Apostila_Geometria

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1 
 APOSTILA DE GEOMETRIA 
 
� Tópicos de Geometria Plana 
� Noções de Geometria Espacial 
 
Professor: Paulo Soares Batista 
 
Nome:_______________________________________________ 
 
1- ÂNGULOS.............................................................................................................................................01 
2- POLÍGONOS.........................................................................................................................................03 
3- TRIÂNGULOS E TEMAS RELACIONADOS..................................................................................04 
4- QUADRILÁTEROS..............................................................................................................................09 
5- CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA.....................................................................................................10 
6- ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS.......................................................................................................11 
7- NOÇÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA ESPACIAL........................................................................13 
8- QUESTÕES OBJETIVAS....................................................................................................................17 
9- QUESTÕES DISCURSIVAS................................................................................................................24 
10- RESPOSTAS DAS QUESTÕES........................................................................................................29 
 
 
 
1- ÂNGULOS 
 
Um conjunto de pontos, isto é, uma figura ou uma 
região, é convexo se, para todos os pares de pontos 
do conjunto, os segmentos formados estiverem 
inteiramente contidos no conjunto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se uma região não é convexa ela é uma região 
côncava. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chama-se ângulo à reunião de duas semi-retas de 
mesma origem, não contidas numa mesma reta (não 
colineares). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dois ângulos são consecutivos se um lado de um 
deles é também lado do outro(um lado de um deles 
coincide com um lado do outro). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm 
pontos internos comuns. 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
Dois ângulos são opostos pelo vértice(o.p.v.) se os 
lados de um são as respectivas semi-retas opostas aos 
lados do outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AÔB e CÔD são opostos pelo vértice. 
 
AÔB e CÔD são também congruentes. 
 
EXEMPLOS 
 
1- Vamos determinar o valor de a na figura seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
2- Observe a figura abaixo e determine o valor de m 
e n. 
 
 
 
 
 
 
 
Bissetriz de um ângulo 
 
A bissetriz de um ângulo é uma semi-reta interna ao 
ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o 
divide em dois ângulos congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS 
 
 
1- Calcule a medida do ângulo indicado por a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Encontre o valor de x na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo reto 
 
Ângulo reto é todo ângulo congruente com seu 
suplementar adjacente. Ele mede 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo nulo 
 
Ângulo que tem os lados coincidentes. Ele mede 0º. 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo raso 
 
 
 Ângulo cujos lados são semi-retas opostas. Ele mede 
180º. 
 
 
 
 
 
 
 3 
Ângulo agudo 
 
Ângulo maior que o ângulo nulo e menor que o 
ângulo reto. Sua medida varia entre 0º e 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo obtuso 
 
Ângulo maior que o ângulo reto e menor que o 
ângulo raso. Sua medida varia entre 90º e 180º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo de uma volta 
 
Um ângulo de 360 graus ou ângulo de uma volta é o 
ângulo que completa o círculo. Após esta volta 
completa, este ângulo coincide com o ângulo de zero 
grau, mas possui a grandeza de 360º. 
 
 
 
 
 
 
 
2- POLÍGONOS 
 
Polígono é a reunião de uma linha fechada simples 
formada apenas por segmentos de reta com a sua 
região interna. 
 
� A palavra polígono é formada por dois 
termos gregos: poli = vários, muitos e gonos 
= ângulos. 
 
� Os polígonos podem ser convexos e não-
convexos, de acordo com a sua região 
interna. 
 
 
 
 
 
 
Nomenclatura 
 
De acordo com o número n de lados, alguns 
polígonos convexos recebem nomes especiais. Isto é: 
 
n = 3→ triângulo 
n = 4→ quadrilátero 
n = 5→ pentágono 
n = 6→ hexágono 
n = 7→ heptágono 
n = 8→ octógono 
n = 9→ eneágono 
n = 10→ decágono 
n = 11→ undecágono 
n = 12→ dodecágono 
n = 13→ tridecágono 
n = 14→ tetradecágono 
n = 15→ pentadecágono 
...... 
n = 20→ icoságono 
 
Observação: O número de vértices de um polígono é 
igual ao número de lados. 
 
Ângulos em polígonos convexos 
 
Soma dos ângulos internos 
 
A soma das medidas dos ângulos internos de um 
polígono convexo de n lados é dada pela expressão a 
seguir: 
 
Si = (n - 2).180º 
 
EXEMPLOS 
 
1-Calcule a soma das medidas dos ângulos internos 
do: 
 
a) pentadecágono 
 
b) octógono 
 
c) icoságono 
 
2- Qual é o polígono cuja soma das medidas dos 
ângulos internos é igual a 1260o? 
 
 
3- Determine o valor de x nos polígonos abaixo: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 4 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- TRIÂNGULOS 
 
Dados três pontos A, B e C não de uma mesma reta 
(não alinhados ou não colineares), a união dos 
segmentos chamamos triângulo 
ABC e indicamos por ∆ABC . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos de um triângulo 
 
VÉRTICES : são os pontos A, B e C. 
LADOS: são os segmentos 
ÂNGULOS INTERNOS: são os ângulos 
 
 
 
Classificação dos Triângulos 
 
Quanto aos lados 
 
Triângulo Equilátero: Possui todos os lados 
congruentes. 
Triângulo Isósceles: Possui dois lados congruentes. 
Triângulo Escaleno: Possui todos os lados diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quanto aos ângulos 
 
Triângulo Acutângulo: Todos os seus ângulos são 
agudos. 
Triângulo Retângulo: Um de seus ângulos é reto. 
Triângulo Obtusângulo: Um de seus ângulos é 
obtuso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Soma dos ângulos internos de um triângulo 
 
“A soma dos ângulos internos de um triângulo é 
igual a 180º”. 
 
