xy
→
j + y2 
→
k e C for a fronteira orientada da superfície que consiste na parte do cilindro 
z = 4 –x2 no primeiro octante que é delimitada pelos planos coordenados e pelo plano y = 3. 
Solução: 
A interseção do plano com o cilindro gera uma superfície S, com fronteira C composta 
por quatro curvas C1, C2, C3 e C4. Do teorema de Stokes temos que: 
 
 
 ∫ →→
C
dS T . F = ∫∫ →→→∇
S
dS n . ) F x ( rot 
→
F = 
y xyxz
z
 
yx
 
k ji 
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
→→→
= 2y
→
i + x
→
j + y 
→
k 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 99
Assim, ∫ →→
C
dS T . F = ∫∫ →→→→ ++
S
 Sd n . ) ky jx i2y ( . 
Assim temos, 
∫ →→
C
dS T . F = ∫∫ +
S
dxdy ] y ) 0 (x - )2x - ( )2y (- [ 
 = ∫∫ +
S
dxdy ) y 4xy ( 
Como a projeção no plano xy é um retângulo, limitado pelos eixos x e y e pelas retas 
 x =2 e y = 3, logo temos a região de integração: 
 ∫ →→
C
dS T . F = ∫ ∫ +20 30 dydx )y 4xy ( = 
 = dxy 
2
1 2xy 
3
0
2
0
22∫ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ + 
 = dx 
2
9 18x 
2
0∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + 
 = 
2
0
2 x
2
9 9x ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ + = 45 
 
9) Mostrar que se r é um vetor posição, então: 
 ∫ →→
C
r.dr = 0 
Solução: 
.0xr =∇ Então, pelo teorema de Stokes 
 ∫ →→
C
r.dr = ∫∫ =×∇ →→
S
0dSr 
10) Se C é uma curva fechada, mostrar que ∫ =∇ →→
C
0r.dφ 
Solução: 
Para a suficiência, 0f =×∇ →→ ; então pelo teorema de Stokes ∫∇
C
.drφ = ( )∫∫ ∇∇
S
.dS,x φ 
onde S é uma superfície contida em C. Sabemos que, 0; x =∇∇ φ então ∫ =∇
C
0.drφ