Limite e Derivadas

( ) 24 x4xxf −= no exemplo 42. 
 
Álvaro Fernandes 69
O seguinte teorema também é utilizado para determinação de extremos de uma função. Ele é 
aplicado quando a análise do sinal da primeira derivada não é imediata (simples). 
 
Teorema: (Critério da segunda derivada para determinação de extremos) 
Seja f uma função derivável num intervalo ( )b,a e k um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, 
( ) 0k´f = . Então: 
 
a) ( ) ⇒< 0k´´f f tem um máximo relativo em k; 
b) ( ) ⇒> 0k´´f f tem um mínimo relativo em k. 
 
Exemplo 46. Determine os extremos da função ( ) 24 x4xxf −= , usando o teste da segunda 
derivada. 
 
( ) ( )2xx4x8x4x´f 23 −=−= . Os pontos críticos de f são 2x2x0x 21o −=== e , . 
 ( ) 8x12x´´f 2 −= . 
 ( ) 080´´f <−= , logo 0xo = é ponto de máximo relativo. ( ) 0162´´f >= , logo 2x1 = é ponto de mínimo relativo. ( ) 0162´´f >=− , logo 2x2 −= é ponto de mínimo relativo. 
 
Este resultado está de acordo com o exemplo 45. 
 
Exemplo 47. Determine os extremos da função ( ) ( ) 0x,xxlnxf 2 >−= , usando o teste da segunda 
derivada. 
 
( ) x2
x
1x´f −= . 
 
( )
2
2x
2
1xx2
x
10x2
x
10x´f 2 ±=⇒=⇒=⇒=−⇒= . Como 0x > , temos que 
2
2x = 
é o ponto crítico de f. 
 
Vamos agora determinar o sinal de 



2
2´´f : 
 
( ) 2
x
1x´´f 2 −−= . Assim 042
2´´f <−=



 e então 
2
2x = 
 
é ponto de máximo relativo de f. 
 
Veja o gráfico da função ( ) ( ) 0x,xxlnxf 2 >−= ao lado. 
Álvaro Fernandes 70
Concavidade e ponto de inflexão 
 
Sabemos que a parábola 0acbxaxy 2 ≠++= , , tem concavidade voltada para cima quando 0a > 
e concavidade voltada para baixo quando 0a < . Não existe mudança de concavidade nos gráficos 
destas funções. Situação diferente acontece em ( )xseny = ou ( )xcosy = , onde verificamos essas 
mudanças. Os pontos de mudança de concavidade são chamados de pontos de inflexão. Através da 
derivada (segunda) podemos determinar os intervalos onde uma função tem concavidade voltada 
para cima ou para baixo e os pontos de inflexão. Estes conceitos são úteis no esboço gráfico de uma 
curva. 
 
 
 
 
 
Definição: Dizemos que uma função f tem concavidade voltada para cima (C.V.C) num intervalo ( )b,a se ´f é crescente neste intervalo. Em outras palavras, se o gráfico da função estiver acima de 
qualquer reta tangente. 
 
 
 
 Figura 1 
 
Definição: Dizemos que uma função f tem concavidade voltada para baixo (C.V.B) num intervalo ( )b,a se ´f é decrescente neste intervalo. Em outras palavras, se o gráfico da função estiver abaixo 
de qualquer reta tangente. 
 
 
 
 Figura 2 
 
 
Através do estudo do sinal da segunda derivada podemos determinar os intervalos onde uma função 
tem concavidade voltada para cima ou para baixo. Vejamos a seguinte proposição. 
Álvaro Fernandes 71
Proposição: Seja f uma função contínua e derivável até a segunda ordem no intervalo ( )b,a : 
 
a) Se ( ) 0x´´f > para todo ( )b,ax∈ , então f tem concavidade voltada para cima em ( )b,a ; 
 
b) Se ( ) 0x´´f < para todo ( )b,ax∈ , então f tem concavidade voltada para baixo em ( )b,a . 
 
Prova: 
 
a) Como ( ) 0x´´f > para todo ( )b,ax∈ , então ( )x´f é crescente em ( )b,a . Desta forma, o gráfico 
de f tem o aspecto do gráfico da figura 1 anterior. De forma análoga prova-se o item b. 
 
 
Definição: Um ponto ( )( )kf,kP do gráfico de uma função contínua f é chamado de ponto de 
inflexão (P.I.) se ocorre uma mudança de concavidade na passagem por P. 
 
 
 
 Figura 3 
 
 Figura 4 
 
 
Para verificar a existência de um ponto de inflexão ( )( )kf,kP no gráfico de uma função f, basta 
verificar a mudança de sinal da segunda derivada na passagem por k. 
 
Observe simbolicamente como isto ocorre: 
 
Na figura 3 temos 
 
 
Na figura 4 temos 
 
 
 
Exemplo 48. 
 
