AULA 9 - Polígonos e Área de figuras planas

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CURSINHO COLMEIA
MATEMÁTICA B – PROFESSORA: GABI RIBEIRO
AULA 9 – POLÍGONOS E ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
LEI DOS COSSENOS
O quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos 
outros dois lados, menos o duplo produto desses dois lados 
pelo cosseno do ângulo formado por eles
RELEMBRANDO... RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
𝑎² = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐 . cos Â
𝑐² = 𝑎2 + 𝑏2 − 2. 𝑎. 𝑐 . cos መ𝐶
b² = 𝑎2 + 𝑐2 − 2. 𝑎. 𝑐 . cos ෠𝐵
෠𝐵
መ𝐶
LEI DOS SENOS
Esse teorema demonstra que num mesmo triângulo a razão entre 
o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será 
sempre constante.
𝑎
𝑠𝑒𝑛 መ𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 ෠𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 መ𝐶
O QUE SÃO POLÍGONOS?
Polígono é uma figura plana formada por:
- segmentos consecutivos, não colineares 
- segmentos que não se cruzam e somente se 
tocam nos extremos
Para ser polígono, A1 A2 A3 .... An devem ser 
pontos distintos de um plano:
- n ≥ 3
- A1 tem que se conectar a An
- Nenhum dos segmentos pode se cruzar
A1
A1
A1
A1
A2
A2
A2A3A3
A3
A2
A3
A4A4
A4
A5
A5
A6
SÃO POLÍGONOS: 
A1
A2
A4
A3
A5
A6
POLÍGONOS CÔNCAVOS E CONVEXOS
CÔNCAVOCONVEXO
Se unir 2 quaisquer 
pontos, o segmento 
obtido sempre está 
dentro do polígono 
Se unir 2 quaisquer 
pontos, o segmento 
obtido passa parte 
por fora do polígono 
ELEMENTOS POLÍGONO:
CLASSIFICAÇÃO POLÍGONOS
POLÍGONOS REGULARES E IRREGULARES
IRREGULARES
REGULARES
Possuem todos os lados e 
ângulos IGUAIS
Possuem lados e ângulos 
DIFERENTES
ÁREA é o nome dado à medida de 
uma superfície. Ou seja, quanto maior 
a superfície da figura, maior será sua 
área.
O QUE É ÁREA?
Cada uma das figuras planas 
possuem fórmulas específicas para 
calcular suas área.
QUADRADO
𝐴 = 𝐿 . 𝐿
→ ÁREA DO QUADRADO
d = 𝐿 . 2
→ DIAGONAL 
Quadrilátero REGULAR, formado por quatro lados congruentes e quatro ângulos de 90°
Ap =
𝐿
2
→ APÓTEMA
Ap
Apótema: é a medida do segmento que parte do centro 
do polígono e forma ângulo de 90° com um de seus lados.
RETÂNGULO
𝐴 = 𝑏 . ℎ
→ ÁREA DO RETÂNGULO
Quadrilátero formado por 4 lados, sendo 2 deles iguais na vertical e outros 2 iguais na horizontal
Seus ângulos internos são de 90°
TRIÂNGULO
𝐴 =
𝑏. ℎ
2
→ ÁREA DO TRIÂNGULO 
Ap = ℎ
1
3
→ APÓTEMA
1
3
2
3
TRIÂNGULO - Equilátero
𝐴 =
𝐿² 3
4
→ ÁREA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO 
h=
𝐿 3
2
→ ALTURA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO 
L L
L
HEXÁGONO – REGULAR
𝐴 = 3
𝑙² 3
2
𝐴 = 6. Área triângulo equilátero
→ DIVIDE EM 6 TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS
𝐴 = 6.
𝑙² 3
4
LOSANGO
𝐴 =
𝐷. 𝑑
2
→ ÁREA DO LOSANGO
Apresenta dois lados e ângulos opostos congruentes e paralelos, com duas diagonais que se 
cruzam perpendicularmente. Além disso, possui dois ângulos agudos (menores que 90º) e 
dois ângulos obtusos (maiores que 90º).
