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Cap%C3%ADtulo-2

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definida , ;: ====→∈≠∈ pi
 { }ZkkxRxfD ∈≠∈= , ;)( pi e Rf =)Im(
 A função gxxf cot)( = é ímpar, pois ( ) gxxg cotcot −=− .
 A função gxxf cot)( = é periódica de período pi, pois ( ) gxxg cotcot =+ pi .
 A função gxxf cot)( = é decrescente nos intervalos (0, pi) e (pi, 2pi).
 
• Função Secante
x
xOSxfRZkkxRxf
cos
1sec)(por definida ,
2
 ;: ===→



∈+≠∈ pi
pi
 



∈+≠∈= ZkkxRxfD ,
2
 ;)( pipi e ( )1,1)Im( −−= Rf
 A função xxf sec)( = é par, pois ( ) xx secsec =− .
 A função xxf sec)( = é periódica de período 2pi, pois ( ) xx sec2sec =+ pi .
 A função xxf sec)( = é crescente nos intervalos [0, pi/2) e (pi/2, pi] e decrescente 
nos intervalos [pi, 3pi/2) e (3pi/2, 2pi].
 
 
27
• Função Cossecante
{ }
senx
xODxfRZkkxRxf 1seccos)(por definida , ;: ===→∈≠∈ pi
 { }ZkkxRxfD ∈≠∈= , ;)( pi e ( )1 ,1)Im( −−= Rf
 A função xxf seccos)( = é ímpar, pois ( ) xx seccosseccos −=− .
 A função xxf seccos)( = é periódica de período 2pi, pois 
( ) xx seccos2seccos =+ pi .
 A função xxf seccos)( = é crescente nos intervalos [pi/2, pi) e (pi, 3pi/2] e 
decrescente nos intervalos (0, pi/2] e [3pi/2, 2pi).
 
 
 Funções Trigonométricas Inversas
• Função Arco Seno
É impossível definir uma função inversa para a função senxxfRRf =→ )(por dada : , 
pois a função seno não é injetora e não é sobrejetora. Para definirmos a função inversa de
senxxf =)( necessitamos restringir o domínio. Este fato ocorre com todas as funções 
trigonométricas.
Seja [ ] senxxff =−→


− )(por definida função a 1 ,1
2
 ,
2
: pipi . Esta função é bijetora e, 
portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco seno e denotada por 
[ ] xsenarcxff )( onde 
2
 ,
2
1 ,1: 11 =


−→− −−
pipi
. 
Simbolicamente, para : temos,
22
pipi
≤≤− y xsenyxsenarcy =⇔= .
 
 senxxf =)( xsenarcxf )(1 =−
28
Observação: Na definição da função arco seno poderíamos ter restringido o domínio de 
senxxf =)( a qualquer dos seguintes intervalos: [pi/2, 3pi/2], [3pi/2, 5pi/2], [5pi/2, 7pi/2], ... ou 
[-3pi/2, -pi/2], [-5pi/2, -3pi/2], [-7pi/2, -5pi/2], ... . 
• Função Arco Cosseno
Seja [ ] [ ] xxff cos)(por definida função a 1 ,1 ,0: =−→pi . Esta função é bijetora e, 
portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco cosseno e denotada por 
[ ] [ ] xarcxff cos )( onde ,01 ,1: 11 =→− −− pi . 
Simbolicamente, para : temos,0 pi≤≤ y xyxarcy =⇔= cos cos .
 
 xxf cos)( = xarcxf cos )(1 =−
Observação: 
A função xarcy cos = pode ser definida também pela equação xsenarcxarc 
2
 cos −= pi . 
 
• Função Arco Tangente
Seja tgxxfRf =→


− )(por definida função a 
2
 ,
2
: pipi . Esta função é bijetora e, 
portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco tangente e denotada por 
xtgarcxfRf )( onde 
2
 ,
2
: 11 =


−→ −−
pipi
. 
Simbolicamente, para : temos,
22
pipi
<<− y xtgyxtgarcy =⇔= .
 
 
 tgxxf =)( xtgarcxf )(1 =−
29
• Função Arco Cotangente, Arco Secante e Arco Cossecante
 ( ) bijetora é cot)( ; ,0: gxxfRf =→pi . 
 ( ) tgxarcgxarcxfRf 
2
cot )( ; ,0: 11 −==→ −− pipi . 
 ( ] [ ) bijetora é sec)( ; ,1 1 , ,
2
 
2
 ,0: xxff =∞+−∞−→




 pi
pipi
. 
 ( ] [ ) 


==




→∞+−∞− −−
x
arcxarcxff 1cos sec )( ; ,
2
 
2
 ,0 ,1 1 ,: 11 pipipi  . 
 ( ] [ ) bijetora é seccos)( ; ,1 1 ,
2
 ,0 0 ,
2
: xxff =∞+−∞−→




− 
pipi
. 

