Algebra linear

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A respeito da criatividade e inovação, pode-se dizer que:  
A - A inovação vem da necessidade do lucro da instituição. 
B - A criatividade precede a inovação, pois para inovar é preciso uma ideia criativa.
C - A inovação precede a criatividade em função da necessidade pessoal.
D - Inovação e criatividade precisam ocorrer ao mesmo tempo na construção do conhecimento. check_circleResposta correta
E - A educação não necessita da inovação e sim da transmissão de conteúdo.
Leia o trecho, extraído do artigo “Criatividade e inovação na escola do século XXI: uma mudança de paradigma”: 
“[...] todos podemos ser criativos porque podemos gerar ideias, sejam mais simples ou complexas; porém não devemos confundir criatividade com inovação, porque a inovação é a capacidade organizativa para transformar uma boa ideia em um produto, serviço ou processo, aos quais sempre deve se acrescentar o fator êxito, focalizado em função de cada cenário”. (RAJADELL, 2012, p. 108) 
 
O texto diz respeito: 
A - à diferença entre criar e inovar.check_circleResposta correta
B - à semelhança entre os modelos de ensino tradicional e criativo.
C - ao processo de inovação na indústria.
D - às semelhanças entre criar e atuar na sociedade como professor.
E - à diferença entre assimilar um conteúdo e decorá-lo.
A teoria que fundamenta a aprendizagem criativa é o:
A - Behaviorismo.
B - Inatismo.
C - Escolanovismo.
D - Catolicismo.
E - Construcionismo.check_circleResposta correta
No construcionismo o computador é visto como possibilidade de desenvolvimento intelectual da criança. O autor que concebeu o construcionismo é: 
A - Seymour Papert. check_circleResposta correta
B - Sigmund Freud. 
C - Paulo Freire. 
D - Jean Piaget. 
E - Lev Vygotsky. 
O ensino criativo visa:
A - Formar cidadãos conscientes do seu papel na sociedade, obedecendo às regras ditadas pelos sistemas, sem questionamentos. O ensino criativo temo papel de moldar o caráter do indivíduo conforme uma linha de pensamento dominante.
B - Ultrapassar as barreiras impostas interna e externamente, não expressa autoritarismo, busca coletivamente o desenvolvimento do progresso humano dentro de infinitas atuações de comunicação.check_circleResposta correta
C - Manter os sistemas tradicionais de ensino. Afinal, não há nada mais criativo do que o professor ensinando num quadro para que os alunos aprendam e exercitem, por meio de provas.
D - Formar estudantes pouco ativos, mas criativos.
E - Os estudantes devem permanecer sentados em aulas. Ouvindo e aprendendo e realizando a execução das atividades, quando solicitados, de forma pouco criativa. 
Um aluno da escola Acreditando, quer comprar material escolar e possui uma quantidade de dinheiro onde é possível comprar 5 cadernos do tipo A, que possuem o mesmo valor, e sobram R$ 2,50. Ou pode comprar, com a mesma quantia de dinheiro, 7 cadernos do tipo B, de mesmo valor, e lhe sobra R$ 0,50. Se o caderno do tipo B custa R$ 1,00 a menos que o caderno do tipo A, então, o preço de um caderno do tipo B é:
A -
R$ 3,50.
check_circleResposta correta
B -
R$ 3,80.
C -
R$ 4,20.
D -
R$ 4,60.
E -
R$ 4,90.
A propriedade comutativa também é aplicada no conceito de matrizes, mas a multiplicação de matrizes não é uma operação comutativa em geral. Há casos em que a multiplicação de matrizes comuta. A Alternativa em que duas matrizes obedecem a propriedade comutativa na multiplicação é:
A -
B -
C -
check_circleResposta correta
D -
E -
O procedimento chamado de diagonalização de matriz consiste em, sempre que possível, formar uma base do espaço Rn , apenas com autovetores de uma matriz quadrada A, sendo assim, possível fazer uma mudança de base tal que consegue-se uma matriz diagonal com os autovalores. Para determinar a diagonalização de uma matriz devemos seguir alguns passos matemáticos. A alternativa que apresenta um dos passos correto para resolver a diagonalização de uma matriz, é:
A -
Calcular as raízes do polinômio característico p(λ) = det(λI).
B -
Calcular o polinômio característico p(λ) = det(A − λI).
check_circleResposta correta
C -
Calcular o polinômio característico p(λ) = det(λI).
D -
Calcular todos os auto espaços associados.
E -
Calcular todos os autovalres e autovetores associados a matriz inversa A-1.
Uma transformação linear é uma de um espaço vetorial V para um espaço vetorial W é uma função que associa um vetor v ϵ V a uma única imagem w ϵ W. Logo, uma transformação linear T : R 3 → R 3 cuja imagem seja gerada pelos vetores (1, 2, 0) e (1, 1, 1) é:
A -
T(x, y, z) =  (2x + y, x + y, 2y)
B -
T(x, y, z) =  (2x + y, x + y, y)
C -
T(x, y, z) =  (x , 2x + y, 2y)
D -
T(x, y, z) =  (x + y, 2x + y, y)
check_circleResposta correta
E -
T(x, y, z) =  (x + y, 2x, y)
Considere o vetor u = (x, y, z, t) do R4. Das aplicações abaixo, qual é definida como aplicação lineares do R4?
A -
F(u) = (1, 0, 1, 1)
B -
F(u) = (cosx, y, z, t)
C -
F(u) = (senx, y, z, t)
D -
F(u) = (x, y − z, y + z, x + t)
check_circleResposta correta
E -
F(u) = u + (1, 0, 1, 0)
Considere o conjunto A = {(1,3), (3,7), (-3, -9)} pertencente ao R2. Pode-se afirmar que:
A - O conjunto A forma uma base para o R2, pois é LD. 
