calculo algebrico (1)

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Limites: abordagem numérica e gráfica; Definição: investigação gráfica; Limites laterais 
1. 
O poliuretano é um polímero muito utilizado na produção de espuma. A quantidade desse 
polímero (em quilogramas) usada para produzir tênis é representado pela função 
Observe seu gráfico: 
 
 Analise a produção dessa função quando x se aproxima de 2. 
 
você acertou! 
C. 
4 
Observando o gráfico, tem-se que quanto mais x aproxima-se de 2 pela esquerda (ou seja, 
tomando x iguais a 1,5; 1,6; 1,7...), mais a função P aproxima-se “por baixo” do valor 4. Da mesma 
forma, quanto mais x aproxima-se de 2 pela direita (assumindo os valores 2,5; 2,4; 2,3...), mais a 
função P aproxima-se de 4 “por cima”. 
 
Como nas duas aproximações de x (pela esquerda e pela direita) do valor 2, a função P tende a 
4, dizemos que 
Observe que a função P(x) dada não é definida para x = 4. 
2. 
A linha de produção da indústria de tênis utiliza a água como reagente químico. A liberação 
da água para os rios, sem nenhum tratamento, tem causado danos. O gráfico abaixo mostra 
a intensidade de poluição (y) com o passar dos anos (x). Qual a intensidade de poluição 
em 20 anos? 
 
E. 
Aproximadamente 20. 
Note que para valores de x > 1, o fenômeno é descrito por meio de uma função exponencial, cuja 
assíntota é a reta y = 20. Ou seja, conforme os valores de x aumentam, os valores de y tendem a 
se aproximar de 20. 
3. 
Minutos após o lançamento da água contaminada, a população de uma colônia de bactérias 
(por mililitro) encontrada em um rio poluído, é dada pela função 
 
Qual a população de bactérias 10 minutos após sua contaminação? 
 
Você acertou! 
A. 
63 
Observe que o tempo t = 10 minutos é maior que 5 minutos, que limita os intervalos de definição 
da função f. Como para 
 
têm-se f(t) = 6t + 3, então: 
bactérias por mililitro. 
4. 
Certa aplicação paga 6% de juros ao ano sobre um depósito inicial de R$ 5.000,00. Os 
ganhos sobre essa aplicação foram estimados por 
 
onde t é medido em anos. Qual o ganho aproximado após quatro anos dessa aplicação? 
D. 
7970 
Observe que o tempo t = 4 é menor que 5 anos, que limita os intervalos de definição da função f. 
Como para 
têm-se f(t) = 5000(1 + 0,06)2t, então: 
 
 
5. 
Modelou-se a população de uma certa cidade, após t anos, por f(t) = 10000+3000t/t2 +1 
Determine o comportamento dessa função daqui 300 anos. 
C. 
Aproximadamente 10010 habitantes. 
Para t = 300, têm-se: f(300)=10000+ 3000*300/3002+1=10000+9,9998888901~-10010 
habitantes. 
 
Note que à medida que t aumenta, o segundo termo da expressão diminui. Embora não tenha 
sentido no contexto populacional, podemos afirmar que o infinito, esse termo tenderia a zero e a 
função daria como resultado 10010. 
 
Cálculo algébrico de limites com indeterminação matemática 
 
1. Analise o limite: 
 
 
A. 5 
 
 
2 Qual o comportamento da função abaixo quando x tende a 0? 
 
 
D. 4 
 
3. 
Qual o valor do 
 
 
 
 
Resposta correta. 
A. 
Infinito. 
 
 
 
4. 
Determine o comportamento do 
 
 
 
C. 
Infinito. 
Observe o cálculo do limite: 
 
 
 
 
5. 
É possível determinar o comportamento do 
 
 
 
E. 
Infinito. 
Observe o cálculo do limite: 
 
 
 
Limites, Taxas de variação e retas tangentes 
1. 
Analise as afirmativas a seguir e identifique o que é verdadeiro e o que é falso. 
 
