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SOLUÇÃO-P4-PROBEST_2011-1

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P4 - Probabilidade e Estatística – 2011.1 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza & Roxana Jimenez Contreras 
 
 
Problema 1 (2.0 pts) 
1.1- (0,4 pt) Seja “X”uma v.a. contínua com E(X)=8 e DP(X)=2, onde DP(X) é 
o desvio padrão de X. Se Y=3X-6, quem é E(Y) e DP(Y). 
SOLUÇÃO 
 
. E(Y) = E(3X-6) 
 = 3E(X) – E(6) 
 = 24 – 6 
 E(y) = 18 
 
 DP(Y) = 
 Var(Y) = Var(3X-6) 
 = 9(Var(X))-Var(6) 
 = 36 
 DP(Y) = = 6 
 
1.2- (0,4 pt) Seja Z uma variável normal com media “0” e variância “1”, identifique 
qual é a natureza da variável V = Z2. 
SOLUÇÃO 
 
 
1.3- (0,4 pt) Pelo que você aprendeu no curso, como você difere “probabilidade e 
“estatística”? 
SOLUÇÃO 
 
 
Probabilidade- A densidade (ou função de probabilidade) era inteiramente 
conhecida. 
Em Estatística, teremos uma amostra aleatória de uma distribuição com certos 
parâmetros desconhecidos, e procuraremos descobrir alguma coisa sobre estes 
parâmetros (Inferência dos dados) 
 
 
 
 
 
1.4- (0,4 pts) Defina com suas palavras os modelos discretos: Binomial, Geométrica, 
Binomial Negativa e Poisson. 
SOLUÇÃO 
 
DISTRIBUIUÇÃO BINOMIAL – É uma variável aleatória discreta que modela um 
experimento que mede a quantidade de sucesso nas “n” repetições de uma Bernoulli . 
 
DISTRIBUIUÇÃO GEOMÉTRICA – É uma variável aleatória discreta que modela número de 
repetições de um experimento de Bernoulli até atingir o 1º sucesso. 
 
DISTRIBUIUÇÃO BINOMIAL NEGATIVA – É uma variável aleatória discreta que modela 
número de repetições de um experimento de Bernoulli até obter o r-esimo sucesso. 
 
DISTRIBUIUÇÃO POISSON – É uma variável aleatória discreta que modela número de 
ocorrência de um evento raro. 
 
 
 
 
1.5- (0,4 pt) Seja X uma variável aleatória com distribuição 
2
17
. Ache “a” e ”b” na 
tabela qui-quadrado, tais que: 
Pr [a<X<b] = 95% 
Pr [ X<a] = 2,5% 
g= grau de liberdade=17 
SOLUÇÃO 
 
 
Pela tabela“χ2”,g= n-1=17 
 
a= ? e b=? 
 
 
 0,025 
 (1-α)= 0,95 
 
 
 
 975,0 
 
 a= 7,56 b=30,2 
 
- Intervalo de confiança [1-α] = 0,95 
 
 
Problema 2 (1,5 pts) 
Realiza-se 15 testes independentes de Bernoulli, e são observados 12 sucessos, e não é 
conhecido. 
a) (1,0 pt) Qual o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro deste modelo, 
mostrar todos os passos da solução. 
SOLUÇÃO 
X ~ Bernoulli (θ) 
 
 
 
 
 
 
 
Obtenção da função de verossimilhança “

” 
 
L(

 ) = f(x1, x2,...xn) 
 
 = 
  

n
i
xx
1
1 .)1( 
 
 
 
Obtenção do Log-verossimilhança 
 
l θ ) = lo θ )] 
 
 = log 
  

n
i
xx
1
1 .)1( 
 
 = log







 




n
i
i
n
i xnx
111 )1.( 
 
 = 
log).(
1


n
i
ix
 + n log
)1( 
 -
)1log().(
1


n
i
ix
 
 
 
Obtenção do estimador de máxima verossimilhança de “θ” 
 
1ª derivada - 








11
11
n
x
i
n
i
i x
n
x
l - 
 .)1(),( x1  xixf 
.... 3, 2, 1, 0,= x onde .)Pr()( 1 xx pqxXxf 
 
Iguala a zero - 
0

l
 
 
0
11
11 








n
x
i
n
i
i x
n
x
l 

 
oxnxx
n
i
i
n
i
i
n
x
i  
 111

 

 



n
i
ixn
1

 
 