B - O conjunto A forma uma base para o R2, pois é LI.
C - O conjunto A não forma uma base para o R2, pois é LD. check_circleResposta correta
D - O conjunto A não forma uma base para o R2, pois é LI .
E - O conjunto A forma uma base para o R2, pois é LI e LD .
Os axiomas que devem ser satisfeitos para que um espaço vetorial real se defina como tal são num total de oito. O axioma que trata da existência do elemento nulo da soma é:
A -image.png 420 Bytescheck_circleResposta correta
B -image.png 513 Bytes
C -image.png 900 Bytes
D -image.png 518 Bytes
E -image.png 481 Bytes
Determine o subespaço no R3 gerado pelo vetor v = (2,4,1) .
A - [v] = (y, -y, z)
B - [v] = (z, -x, y)
C - [v] = (y, 2y, -y)
D - [v] = (2z, 4z, z)check_circleResposta correta
E - [v] = (2x, x, 4x)
Considere os vetores v1 = (5, 4, 2), v2 = (-5, -3, -2)  e v3 = (0,1,0)  pertencentes ao R3. Os escalares a e b, quando escrevemos v3 como combinação linear v1 e v2, vale:
A - a = 0 e b = -1
B - a = -1 e b = 0
C - a = 0 e b = 1
D - a = 1 e b = 0
E - a = 1 e b = 1check_circleResposta correta
Com relação à dimensão de um espaço vetorial, avalie as afirmativas: 
I- Se a base do espaço vetorial V possui 5 vetores, então dim V = 5. 
II - Se a base do espaço vetorial V possui n+1 vetores, então dim V = n. 
III - Se o espaço vetorial V não possui base, então dim V = 1.
As afirmativas corretas são:
A - Apenas I check_circleResposta correta
B - Apenas II 
C - Apenas I e II 
D - Apenas II e III 
E - Apenas I e III 
A definição de Base de um espaço vetorial V implica no menor conjunto de vetores no espaço vetorial V, que representa completamente V. Podemos dizer que uma base de V é um conjunto de vetores tais que, qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear desses vetores, logo é gerado pelos vetores da base. Então, um conjunto de vetores A será uma base de V, se e somente se: 
A - O conjunto A for LI. 
B - O conjunto A gerar V. 
C - O conjunto A for LD e o conjunto A gerar V. 
D - O conjunto A for LI e o conjunto A gerar V. check_circleResposta correta
E - O conjunto A for LD. 
Por definição, dizemos que um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se, e somente se, forem satisfeitas as seguintes condições:
a) Para quaisquer vetores u e v ∈ W,  u + v ∈ W
b) Para quaisquer α ∈ R, u ∈ W, α.u ∈ W
Desta forma, se V = R2 e o subconjunto W = {(x, y) ∈ R2, tal que y = 3x}, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais, sob o R2, podemos afirmar: α
I – W não é um subespaço vetorial de V, pois a soma dos vetores pertence a W, mas a multiplicação não. 
II – W é um subespaço vetorial de V, pois as duas condições são satisfeitas.
III – W é um subespaço vetorial de V, pois a soma dos vetores pertence a W, mas a multiplicação não.
IV - W é um subespaço vetorial de V, pois a soma dos vetores não pertence a W, mas a multiplicação sim.A(s) afirmativa(s) correta(s) é(são):
A - Apenas I 
B - Apenas II check_circleResposta correta
C - Apenas III 
D - Apenas II e III 
E - Apenas I e IV 
As componentes da base A = {(2,-1),( 1,2)} do R2 e o vetor v = (7,-1) são:
A - x = 3 e y = -3
B - x = 0 e y = 2
C - x = -1 e y = 1
D - x = 3 e y = 1check_circleResposta correta
E - x = 1 e y = 1
Um conjunto vetorial é dito como espaço vetorial se todos os axiomas do espaço vetorial são satisfeitos. O conjunto vetorial V representado por  R2 = {(x, y) / x, y ∈ R não é considerado um espaço vetorial se for munido das as operações
image.png 1.32 KBpois não satisfaz os axiomas: 
A -image.png 6.98 KBcheck_circleResposta correta
B -image.png 6.23 KB
C -image.png 7.09 KB
D -image.png 8.9 KB
E -image.png 7.04 KB
Para que o conjunto de vetores v1 = (2,4) e v2 = (1,2) sejam LD, um dos valores possíveis dos coeficientes deve ser:
A - a = 2 e b = - 4 check_circleResposta correta
B - a = 1 e b = - 1 
C - a = 2 e b = 0 
D - a = 0 e b = - 4 
E - a = 3 e b = 0
Sejam  V  um  espaço  vetorial  e  S  um  subconjunto  não  vazio  de  V.  O subconjunto  S  é  um  subespaço  vetorial  de  V  se  S  é  um  espaço  vetorial  em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V. (http://paginapessoal.utfpr.edu.br/sheilaro/geometria-analitica-e-algebra-linear/EspaosVetoriais.pdf)
Ou seja, é dito um subconjunto ou subespaço vetorial, se o conjunto atender as relações i. e ii.
Considere S o subconjunto de R³ formado por todos os vetores da forma (x, y, 1), onde x e y são números reais quaisquer com as operações de multiplicação e adição usuais. Verifique se S é um subespaço de R³ assinale a opção correta:Eq 4,.PNG 5.57 KB
A - É um subespaço vetorial, pois atende as duas relações. 
B - Não é um subespaço, pois não atende apenas a primeira relação. 
C - Não é um subespaço, pois não atende apenas a segunda relação. 