1. Se eu escolher uma variação do espaço e uma variação do tempo e dividi-las, terei uma 
taxa de variação na velocidade. 
2. É possível ter uma taxa de variação de luminosidade do sol em relação à hora do dia. 
3. Limite é o valor que uma certa função tende a retornar quando aplicado um certo valor 
na variável independente. 
4. Escolhendo dois pontos A e B de uma função, a taxa de variação da reta tangente em 
qualquer um dos pontos é igual à taxa de variação média entre os dois pontos. 
Resposta correta. 
A. 
1-F, 2-V, 3-V, 4-F. 
1. É falsa, pois as variações podem não estar relacionadas. 
2. É verdadeira, pois, em certos horários, há mais luz e há relação com o horário. 
3. É verdadeira, apesar de estar de forma simplificada e não formal, essa é a definição de limite. 
4. É falsa. A reta tangente é o gráfico que teríamos se, em um dado ponto, a taxa de variação 
fosse constante, enquanto a outra é uma variação média, ou seja, que retorna alguns parâmetros 
de forma simplificada. 
2. 
Dada uma equação do tipo: R(t)=R1+z'(t)+q'(t³), marque a alternativa correta sobre a 
equação e as taxas de variações. 
C. 
z' e q' são taxas de variações. 
z’ é a taxa de variação de R em relação ao tempo t, e q’ é a taxa de variação de R em relação a 
uma ordem cúbica do tempo, t3. 
3. 
Reta tangente é a reta que toca uma dada curva num único ponto. Tem relação direta com 
o limite e a taxa de variação. Por isso, dada uma reta tangente a um certo ponto descrito 
pela equação: Y=3*X+2, marque a afirmativa correta. 
B. 
Tomando o limite da variável independente da taxa de variação num dado ponto de uma curva 
tendendo a zero, obteremos a inclinação da reta tangente naquele ponto. No exemplo, o valor é 
3. 
Essa é uma resposta completa e que relaciona os três conteúdos. 
 
4. 
Use o conceito de limite e calcule o seu primeiro limite. Se, simplificadamente, o significado 
de limite é o valor que uma dada função tende a retornar para um certo valor da variável 
independente, qual o limite quando x tende a zero, da função: f(x)=x/x? 
 
Julgue os argumentos das alternativas e escolha o correto. 
 
 
D. 
Em x=0 teremos 0/0, mas a função sempre retorna o valor f(x)=1 para qualquer valor de x, então, 
podemos concluir que para x=0, o limite do x tendendo a zero leva a função a convergir para 1. 
Multiplique em cima e embaixo por x, o que simplifica a função para 1. Em x=0 teremos 0/0, então 
não está definido, mas mesmo assim podemos achar o limite da função. 
5. 
Se duas retas se encontram exatamente num único ponto, podemos dizer que, para aquele 
ponto, uma é a reta tangente da outra? Marque a alternativa que tenha resposta e 
justificativa coerentes. 
 
Você acertou! 
A. 
Não, pois a premissa para ser reta tangente é ter a mesma taxa de variação da outra naquele 
dado ponto, o que em todos os outros casos leva a tocar num só ponto. 
Observe que este problema está exemplificado no conteúdo do livro (página 44). 
Derivadas: definição 
1. 
Calcule a derivada de f(x) = x3 e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva 
y = x3 no ponto x = –1. Assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente nesse 
ponto. 
C. 
y = 3x + 2. 
2. 
Calcule f'(3), sendo f(x) = x2 – 8x, a partir da razão incremental em a = 3. Assinale a alternativa 
correta. 
A. 
f'(3) = –2. 
3. 
Encontre uma equação da reta tangente em x = 2 para a função f (x) = 1/x 
 e assinale a alternativa correta. 
e. f(2) = -¼ 
4. 
Determine a derivada da função f, cujo gráfico aparece na figura abaixo, em x = 2, 3 e 4, e 
assinale a alternativa correta. 
 
 
 
D. 
f'(2) = 1; f'(3) não existe; f'(4) = –1. 
5. 
Assinale a alternativa que contém a(s) reta(s) tangente(s) à curva da figura a seguir: 
 
 
 
B. 
Retas B e D. 
Introdução ao conceito de derivada 
 
 1 A derivada da função x² + 1 é: 
 
Você acertou! 
A. 
2x. 
 
 
 
2. 
Determine a derivada da função x² + 2x -3. 
D. 
2x + 2. 
 
 
3. 
Um atleta participou de uma maratona na qual correu 42 km em um tempo de 4 horas. 
Determine a taxa de variação do espaço em relação ao tempo relativo à corrida. 
Você acertou! 
A. 
10,5 km/h. 
 
