Integrais de Superfície de Campos Vetoriais

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Integrais de Superfície de Campos Vetoriais
Superfície orientada - Consideraremos somente superfícies orientáveis com dois lados, que estão relacionados como os vetores normais unitários que podem ser n e –n e podemos utilizar a regra da mão direita. Para uma superfície fechada, a convenção é que a orientação positiva é aquela para a qual os vetores normais apontam para fora, e os vetores normais que apontam para dentro correspondem a orientação negativa.
Suponha que S seja uma superfície orientada com vetor normal unitário n, imagine um fluido com densidade (x,y,z) e campo de velocidade v (x,y,z) escoando através de S (pense em S como sendo uma superfície imaginária que não impeça a passagem do liquido, como uma rede de pesca em uma corrente de água). Então a vazão (massa por unidade de tempo) por unidade de área é v. Se dividirmos S e pequenos retalhos então esta pequena área estará aproximadamente plana, de modo que podemos aproximar a massa de fluido que passa pela pequena área na direção da normal n por unidade de tempo pela quantidade
 (v escalar n) A(pequeno retalho) 
Somando estas quantidades obtemos a integral de superfície da função v escalar sobre S:
Podemos escrevermos F no lugar de v. Uma integral de superfície dessa forma aparece frequentemente em física, mesmo quando F não é v, e é denominada integra de superfície (ou de fluxo) de F em S. 
Atividade 1
Calcule onde F(x,y,z) = y i + x j + z k e S é a fronteira da região solida delimitada pelo paraboide e pelo plano z= 0.
Atividade 2
Encontre o fluxo de através de um cilindro parabólico , , na direção de dentro para fora.
Atividade 3
Dada a superfície , calcule o fluxo através da superfície S de dentro para fora, considerando o campo vetorial F(x,y,z) = (3x,3y,z) com .