D - Não é um subespaço, pois não atende as duas relações. check_circleResposta correta
E - É um subespaço vetorial, pois atende a primeira relação apenas. 
Escrevendo um vetor v como uma combinação linear de uma base A, os escalares a1, a2, a3, ... an, são chamados de componentes da base. Considerando a base A = {(1,2),( 1,3)} do R2 e o vetor v = (4,5),  as componentes desta bases são: 
A - x = 7 e y = -3check_circleResposta correta
B - x = 3 e y = -3
C - x = 3 e y = -7
D - x = -7 e y = -7
E - x = -7 e y = -3
image.png 4.12 KB
A -image.png 619 Bytes
B -image.png 647 Bytescheck_circleResposta correta
C -image.png 647 Bytes
D -image.png 691 Bytes
E -image.png 817 Bytes
Um espaço vetorial (sobre o conjunto dos Reais de escalares) é um conjunto equipado com as operações de soma de vetores e de multiplicação por escalar e que satisfazem as propriedades usuais dos espaços n-ésimos. A ideia é que vários conjuntos mais abstratos possuem a estrutura parecida com a dos espaços n-ésimos e esta abordagem permite que façamos uma análise sistemática de todos estes casos. De forma mais precisa, um espaço vetorial sobre o conjunto dos Reais é um conjunto V, cujos elementos são chamados vetores, equipado com duas operações: Multiplicação e Adição. Sendo que cada uma deve ser verificada em 4 axiomas. Os axiomas da multiplicação são os seguintes:
Eq 1.PNG 14.46 KB
Observando os dados sobre espaço vetorial verifique a operações de multiplicação para o seguinte conjunto de pares ordenados do R², com:Eq 2.PNG 2.08 KBCom isso, assinale a alternativa correta: 
A - Apenas as propriedades a e b são atendidas
B - Apenas as propriedades  a, b, e c são atendidas check_circleResposta correta
C - Apenas as propriedades b, c e d são atendidas 
D - Apenas as propriedades a, c e d são atendidas 
E - Apenas as propriedades a, b e d são atendidas 
Parte superior do formulário
A dimensão do espaço vetorial, representado por dim V, tem como significado a quantidade de vetores da base A desse espaço V que terá a mesma quantidade de vetores.  A dimensão do espaço vetorial V gerado pelo conjunto A  = {(1, 2),(1, 0)}∈ R2:
A - dim V = 1 
B - dim V = 2check_circleResposta correta
C - dim V = 3
D - dim V = 4
E - dim V = 5
Parte inferior do formulário
Para conseguir definir um espaço vetorial é necessário satisfazer  certas condições  que são chamados de axiomas do espaço vetorial. Estes axiomas podem ser separados em axiomas da adição e da multiplicação. Desta forma, considere as afirmativas:
image.png 22.85 KB
A(s) afirmativa(s) correta(s) é(são):
A - Apenas I check_circleResposta correta
B - Apenas II
C - Apenas III
D - Apenas I e IV
E - Apenas II e III 
Por definição, dizemos que um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se, e somente se, forem satisfeitas as seguintes condições:
a) Para quaisquer vetores u e v ∈ W,  u + v ∈ W
b) Para quaisquer α ∈ R, u ∈ W, α.u ∈ W
Desta forma, se V = R2 e o subconjunto W = {(x, y) ∈ R2, tal que y = 3x}, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais, sob o R2, podemos afirmar: α
I – W não é um subespaço vetorial de V, pois a soma dos vetores pertence a W, mas a multiplicação não. 
II – W é um subespaço vetorial de V, pois as duas condições são satisfeitas.
III – W é um subespaço vetorial de V, pois a soma dos vetores pertence a W, mas a multiplicação não.
IV - W é um subespaço vetorial de V, pois a soma dos vetores não pertence a W, mas a multiplicação sim.
A(s) afirmativa(s) correta(s) é(são):
A - Apenas I 
B - Apenas II check_circleResposta correta
C - Apenas III 
D - Apenas II e III 
E - Apenas I e IV 
Parte superior do formulário
Parte inferior do formulário
Ao tratar do assunto de base de um espaço vetorial, temos que ter em mente que Base  é o menor conjunto de vetores no espaço vetorial V, que representa completamente V. Para se determinar tal conjunto, deve-se conseguir qualquer vetor de V que pode ser escrito como combinação linear desses.
Desta forma, o conjunto B = { (3,3,1),(2,4,1 ), (9,9,3) } é uma base para o R3?
A - Sim, pois o conjunto B é LI 
B - Sim, pois o conjunto B é LD 
C - Não, pois o conjunto B é LI
D - Não, pois o conjunto B é LD check_circleResposta correta
E - Não, pois o conjunto B é LI e LD ao mesmo tempo 
Seja a transformação linear dada por T(x,y)=(x+2y,y). Assinale a alternativa que apresenta a alternativa verdadeira.
A - T(5,2)=(5,2)
B - T(5,2)=(1,1)
C - T(5,2)=(2,5)
D - T(5,2)=(9,2)check_circleResposta correta
E - T(5,2)=(2,9)
Considere os vetores u=(1,2) e v=(2,3), além da transformação T(x,y)=(1,1)
A - T(u)=T(v)
B - T(u)=(1,2) e T(v)=(2,3)
C - T(u) é diferente de T(v)check_circleResposta correta
D - T(u)=(2,3) e T(v)=(1,2)
E - T(u)=T(v)+(1,1)
Considere os vetores do R3, u=(-1,2,3), v=(3,-4,5) e w=(8,1,2). Dado que dois vetores são ortogonais se o seu produto interno é zero, assinale a alternativa correta.
A - Apenas os vetores u e v são ortogonais.
B - Os três vetores são ortogonais.