Nesta questão, estamos falando de taxa de variação média, onde: 
vm = ∆s / ∆t = 42 / 4 = 10,5 km/h 
4. 
Determine a taxa de variação instantânea da função x(t) = 2 + t², em t = 2. 
B. 
4. 
 
 
 
5. 
Uma barra tem comprimento L = x²+2x quando está submetida a x°C. Se essa barra for 
aquecida em 3°C, qual a taxa de variação instantânea relativa ao comprimento duranteo 
aquecimento? 
Você acertou! 
A. 
8 unidades de medida. 
 
 
desafio 
 
Em casos em que há uma incidência acima do esperado de uma doença transmissível, infecciosa 
e transitória, se diz que há um surto dessa doença. Também chamado de epidemia, afeta ao 
mesmo tempo um número significativo de pessoas e o controle sobre a transmissão da doença é 
difícil. 
Você trabalha na área da saúde de uma cidade onde ocorreu a epidemia de determinada doença. 
Sabe-se que, passado um tempo t (em dias) do primeiro dia da epidemia, o número de pessoas 
infectadas foi de: 
 
A informação de quantas pessoas foram infectadas é importantíssima para o projeto de contenção 
da epidemia. Sendo assim, determine a taxa com que a epidemia se propaga dada pela razão 
entre variação de n(t) em relação ao tempo t = 4. 
 
Nessa epidemia, 48 pessoas foram infectadas por dia. 
Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações 
1. 
Seja uma função f(x). A reta tangente a essa curva no ponto P é y= 5x+3. Determine a 
derivada dessa função no ponto P. 
B. 
A derivada da função é 5. 
A derivada é a inclinação da reta tangente em um ponto P. 
Dada a equação da reta tangente, na forma y = ax+ b, onde a é o coeficiente angular, ou seja, a 
inclinação da reta, a derivada dessa função é igual a 5 . 
2. 
Determine a derivada da função f(x) = 5x9 . 
E. 
F’(x) = 45x8 . 
3. 
Determine a derivada da função f(x)= 4x•(2x²-3). 
D. 
F’(x) = 24x²-12. 
4. 
Determine a derivada da função f(x) (3x²+1)/(2x). 
C. 
f' (x)= (3x²-1)/2x². 
5. 
Determine a derivada da função f(x) = x³- 4x²+3x+2 . 
B. 
f' (x)=3x²-8x+3. 
Regra do produto e do quociente 
1. 
Encontre a derivada 
 
se y = (4x2 − 1)(7x3 + x) e assinale a alternativa correta. 
E) d/dx = 140x4-9x2-1 
3. 
Calcule a derivada da função P(x) = (x − 1)(3x − 2) e assinale a alternativa correta. 
 
Você acertou! 
A. 
P′(x) = 6x − 5. 
4. 
Encontre a derivada de f(x) = (3x − 2x2)(5 + 4x) e assinale a alternativa correta 
B. 
f′(x) = 15 + 4x − 24x2. 
Regra da cadeia 
1. 
As funções nem sempre são simples. Muitas vezes, as variáveis independentes de uma 
delas, na verdade, são dependentes de outra variável. 
Suponha as seguintes funções: y =x2 e x = 2t+1 . Encontre: 
Você acertou! 
A. 
8t + 4. 
2. 
Nas funções compostas, as variáveis independentes são substituídas por alguma função. 
Encontre a derivada da seguinte função: y = tg (x3+20): 
C. 
3x2 sec2 (x3 +20). 
3. 
Para resolvermos a derivada de funções compostas, é necessária a utilização da regra da 
cadeia. 
Dada a função y = (1+x cos(x))-5, encontre: 
 
E. 
-5 (1+x cos(x))-6(-x sen(x)+cos(x)). 
4. 
Suponha que a aceleração de um objeto seja dada por em m/s2, onde v é a velocidade, a 
qual é dada por v = 50+2t2 m/s. 
Qual a taxa de variação da aceleração pelo tempoem m/s3, conhecida como arranque? 
C. 
200t + 8t3. 
Derivadas de funções trigonométricas 
 
1. 
Encontre a derivada em relação a x da seguinte função: 
 
 
 
C. 
 