Determine os intervalos onde a função ( ) 24 x4xxf −= tem concavidade voltada para cima, para 
baixo e os pontos de inflexão. 
Álvaro Fernandes 72
Temos que ( ) x8x4x´f 3 −= e ( ) 8x12x´´f 2 −= . 
 
( )
3
2x
3
2x
3
2
12
8x08x120x´´f 22 −<>⇒=>⇒>−⇒> ou . 
 
( )
3
2x
3
2
3
2
12
8x08x120x´´f 22 <<−⇒=<⇒<−⇒< . 
 
 
 
Assim, f tem C.V.C. no intervalo ( ) ( )∞+∪−∞− ,3232, e tem C.V.B. em 
( )32,32 − . Os pontos de inflexão ocorrem nas abscissa 
3
2x0 −= e 3
2x1 = . 
 
 
 
 
Assíntotas horizontais e verticais 
 
Em algumas aplicações práticas, encontramos gráficos que se aproximam de uma reta. 
 
 
 
Estas retas são chamadas de assíntotas. 
 
Vamos tratar mais detalhadamente das assíntotas horizontais e verticais. 
Álvaro Fernandes 73
Definição: A reta de equação kx = é uma assíntota vertical do gráfico de uma função ( )xfy = , 
se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira: 
 
i) ( ) +∞=+→ xflimkx ; 
 
ii) ( ) +∞=−→ xflimkx ; 
 
iii) ( ) −∞=+→ xflimkx ; 
 
iv) ( ) −∞=−→ xflimkx . 
 
 
Exemplo 49 
 
a) A reta de equação 0x = é assíntota vertical da função ( )xlny = , pois ( ) −∞=+→ xlnlim0x . 
 
Observe o gráfico da função ( )xlny = : 
 
 
 
 
 
 
b) A reta de equação 1x = é assíntota vertical da função ( )21x
ly −= , pois ( ) +∞=−→ 21x 1x
1lim . 
 
Observe o gráfico da função ( )21x
ly −= : 
 
 
 
 
 
Álvaro Fernandes 74
Definição: A reta de equação ky = é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função 
( )xfy = , se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira: 
 
i) ( ) kxflim
x
=
+∞→
 ; 
 
ii) ( ) kxflim
x
=
−∞→
 . 
 
 
Exemplo 50 
 
a) A reta de equação 1y = é assíntota horizontal da função 2
2
x1
1xy +
−= , pois 1
x1
1xlim 2
2
x
x
=+
−
−∞→
+∞→
 
ou
. 
Observe o gráfico da função 2
2
x1
1xy +
−= : 
 
 
 
 
b) A reta de equação 0y = é assíntota horizontal da função ( )
x
xseny = , pois ( ) 0
x
xsenlim
x
x
=
−∞→
+∞→
 
ou
. 
Graficamente podemos perceber que as oscilações vão reduzindo a sua amplitude e o gráfico da 
função ( )
x
xseny = vai se aproximando da reta 0y = . 
 
 
 
 
Percebemos neste exemplo que a assintota horizontal toca o gráfico da função. 
 
 
Álvaro Fernandes 75
Esboços de gráficos 
 
Utilizando todos os resultados da análise gráfica das funções, podemos resumir numa tabela os 
procedimentos para esboçar o gráfico de uma função. 
 
Passos Procedimento 
 
1o Encontrar o domínio da função; 
2o Calcular os pontos de interseção da função com os eixos (quando não requer muito cálculo); 
3o Calcular os pontos críticos da função; 
4o Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função; 
5o Encontrar os pontos de máximos e mínimos relativos da função; 
6o Determinar a concavidade e os pontos de inflexão; 
7o Determinar as assíntotas horizontais e verticais (se existirem); 
8o Esboçar o gráfico. 
 
 
Exemplo 51. Esboce o gráfico da função ( )
1x
xxfy 2 −== . 
 
 
1o passo (Domínio): 
 
1x1x1x01x 22 ±≠⇒±≠⇒≠⇒≠− . Logo ( ) { }1,1fD −−ℜ= . 
 
 
2o passo (Pontos de interseção com os eixos): 
 
( )
( )


=⇒−==
=⇒−==
 ponto mesmo O : ) (faça eixo o com
 ponto o temosLogo : ) (faça eixo o com
.0,0.0y
10
0y0xy
.0,0.0x
1x
x00yx
2
2
 
 
 
3o passo (Pontos críticos): 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )22
2
22
2
1x
1x...
1x
x2x1x1x'f −
−−==−
−−= . 
 
( ) ( ) 1x01x01x
1x0x'f 2222
2
−=⇔=−−⇔=−
−−⇔= . Não existem pontos críticos, 
pois não existe ℜ∈x tal que 1x2 −= . 
Álvaro Fernandes 76
4o passo (Intervalos de crescimento e decrescimento): 
 
 
 ( ) ( )22
2
1x
1xx'f −
−−= . Estudando o sinal da derivada...