C - Apenas os vetores u e w são ortogonais.check_circleResposta correta
D - Os vetores u, v e w não são ortogonais entre si.
E - Não existe produto interno entre esses vetores.
Definimos a combinação linear v de dois vetores, v1 e v2, como um vetor gerado pela combinação entre o produto escalar e a soma desses vetores, i.e., v=a1v1+a2v2, em que a1 e a2 representam números reais.
Considere o vetor v=(3,2,1) do R3 e o conjunto de vetores a={v1=(1,2,3),v2=(1,1,1),v3=(1,0,0)} também do R3. A seguir, assinale com V as sentenças verdadeiras e com F as falsas.
I. v é uma combinação linear dos vetores do conjunto a.
II. a é uma base do R3.
III. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
Assinale a alternativa correta:
A - V-V-F
B - V-V-Vcheck_circleResposta correta
C - F-V-V
D - V-F-F
E - F-F-F
Dizemos que u é combinação linear dos vetores v1, v2 e v3, quando existem coordenadas reais a1, a2 e a3 que satisfazem a equação:
u = a1v1+a2v2+a3v3
Considere os vetores u=(-4,10,5),v1=(1,1,-2), v2=(2,0,3), v3=(-1,2,3). Assinale a alternativa que descreve o vetor u como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.
A - u=v1-2v2+3v3B - u=2v1-v2+4v3check_circleResposta correta
C - u=-2v1+v2+4v3
D - u=10v1-7v2+4v3
E - u=2v1-v2-4v3
Sendo o conjunto B={(2,-1,3),(-3,0,2),(2,13,3)}, marque a alternativa que apresenta T(B), dado T(x,y,z)=(x+y+z)
A - T(B)={(4),(-1),(18)}check_circleResposta correta
B - T(B)={(-4),(1),(18)}
C - T(B)={(5),(-5),(-18)}
D - T(B)={(6),(5),(18)}
E - T(B)={(4),(-1),(-18)}
Dizemos que um vetor é autovetor de A quando podemos escrever Av=kv para um autovalor k.
Considere a matriz A=[-2 1; 12 -1]. Analise as alternativas e assinale aquela que apresenta um autovetor de A associado ao autovalor 2.
A - [-1; 3]
B - [1; 0]
C - [7; 4]
D - [3; 5]
E - [1; 4]check_circleResposta corret
Considere os vetores v1=(-1,3), v2=(3,2) e v3=(7,1) em R2. Dada a transformação linear T(x+y,x-y), considere as seguintes assertivas e marque a alternativa correta.
I. T(-1,3)=(2,-4)
II. T(3,2)=(5,1)
III. T(7,1)=(8,-6)
Assinale a alternativa correta:
A - I, apenas
B - I e II, apenascheck_circleResposta correta
C - I e III, apenas
D - II, apenas
E - II e III, apenas
Leia a seguinte passagem de texto:
"Dizemos que uma tripla de vetores, v1, v2 e v3 são linearmente dependentes quando podemos escrever
v3=a1v1+a2v2
para coordenadas reais a1, a2."
Considere o conjunto formado pelos vetores 
v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).
 Com base neste conjunto, analise as afirmativas:
I. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
II. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
III. O conjunto formado por v1, v2 e v3 forma uma base para o R3.
Assinale a alternativa correta:
A - I, apenas.
B - I e II, apenas.
C - I e III, apenas.
D - II, apenas. check_circleResposta correta
E - II e III, apenas.
Seja T:R2->R2 uma transformação linear, definida por:
T(x,y)=(x-2y,x). Determine a matriz de transformação, considerando a base canônica de R2.
A - T=[0 -2; 0 1]
B - T=[1 1; -2 1]
C - T=[1 0; 1 1]
D - T=[1 -2; 1 0]check_circleResposta correta
E - T=[1 -2; 2 5]
Determine a matriz da transformação linear definida por T(x,y)=(4x+5y,2x+y)
A - [4 -5; 6 -1]
B - [4 2; 5 1]
C - [4 -2; -2 1]
D - [4 5; 2 1]check_circleResposta correta
E - [4 -5; -2 1]
Dizemos que três vetores são a base de R3, quando geram qualquer vetor do espaço vetorial a partir de alguma combinação linear dos vetores da base.
Seja os vetores u=(1,-1,-2), v=(2,1,1) e w=(k,0,3).
Assinale a alternativa com o valor de k para que os vetores u, v e w formem uma base do R3.
A - k != 8
B - k != -7
C - k != 5
D - k != -9check_circleResposta correta
E - k != 6
Dizemos que u é combinação linear dos vetores v1, v2 e v3, quando existem coordenadas reais a1, a2 e a3 que satisfazem a equação:
u = a1v1+a2v2+a3v3
Considere os vetores u=(-4,10,5),v1=(1,1,-2), v2=(2,0,3), v3=(-1,2,3). Assinale a alternativa que descreve o vetor u como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.
A - u=v1-2v2+3v3
B - u=2v1-v2+4v3check_circleResposta correta
C - u=-2v1+v2+4v3
D - u=10v1-7v2+4v3
E - u=2v1-v2-4v3
Considere a transformação definida por 
T(x,y,z)=(1,2,x+y+z)
Leia as afirmativas abaixo e marque a alternativa correta:
Sendo assim, analise as sentenças a seguir e assinale V se a sentença for verdadeira e F se a sentença for falsa:
· (   )T é uma transformação linear.
· (   )O núcleo de T É N(T)={(0,0,0)}
· (   )T(1,1,1)=(1,2,3)
· (   ).
· (   ).