 
2. 
Dada a seguinte equação: 
y = x tg(x) + 5 sen(x) – 10 
Qual das alternativas é verdadeira? 
Você acertou! 
A. 
 
 
3. 
Encontre a derivada da seguinte função inversa: 
y = arccossec(x²). 
 
4. 
Encontre a segunda derivada em relação a x da seguinte função: 
y = x cos(x) + sec(x). 
D. 
y'' = –x cos(x) – 2 sen(x) + sec(x) tg²(x) + sec³(x). 
5. 
Suponha que uma escada de 6 metros esteja apoiada em uma parede, formando um ângulo 
θcom o chão , e uma distância x de sua base superior até o chão, como mostrado na 
imagem a seguir. 
 
Se a base da escada for empurrada em relação à parede, haverá uma taxa de variação de x 
em relação a θ. Qual será o valor dessa taxa, em metros por grau, quando θ = 45º? 
D. 
 
 
Limites, Taxas de variação e retas tangentes 
Desafio 
 Analise um problema físico clássico, o movimento circular uniforme, no qual um objeto anda em 
uma trajetória circular com a velocidade que só muda de direção, mas o que marca no velocímetro 
é sempre o mesmo valor. O valor da aceleração também só muda de direção. Observe a imagem: 
 
 
 
A partir disso, responda: 
a) Se você pegar o arco percorrido no movimento e dividir pela variação do tempo, o que você 
obterá? 
b) Se você usar o obtido no item "a" e aplicar o limite de t2-t1 tendendo a zero, o que você obterá? 
c) Qual a relação da velocidade com a reta tangente ao ponto em que o objeto se encontra? 
Essas perguntas são extremamente conceituais e importantes no desenvolvimento do significado 
do cálculo. Por isso, responda-as com dedicação! 
. 
Padrão de resposta esperado 
São esperadas as seguintes respostas: 
a) O que se observará é uma taxa de variação da posição em relação ao tempo, que, na verdade, 
é a velocidade média, pois não é a velocidade de cada instante, mas uma aproximação que nos 
permite achar certas quantidades, como distância percorrida com o tempo. Observe que essa 
taxa de variação não nos retornará a posição correta do objeto para todos os instantes de tempo. 
Todavia, nos permite saber quanto de gasolina gastaremos em uma viagem. 
b) Se usarmos o limite do enunciado, obteremos a velocidade instantânea, que é a velocidade em 
um dado instante de tempo. Caso generalizemos para todos os tempos, teremos a velocidade em 
cada instante de tempo, ou seja, a função que retorna a velocidade em um dado tempo. Apesar 
de ter módulo igual em todos os instantes, aponta para direções diferentes em cada instante. 
Observe que, em geral, a taxa de variação é diferente da velocidade instantânea. 
c) A reta tangente em um ponto é a trajetória que o objeto seguiria se tivesse sempre a velocidade 
que tem naquele instante. Imagine uma boiadeira: giramos, giramos e, quando lançamos, ela sai 
pela tangente. Já a inclinação da reta tangente está relacionada ao valor da velocidade. Observe 
também que a partícula não segue a trajetória da reta tangente, pois muda de velocidade a cada 
instante, ou seja, a reta tangente muda de direção a cada instante. 
Derivação implícita 
1. 
Mesmo que algumas funções implícitas possam ser escritas de forma explícita facilmente, 
não é necessário deixá-las explícitas para encontrar suas derivadas. Encontre
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 da 
seguinte equação implicitamente √𝑦  − 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 10 
Resposta correta. 
A. 
8 cos (x) (5+ sen (x)). 
 
2. 
Escrever funções implícitas é bem comum na área de exatas. Assim, suas derivadas 
também podem ser encontradas implicitamente. Encontre 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 por derivação implícita de 
y4+x3=4 xy . 
c. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4𝑦−3𝑥2
4𝑦3−4𝑥
 
3. 
As variáveis dependentes e independentes de uma função podem aparecer no 
denominador de frações. Nesse caso, para encontrar as derivadas dessas funções, 
podemos aplicar a derivação implícita. Encontre 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 por derivação implícita de 
1
√𝑥
+
1
𝑦
= 1 
d.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝑦2
2√𝑥3
 
4. 
Muitas vezes é necessário usar a derivação implícita juntamente com a regra da cadeia. 
Encontre 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 por derivação implícita de cos(xy)=2y. 
e. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)
𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)+2
 