 
 
 
 
 
a + b + c = 180º 
 
 
EXEMPLOS 
 
Encontre x nos triângulos a seguir: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulos de duas paralelas cortadas por uma 
transversal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dadas duas retas r e s paralelas cortadas por uma 
transversal, os ângulos determinados por elas são 
assim determinados: 
 
ALTERNOS INTERNOS: 
(a e f) e (d e e)→ esses pares de ângulos são 
congruentes. 
 
ALTERNOS EXTERNOS: 
(b e g) e (c e h)→ esses pares de ângulos são 
congruentes. 
 
COLATERAIS INTERNOS: 
(a e e) e (d e f)→ esses pares de ângulos são 
suplementares. 
 
COLATERAIS EXTERNOS: 
(b e h) e (c e g)→ esses pares de ângulos são 
suplementares. 
 
CORRESPONDENTES: 
(b e e) , (d e g) , (a e h) e (c e f)→ esses pares de 
ângulos são congruentes. 
 
 
EXEMPLOS 
 
1- Determine o valor de x nas figuras a seguir: 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 a // b 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
2- Na figura, temos r // s. 
Calcule a medida do ângulo b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Semelhança de triângulos 
 
Definições 
 
� Dois triângulos são semelhantes se, e 
somente se, possuem os três ângulos 
ordenadamente congruentes e os lados 
homólogos (correspondentes) proporcionais. 
 
� Dois lados homólogos são tais que cada um 
deles está em um dos triângulos e ambos são 
opostos a ângulos congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Razão de semelhança 
 
 
 
 
 
 
Casos ou critérios de semelhança 
 
1º CASO (AA) 
Se dois triângulos possuem dois ângulos 
ordenadamente congruentes,então eles são 
semelhantes. 
 
2º CASO (LAL) 
Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos 
homólogos de outro triângulo e os ângulos 
compreendidos são congruentes, então os triângulos 
são semelhantes. 
 
3º CASO (LLL) 
Se dois triângulos têm os lados homólogos 
proporcionais, então eles são semelhantes. 
 
Algumas consequências dos casos de semelhança: 
 
• A razão entre lados homólogos é k; 
• A razão entre os perímetros é k; 
• A razão entre as alturas homólogas é k; 
• E os ângulos homólogos são congruentes. 
 
 
EXEMPLOS 
 
1- Determine x e y, sabendo que os triângulos são 
semelhantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Se os ângulos com “marcas iguais” são 
congruentes, determine x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
3- Um edifício projeta uma sombra de 10 m ao 
mesmo tempo que um poste de 12 m projeta uma 
sombra de 4 m. Qual a altura do edifício, sabendo 
que o edifício e o poste são perpendiculares ao solo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Teorema de Tales e aplicações 
 
Definições 
 
· Feixe de Paralelas: É um conjunto de retas 
pertencentes a um mesmo plano (coplanares) 
paralelas entre si. 
 
· Transversal do feixe de retas paralelas: É uma 
reta do plano do feixe que concorre com todas as 
retas do feixe. 
 
· Pontos correspondentes de duas transversais: 
São pontos destas transversais que estão numa 
mesma reta do feixe. 
 
· Segmentos correspondentes de duas transversais: 
São segmentos cujas extremidades são os respectivos 
pontos correspondentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A e A’, B e B’, C e C’, D e D’ são pontos 
correspondentes. 
 
AB e A’B’, CD e C’D’ são segmentos 
correspondentes. 
 
Teorema de Tales 
 
Se duas retas são transversais de um feixe de retas 
paralelas, então a razão entre dois segmentos 
quaisquer de uma delas é igual à razão entre os 
respectivos segmentos correspondentes da outra. No 
caso da figura acima, podemos dizer que: 
 
 
 
Os segmentos correspondentes formam uma 
proporção. 
 
EXEMPLOS 
 
1- Um terreno foi dividido em lotes com frentes para 
a rua 1 e para a rua 2, como você vê na ilustração ao 
lado. As laterais dos terrenos são paralelas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Ache o valor de x e y, sabendo que r, s e t são 
paralelas. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relações métricas no triângulo retângulo 
 
Elementos 
 
Considerando um triângulo ABC, retângulo em A, e 
conduzindo AD perpendicular a BC, com D em BC, 
vamos caracterizar os elementos seguintes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS 
 
1- Calcule o valor de x nos triângulos retângulos: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Aplique as relações métricas nos triângulos 
retângulos a seguir e encontre a medida x indicada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
Aplicações importantes do Teorema de Pitágoras 
 
Diagonal do quadrado: Seja d a diagonal de um 
quadrado de lado . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Altura do Triângulo Equilátero: Seja h a altura de 
 
um triângulo equilátero de lado . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS 
 
1- Qual o comprimento da diagonal do quadrado de 
perímetro 24cm ? 
 
 
 
 
 
 
2- Encontre a medida do lado l de um quadrado 
cuja diagonal mede 
3
28 cm. 
 
 
 
3- Determine x nos triângulos equiláteros: 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- QUADRILÁTEROS 
 
Definição 
 
Considere quatro pontos A, B, C e D coplanares 
distintos, três a três não colineares (não alinhados), 
de modo que os segmentos 
interceptam-se apenas nas extremidades. A reunião 
desses quatro segmentos é um quadrilátero. 
 
TRAPÉZIO 
 
Um quadrilátero é um trapézio se, e somente se, tem 
dois lados paralelos. Os lados paralelos são 
chamados de bases. 
 
Classificação do trapézio 
 
Trapézio isósceles: É o trapézio cujos lados que não 
são bases são congruentes. 
Trapézio escaleno: É o trapézio cujos lados que não 
são bases, não são congruentes. 
Trapézio retângulo: É o trapézio que tem um lado 
não base perpendicular às bases e o outro oblíquo às 
bases. 
 