A sequência correta é:
A - V, V, V
B - F,F,Vcheck_circleResposta correta
C - V, V, F
D - V, F, F
E - F, V, V
Seja uma transformação linear dada por:
T(x,y)=(x,y,x+y)
Marque a alternativa verdadeira:
A - Essa transformação leva vetores do plano a outros vetores do plano.
B - Essa transformação leva vetores do plano a vetores do espaço tridimensional.check_circleResposta correta
C - Essa transformação leva vetores do espaço tridimensional ao espaço tridimensional.
D - Essa transformação leva vetores do espaço tridimensional ao plano.
E - Essa transformação leva vetores pertencentes a bissetriz dos quadrantes ímpares ao plano.
Leia a seguinte passagem de texto:
"Dizemos que uma tripla de vetores, v1, v2 e v3 são linearmente dependentes quando podemos escrever
v3=a1v1+a2v2
para coordenadas reais a1, a2."
Considere o conjunto formado pelos vetores 
v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).
 Com base neste conjunto, analise as afirmativas:
I. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
II. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
III. O conjunto formado por v1, v2 e v3 forma uma base para o R3.
Assinale a alternativa correta:
A - I, apenas.
B - I e II, apenas.
C - I e III, apenas.
D - II, apenas.check_circleResposta correta
E - II e III, apenas.
Seja a transformação linear dada por:
T(x,y)=(x+y,2x+2x).
Marque a alternativa que apresenta o valor de T(2,3)
A - T(2,3)=(2,3)
B - T(2,3)=(3,2)
C - T(2,3)=(1,1)
D - T(2,3)=(2,10)
E - T(2,3)=(5,10)check_circleResposta correta
Leia a seguinte passagem de texto:
"Dizemos que uma tripla de vetores, v1, v2 e v3 são linearmente dependentes quando podemos escrever
v3=a1v1+a2v2
para coordenadas reais a1, a2."
Considere o conjunto formado pelos vetores 
v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).
 Com base neste conjunto, analise as afirmativas:
I. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
II. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
III. O conjunto formado por v1, v2 e v3 forma uma base para o R3.
Assinale a alternativa correta:
A - I, apenas.
B - I e II, apenas.
C - I e III, apenas.
D - II, apenas.check_circleResposta correta
E - II e III, apenas.
Sabe-se que uma transformação linear funciona como uma função que leva determinados elementos de um conjunto, o domínio, para outros elementos, a imagem.
Dada a transformação linear T:R2->R3, onde T(x,y)=(x,y,x-y), sendo u=(1,3) e v=(-2,-1), determine T(u) e T(v).
A - T(u)=(1,3,-2) e T(v)=(-2,-1,-1)check_circleResposta correta
B - T(u)=(1,-3,-2) e T(v)=(-2,1,-1)
C - T(u)=(1,3,2) e T(v)=(-2,-1,1)
D - T(u)=(1,3,-2) e T(v)=(-2,-1,1)
E - T(u)=(1,3,-2) e T(v)=(-2,-1,-3)
Seja T:R2->R2 o operador linear dado por T(x,y)=(x+2y,3x+2y). Com base nesse operador, coloque V quando a alternativa for verdadeira e F quando falsa.
I. A matriz de T com relação à base canônica do R2 é [1 2; 3 2].
II. O polinômio característico de T é p(a)=a^2-3a-4
III. Os autovalores de T são a1=2 e a2=-4.
Assinale a alternativa correta:
A - V, V, V
B - V, F, V
C - V, V, F check_circleResposta correta
D - V, F, F
E - F, V, V
Existem algumas aplicações práticas para os conteúdos estudados na disciplina de Álgebra Linear. Assinale a alternativa que representa uma aplicação para produto interno, norma e ortogonalidade:
A - GPScheck_circleResposta correta
B - Luz
C - Chuveiro
D - Receita de bolo
E - Cozimento de alimentos
“A álgebra linear estuda os espaços vetoriais (ou espaços lineares), além de funções lineares que associam vetores entre dois espaços vetoriais. Espaços vetoriais são uma generalização do espaço cotidiano e de senso comum onde vivemos, tais como largura, altura e profundidade. Entender geometria analítica é um bom passo para estudar álgebra linear.
O conceito de matriz e determinantes, básicos na álgebra linear, surgiu da necessidade de se resolver sistemas de equações lineares com coeficientes constantes. Assim, dadas as matrizes A e B de dimensões apropriadas, o determinante de seu produto é det (AB) = det (A) det (B).” disponível em: https://www.professoresdeplantao.com.br/blog/post/42/entenda-a-algebra-linear-e-sua-aplicacao-no-dia-a-dia , acesso em: 28/04/2020.
Como expresso no texto acima a álgebra linear utiliza muito o conceito de matrizes, com isso, utiliza também algumas de suas propriedades. Pensando nas propriedades de autovalores e autovetores, assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações Falsas. 
Assinale a sequência correta:
Sendo assim, analise as sentenças a seguir e assinale V se a sentença for verdadeira e F se a sentença for falsa:
· (   )Na diagonalização de matrizes é necessário obter uma matriz de autovetores.
· (   )É possível fazer a diagonalização de qualquermatriz, desde que a mesma seja quadrada.
· (   )Uma matriz A e a sua transposta possuem os mesmos autovalores.
· (   )Um autovetor pode estar associado a mais de um autovalor.
· (   )A duplicidade dos autovalores corresponde a ordem da matriz.
A sequência correta é:
A - F, V, F, F, V 
B - V, F, F, V, F
C - V, F, V, F, F check_circleResposta correta
D - F, V, F, V, V 
E - V, V, F, V, F 
A diagonalização de matrizes tem o objetivo de “transformar” uma matriz não diagnal em uma matriz diagonal, ou seja, com elementos diferentes de zero apenas na diagonal principal. Este processo é dado por: “Dizemos que uma matriz A n×n, é diagonalizável, se existem matrizes P e D tais que , ou equivalentemente, , em que D é uma matriz diagonal.” 