5. 
As funções trigonométricas também são utilizadas para se escrever funções implíctas. 
Encontre 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
 por derivação implícita de 2y+sen(y)=2 x. 
b. 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
4𝑠𝑒𝑛(𝑥)
(2+cos(𝑦))3
 
Derivadas superiores 
1. 
Quando se deriva uma função f, encontra-se a derivada primeira f'. Se f' for derivável, então 
sua derivada é denotada por f'′, denominada derivada segunda de f. Nesse contexto, 
encontre a derivada de segunda ordem da função f(x) = 3x2 + 8x + 1 e assinale a alternativa 
correta: 
 
E. 
f''(x) = 6. 
2. 
Enquanto houver diferenciabilidade em uma função, é possível continuar o processo de 
derivação para obter as derivadas terceira, quarta, quinta e até derivadas superiores de f. 
Essas derivadas também são chamadas de derivadas sucessivas. Assim, encontre a 
derivada de sextaordem da função f(x) = 3x5 + 8x2 e assinale a alternativa correta: 
Você acertou! 
A. 
f 6(x) = 0. 
3. 
As derivadas sucessivas são chamadas de derivada primeira, derivada segunda, e assim 
por diante, conforme segue-se com o processo de derivação. O número de vezes que f for 
diferenciável é chamado de ordem da derivada. Nesse contexto, encontre a derivada de 
segunda ordem da função a seguir e assinale a alternativa correta: 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 1
𝑥 − 1
 
d. f X)=
4
(𝑥−1)3
 
4. 
A derivada de segunda ordem de uma função representa a derivada da derivada dessa 
função e pode ser representada por y'' ou 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
 . Assim, calcule a derivada de segunda ordem 
da função y = x2(3x + 1) e assinale a alternativa correta: 
C. 
y'' = 18x + 2. 
5. 
A derivada de ordem superior pode ser entendida como “a derivada da função derivada”, 
ou seja, para encontrar, por exemplo, a derivada segunda, basta derivar a função da 
primeira derivada novamente, e assim por diante. Nesse contexto, calcule a derivada de 
terceira ordem da função f(x) = (2x + 1) (3x − 2) e assinale a alternativa correta: 
 
B. 
f′′′(x) = 0. 
Problemas de maximização e minimização 
1. 
As funções são muitas vezes utilizadas para modelar fenômenos. Assim, saber seus 
comportamentos, como máximos e mínimos absolutos, é essencial para entender o 
fenômeno que está por trás. Considere a seguinte função: 𝑓(𝑥) =
10
3
𝑥3 − 15𝑥2 + 20𝑥,0 ≤
𝑥 ≤ 4 
 
Encontre os valores de x onde ocorrem os máximos e mínimos absolutos da função. 
 E. 
Máximo absoluto em x= 4 e mínimo absoluto em x= 0. 
2. 
Dado um certo intervalo do domínio de uma função, esta pode ou não apresentar pontos 
de máximo e mínimo absolutos. Dada a função 𝑓(𝑥) = 4𝑥5 + 5𝑥4 
 
determine se ela tem extremos absolutos e, se tiver, onde ocorrem. 
Resposta correta. 
A. 
Não tem extremos absolutos. 
3. 
Para encontrar pontos críticos e pontos de máximo e mínimo absolutos de funções, as 
derivadas são essenciais. Suponha a seguinte função: 𝑓(𝑥) =
2
𝑥2−𝑥
,0 < 𝑥 < 1 
 
Determine se f(x) tem extremos absolutos e, caso tenha, onde ocorrem. 
 
 
 
B. 
Tem máximo absoluto em x= 1/2. 
4. 
Na hora de investigar os pontos extremos absolutos de uma função, o intervalo de 
interesse é importante. 
Suponha a função f ( x ) contínua no intervalo aberto ( a , b ). Se lim⁡_{𝑥 → 𝑎 + 𝑓├(𝑥┤) = +∞} 
e lim⁡_{𝑥 → 𝑏 − 𝑓├(𝑥┤) = +∞} 
O que podemos afirmar sobre seus pontos extremos absolutos? 
Você acertou! 
A. 
A função f(x)tem um mínimo absoluto em (a, b). 
5. 
Você está construindo uma caixa com base quadrada e sem tampa superior para guardar 
objetos. Você precisa que ela tenha volume de 32.000 cm3. Qual deve ser a altura da caixa 
para que o material usado em sua construção seja minimizado? 
 