 
 
 
 
 
 
PARALELOGRAMO 
 
Um quadrilátero que possui os lados opostos 
respectivamente paralelos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recordando: 
 
“A soma dos ângulos internos de um quadrilátero 
convexo é igual a 360º”. 
 
 
5- CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA 
 
A circunferência é o lugar geométrico de todos os 
pontos de um plano que estão localizados a uma 
mesma distância r de um ponto fixo denominado o 
centro da circunferência. 
 
O círculo é a reunião da circunferência com o 
conjunto de pontos localizados dentro da mesma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um 
segmento de reta com uma extremidade no centro da 
circunferência e a outra extremidade num ponto 
qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos 
de reta OA, OB e OC são raios. 
 
Corda de uma circunferência é um segmento de reta 
cujas extremidades pertencem à circunferência. Na 
figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas. 
 
Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é 
uma corda que passa pelo centro da circunferência. 
Observamos que o diâmetro é a maior corda da 
circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é 
um diâmetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comprimento de uma circunferência 
 
Quando somamos todos os lados de uma figura plana 
iremos obter o seu perímetro, no caso específico do 
círculo, o cálculo do seu perímetro é dado pelo 
comprimento da circunferência (contorno do 
círculo), pois um círculo é contornado por uma 
circunferência que é formada pela união das 
extremidades de uma linha aberta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo do comprimento da circunferência 
(perímetro) foi obtido da seguinte forma: como todas 
as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, 
todas pertencem ao mesmo centro, foi concluído que 
a razão entre o comprimento (C) de qualquer 
circunferência pelo seu respectivo diâmetro (D) será 
sempre uma mesma constante. 
 
 
 
 
 
O número 3,141592... corresponde em matemática à 
letra grega π (lê-se "pi"). Costuma-se considerar 
π = 3,14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
2. lllS ==
EXEMPLOS 
 
1- Determinar o comprimento de uma circunferência 
que tem 9 cm de raio. 
 
 
 
2- Qual é o comprimento r do raio de uma 
circunferência que tem 18,84 cm de comprimento? 
 
 
 
3- A roda de um automóvel tem 0,6 m de diâmetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nessas condições, responda: 
a) Qual será, aproximadamente, o comprimento da 
circunferência da roda? 
 
 
b) Se essa roda der 5000 voltas completas, de quantos 
metros será a distância percorrida pelo automóvel? 
 
 
 
 
 
6- ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS 
 
Área é uma função que associa a cada figura um 
número positivo que representa a medida de sua 
superfície. 
Mais importante do que saber as “fórmulas” de área é 
entender o que represente a área de uma região plana. 
Admitindo a superfície de um quadrado de lado 
unitário como uma unidade quadrada, a área de uma 
região plana é o número que expressa a relação entre 
sua superfície e a superfície desse quadrado. 
 
Seja “u” a unidade de área: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fácil compreender, portanto, que a área do retângulo 
seja o produto de suas duas dimensões. 
 
Um retângulo de dimensão 4cm por 3cm, por 
exemplo, tem 12cm² de área. Isto é, sua superfície 
equivale à superfície de 12 quadrados de lado 1cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S = 4.3 
 S = 12 cm
2 
 
 
PRINCIPAIS ÁREAS: 
QUADRADO RETÂNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARALELOGRAMO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIÂNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
2RS π=
2
.dD
S =
LOSANGO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRAPÉZIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÍRCULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COROA CIRCULARS = π( R2 – r2 ) 
 
 
EXEMPLOS 
 
1- Determine a área dos polígonos nos casos abaixo, 
sendo o metro a unidade das medidas indicadas: 
 
a) Quadrado 
 
 
 
 6 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Encontre o valor das áreas nos seguintes casos: 
(Obs.: Considere as medidas em m). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 (Coroa Circular) 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Calcule a área hachurada. O quadrado tem lados 
iguais a 6 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7- NOÇÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA 
ESPACIAL 
 
Sólidos geométricos 
 
Denominam-se sólidos geométricos as figuras 
geométricas do espaço. Entre os sólidos geométricos, 
destacamos, pelo seu interesse, os poliedros e os 
corpos redondos. 
 
Classificação dos sólidos geométricas 
 
A partir das características dos sólidos geométricos 
podemos fazer uma classificação: 
 
Poliedros: apresentam somente faces planas. Eles 
não rolam. 
 
Corpos redondos: apresentam partes não-planas 
(“arredondadas”);por isso rolam. 
 
Outros sólidos geométricos: Possuem partes não 
planas, mas não rolam. 
 
POLIEDRO 
 
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro 
ou mais polígonos planos, pertencentes a planos 
diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta 
em comum. 
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os 
vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do 
poliedro. 
 
Poliedros convexos e côncavos 
 
 
 
 
 
 
 
Observando os poliedros acima, podemos notar que, 
considerando qualquer uma de suas faces, os 
poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-
espaço que essa face determina. Assim, esses 
poliedros são denominados convexos. 
 
Isso não acontece no poliedro abaixo, pois, em 
relação a duas de suas faces, ele não está contido 
apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é 
denominado côncavo. 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
Classificação 
 
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de 
acordo com o número de faces, como por exemplo: 
 
• tetraedro: quatro faces 
• pentaedro: cinco faces 
• hexaedro: seis faces 
• heptaedro: sete faces 
• octaedro: oito faces 
• icosaedro: vinte faces 
 
Poliedros regulares 
 
Um poliedro convexo é chamado de regular 
se suas faces são polígonos regulares, cada um com o 
mesmo número de lados e, para todo vértice, 
converge um mesmo número de arestas. 
 
