Poliedros

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-Figuras geométricas planas são aqueles que 
apresentam todos os seus pontos em um mesmo 
plano, sendo limitadas e tendo duas dimensões, 
elas apresentam área, mas não apresentam 
volume. 
Exemplos: 
 
-Sólidos geométricos são figuras tridimensionais 
que ocupam uma porção do espaço. Essa porção 
de espaço ocupado por um sólido é o que se chama 
de volume do sólido. 
 
-Chama-se poliedro o sólido limitado por quatro ou 
mais polígonos planos, tais que: 
▪ não haja dois polígonos adjacentes 
(“vizinhos”) no mesmo plano; e 
▪ cada lado de qualquer polígono é lado de 
dois e apenas dois deles. 
OBS.: Polígonos “vizinhos” são polígonos distintos 
que têm pelo menos um lado em comum. 
 
 
 
 
 
 Cada polígono 
que compõe a 
superfície do 
poliedro é 
chamado de 
face do 
poliedro. 
 Cada lado de uma face qualquer do poliedro 
é chamado de aresta do poliedro. 
 Cada vértice de uma face qualquer do 
poliedro é chamado de vértice do poliedro. 
Exemplo: 
No paralelepípedo 
 
▪ O polígono HIJK é uma das seis faces do 
poliedro; 
▪ O segmento 𝐽𝑀̅̅ ̅̅ é uma das doze arestas do 
poliedro; 
▪ O ponto J é um dos oitos vértices do 
poliedro; 
▪ A reunião das seis faces é a superfície do 
poliedro. 
 
 
 
 
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 
-Os poliedros são nomeados de acordo com o seu 
número de faces. 
Número de faces Nome do poliedro 
4 Tetraedro 
5 Pentaedro 
6 Hexaedro 
7 Heptaedro 
8 Octaedro 
9 Eneaedro 
10 Decaedro 
11 Undecaedro 
12 Dodecaedro 
13 Tridecaedro 
14 Tetradecaedro 
15 Pentadecaedro 
16 Hexadecaedro 
17 Heptadecaedro 
18 Octadecaedro 
19 Eneadecaedro 
20 Icosaedro 
 
-Quando falarmos de poliedros com mais de 20 
faces, diremos o seu número de faces, não lhe 
dando nomes especiais. 
-Um poliedro é convexo quando plano que contém 
qualquer uma de suas faces deixa as outras faces 
contidas em um mesmo semiespaço. 
-Conclui-se dessa definição que todas as faces de 
um poliedro convexo são polígonos convexos. 
 
 
 
 
 
Contraexemplo 
-O poliedro abaixo não é convexo porque o plano 
que contém a face ABCD não deixa as demais faces 
em um mesmo semiespaço (ou porque pelo menos 
uma de suas faces não é convexa). 
 
-Em todo poliedro convexo, vale a relação: 
 
 
-Em que V, A e F representam os números de 
vértices arestas e faces do poliedro, 
respectivamente. 
Exemplo: 
a) No poliedro convexo representado a seguir, 
temos V = 8, A = 12 e F = 6. Assim: 
 
V + F = A + 2 
 
 
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V + F = A + 2 
14 + 6 = 12 + 2 
14 = 14 
b) No poliedro convexo representado a seguir, 
temos V = 9, A = 16 e F = 9. Assim: 
 
V + F = A + 2 
9 + 9 = 16 + 2 
18 = 18 
-Um poliedro convexo é regular se, e somente se, 
são obedecidas as condições: 
▪ todas as faces são polígonos regulares 
congruentes entre si; 
▪ todos os seus ângulos poliédricos são 
congruentes entre si. 
 