 
B. 
20 cm. 
Conceito e propriedades da integral indefinida 
Desafio 
As integrais indefinidas no cálculo matemático envolvem situações com funções em uma 
formulação mais complexa, tal que f'(x) = g(x). Esse processo poderá ser realizado em atividades 
da área da Agronomia, possibilitando resultados precisos aos agrônomos. 
Suponha que você, agrônomo, está verificando todas as propriedades da região Sul que estão na 
sua demanda. Em umas das propriedades, verificou a danificação da plantação de milho por 
lagartas. Para verificar os dados precisamente, você utilizou a expressão y’ = 4 + 5t4 para observar 
a plantação danificada diariamente. Após a verificação, constatou-se que 50.000 m 2 (5 hectares) 
já estão danificados. 
a) Quantos metros quadrados da lavoura estarão danificados em 7 dias? 
b) Caso a proliferação esteja muito grande, que atitudes deverão ser tomadas? 
Sua resposta 
a) y=(4+5t4dt y=4t+t5+c 50000=4*0+05+c c=50000 y=t5 + 4t + 50000 y=7e5+4*7+5000 
y=66835m² em 7 dias 66835m² serão danificado b) uso de inseticida, se necessario, ate por ano 
Enviado em: 17/11/2022 17:02 
Padrão de resposta esperado 
a) O problema nos fornece a derivada y’ e o valor de y(0)=50000. Assim, calcula-se a integral para 
encontrar y e depois substituir t por 0 e y por 50.000 para encontrar a constante C. 
y= ∫( 4+5t4)dt 
y = 4t + t5 + C 
y = t5 + 4t + 50.000 
Agora, substitui-se t por 7 para encontrar a quantidade de lavoura danificada em 7 dias. 
y = 75 + 4.7 + 50.000 
y = 16807 + 28 + 50.000 
y = 66835 m2 
Logo, a plantação em 7 dias estará com 66.835 m2 danificados pelas lagartas. 
b) Atitudes como o uso de inseticidas deverão ser utilizadas rapidamente, e caso o milho esteja 
numa altura que impossibilita a entrada do pulverizador agrícola gafanhoto, recomenda-se o uso 
do avião agrícola para aplicar o inseticida. 
1. 
Pedro é um agrônomo que percorre semanalmente as plantações sob sua 
responsabilidade. Em uma dessa visitas, percebeu uma lavoura de trigo queimando e ele 
definiu a velocidade do fogo com v(t) = 3t2 + 30t + 36, com t medido em segundos. Qual o 
espaço percorrido s(t) pelo fogo, sabendo que t = 5s? 
 
B. 
680 m. 
 
 
V(t) =∫(3t2 + 30t +36) 
S(t) = t3 + 15t2 + 36t + C 
Em t = 0, temos s(0) = 0 
S(t) = t3 + 15t2 + 36t + C 
0 = 03 +15. (0)2 + 36.0 + C 
C = 0 
S(t) = t3 + 15t2 + 36t 
S(5) = 53 + 15.52 + 36.5 
S(5) = 125 + 375 + 180 
S(t) = 680 m 
. 
2. 
Durante suas produções, um agricultor elaborou um gráfico entre curvas para observar o 
movimento da produção. Sabendo que o ponto (1,5) pertence à curva da equação f(x) e a 
sua declividade é dada por f’(x) = 3x – 4, qual a função que o agricultor utiliza em seus 
cálculos? 
 
C. 
y = 3x2/2 – 4x + 7,5. 
 
3 
 
B. 
A função 𝑓(𝑥) =
1𝑥6
2
 não é a única antiderivada de 3x5, pois podemos somar uma constante C e 
obter outra antiderivada. 
4. 
No instante t = 0, há um caminhão carregado de grãos com velocidade de 81 m/s e o 
motorista visualiza uma árvore caída em seu caminho para chegar até o armazém. Dessa 
forma, o motorista desacelerou rapidamente o veículo, com uma desaceleração constante 
a = -9 m/s. Em que instante a velocidade do caminhão chegou a zero? 
 