Existem cinco poliedros regulares: 
 
Tetraedro 
 4 faces triangulares 
 4 vértices 
 6 arestas 
 
 
 
Hexaedro 
 6 faces quadrangulares 
 8 vértices 
 12 arestas 
 
 
 
Octaedro 
 
 8 faces triangulares 
 6 vértices 
 12 arestas 
 
 
 
Dodecaedro 
 
 12 faces pentagonais 
 20 vértices 
 30 arestas 
 
 
 
Icosaedro 
20 faces triangulares 
12 vértices 
30arestas 
 
 
Relação de Euler 
 
Em todo poliedro convexo é válida a relação 
seguinte: 
V - A + F = 2 
 
em que: 
 
V é o número de vértices 
A é o número de arestas 
F, o número de faces. 
 
Observe os exemplos: 
 
 
 V = 8 A = 12 F= 6 
 
 8 - 12 + 6 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 V = 12 A = 18 F = 8 
 
 12 - 18 + 8 = 2 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS 
 
 
 
 
Lembre-se: Nos poliedros convexos é válida a 
seguinte relação: 
 
 
 
 
1- Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o 
número de vértices é 12. Calcular o número de 
arestas. 
 
 
 
 
2- Determinar o número de arestas e de vértices de 
um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e 
quatro faces triangulares. 
 
 
 
 
V - A + F = 2 
 
 15 
PRISMA 
 
Elementos do prisma 
 
Dado o prisma a seguir, consideramos os seguintes 
elementos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• bases:as regiões poligonais R e S. 
• altura:a distância h entre os planos 
• arestas das bases:os lados ( dos polígonos) 
 
 
• arestas laterais:os segmentos 
 
• faces laterais: os paralelogramos AA'BB', 
BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A 
Classificação 
 Um prisma pode ser: 
 
• reto: quando as arestas laterais são 
perpendiculares aos planos das bases; 
• oblíquo: quando as arestas laterais são 
oblíquas aos planos das bases. 
 
 Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 prisma reto prisma oblíquo 
 
 
Paralelepípedo 
 
 Todo prisma cujas bases são paralelogramos 
recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos 
ter: 
 
a) paralelepípedo oblíquo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) paralelepípedo reto 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paralelepípedo retângulo 
 
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c 
da figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de 
medida b e quatro arestas de medida c; as arestas 
indicadas pela mesma letra são paralelas. 
 
Área total 
 
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área 
total é a soma das áreas de cada par de faces opostas: 
 
ST = 2( ab + ac + bc) 
 
Volume 
 
Por definição, unidade de volume é um cubo de 
aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de 
dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 
cubos de aresta 1: 
 
Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de 
dimensões a, b e c é dado por: 
 
 
V = abc 
 
 
 
 16 
Cubo 
 
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas 
congruentes (a = b = c) recebe o nome de cubo. 
Dessa forma, as seis faces são quadrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área total 
 
A área total ST é dada pela área dos seis quadrados de 
lado a: 
 
ST = 6a
2 
 
Volume 
 
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o 
volume de um cubo de aresta a é dado por: 
 
V= a . a . a = a3 
 
 
EXEMPLOS 
 
1- Considerando o cubo abaixo, determine: 
 
a) o seu volume, em cm3. 
 
b) sua área total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Um aquário possui o formato de um 
paralelepípedo com as seguintes dimensões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine quantos litros de água são necessários 
para encher o aquário. 
 
 
 
 
 
 
3- Um determinado bloco utilizado em construções 
tem a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas 
dimensões são 25cm, 15cm e 10cm. Pretende- se 
transportar blocos desse tipo num caminhão cuja 
carroceria tem, internamente, 4m de comprimento 
por 2,5m de largura e 0,6m de profundidade. No 
máximo, quantos blocos podem ser transportados 
numa viagem, de modo que a carga não ultrapasse a 
altura da carroceria? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- Um reservatório em formato de paralelepípedo 
retângulo tem 10 m de largura e 12 m de 
comprimento. Sabendo que sua área total vale 
416 m2, qual é o valor da altura deste 
reservatório? 
 
 
 “Lembre-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ST = 2( ab + ac + bc) 
 
 17 
8- QUESTÕES OBJETIVAS 
 
1- Na figura, o valor de x é: 
 
a) ( ) 50º 
b) ( ) 25 º 
c) ( ) 11 º 
d) ( ) 8 º 
 
 
2- No triângulo ABC, o ângulo B mede o triplo do 
ângulo C e o ângulo A mede o dobro do ângulo B. 
Qual é a medida do ângulo B? 
 
a) ( ) 18º 
b) ( ) 36º 
c) ( ) 48º 
d) ( ) 54º 
e) ( ) 90º 
 
3- (SARESP) O encosto da última poltrona de um 
ônibus, quando totalmente reclinado, forma um 
ângulo de 30º com a parede do ônibus (veja a 
figura). O ângulo a na figura mostra o maior valor 
que o encosto pode reclinar. O valor de a é: 
 
a) ( ) 50º 
b) ( ) 90º 
c) ( ) 100º 
d) ( ) 120º 
 
 
 
 
 
 
4- – Se o triângulo ACD é retângulo e isósceles, 
então o ângulo DCB ˆ mede: 
 
 
a) ( ) 100º 
b) ( ) 105º 
c) ( ) 110º 
d) ( )115º 
e) ( ) 120º 
 
 
 
 
5- Se um polígono é regular e tem dez lados, então 
cada um dos seus ângulos internos mede: 
 
a) ( ) 144º 
b) ( ) 140º 
c) ( ) 135º 
d) ( ) 130º 
e) ( ) 120º 
6- Qual polígono tem a soma de seus ângulos 
internos valendo 1800º? 
 
a) ( ) pentágono 
b) ( ) hexágono 
c) ( ) octógono 
d) ( ) decágono 
e) ( ) dodecágono 
 