TRAPÉZIO
𝐴 =
𝐵 + 𝑏 . ℎ
2
→ ÁREA DO TRAPÉZIO
Possui dois lados e bases paralelas, uma maior que a outra. Podem ser definidos em 3 tipos:
2 ângulos de 90° Os 2 lados não 
paralelos possuem a 
mesma medida
Todos os lados 
são diferentes
CÍRCULO
𝐴 = 𝜋𝑟2
→ ÁREA DO CÍRCULO
→ CIRCUNFERÊNCIA
Essa figura geométrica tem uma forma circular. Onde o raio do círculo representa a medida entre 
o ponto central da figura e uma das extremidades. E o diâmetro a reta que divide o ângulo em 2 
partes iguais
D
C= 2. 𝜋. 𝑟
CÍRCULO – Área de um setor
𝜋𝑟2 ---- 360°
→ ÁREA DO SETOR – regrinha de três
raio raio
𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 ---- 60°
60°
PERÍMETRO
P = soma de todos os lados
PERÍMETRO
Perímetro é a medida do comprimento de um contorno. Pra fazermos o cálculo do perímetro 
devemos somar todos os seus lados
EXERCÍCIOS
1) (Cefet/MG – 2016) A área quadrada de um sítio deve 
ser dividida em quatro partes iguais, também quadradas, 
e, em uma delas, deverá ser mantida uma reserva de 
mata nativa (área hachurada), conforme mostra a figura 
a seguir. 
RESOLUÇÃO:
Área de 1 dos quadrados 𝐴 = 𝐿 . 𝐿
𝐴 = 50 . 50
𝐴 = 2500 𝑚²
Área da parte cinza
𝐴𝑐𝑖𝑛𝑧𝑎 = 𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 − 𝐴𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐶𝐷𝐹 − 𝐴𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐸𝐵𝐶
Sabendo-se que B é o ponto médio do segmento AE e C é o 
ponto médio do segmento EF, a área hachurada, em m² , mede:
a) 625,0
b) 925,5
c) 1562,5
d) 2500,0
𝐴𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐸𝐵𝐶 =
𝑏. ℎ
2
𝐴𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐸𝐵𝐶 =
25. 25
2
𝐴𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐸𝐵𝐶 = 312,5
𝐴𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐶𝐷𝐹 =
𝑏. ℎ
2
𝐴𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐶𝐷𝐹 =
25. 50
2
𝐴𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐶𝐷𝐹 = 625
𝐴𝑐𝑖𝑛𝑧𝑎 = 2500 − 625 − 312,5
𝐴𝑐𝑖𝑛𝑧𝑎 = 1562,5 𝑚²
3) (Enem – 2015) Uma empresa de telefonia celular possui 
duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais 
potente. As áreas de cobertura das antenas que serão 
substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se 
tangenciam no ponto O, como mostra a figura. 
O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura 
será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as 
circunferências das áreas de cobertura menores. Com a instalação da 
nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros 
quadrados, foi ampliada em:
a) 8π.
b) 12π.
c) 16π.
d) 32π.
e) 64π
2) Área da antena nova
𝐴 = 𝜋𝑟2
𝐴 = 𝜋. 42
𝐴 = 16 𝜋 Ou seja, aumentou 8𝜋
1) Área das antenas antigas 
𝐴 = 𝜋22
𝐴 = 4𝜋
𝐴 = 4𝜋. 2
Como eram 2 antenas
𝐴 = 8𝜋
Raio = 4 
Área circunferência 𝐴 = 𝜋𝑅2
Raio = 2 
FIM!
MATEMÁTICA B – PROFESSORA: GABI RIBEIRO
EXERCÍCIOS
2) Assinale a medida do lado de um quadrado, sabendo-
se que o número que representa seu perímetro é o 
mesmo que representa sua área
a) 3
b) 5
c) 6
d) 4
e) 2
RESOLUÇÃO:
2) Perímetro do quadrado
𝑃 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
Z X
X
X
X
𝐴 = 𝐿 . 𝐿
𝐴 = 𝑋 . 𝑋
𝐴 = 𝑋²
1) Área do quadrado
𝑃 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥
𝑃 = 4𝑥
Se perímetro = área
4𝑥 = 𝑥²
equação 2° grau
− 𝑥2 + 4𝑥 − 0 = 0
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆ = (4)2−4. (−1). 0
a = -1
b = 4
c = 0
∆ = 16
𝑛 =
−𝑏 ∓ ∆
2𝑎
𝑛 =
−(4) ∓ 16
2. (−1)
𝑛 =
−4 + 4
−2
𝑛 = 0 𝑛 = 4
− 𝑥2 + 4𝑥 − 0 = 0
𝑛 =
−4 − 4
−2