Logaritmo - propriedades

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 1º Ano
Logarítmo: propriedades
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Um resumo da história
Cálculos que aprendemos nos anos iniciais da escola não eram do conhecimento de todos alguns séculos atrás. Por exemplo, na Europa do século XVII as operações de multiplicar e dividir só eram ensinadas nas universidades e com técnicas bem diferentes das que utilizamos hoje.
No entanto, as grandes navegações, que buscavam novas terras e mercados, exigiram cálculos mais precisos e rápidos.
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
O surgimento dos logaritmos
O aparecimento dos logaritmos ocorreu no começo do século XVII.
A ideia básica era substituir operações mais complicadas, como multiplicação e divisão, por operações mais simples, como adição e subtração. 
Os principais inventores dos logaritmos foram o suíço Joost Biirgi (1552-1632) e o escocês John Napier (1550-1617), cujos trabalhos foram realizados isoladamente.
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Propriedades gerais dos logaritmos
Os logaritmos considerados em uma base qualquer a, gozam de propriedades gerais:
Em qualquer sistema de logaritmos, o logaritmo da própria base é igual a 1.
loga a = 1
Exemplos:
log2 2 = 1
log35 35 = 1
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Propriedades gerais dos logaritmos
II) Em qualquer sistema de logaritmos, o logaritmo de 1 é zero.
loga 1 = 0
Exemplos:
log5 1 = 0
log13 1 = 0
log0,6 1 = 0
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Propriedades gerais dos logaritmos
III) Se a > 1, os números maiores que 1 têm logaritmos positivos, já os números menores que 1 têm logaritmos negativos.
Exemplos:
log3 10  2,0959
log3 17  2,5789
log3 0,5   0,6309 
log3 0,7   0,32466
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Propriedades gerais dos logaritmos
V) Os números negativos não têm logaritmos reais.
Exemplos:
log5 ( 8) = Ǝ
log3 ( 11) = Ǝ
log0,8 ( 1) = Ǝ
log0,2 ( 4) = Ǝ
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Propriedades gerais dos logaritmos
IV) Quando a < 1, os números maiores que 1 têm logaritmos negativos, enquanto os números menores que 1 possuem logaritmos positivos.
Exemplos:
log0,5 2   1
log0,5 6   2,58496
log0,5 0,3  1,73697
log0,5 0,01  6,64386
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Propriedades gerais dos logaritmos
VI) Quando a base a é maior do que 1 (a > 1), os logaritmos variam no mesmo sentido dos números. Se N1 > N2, teremos:
loga N1 > loga N2
Se a é menor do que 1 (a < 1), os logaritmos variam no sentido contrário. Quando N1 < N2, teremos:
loga N1 > loga N2
Exemplos:
log7 5 > log7 4
log0,6 5 < log0,6 4
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Propriedades operatórias
Os logaritmos possuem propriedades que permitem simplificar o cálculo de expressões numéricas.
 O logaritmo de um produto de n fatores é igual à soma dos logaritmos dos fatores.
loga (y1y2y3...yn) = loga y1 + loga y2 + loga y3 + ... + loga yn
Exemplos:
log2 (2 ∙ 5 ∙ 3) = log2 2 + log2 5 + log2 3
log0,4 (11 ∙ 9 ∙ 7) = log0,4 11 + log0,4 9 + log0,4 7
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Propriedades operatórias
II) O logaritmo de um quociente é igual a diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.
loga (y2/y1) = loga y2 – loga y1
Exemplos:
Log7 (13/5) = log7 13 – log7 5
Log0,1 (4/9) = log0,1 4 – log0,1 9
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Propriedades operatórias
III) O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base da potência.
loga yn = n ∙ loga y
Exemplos:
log8 34 = 4 ∙ log8 3
log0,9 73 = 3 ∙ log0,9 7
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Propriedades operatórias
IV) O logaritmo de uma raiz é igual ao quociente do logaritmo do radicando pelo índice do radical.