7- (OBMEP) Falta um ângulo – Na figura dada, 
TU = SV. Quanto vale o ângulo UV̂S , em graus? 
 
a) ( ) 30 
b) ( ) 50 
c) ( ) 55 
d) ( ) 65 
e) ( ) 70 
 
 
 
 
8- (ESPCAR) Na figura seguinte, as retas r e s são 
paralelas. A medida do ângulo x é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ( ) 230º 
b) ( ) 225º 
c) ( ) 220º 
d) ( ) 210º 
 
9- (SARESP) Na figura, o triângulo BDC é 
eqüilátero e o triângulo ABD é isósceles (AB = 
BD). A medida do ângulo interno  é igual a: 
 
a) ( ) 20º 
b) ( ) 30º 
c) ( ) 45º 
d) ( ) 60º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
10- (ESPCAR) Sabendo-se que os ângulos internos 
de um triângulo são diretamente proporcionais aos 
números 2, 3e 4, tem-se que suas medidas valem: 
 
a) ( ) 40º, 60º e 80º 
b) ( ) 30º, 50º e 100º 
c) ( ) 20º, 40º e 120º 
d) ( ) 50º, 60º e 70º 
 
11- (Cesgranrio) Na figura, as retas r e r’ são 
paralelas, e a reta s é perpendicular à reta t. A 
medida, em graus, do ângulo a é: 
 
a) ( ) 36º 
b) ( ) 32º 
c) ( ) 24º 
d) ( ) 20º 
e) ( ) 18º 
 
 
 
 
 
12- (UFGO) Na figura abaixo as retas r e s são 
paralelas. A medida do ângulo b é: 
 
a) ( ) 20º 
b) ( ) 80º 
c) ( ) 100º 
d) ( ) 120º 
e) ( ) 130º 
 
 
 
 
13- (UEBA) Na figura abaixo AB = 8, MN = 2 e 
MC = 3. Se MN é paralelo a AB , o segmento AM 
mede: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ( ) 8 
b) ( ) 10 
c) ( ) 12 
d) ( ) 9 
e) ( ) 6 
 
14- (UNAMA-PA) A incidência dos raios solares faz 
com que os extremos das sombras do homem e da 
árvore coincidam. O homem tem 1,80m de altura e 
sua sombra mede 2 m. Se a sombra da árvore mede 
5m, a altura mede: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ( ) 6.3 m 
b) ( ) 4, 5 m 
c) ( ) 7,8 m 
d) ( ) 3,6 m 
e) ( ) 2,7 m 
 
15- (COVEST-PE) A figura a seguir ilustra dois 
terrenos planos. Suponha que os lados AB e BC são 
paralelos, respectivamente, a DE e EF e que A, D, F, 
C são pontos colineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual a distância AC, em metros? 
 
a) ( ) 75 
b) ( ) 76 
c) ( ) 78 
d) ( ) 79 
e) ( ) 80 
 
16- (UFRS) Para estimar a profundidade de um poço 
com 1,10m de largura, uma pessoa cujos olhos estão 
a 1,60m do chão posiciona-se a 0,50m de sua borda. 
Desta forma, a borda do poço esconde exatamente 
seu fundo, como mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
Com os dados acima, a pessoa conclui que a 
profundidade do poço é: 
 
a) ( ) 2,82 m 
b) ( ) 3,00 m 
c) ( ) 3,30 m 
d) ( ) 3,52 m 
e) ( ) 3,85 m 
 
17- Na figura, os segmentos BC e DE são paralelos, 
AB = 30 m, AD = 10 m e AE = 12 m. A medida do 
segmento CE é, em metros: 
 
a) ( ) 20 
b) ( ) 24 
c) ( ) 28 
d) ( ) 32 
 
 
 
 
 
 
 
18- Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são 
paralelas, AB = 6 cm, BC = x, DE = 4 cm e 
DF = x + 3. A medida de x, em centímetros é: 
 
 
a) ( ) 2 
b) ( ) 3 
c) ( ) 4 
d) ( ) 6 
e) ( ) 9 
 
 
 
 
19- Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são 
paralelas, AD = 5 cm, BC = 4 cm e DF= 6 cm. A 
medida do segmento BE, em centímetros, é: 
 
 
a) ( ) 4,8 
b) ( ) 6 
c) ( ) 7,2 
d) ( ) 8,8 
e) ( ) 9,6 
 
 
 
 
 
 
20- Qual é o valor, em cm, da medida x indicada no 
triângulo a seguir? 
 
 
 
 
a) ( ) 13 
b) ( ) 12 
c) ( ) 11 
d) ( ) 10 
 
 
21- (UMC-SP) Uma escada medindo 4 metros tem 
uma de suas extremidades apoiada no topo de um 
muro, e a outra extremidade dista 2,4 m da base do 
muro. A altura desse muro é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ( ) 2,3 
b) ( ) 3,0 
c) ( ) 3,2 
d) ( ) 3,8 
 
22- (OBM) No triângulo PQR, a altura PF divide o 
lado QR em dois segmentos de medidas QF = 9 e 
RF = 5. Se PR = 13, qual é a medida de PQ? 
 
a) ( ) 5 
b) ( ) 10 
c) ( ) 15 
d) ( ) 20 
e) ( ) 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
23- (Ceeteps – SP) A medida da diagonal da tela 
de uma televisão determina as polegadas da TV. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma televisão cuja tela mede 30 cm por 40 cm 
possui: 
 
a) ( ) 29 polegadas 
b) ( ) 20 polegadas 
c) ( ) 18 polegadas 
d) ( ) 16 polegadas 
 
Lembrete: 1 polegada = 2,5 cm 
 
24- (SENAI) A figura abaixo representa uma praça: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um ciclista gosta de percorrer o trecho AB, BC e 
CA. A cada volta completa ele percorre: 
 
a) ( ) 130 m. 
b) ( ) 120 m. 
c) ( ) 110 m. 
d) ( ) 100 m. 
e) ( ) 90 m. 
 
