Poliedros, Prismas e Pirâmides

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Poliedro
Os poliedros são sólidos geométricos limitados por um número finito de polígonos planos. Esses polígonos formam as faces do poliedro.
A intersecção de duas faces é chamada de aresta e o ponto comum de três ou mais arestas é chamado de vértice, conforme indicado na imagem abaixo.
Poliedro convexo e não convexo
Os poliedros podem ser convexos ou não convexos. Se qualquer segmento de reta que liga dois pontos de um poliedro estiver totalmente contido nele, então ele será convexo.
Uma outra forma de identificar um poliedro convexo é verificar que qualquer reta não contida em nenhuma das face e nem paralela a elas, corta os planos das faces em, no máximo, dois pontos.
Teorema de Euler
O Teorema ou Relação de Euler é válido para os poliedros convexos e para alguns poliedros não-convexos. Este teorema estabelece a seguinte relação entre o número de faces, vértices e arestas:
F + V = 2 + A ou V - A + F = 2
Onde,
F: número de faces
V: número de vértices
A: número de arestas
Os poliedros em que a relação de Euler é válida são chamados de eulerianos. É importante notar que todo poliedro convexo é euleriano, porém nem todo poliedro euleriano é convexo.
Exemplo
Um poliedro convexo é formado por exatamente 4 triângulos e 1 quadrado. Quantos vértices tem esse poliedro?
Solução
Primeiro precisamos definir a quantidade de faces e arestas. Como o poliedro possui 4 triângulos e 1 quadrado, então possui 5 faces.
Para encontrar o número de aresta podemos calcular o número total de lados e dividir o resultado por dois, visto que cada aresta é a intersecção de dois lados:
Agora que conhecemos o número de faces e arestas, podemos aplicar a relação de Euler, assim temos:
Portanto, este poliedro possui 5 vértices.
Poliedros regulares
Os poliedros convexos são regulares quando suas faces são compostas por polígonos regulares e congruentes entre si. Além disso, o número de aresta que concorre em cada vértice é o mesmo.
Devemos lembrar que os polígonos regulares são aqueles que possuem todos os lados e ângulos congruentes, ou seja, com mesma medida.
Existem apenas cinco poliedros regulares convexos, que são também chamados de “Sólidos Platônicos” ou “Poliedros de Platão”. São eles: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro, icosaedro.
· Tetraedro: sólido geométrico formado por 4 vértices, 4 faces triangulares e 6 arestas.
· Hexaedro: sólido geométrico formado por 8 vértices, 6 faces quadrangulares e 12 arestas.
· Octaedro: sólido geométrico formado por 6 vértices, 8 faces triangulares e 12 arestas.
· Dodecaedro: sólido geométrico formado por 20 vértices, 12 faces pentagonais e 30 arestas.
· Icosaedro: sólido geométrico formado por 12 vértices, 20 faces triangulares e 30 arestas.
Prismas
Os prismas são sólidos geométricos que apresentam duas bases formadas por polígonos congruentes e localizados em planos paralelos. Suas faces laterais são paralelogramos ou retângulos.
De acordo com a inclinação das arestas laterais em relação a base, os prismas são classificados em retos ou oblíquos.
As faces laterais dos prismas retos são retângulos, enquanto dos prismas oblíquos são paralelogramos, conforme imagem abaixo:
Pirâmide
As pirâmides são sólidos geométricos formados por uma base poligonal e um vértice (vértice da pirâmide) que une todas as faces laterais triangulares.
O número de lados do polígono da base corresponde ao número de faces laterais da pirâmide.