-Existem exatamente cinco classes de poliedros 
regulares: 
 
 
 
 
-Se um poliedro convexo tem V vértices, a soma 
dos ângulos internos de todas as faces pode ser 
dada por: 
 
 
1. Um poliedro convexo possui 20 faces e 12 
vértices, então o número de arestas desse 
poliedro é: 
(a) 20 
(b) 24 
(c) 28 
(d) 30 
(e) 32 
2. Um garimpeiro encontrou uma pedra preciosa 
que possui o formato igual ao do poliedro a 
seguir: 
 
Analisando o poliedro a seguir, podemos afirmar 
que a soma do número de faces, vértices e arestas 
é igual a: 
(a) 26 
(b) 25 
(c) 24 
(d) 23 
(e) 22 
S = (V – 2) • 360° 
 
 
4 
3. (Cesgranrio) Um poliedro convexo é formado 
por 4 faces triangulares, 2 faces 
quadrangulares e 1 face hexagonal. O número 
de vértices desse poliedro é de: 
(a) 6 
(b) 7 
(c) 8 
(d) 9 
(e) 10 
4. (Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas 
explorações, um cristal de rocha no formato de 
um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 
60 faces triangulares. O número de vértices 
desse cristal é igual a: 
(a) 35 
(b) 34 
(c) 33 
(d) 32 
(e) 31 
5. Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e 
que em cada vértice se encontram 5 arestas, 
determine o número de faces dessa figura. 
6. Sabendo que em um poliedro o número de 
vértices corresponde a 2/3 do número de 
arestas, e o número de faces é três unidades a 
menos que o número de vértices. Calcule o 
número de faces, de vértices e arestas desse 
poliedro. 
7. Quantas faces, arestas e vértices possuem o 
poliedro chamado de Hexaedro? 
8. (FAAP-SP) Num poliedro convexo, o número 
de arestas excede o número de vértices em 6 
unidade. Calcule o número de faces. 
9. (PUC-MG) Um poliedro convexo tem 3 faces 
pentagonais e algumas faces triangulares. Qual 
o número de faces desse poliedro, sabendo 
 
 
que o número de arestas é o quádruplo do número 
de faces triangulares. 
10. (UFAM) O número de faces de um poliedro 
convexo de 22 arestas é igual ao número de 
vértices. Então, qual o número de faces do 
poliedro? 
11. (UFRS) Um poliedro convexo tem seis faces 
triangulares e cinco faces quadrangulares. O 
número de aretsas e de vértices do poliedro é, 
respectivamente: 
(a) 34 e 10 
(b) 19 e 10 
(c) 34 e 20 
(d) 12 e 10 
(e) 19 e 12 
12. (UFPI) Em um poliedro convexo, o número de 
arestas excede o número de faces em 18. O 
número de vértices desse poliedro é: 
(a) 10 
(b) 20 
(c) 24 
(d) 30 
(e) 32 
13. (UEL) Para explicar a natureza do mundo, 
Platão “[...] apresenta a teoria segundo a qual 
os ‘quatro elementos’ admitidos como 
constituintes do mundo - o fogo, o ar, a água e 
a terra - [...] devem ter a forma de sólidos 
regulares. [...] Para não deixar de fora um sólido 
regular, atribuiu ao dodecaedro a 
representação da forma de todo o universo.” 
(DEVLIN, Keith. Matemática: a ciência dos 
padrões. Porto: Porto Editora, 2002. p.119.) 
 
 
 
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As figuras a seguir representam esses sólidos 
geométricos, que são chamados de poliedros 
regulares. Um poliedro é um sólido limitado por 
polígonos. Cada poliedro tem um certo número de 
polígonos em torno de cada vértice. Uma das 
figuras anteriores representa um octaedro. A soma 
das medidas dos ângulos em torno de cada vértice 
desse octaedro é: 
(a) 180° 
(b) 240° 
(c) 270° 
(d) 300° 
(e) 324° 
14. (UERJ) Dois dados, com doze faces 
pentagonais cada um, têm a forma de 
dodecaedros regulares. Se os dodecaedros 
estão justapostos por uma de suas faces, que 
coincidem perfeitamente, formam um poliedro 
côncavo, conforme ilustra a figura. 
 
Considere o número de vértices V, de faces F e de 
arestas A desse poliedro côncavo. 
A soma V + F + A é igual a 
(a) 102 
(b) 106 
(c) 110 
(d) 112 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. D 2. A 3. C 4. D 
5. F = 32 6. F = 7, A = 15, V = 10 
7. F = 6, A = 12, V = 8 8. F = 8 
9. 3 faces triangulares 8. F = 12 
11. B 12. B 13. C 14. D