Disponível em: https://regijs.github.io/gaal/sum61.html, acesso em: 25/04/2020. 
Vale acrescentar que P é a matriz formada pelos autovetores de A. Com isso, considere  a matriz A e a matriz P abaixo:
Eq 8.PNG 1.28 KBEncontre a matriz diagonal D da matriz dada A. 
A -Eq 13.PNG 775 Bytescheck_circleResposta correta
B -Eq 12.PNG 676 Bytes
C -Eq 11.PNG 1020 Bytes
D -Eq 10.PNG 1.04 KB
E -
Polinômio característico é dado por meio do determinante de uma matriz igual a zero no estudo de autovetores e autovalores.  “Observe que as raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A. Note também que o autovalor pode ser o número zero (quando o polinômio característico tem raízes zero), embora o autovetor v associado a λ não possa ser o vetor nulo.” Disponível em: https://miltonborba.org/ALGA2/apostilaalgebralinear.pdf, acesso em: 28/04/2020.
Com isso, encontre o polinômio característico da matriz abaixo e assinale a opção correspondente.Capturar 35.PNG 1.13 KB
A -Capturar 36.PNG 1.06 KB
B -Capturar 37.PNG 945 Bytes
C -Capturar 38.PNG 1.02 KB
D -Capturar 39.PNG 1.12 KB
E -Capturar 40.PNG 1.09 KB
Seja T:R2->R2 a transformação linear definida por
T(x,y)=(2x-y,5x+y).
Se o vetor v=(-4,-3) pertence à imagem de T, assinale a alternativa com as coordenadas de vetor u tal que T(u)=v.v
A - u=(-2,3)
B - u=(-1,2)check_circleResposta correta
C - u=(-2,5)
D - u=(2,-1)
E - u=(-3,-3)
Autovalores e Autovetores estão relacionados com os conceitos de Transformação Linear, que é muito conhecido em diversas áreas como engenharia, mecânica, ciência da computação entre outras. Existem algumas Transformações Lineares utilizados em reflexão, redução e cisalhamento. Ou seja, autovalores e autovetores são muito importantes, com isso, encontre os autovetores da matriz A abaixo e assinale a opção correta.
Capturar 45.PNG 690 Bytes
A -Capturar 46.PNG 1.02 KB
B -Capturar 47.PNG 1022 Bytescheck_circleResposta correta
C -Capturar 48.PNG 1022 Bytes
D -Capturar 49.PNG 1.06 KB
E -Capturar 50.PNG 1.13 KB
Dizemos que W é um subespaço do espaço vetorial V quando W é subconjunto de V e as operações de soma e multiplicação por escalar a partir de qualquer vetor de W levam a vetores em W.
Seja o espaço vetorial V=R2 e W={(x,y) in R2, y=3x}.
Assinale a alternativa cuja afirmativa é correta com relação ao conjunto W.
A - (3x,x) in W.
B - Para todos os vetores, u, v in W, temos u+v !in W.
C - Para todos os vetores u, v in W, temos u.v !in W.
D - W não é um subespaço vetorial de V.
E - W é um subespaço vetorial de V. check_circle
O polinômio característico de uma matriz A é dado pela equação
eq 1.PNG 994 BytesOu seja, é a equação gerada por meio do determinante de uma subtração entre a matriz identidade multiplicada por um escalar e a matriz A. Com isso, é possível perceber que o polinômio característico é de grau n  e pode ser escrito comoeq 2.PNG 1.1 KBAinda é válido acrescentar que as raízes desta equação é conhecido como autovalores. Conhecendo a matriz A, determine os polinômio característico da matriz.eq 3.PNG 1.07 KB
A -eq 4.PNG 708 Bytes
B -eq 5.PNG 629 Bytes
C -eq 6.PNG 601 Bytes
D -eq 7.PNG 899 Bytes
E -eq 8.PNG 785 Bytes Resposta correta.
“Seja T uma transformação linear em um espaço vetorial real V aplicada a um  corpo  K.  Denomina-se  autovalor  o  escalar  real  pertencente  a  K  (λ∈K)  se,  para  esta transformação linear T, existe um vetor não-nulo pertencente a V (ν∈V) para o qual:
  T(v)=λν                                                     (1)
Todo  vetor  não nulo  ν  que  satisfaça  a  “equação  (1)”  é  chamado  o  autovetor  de  T correspondente  ao  autovalor  λ.”
Disponível em: http://www.abenge.org.br/cobenge/arquivos/16/artigos/ NMT243.pdf, acesso em: 26/04/2020.
A definição acima fala sobre autovetores e autovalores, com este conhecimento e definição encontre o autovetor da transformação 
                                       T(v)=(4x+5y,2x+)
Sabendo que v=(5,2) é um autovetor.
A - λ=3 
B - λ=2
C - λ=4
D - λ=5
E - λ=6check_circleResposta correta
Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,-3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,-1,2). 
Dizemos que o conjunto de vetores v1, v2, v3 são linearmente dependentes se um dos vetores dados pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.
Considerando a seguinte afirmação, leia as afirmativas abaixo e indique a sequência correta, considerando V (verdadeiro) e F (falso).
I. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
II. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
III. O conjunto {v1,v2,v3} forma uma base para o R3.
Assinale a alternativa correta:
A - V-F-F
B - V-V-F
C - V-F-V
D - F-V-F check_circleResposta correta
E - F-V-V
O polinômio característico de uma matriz A é dado pela equação
eq 1.PNG 994 BytesOu seja, é a equação gerada por meio do determinante de uma subtração entre a matriz identidade multiplicada por um escalar e a matriz A. Com isso, é possível perceber que o polinômio característico é de grau n  e pode ser escrito comoeq 2.PNG 1.1 KBAinda é válido acrescentar que as raízes desta equação é conhecido como autovalores. Conhecendo a matriz A, determine os polinômio característico da matriz.eq 3.PNG 1.07 KB
A -eq 4.PNG 708 Bytes
B -eq 5.PNG 629 Bytes
C -eq 6.PNG 601 Bytes
D -eq 7.PNG 899 Bytes
E -eq 8.PNG 785 Bytescheck_circleResposta correta
image.png 14.95 KB
A -image.png 1.48 KBcheck_circleResposta correta
B -image.png 1.49 KB
C -image.png 1.59 KB
D -image.png 1.61 KB
E -image.png 1.64 KB
Diagonalização de matrizes em significa transformar uma matriz não diagonal em uma matriz diagonal equivalente. Esta transformação é interessante, pois uma matriz diagonal é fácil operar, já que se comportam como escalares quando somadas ou multiplicadas. Considerando a diagonalização de matrizes verifique as asserções e assinale a opção corresponde correta:
i. Uma matriz A quadrada é dita diagonalivél
Porque
ii. Existe uma matriz P invertível, tal queEq 25.PNG 654 Bytes
A - As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I. check_circleResposta correta
B - As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I. 
C - A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
D - A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
E - As asserções I e II são proposições falsas. 
O conceito de autovalores está  relacionado com o determinante de uma matriz, como é possível verificar na citação abaixo:
“sendo A uma matriz quadrada de ordem (n x n)sobre um corpo K, existe um autovalor λ se, para uma matriz coluna (νn,1),denominada autovetor, Aν=λν é verdadeiro. Para a obtenção dos autovalores” ... “de modo que (λI-A)ν=0,que admitirá λ≠0 como solução se, e somente se, |λI-A|=0. A expressão |λI-A|=0, onde I é a matriz identidade, é denominada equação característica.” 
Disponível em: http://www.abenge.org.br/cobenge/arquivos/16/artigos/ NMT243.pdf ,  acesso em: 26/04/2020.
Vale lembrar que as duas barras |  | na expressão |λI-A|=0, significa o determinante da matriz. Com este conceito, determine os autovalores da seguinte Transformação Linear:
Eq 6.PNG 1.68 KB
A - λ= -1 e λ=6 check_circleResposta correta
B - λ= -2 e λ=3 
C - λ= -1 e λ=4 
D - λ= 2 e λ=4 
E - λ= 3 e λ=5É sabido que um autovalor pode ter vários autovetores, porém um único autovetor pode ter apenas um autovalor. Diante disso, tem-se que se os autovetores são de apenas um autovalor, os mesmos são linearmente dependentes, caso sejam de autovalores distintos, serão linearmente independentes. Com isso, verifique se os autovetores a seguir são de um único autovalor ou se são de autovalores diferentes.
Capturar 23.PNG 3.79 KBDe acordo com os autovetores acima, assinale a opção correta:
A - Apenas as alternativas i. e ii. são de um único autovalor. check_circleResposta correta
B - Apenas as alternativas ii. e iii. são de um único autovalor. 
C - Apenas as alternativas i e iii. são de um único autovalor. 
D - Apenas a alternativa i. tem autovalores diferentes. 
E - Apenas a  alternativa iii. tem autovalor único. 
A diagonalização de matrizes tem o objetivo de “transformar” uma matriz não diagnal em uma matriz diagonal, ou seja, com elementos diferentes de zero apenas na diagonal principal. Este processo é dado por: “Dizemos que uma matriz A n×n, é diagonalizável, se existem matrizes P e D tais que , ou equivalentemente, , em que D é uma matriz diagonal.” 
Disponível em: https://regijs.github.io/gaal/sum61.html, acesso em: 25/04/2020. 
Vale acrescentar que P é a matriz formada pelos autovetores de A. Com isso, considere  a matriz A e a matriz P abaixo:
Eq 8.PNG 1.28 KBEncontre a matriz diagonal D da matriz dada A. 
A -Eq 13.PNG 775 Bytescheck_circleResposta correta
B -Eq 12.PNG 676 Bytes
C -Eq 11.PNG 1020 Bytes
D -Eq 10.PNG 1.04 KB
E -Eq 9.PNG 728 Bytes
Uma transformação linear T: V→V é chamada de operador linear. Todas as propriedades das transformações lineares em geral valem para um operador linear. Para as matrizes quadradas existem propriedades particulares.
Com relação aos operadores lineares invertíveis, avalie as afirmativas:
image.png 17.6 KB
A - Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
B - Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.
C - Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
D - Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras
E - As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras.
Seja o operador linear:
image.png 1.52 KBimage.png 3.85 KB
A -image.png 2.74 KB
B -image.png 2.82 KB
C -image.png 2.75 KB
D -image.png 2.8 KB
E -image.png 2.68 KB Resposta correta
Leia a seguinte passagem de texto:
"Sabe-se que uma transformação linear T : V → W é inversível se, e somente se, T é injetiva e sobrejetiva."
Avalie as afirmativas com relação as propriedades de um operador linear inverso e assinale a alternativa correta.
I. Se o N (T ) ≠{0}, o operador linear T possui inversa.
II. Se o N (T ) ={0}, o operador linear T possui inversa.
III. T é inversível se, e somente se, det (T) = 0 .
IV. T é inversível se, e somente se, det (T) ≠ 0 .
Assinale a alternativa correta:
A - Apenas a IV é verdadeira.
B - Apenas a I e III, são verdadeiras.