C. 
A velocidade do caminhão chegou a zero em t = 9 s. 
 
 
V(t) = ꭍ(- 9)dt 
y = - 9t + C 
Para t = 0, tem-se v(0) = 81m/s, assim, C = 81 
V(t) = - 9t + 81 
V(t) = 0 
-9t + 81 =0 
t = 9 s 
 
 
5. Uma agroquímica de fungicidas para plantação de trigo tem um custo marginal definido 
pela função c’(x) = x3 + 2x2 + 4x. Nessas condições, qual função define o custo total, sendo 
que o custo fixo é R$ 2.000,00? 
Você acertou! 
A. 
𝑐(𝑥) =
𝑥4
4
+
2𝑥3
3
+ 2𝑥2 + 2000 
Teorema fundamental do cálculo 
1. 
O teorema fundamental do cálculo permite uma fácil interpretação dos cálculos para 
resolver integrais, sem a necessidade da implementação das somas de Riemann. Permite, 
inclusive, avaliar alguns aspectos de função, como intervalos na qual cresce e decresce, 
e, ainda, apresenta valores de máximos e mínimos locais e concavidade. 
Seja g(x) = ∫ 𝑤(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
0
 , onde w é apresentada pelo gráfico abaixo: 
 
O intervalo em que g é crescente e tem valor de máximo é, respectivamente: 
C. 
(0, 3) e x = 3. 
2. 
A diferenciação e a integração são processos inversos do Cálculo. O resultado do teorema 
fundamental do cálculo apresenta detalhadamente esses aspectos. Dessa forma, usando a 
primeira parte do TFC, qual é a derivada da função: 𝑤(𝑥) = ∫ cos(𝑡2) 𝑑𝑡
2
𝑥
 
 
Você acertou! 
A. 
W ' x = -cos( x 2 ) 
3. 
A diferenciação e a integração são processos inversos do Cálculo. O resultado do teorema 
fundamental do cálculo apresenta detalhadamente esses aspectos. Dessa forma, utilizando 
a segunda parte do TFC, qual é a integral da função: ∫ (1 + 3𝑦 − 𝑦2)𝑑𝑦
4
0
 
D. 
20/3. 
4. 
A densidade linear de uma barra de comprimento de 4 metros é dada por 𝑝(𝑥) = 9 + √𝑥 
 
medida em quilogramas por metro, onde x é medida em metros a partir de um extremo da 
barra. Dessa forma, a massa total da barra é de aproximadamente, considerando dois 
dígitos significativos:D. 
m = 41,33kg. 
5. 
A área da região que está à direita do eixo y e à esquerda da parábola x = 2y -y² (a região 
sombreada descrita na figura abaixo) é descrita pela integral ∫ (2𝑦 − 𝑦2)𝑑𝑦
2
0
 Qual a área 
dessa região? 
 
 
D. 
4/3. 
 
Técnicas de integração: substituição e partes 
1. 
Reconhecendo que (x³/3) - x² +5x é uma primitiva de x² - 2x +5, se pode calcular a integral. 
Caso não seja possível reconhecer a primitiva de imediato, como ela pode ser gerada? 
Você acertou! 
A. 
Termo a termo, utilizando a regra da soma e da diferença. 
Reconhecendo que (x³/3) - x² +5x é uma primitiva de x² - 2x +5, se pode calcular a integral. Caso 
não seja possível reconhecer a primitiva de imediato, ela pode ser gerada termo a termo, 
utilizando a regra da soma e da diferença. 
2. 
Calcule a seguinte integral a partir dos conhecimentos do método de integração por partes: 
∫(𝑥2 + 2𝑥) cos 𝑥
 
 
𝑑𝑥 
B. (𝑥2 + 2𝑥)𝑠𝑒𝑛𝑥(2𝑥 + 2) cos 𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐 
3. 
A integração por substituição se apresenta como um importante instrumento que busca descomplicar 
a complexidade de algumas integrais. Realize o cálculo da seguinte integral aplicando o método de 
substituição. 
∫(3𝑥 − 3)10
 
 
𝑑𝑥 
Você acertou! 
A. u=3x-3 então du=3dx ou seja dx=
𝑑𝑢
3
 
∫(3𝑥 − 3)3
 
 
𝑑𝑥 = ∫𝑢10
 
 
⋅
𝑑𝑢
3
=
1
3
∫𝑢10
 
 
𝑑𝑢 =
1
3
⋅
𝑢11
11
+ 𝑐 =
(3𝑥 − 3)11
33
+ 𝑐 
4. 
Considere a integral: ∫ cos(70 + 5) 𝑑𝜃
 