25- (SENAI) Uma fábrica de cerâmica fabrica lajotas 
na forma de um triângulo eqüilátero como mostra a 
figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que a área de cada lajota seja igual a 349 cm2, 
o lado do triângulo deverá medir: 
 
a) ( ) 35 cm 
b) ( ) 28 cm 
c) ( ) 21 cm 
d) ( ) 14 cm 
e) ( ) 7 cm 
26- (SENAI) O sistema UTM, utilizado pelos pilotos 
de corrida de rali, faz com que qualquer ponto da 
Terra possa ser identificado por um sistema 
cartesiano de coordenadas (x, y). Suponha que o 
ponto inicial de um rali seja dado pelas coordenadas 
A (4, 6). Ao visualizar as coordenadas B (10, 14), o 
piloto percorreu a distância AB, em unidades de 
comprimento igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ( ) 10 
b) ( ) 30 
c) ( ) 50 
d) ( ) 60 
e) ( ) 80 
 
 
 
27- (SENAI) Imagine um sistema cartesiano de 
coordenadas (x, y) colocado sobre uma mesa de 
bilhar, conforme indica a figura. Nesse sistema, a 
bola que será lançada se encontra no ponto A, de 
coordenadas (20, 12). As coordenadas do ponto onde 
a bola lançada deverá bater é B (36, 0). A distância 
AB percorrida pela bola, em unidades de 
comprimento, corresponde a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ( ) 20 
b) ( ) 28 
c) ( ) 56 
d) ( ) 72 
e) ( ) 86 
 
 
 21 
28- (SENAI) Deverá ser construído um muro, em 
volta de uma pista de patins no gelo, como indica a 
figura. Se o metro linear construído do muro, custa 
R$ 300,00, o total a ser pago pela construção será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ( ) R$ 15900,00 
b) ( ) R$ 19500,00 
c) ( ) R$ 20600,00 
d) ( ) R$ 22500,00 
e) ( ) R$ 35400,00 
 
29- (ANRESC) No centro de uma cidade é 
construída uma praça circular com uma passarela 
central de 50 m de comprimento, como mostra a 
figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ( ) 25 m. 
b) ( ) 50 m. 
c) ( ) 100 m. 
d) ( ) 200 m. 
 
30- (SARESP) Medi o comprimento da roda de 
minha bicicleta e, a seguir, calculei a razão entre 
esta medida e o diâmetro da roda, encontrando um 
número entre: 
 
a) ( ) 2 e 2,5 
b) ( ) 2,5 e 3 
c) ( ) 3 e 3,5 
d) ( ) 3,5 e 4 
 
 
31- (SENAI)Tenho uma cartolina retangular de 
dimensões 50 cm x 40 cm. Com essa cartolina quero 
construir um losango, como indica a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área desse losango, em cm2, será: 
 
a) ( ) 500 
b) ( ) 1000 
c) ( ) 1200 
d) ( ) 1500 
e) ( ) 2000 
 
32- (SENAI) Um terreno quadrado com lado 
medindo 20 m será dividido em três lotes, conforme 
mostra a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área do lote II deverá medir: 
 
a) ( ) 100 m2. 
b) ( ) 150 m2. 
c) ( ) 200 m2. 
d) ( ) 250 m2. 
e) ( ) 300 m2. 
 
33- (SENAI) Uma estufa para mudas, quando vista 
de cima, conforme a figura abaixo, será dividida em 
quadrados com 50 cm de lado, em cada quadrado da 
divisão serão cultivadas 18 mudas. Então, o total de 
mudas cultivadas nessa estufa será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
a) ( ) 1.440 
b) ( ) 1.320 
c) ( ) 1.280 
d) ( ) 1.200 
e) ( ) 1.180 
 
34- (SENAI) Uma sala em forma de L, conforme a 
figura abaixo, será revestida com lajotas quadradas 
de 40 cm de lado. Se o preço de cada lajota é 
R$ 1,65, o valor gasto nesse revestimento será de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ( ) R$ 105,60. 
b) ( ) R$ 247,50. 
c) ( ) R$ 353,10. 
d) ( ) R$ 393,60. 
e) ( ) R$ 495,20. 
 
35- (OBMEP) Placa decorativa – Uma placa 
decorativa consistenum quadrado branco de quatro 
metros de lado, pintado de forma simétrica com 
partes em cinza, conforme a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual é a fração da área da placa que foi pintada? 
 
 
 
 
 
36- (CPFO-SP) Se a base de um retângulo mede 7 
cm e o perímetro mede 19 cm, então, a sua área 
vale: 
 
a) ( ) 9,5 cm2 
b) ( ) 17,5 cm2 
c) ( ) 35 cm2 
d) ( ) 84 cm2 
 
37- A área da figura hachurada, no diagrama, vale: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ( ) 4,0 
b) ( ) 3,5 
c) ( ) 3,0 
d) ( ) 4,5 
e) ( ) 5,0 
 
 
38- (ANRESC) Quantos quilogramas de semente são 
necessários para semear uma área de 10 m x 24 m, 
observando a recomendação de aplicar 1 kg de 
semente por 16 m2 de terreno? 
 
a) ( ) 
15
1
 
b) ( ) 1,5 
c) ( ) 2,125 
d) ( ) 15 
 
 
39- (CEFET-MG) No retângulo ABCD os lados AB 
e BC medem, respectivamente, 16 cm e 10 cm e E e 
F são pontos médios dos segmentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área do triângulo CEF, em cm2, é 
 
a) ( ) 20 
b) ( ) 40 
c) ( ) 60 
d) ( ) 80 
 
40- (CEFET-MG) Sabendo-se que os polígonos 
ABCD, EFGH e IJLM são quadrados, a área 
hachurada na figura abaixo, em cm2, é igual a: 
 
 
 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ( ) 1 
b) ( ) 2 
c) ( ) 3 
d) ( ) 4 
 
41- Quanto medem as arestas de um cubo cuja área 
total é de 600 cm2? 
 
a) ( ) 6 cm 
b) ( ) 10 cm 
c) ( ) 6 cm 
d) ( ) 10 cm 
 
42- Uma face de um cubo tem área 81cm2. Seu 
volume é: 
 
a) ( ) 9cm3. 
b) ( ) 81cm3. 
c) ( ) 180cm3. 
d) ( ) 243cm3. 
e) ( ) 729cm3. 
 
