Exercícios TEMA 2 Lei de Gauss e suas aplicações MÓDULO 2

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MÃO NA MASSA
1) Se uma carga elétrica fonte, q, estiver posicionada na origem, 0, de um sistema
coordenado, calcule seu campo elétrico a uma distância radial esférica, r, dessa origem,
por meio da aplicação da Lei de Gauss. Considere k a constante de Coulomb.
Comentário
A alternativa "B" está correta.
Vamos de�nir uma superfície gaussiana de integração esférica, pois o problema da partícula
puntual apresenta simetria esférica. Com a simetria do problema, o campo elétrico terá
direção radial esférica, e também o vetor normal, , à superfície de integração. O campo será
calculado a partir da superfície, c, escolhida, mas, ao �nal, poderemos generalizar a solução
para qualquer raio. Repare que de�niremos a superfície gaussiana de acordo com a simetria
do problema e de modo que o campo tenha módulo constante ao longo de toda a superfície
c. Ao �nal, encontraremos a solução da Lei de Coulomb para a partícula puntual.
A)
B)
C)
D)
2. Calcule o campo elétrico gerado por uma linha retilínea in�nita, carregada
positivamente, com densidade linear de carga uniforme, λ, ao longo do eixo axial
cilíndrico z, por meio da aplicação da Lei de Gauss.
A)
B)
C)
Comentário
A alternativa "D" está correta.
CAMPO DA RETA
3. Uma superfície plana de dimensões in�nitas foi carregada com uma distribuição
contínua e uniforme de cargas elétricas positivas de modo a apresentar uma densidade
super�cial de cargas, σ, constante. Calcule o campo elétrico gerado a partir desse plano,
em um ponto P qualquer, ao longo de sua direção normal (perpendicular ao plano), por
meio da aplicação da Lei de Gauss.
D)
Comentário
A alternativa "A" está correta.
CAMPO DO PLANO INFINITO
A)
B)
C)
D)
4. Seja uma casca cilíndrica, de raio R, oca, de comprimento in�nito, carregada
uniformemente com uma densidade linear de cargas, λ, constante. Obtenha o campo
elétrico, por meio da Lei de Gauss, externamente à casca, no qual r>R.
Comentário
A alternativa "B" está correta.
A superfície gaussiana de alto grau de simetria escolhida será outra casca cilíndrica que
envolva parte da casca cilíndrica carregada.
A)
B)
C)
D)
Assim, a solução externa, r > R, é idêntica ao problema da linha in�nita carregada. De fato, à
distância, com grande raio, os dois problemas coincidem.
5. Uma casca esférica homogênea e uniformemente carregada, de raio esférico R, possui
carga total Q. Calcule, por meio da Lei de Gauss, seu campo elétrico externo, em que r>R.
A)
B)
C)
D)
Comentário
A alternativa "D" está correta.
A superfície gaussiana de integração escolhida será uma superfície esférica de raio r que
envolve a casca esférica carregada, cumprindo a exigência de alto grau de simetria para a
aplicação da Lei de Gauss no cálculo do campo elétrico.
6. Considere uma placa de espessura d, e área A, de um material condutor elétrico. Um
condutor elétrico é um material capaz de transportar cargas elétricas com baixo custo
energético ao sistema físico. Um condutor ideal é um material idealizado, hipotético,
onde cargas livres, também chamadas de cargas de valência, podem circular livremente
por toda a superfície do material. Cada elemento atômico que compõe um material
condutor possui ao menos um elétron livre que pode transitar por toda a superfície do
material. Não vamos considerar a existência de impurezas no material. Então, pergunta-
se: Qual é a intensidade do campo elétrico no interior de um condutor ideal?
A)
Comentário
A alternativa "C" está correta.
B)
C)
D)
Em um condutor, todas as cargas livres circulam nas imediações da superfície do material, formando uma nuvem
eletrônica no entorno deste. Seja o material eletrizado ou em estado de equilíbrio eletrostático (quando o material tem
carga total neutra), as cargas livres, que se repelem, transitam em sua superfície. No caso de condutores ideais, as
cargas livres estarão totalmente na superfície. No caso de condutor, haverá uma pequena penetração (de película) da
superfície como região de trânsito das cargas livres. Assim, considerando o material um condutor ideal em equilíbrio
eletrostático, a carga efetiva interna será nula abaixo da superfície, pois somente as cargas livres, que podem transitar,
estarão na superfície. Na presença de um campo elétrico externo, as cargas livres se reorganizam de forma a anular o
campo no interior do material e reproduzem esse campo na face oposta, como na �gura a seguir. Então, da Lei de
Gauss:
Se traçarmos uma superfície gaussiana no entorno do material, imediatamente abaixo da superfície e contornando
todo o material, como as cargas totais internas à gaussiana serão nulas, o campo elétrico no interior do material será
zero. Esse fenômeno caracteriza os materiais condutores, qualquer que seja sua forma.
TEORIA NA PRÁTICA
Aplicação: Um condutor ideal maciço tem uma cavidade oca em seu interior, como uma bolha. Uma pequena
carga elétrica q foi suspensa, por um �o não condutor, no interior dessa cavidade oca, sem que a carga toque as
paredes da cavidade. Pergunta-se: Qual a carga elétrica induzida na superfície interna das paredes da cavidade?
Objeto com interação.
CAMPO DE INDUÇÃO ELETROSTÁTICO
A superfície C que envolve a cavidade é a superfície gaussiana. Como no interior de um condutor ideal o campo
elétrico deve ser nulo, o �uxo total de campo sobre C será zero e a carga total interna a C deve ser zero. Se há uma
carga q, no interior da cavidade, necessariamente haverá uma densidade de cargas induzidas eletrostaticamente
nas paredes internas da cavidade. Esse é o mecanismo da eletrização por indução eletrostática. Assim, a carga
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Seja uma esfera maciça, contínua e uniformemente carregada, de raio R e densidade
volumétrica de cargas, ρ, constante. Calcule, via Lei de Gauss, o campo elétrico no interior
dessa esfera densa e carregada, a uma distância r, qualquer, do seu centro, em que r≤R.
A)
B)
C)
induzida será:
.
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Vamos aplicar a Lei de Gauss. Para isso, vamos de�nir uma superfície gaussiana matemática
esférica, onde queremos calcular o campo, com a mesma simetria do problema, exigência do
alto grau de simetria para o cálculo do campo por meio da Lei de Gauss. A solução será um
campo função do raio r, para r≤R.
2. Seja uma casca cilíndrica, de raio R, oca e de comprimento in�nito, carregada
uniformemente com uma densidade super�cial de cargas, σ, constante. Obtenha o campo
elétrico, por meio da Lei de Gauss, externamente à casca. Expresse a Lei de Gauss em
termos de ϵ .o
D)
A)
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
O cálculo do campo na curva gaussiana c permitiu que o módulo do campo fosse retirado da
B)
C)
D)
integral, pois é constante ali. Essa é a grande vantagem do uso da simetria nessa aplicação da
Lei de Gauss.