Exemplos:
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Característica e mantissa
Observando um sistema de logaritmos de base qualquer a, vemos que só as potências inteiras da base têm logaritmos inteiros:
loga an = n
Exemplos:
log2 25 = 5
log7 70,3 = 0,3
log0,6 0,64 = 4
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Característica e mantissa
Qualquer número que não seja potência inteira da base terá seu logaritmo constando de uma parte inteira denominada característica do logaritmo mais uma parte fracionária ou decimal (menor que a unidade), chamada mantissa do logaritmo.
loga N = característica + mantissa
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Logaritmos decimais
Quando a base do sistema é a = 10, temos y = 10x que define os logaritmos decimais ou logaritmos vulgares. Estes têm propriedades notáveis que os tornam de emprego obrigatório no cálculo numérico.
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Logaritmos decimais
 O logaritmo de qualquer potência de 10 é o seu próprio expoente.
Exemplos:
log 103 = 3
log 107 = 7
log 10-4 =  4
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Logaritmos decimais
II) A característica do logaritmo de um número N > 1, é o inteiro que representa o número de algarismos da parte inteira do número dado, diminuído de uma unidade.
Exemplos:
log 20,8  1,318
 2 algarismos – 1 = 1
log 1024,96  3,0107
 4 algarismos – 1 = 3
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Logaritmos decimais
III) A característica do logaritmo decimal de um número positivo menor que 1 é negativa e coincide com o número de zeros que precedem seu primeiro algarismo significativo.
Exemplos:
log 0,8   0,09691
log 0,03   1,52288
log 0,005   2,30103
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Logaritmos decimais
IV) Quando dois números diferem pela multiplicação por uma potência de expoente inteiro de 10, seus logaritmos têm mantissas iguais.
Exemplos:
log 3  0,477
log 30 = log 3 ∙ 10  1,477
log 300 = log 3 ∙ 102  2,477
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Mudança de base
Existe uma propriedade dos logaritmos, denominada mudança de base, que permite o cálculo do logaritmo em qualquer base a partir dos logaritmos decimais.
A mudança de base é dada pela fórmula:
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Atividades resolvidas
1) Calcule pela definição de logaritmo.
log2 128
log8 16
log25 0,008
a) Fazendo log2 128 = x
Por definição, teremos:
2x = 128
2x = 27
Logo: x = 7
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b) Fazendo, também, log8 16 = x, teremos:
 8x = 16
(23)x = 24
23x = 24
Assim:
3x = 4
Portanto:
x = 4 .
 3
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c) Mais uma vez, fazendo log25 0,008 = x, teremos:
25x = 0,008
25x = 8 .
 1000
25x = 1 .
 125
(52)x = 5−3
52x = 5−3
Logo:
2x = − 3  x =  3 .
 2
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2) As propriedades operatórias são úteis, pois podem facilitar alguns cálculos. Sabendo que log 2 = 0,301, calcule:
log 200
log 25
 8
a) log 200 = log (2 ∙ 100) = log 2 + log 100 = log 2 + log 102 
= 0,301 + 2 = 2,301
b) log 25 = log 100 = log 100 – log 32 = log 102 – log 25 
 8 32
= log 102 – 5 ∙ log 2 = 2 – 5 ∙ 0,301 = 2 – 1,505 = 0,495
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Atividades Propostas
1) Responda às questões.
a) O logaritmo de 256 em certa base é 4. Qual é essa base?
b) O logaritmo de 729 em certa base é 6. Qual é essa base?
2) Calcule.
log2 256
log 0,0001
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3) Admitindo satisfeitas as condições de existência, obtenha loga y, usando as propriedades operatórias.
a) y = m ∙ n
 p ∙ q
b) y = 3m2(n + 1)2 .
 (m + 2)3(n – 1)
4) Dados log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcule:
log 12
log 125
log 3 600
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LINKS
https://www.youtube.com/watch?v=ctPKkc8hvVMhttp://www.brasilescola.com/matematica/propriedades-operatorias-dos-logaritmos.htm
http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/aulas/Ernesto19agosto-Logaritmo.pdf