 
43- (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina 
olímpica são: 50m de comprimento, 25m de largura e 
3m de profundidade. O seu volume, em litros, é: 
 
a) ( ) 3750. 
b) ( ) 37500. 
c) ( ) 375000. 
d) ( ) 3750000. 
e) ( ) 37500000. 
 
 
44- (CESCEA-SP) Se a soma das arestas de um 
cubo é igual a 72 cm, então o volume do cubo é igual 
a: 
 
a) ( ) 100 cm3. 
b) ( ) 40 cm3. 
c) ( ) 144 cm3. 
d) ( ) 16 cm3. 
e) ( ) 216 cm3. 
45- (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em 
forma de cubo, com arestas medindo 10cm e 6cm, 
são levados juntos à fusão e, em seguida, o alumínio 
é moldado como um paralelepípedo reto-retângulo de 
arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de x é: 
 
a) ( ) 20 
b) ( ) 19 
c) ( ) 18. 
d) ( ) 17 
e) ( ) 16 
 
46- (SENAI) Na entrada da cidade de Fluidópolis, 
foi construído um obelisco composto de um pedestal 
de concreto e cubos metálicos maciços, formando a 
inicial da cidade, conforme a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se cada cubo tem aresta de 50 cm, o volume de metal 
usado nos cubos que compõem esse obelisco foi de: 
 
a) ( ) 3,000 m3. 
b) ( ) 2,725 m3. 
c) ( ) 2,000 m3. 
d) ( ) 1,575 m3. 
e) ( ) 1,000 m3. 
 
47- (SENAI) Na praça central de uma cidade foi 
construído um obelisco, em forma de cruz, conforme 
a figura. A cruz é compacta e construída com cubos 
de alumínio de arestas iguais a 80 cm. O volume de 
alumínio usado para construir somente a cruz foi de: 
 
a) ( ) 5,12 m3. 
b) ( ) 4,80 m3. 
c) ( ) 4,48 m3. 
d) ( ) 4,16 m3. 
e) ( ) 3,84 m3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
9- QUESTÕES DISCURSIVAS 
 
Ângulos 
 
1- As figuras mostram um quadrado ABCD e um 
hexágono regular CDEFGH. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine, em graus, a medida do ângulo EDA ˆ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Na figura, as retas r e s são paralelas. Determinar 
os valores de a, b, c e d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Semelhança de triângulos 
 
3- (UNICAMP) Uma rampa de inclinação constante, 
como a que dá acesso ao Palácio do Planalto, em 
Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais 
alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que 
após ter caminhado 12,3 metros sobre a rampa, está a 
1,5 metro de altura em relação ao solo. Calcule 
quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para 
atingir o ponto mais alto da rampa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- Em um terreno de forma triangular deve-se 
construir uma quadra retangular, de acordo com a 
ilustração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a e b representam, em metros, as dimensões da 
quadra, determine-os. 
 
Teorema de Pitágoras 
 
5- (FUVEST-SP) Uma escada de 25 dm de 
comprimento se apóia num muro do qual seu pé dista 
7 dm. Se o pé da escada se afastar mais 8 dm do 
muro, qual o deslocamento verificado pela 
extremidade superior da escada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6- (CEFET-PR) Em um acampamento escoteiro, 
num certo momento, a atividade que se desenvolvia 
em um terreno plano visava o treinamento do uso 
da bússola. A escoteira Rosa Dosven Tussin partiu 
de um ponto A e andou no sentido Norte, 137 
passos até o ponto B. Em seguida caminhou 21 
passos, no sentido Oeste, até o ponto C e, depois, 
165 passos, no sentido Sul, até o ponto final D. Lá 
chegando, encontrou um tesouro: uma caixa de 
chocolate “Tris”. A que distância do ponto A, de 
partida, estava escondido o tesouro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Círculo e Circunferência 
 
7- (UFMA) No relógio da torre de uma igreja, o 
ponteiro maior mede 2 m. Em quanto tempo a 
ponta desse ponteiro percorre 5π metros? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Áreas das figuras planas 
 
8- As dimensões de um terreno retangular são: 80 
m de comprimento por 12 m de largura. Em um 
outro terreno, a medida do comprimento é 80% da 
medida do comprimento do primeiro. Se ambos têm 
a mesma área, qual a largura do segundo terreno? 
 
 
 
 
 
 
9- (CPFO) Qual a área da região colorida? 
 
Use π = 3,14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paralelepípedo 
 
10- A superfície lateral de um prisma de base 
quadrada é feita com uma folha de cartolina de 30 
cm por 40 cm. Sabendo-se que a altura do sólido é 
30 cm, pergunta-se: 
 
a) Quantos centímetros tem o lado do quadrado da 
base do prisma? 
 
b) Quantos centímetros quadrados de cartolina no 
total foram gastos na construção desse sólido? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÕES DISCURSIVAS – OBMEP 
 
As questões a seguir foram obtidas de materiais 
das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas. 
 