( ] [ ) 


==




−→∞+−∞− −−
x
senarcxarcxff 1 seccos )( ; 
2
 ,0 0 ,
2
 ,1 1 ,: 11 pipi  . 
 
 
 Funções Hiperbólicas
• Função Seno Hiperbólico
2
)(por definida :
xx eesenhxxfRRf
−
−
==→
 D(f) = R e Im(f) = R
• Função Cosseno Hiperbólico
2
cosh)(por definida :
xx eexxfRRf
−+
==→
 D(f) = R e Im(f) = [1, +∞)
 
30
Observação: A figura abaixo representa um fio de telefone ou de luz. Observamos que a curva 
representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola; no entanto, é possível mostrar que a equação 
correspondente é 


=
a
xy cosh , onde a ∈ R e a ≠ 0. Esta curva recebe a denominação de catenária. 
 
 
• Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas
As funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas, denotadas 
respectivamente por tgh, cotgh, sech e cossech, são definidas por:
 ( ) ( ) ( )1 ,1Im e ; 
cosh
−==
+
−
==
−
−
tghRtghD
ee
ee
x
senhxtghx xx
xx

( ) { } ( ) ( ) ( )∞+−∞−=−=
−
+
==
−
−
 ,11 ,cotIm e 0cot ; coshcot ghRghD
ee
ee
senhx
xghx xx
xx
 ( ) ( ) ( ]1 ,0secIm e sec ; 2
cosh
1sec ==
+
==
−
hRhD
eex
hx xx
 ( ) { } ( ) { }0seccosIm e 0seccos ; 21seccos −=−=
−
==
−
RhRhD
eesenhx
hx xx
 
 
• Identidades Hiperbólicas
 
xghxh
xtghxh
ghx
tghx
xsenhx
22
22
22
cot1seccos
1sec
cot
1
1cosh
−=−
−=
=
=−
31
 Funções Hiperbólicas Inversas
• Função Inversa do Seno Hiperbólico
Analisando o gráfico da função senhxxf =)( vemos que ela é bijetora; logo admite 
inversa. A função inversa do seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico e 
denotada por arg senh, é definida por:
senhxxfRRf arg)( ; : 11 =→ −− .
 RfRfD == −− )Im( e )( 11
 
 senhyxsenhxy =⇔= arg 
• Função Inversa do Cosseno Hiperbólico
Seja [ ) [ )∞+→∞+ ,1 ,0:f a função dada por xxf cosh)( = . Esta função é bijetora. A sua 
inversa, chamada argumento do cosseno hiperbólico e denotada por arg cosh, é definida por:
[ ) [ ) xxff cosharg)( ; ,0 ,1: 11 =∞+→∞+ −− . 
 [ ) [ )∞+=∞+= −− ,0)Im( e ,1)( 11 ffD
 0 , cosh cosharg ≥=⇔= yyxxy
 
 
• Funções Inversas da Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas
 ( ) bijetora é )( ; 1 ,1: tghxxfRf =−→ . 
 ( ) tghxxff arg)( ; R1 ,1: 11 =→− −− . 
 { } ( ) ( ) bijetora é cot)( ; 1, 1,0: ghxxfRf =+ ∞−∞−→−  . 
 ( ) ( ) { } ghxxfRf cotarg)( ; 01, 1,: 11 =−→+ ∞−∞− −−  . 
 [ ) ( ] bijetora é sec)( ; 1 ,0,0: hxxff =→+ ∞ . 
 ( ] [ ) hxxff secarg)( ; ,01 ,0: 11 =+ ∞→ −− . 
 { } { } bijetora é seccos)( ; 00: hxxfRRf =−→− . 
 { } { } hxxfRRf seccosarg)( ; 00: 11 =−→− −− . 
32
 
 
 
 
• Expressões das Funções Hiperbólicas Inversas
 
( )
( )
0 , 11lnseccosarg
10 , 11lnsecarg
1 , 
1
1ln
2
1cotarg
11 , 
1
1ln
2
1arg
1 , 1lncosharg
 , 1lnarg
2
2
2
2
≠


 +
+=
≤<



−+
=
>


−
+
=
<<−


−