C - Apenas a I e IV, são verdadeiras.
D - Apenas a II e III, são verdadeiras.
E - Apenas a II e IV, são verdadeiras.check_circleResposta correta
Sabendo que os autovetores de um matriz são
Capturar 54.PNG 1.05 KBe que são linearmente independentes da matriz A, dada por:Capturar 55.PNG 725 BytesSabendo disso encontre a diagonalização da matriz A. 
A -Capturar 56.PNG 738 Bytescheck_circleResposta correta
B -Capturar 57.PNG 814 Bytes
C -Capturar 58.PNG 735 Bytes
D -Capturar 59.PNG 796 Bytes
E -Capturar 60.PNG 795 Bytes
Seja T:R2->R2 a transformação linear definida por
T(x,y)=(2x-y,5x+y).
Se o vetor v=(-4,-3) pertence à imagem de T, assinale a alternativa com as coordenadas de vetor u tal que T(u)=v.v
A - u=(-2,3)
B - u=(-1,2)check_circleResposta correta
C - u=(-2,5)
D - u=(2,-1)
E - u=(-3,-3
Para encontrar autovetores primeiro é necessário encontrar os autovalores, pois os autovalores são associados aos autovetores, inclusive um único autovalor pode ter inúmeros autovetores. Assim: “Sendo A uma matriz de ordem n×n, definimos uma utovalor de A como um escalar λ∈C se existe um vetor v(n×1) não-nulo tal que Av=λv. Todo vetor v que satisfaz essa relação é denominado um autovetor de A correspondente ao autovalor λ.” Disponível em: https://sites.icmc.usp.br/marialuisa/cursos201002/autovalor_autovetor.pdf, acesso em: 26/04/2020. Com isso, conhecendo a matriz A e sabendo que seus autovalores são 2 e -3, qual dos autovetores abaixo correspondem a matriz A dada e aos seus autovalores?
Capturar 3.PNG 861 Bytes
A -Capturar 8.PNG 1.05 KB
B -Capturar 7.PNG 1013 Bytes
C -Capturar 6.PNG 1.06 KB
D -Capturar 5.PNG 1.05 KBcheck_circleResposta correta
E -Capturar 4.PNG 1.03 KB
Seja o operador linear:
image.png 1.42 KBSabendo que T admite inversa, assinale a alternativa que representa a sua inversa.
A -image.png 2.3 KBcheck_circleResposta correta
B -image.png 2.34 KB
C -image.png 2.34 KB
D -image.png 2.3 KB
E -image.png 2.5 KB
Sejam os vetores u=(1,2,3), v=(0,1,1) e w=(0,0,1), tais que eles formam uma base do espaço vetorial R3. Sabendo que qualquer vetor do R3 pode ser formado a partir da combinação linear dos vetores da base, assinale a alternativa com as coordenadas do vetor (1,1,0) in R3 com relação à base formada pelos vetores u, v e w.
A - [1;-1;-2]check_circleResposta correta
B - [2; 1; -2]
C - [1;-2;2]
D - [2;-4;-2]
E - [2;-2;-2]
A diagonalização de uma matriz significa transformar uma matriz não diagonal em uma matriz diagonal equivalente. O processo de diagonalização de uma matriz pode ser feito usando cálculo numérico, como por exemplo a decomposição LU. Outra maneira é utilizando os autovalores e autovetores. Lembrando deste processo, numere a sequência abaixo na ordem crescente em que este processo ocorre. 
(  ) Descobrir os autovalores.
(  ) Executar a multiplicação de matrizes
(  ) Encontrar o polinômio característico.
( ) Descobrir a matriz linearmente independente.
(  ) Calcular a matriz inversa. 
A - 2,5,1,3,4 check_circleResposta correta
B - 1,3,5,4,2 
C - 2,3,5,1,4 
D - 1,3,2,5,4 
E - 3,2,5,1,4 
Uma transformação linear T: V→V é chamada de operador linear. Todas as propriedades das transformações lineares em geral valem para um operador linear. Para as matrizes quadradas existem propriedades particulares.
Com relação aos operadores lineares invertíveis, avalie as afirmativas:
image.png 17.6 KB
A - Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
B - Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.
C - Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
D - Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras 
E - As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras.check_circleResposta correta
Em matemática a parte abstrata é um processo relevante, mas existem vários conceitos que podem ser visualizados geometricamente: um exemplo são os vetores. Assim são os autovetores e os autovalores:
“Geometricamente, a equação do valor próprio (autovalor) Ax=λx implica que numa transformação A, autovetores sofrem apenas mudança na sua magnitude e sinal – a direção de Ax é a mesma direção de x . O autovalor λ indica apenas o tanto que o vetor irá “encolher” ou “esticar” ao sofrer a transformação A.” 
Disponível em: https://biztechbrz.wordpress.com/2010/11/15/autovalores-e-autovetores/ acesso em: 28/04/2020.
Com isso, associe a coluna dos autovalores (λ) com a representação geométrica dos autovetores (Ax=λx) e assinale a alternativa correta:
Capturar 12.PNG 10.7 KB
A - 3,1,2
B - 2,3,1 check_circleResposta correta
C - 1,3,2 
D - 2,1,3 
E - 3,2,1 
Considere o operador linear T:R2->R2 definido por:
(u1,u2)->T(u)=(2u1+u2,2u1+3u2)
A - Os autovalores da  matriz canônica de T são -1 e 3
B - A matriz canônica de T é ortogonal.
C - A matriz canônica de T não é diagonalizável.
D - Uma base para R2 é {(1,2),(1,-1)}check_circleResposta correta
E - Os autovetores da matriz canônica de T são u=(1,2) e v=(-1,3)