Encare as questões como desafios e persista na busca por soluções! 
 
 
 
11- Triângulo isósceles – Na figura, o triângulo 
ABC∆ é isósceles, com º20=BÂC . Sabendo que 
BC = BD = BE, determine a medida do 
ângulo EDB ˆ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12- Ângulos e perímetro – Calcule os ângulos que 
não estão indicados e o perímetro da figura, sabendo 
que BD = BC e CBD ˆ = DCB ˆ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13- Área – Um lote retangular foi divido em quatro 
terrenos, todos retangulares. As áreas de três deles 
estão dadas na figura, em km2. Qual é a área do lote? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14- Ângulos em função de x – Na figura estão 
indicadas, em graus, as medidas de alguns ângulos 
em função de x. Quanto vale x? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15- Região sombreada - A figura mostra um 
retângulo formado por 18 quadrados iguais com 
algumas partes sombreadas. Qual é a fração da área 
do retângulo que está sombreada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16- A casa da Rosa – A figura mostra a planta da 
casa da Rosa. O quarto e o quintal são quadrados. 
Qual é a área da cozinha? 
 
 
 
 
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17- A figura mostra um dodecágono regular 
decomposto em seis triângulos equiláteros, seis 
quadrados e um hexágono regular, todos com lados 
de mesma medida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Se cada triângulo da figura tem área igual a 1 cm2, 
qual é a área do hexágono? 
 
 
 
b) A figura abaixo foi obtida retirando doze 
triângulos eqüiláteros de um dodecágono regular cujo 
lado mede 1 cm. Qual é a área dessa figura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) A figura abaixo foi obtida retirando dois 
hexágonos regulares de um dodecágono regular cujo 
lado mede 1 cm. Qual é a área dessa figura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
18- Triângulos e ângulos. . . – Determine os ângulos 
α e β dados na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19- Poste elétrico – Uma companhia de eletricidade 
instalou um poste num terrenoplano. Para fixar bem 
o poste, foram presos cabos no poste, a uma altura de 
1,4 metros do solo e a 2 metros de distância do poste, 
sendo que um dos cabos mede 2,5 metros, conforme 
a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um professor de Matemática, após analisar estas 
medidas, afirmou que o poste não está perpendicular 
ao solo. Você acha que o professor está certo? 
Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
20- Discos de papelão – Para fabricar nove discos de 
papelão circulares para o Carnaval usam-se folhas 
quadradas de 10 cm de lado, como indicado na 
figura. Qual é a área (em cm2) do papel não 
aproveitado? 
 
 
 
(Use π = 3,1) 
 
 
 
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21- Triângulos impossíveis – Quais dessas figuras 
estão erradas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22- Dividindo o paralelepípedo – Um bloco de 
madeira na forma de um paralelepípedo retângulo 
tem 320 cm de comprimento, 60 cm de largura e 75 
cm de altura. O bloco é cortado várias vezes, com 
cortes paralelos às suas faces, de modo a subdividi-lo 
em blocos menores, todos na forma de 
paralelepípedos retângulo de 80 cm de comprimento 
por 30 cm de largura por 15 cm de altura. 
 
 
 
 
� Figura Questão 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Quantas peças foram obtidas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Um metro cúbico dessa madeira pesa 
aproximadamente 900 kg. Qual é o peso de cada uma 
dessas peças? 
 
 
 
 
 
 
 
 
23- Pedro gasta 1 mL de tinta cinza para pintar 100 
cm² de superfície. 
 
a) O sólido da figura foi feito colando uma face de 
um cubo de aresta 10 cm em uma face de um cubo de 
aresta 20 cm. Quantos mL de tinta Pedro precisa para 
pintar esse sólido? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
b) Pedro gastou 54 mL de tinta para pintar um cubo e 
depois dividiu esse cubo pintado em dois blocos 
retangulares iguais, como na figura. Quantos mL a 
mais de tinta ele gastará para acabar de pintar esses 
dois blocos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24- Quadrado, Pentágono e Icoságono. A figura 
mostra parte de um polígono regular de 20 lados 
(icoságono) ABCDEF..., um quadrado BCYZ e um 
pentágono regular DEVWX. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine a medida do ângulo CDY ˆ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10- RESPOSTAS DAS QUESTÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES DISCURSIVAS 
 
1) 150º 2) a = 70º, b = 30º, c = 80º, d = 70º 
 
3) 20,5 m 4) a = 54 m e b = 4 m 
 
5) 4 dm 6) 35 passos 7) 1 hora 15 min 
 
8) 15 m 9) 21,5 cm2 
 
10) a) 10 cm b) 1400 cm2 11) 60º 
 
12) Perímetro: 696 m 
Ângulos não indicados: 128º, 80º, 60º, 60º, 60º 
 
13) 225 Km2 14) 18º 
 
15) 
9
4
 16) 16 m2 
 
17) a) 6 cm2 b) 6 cm2 c) 6 cm2 
 
18) º85º120 == βα e 
 
19) Correto.(Apresente sua justificativa !) 
 
20) 22,5 cm2 
 
21) Todas.(Apresente sua justificativa !) 
 
22) a) 40 peças b) 32,4 Kg 
 
23) a) 28 mL b) 18 mL 24) 54º 
QUESTÕES OBJETIVAS 
1 C 17 B 33 A 
2 D 18 B 34 C 
3 D 19 D 35 C 
4 B 20 A 36 B 
5 A 21 C 37 D 
6 E 22 C 38 D 
7 D 23 B 39 C 
8 C 24 B 40 A 
9 B 25 D 41 D 
10 A 26 A 42 E 
11 E 27 A 43 D 
12 C 28 B 44 E 
13 D 29 A 45 B 
14 B 30 C 46 C 
15 C 31 B 47 A 
16 D 32 C