 
 
 
Calcule utilizando o método de substituição: 
c 
1
7
𝑠𝑒𝑛(70 + 5) + 𝑐 
5. 
Considerando a praticidade e objetividade na aplicação de métodos que pretendem 
otimizar a resolução de algumas questões, calcule a integral utilizando a integração por 
partes: 
∫𝑥
 
 
cos 5 𝑥𝑑𝑥 
Você acertou! 
A. 
1
5
𝑥𝑠𝑒𝑛5𝑥 +
1
25
cos 5 𝑥 + 𝑐 
 
A maneira correta de calcular a integral pelo método de integração por partes é da seguinte 
maneira:u=x 
du=dx 
dv=cos(5x)dx 
v=1/5 sen(5x) 
Integrais trigonométricas 
1. 
Para resolver integrais envolvendo potências das funções seno e cosseno, é possível 
utilizar algumas estratégias próprias, de acordo com a potência de cada função. Resolva a 
integral aplicando a estratégia adequada. ∫ 𝑠𝑒𝑛5
 
 
𝑥 cos2 𝑥𝑑𝑥 
 
 . 
Você acertou! 
A. 
−cos2𝑥
3
+
2cos5 𝑥
3
−
cos7 𝑥
7
+ 𝑐 
2. 
Para determinar o volume de um sólido obtido pela rotação da função f(x) em torno do eixo 
x, para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , resolve-se a integral v=∫ 𝜋[𝑓(𝑥)2]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 cos2
3 𝑥 em 
torno do eixo x, para 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
 . 
D. 
2𝜋
35
 
3. 
Uma pessoa percorre um caminho em formato parabólico, segundo a curva y=x2, ilustrada 
abaixo. 
 
 
 
Determine a distância percorrida pela pessoa do ponto (0,0) ao ponto (1,1), sabendo que o 
comprimento do arco dessa parábola nesses pontos é dada por: ∫
1
0
√1 + 4𝑥2𝑑𝑥 
b. 
2√5+𝑖𝑛(√5+2)
4
 
4. 
Deseja-se construir um reservatório obtido pela rotação da função y=e 𝑥 ,0 ≤ 𝑥 ≤ 1 , em 
torno do eixo x. 
 
 
 
Para determinar a quantidade de material necessário para a construção do reservatório, é 
preciso encontrar a área de sua superfície, que é dada por 𝑎 = 2𝜋 ∫ 𝑒𝑥√1+𝑒
2𝑥 
 
𝑑𝑥 
 
Calcule a área da superfície do reservatório e assinale a resposta correta. 
e. 𝜋(𝑒√𝑒2 + 1) + 𝑖𝑛(𝑒 + √𝑒2 + 1) − √2 − 𝑖𝑛(√2 + 1) 
5. 
Um campo elétricoE no ponto P (a, b) em uma barra carregada de comprimento L é dado 
por 
 
E=∫
𝑏
4𝜋∈0(𝑥
2+𝑏2)
3
2
𝑑𝑥
𝑙−𝑎
−𝑎
 
Onde ∈0 é uma constante. Determine o campo elétrico no ponto (3, 2) de uma barra de 
comprimento 5. 
b. 
1
8𝜋∈0
(
√2
2
+
3
√3
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Limites: abordagem numérica e gráfica; Definição: investigação gráfica; Limites laterais
	Cálculo algébrico de limites com indeterminação matemática
	Limites, Taxas de variação e retas tangentes
	Derivadas: definição
	Introdução ao conceito de derivada
	Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações
	Regra do produto e do quociente
	Regra da cadeia
	Derivadas de funções trigonométricas
	Limites, Taxas de variação e retas tangentes (1)
	Desafio
	Derivação implícita
	Derivadas superiores
	Problemas de maximização e minimização
	Conceito e propriedades da integral indefinida
	Desafio
	Teorema fundamental do cálculo
	Técnicas de integração: substituição e partes
	A maneira correta de calcular a integral pelo método de integração por partes é da seguinte maneira:u=x du=dx dv=cos(5x)dx v=1/5 sen(5x) Integrais trigonométricas