 Substituir 
MV
^
  então XMV ^ 
 
 
b) (0,5 pt) Encontre a estimativa do parâmetro, “p ”. 
SOLUÇÃO 
 
8,0
15
12^
 XMV
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3(2,0 pts) 
Em um laboratório há três gaiolas. Na gaiola I há dois coelhos marrons e três brancos, a 
gaiola II tem 4 coelhos marrom e dois brancos e gaiola III contém 5 coelhos marrons e 5 
brancos. Seleciona-se aleatoriamente uma gaiola e aleatoriamente retira-se um coelho para 
fora. 
I- Qual é a probabilidade do coelho escolhido ser marrom? 
II- Dado que o coelho escolhido é marrom, qual a probabilidade dele pertencer a 
gaiolas I, II, III? 
SOLUÇÃO 
 
 
 
Gaiolas – “G” 
Coelhos Marrom – “CM” 
 
 
(
IG
)- Gaiola I – 1/3 = Pr(
1G
) 
(
IIG
)- Gaiola II – 1/3 = Pr(
IIG
) 
(
IIIG
)- Gaiola III – 1/3 = Pr(
IIIG
) 
 
- Coelhos marrom na Gaiola I – = 2/5 
 
- Coelhos marrom na Gaiola II - = 4/6 
 
- Coelhos marrom na Gaiola III - = 5/10 
 
 
Pede-se: 
 
I- Qual é a probabilidade do coelho escolhido ser marrom? 
 
 
Sendo “CM” o evento “ Coelho marrom” 
 
Então: 
 CM = 
  IM GC   IIM GC  IIIM GC 
 
 
Pr(CM )= 
  IM GCPr   IIM GCPr  IIIM GC Pr
 
 
Pr(CM) = x Pr(
IG
) + x Pr(
IIG
) + x Pr(
IIIG
) 
 IM GC |Pr
 IIIM GC |Pr
 IIM GC |Pr
 IIM GC |Pr  IIIM GC |Pr IM GC |Pr
 
 
Pr(CM) = 


















3
1
10
5
3
1
6
4
3
1
5
2
xxx
 
 
(Pr(CM) = 0,5222 
 
 
II- Dado que o coelho escolhido é marrom, qual a probabilidade dele pertencer a 
gaiolas I, II, III? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado Coelho marrom, prob.está GI = : = 
 
 
 
 
 
Dado Coelho marrom, prob.está GII = 
 
 
 Dado Coelho marrom, prob.está GIII : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
   
   






k
j
jjM
iiM
k
j
jjM
Mi
M
Mi
Mi
GGC
GGC
GGC
CG
RC
CG
CG
11
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr
Pr
Pr
|Pr
 
   
 M
IMIM
MI
C
GxGC
CG
Pr
PrPr
|Pr 
  %92,31|Pr MIII CG
%53,25
5222,0
3
1
5
2








x
  %55.42|Pr MII CG
 
 
Problema 4(2.5 pts) 
Sejam e v.a.'s contínuas com densidade conjunta: 
 






 yyxkyxf
3
2
.),( 2
 , onde 0≤x≤1 e 0≤y≤3 
Pede-se: 
a) (0.5 pt) Encontre o valor de “k” que torne f(x,y) uma densidade. 
b) (0.5 pt) Encontre a densidade marginal de . 
c) (0.5 pt) Encontre a densidade marginal de . 
d) (0.5 pt) Encontre a densidade condicional de dado =x. 
f) (0.5 pt) Encontre a média condicional de Y, dado X=x. 
SOLUÇÃO 
 
a) Encontre a constante “k” que faz desta expressão uma densidade. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
1.).,(),(
3
0
1
0
  




dydxyxfyxf
y
y
x
x
 
 
1.
3
2
..
3
0
1
0
2 





 




dydx
y
yxk
y
y
x
x
 

 
1.
3
2
3
.
3
0
1
0
3









dy
xx
yk
y
y
 
 
1
3
2
3
1
..
3
0









dyyk
y
y
 

 
1
2
.
3
0
2





 y
k
 

 
1
2
9

k
 

 
9
2
k
 
 
 






 yyxyxf
3
2
.
9
2
),( 2
 
 
b) (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
SOLUÇÃO 
 
dyyxfxf
y
y
.),()(
3
0




 , onde 
3y0 e 1 x < 0 
 
3y0 e 1 x < 0 onde,
3
2
.),( 2 






y
yxkyxf
 
dyyyxxf .
3
2
.
9
2
)(
3
0
2
 












 

 3
0
2
2
23
2
9
2
)( 












y
xxf
 

 
3
2
)( 2  xxf
 
 
 
c) (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
SOLUÇÃO 
 
dxyxfyf
x
x
.),()(
1
0




 , onde 
3y0 e 1 x < 0 
 
dxyyxyf
x
x
.
3
2
.
9
2
)(
1
0
2
















 

 1
0
3
3
2
.
3
.
9
2
)( 






xx
yyf
 

 
9
.2
)(
y
yf 
 
 
 
d) (0.5 pt) Encontre a densidade condicional de dado =x. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
)(
),(
)(
xf
yxf
xXYf 
 , onde 
]1,(
]1,0(
xy