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Prof.ª Flavia Sucheck Mateus da Rocha
Fundamentos de Matemática
Aula 2
Conversa Inicial
Potenciação e propriedades
Equações e inequações exponenciais
Logaritmo
Propriedades dos logaritmos
Equações logarítmicas 
Equações exponenciais e logarítmicas
Potenciação e propriedades 
Multiplicação de fatores iguais
Momento
Quantidade de 
amigos 
𝟏 𝟏
𝟐 𝟏. 𝟐 𝟐
𝟑 𝟏. 𝟐. 𝟐 𝟒
𝟒 𝟏. 𝟐. 𝟐. 𝟐 𝟖
𝟓 𝟏. 𝟐. 𝟐. 𝟐. 𝟐 𝟏𝟔
Fonte: Elaborado pela autora
𝒂 ∈ ℝ e 𝒏 ∈ ℕ
𝒂𝒏 𝒂. 𝒂. 𝒂. … . 𝒂 𝒏 vezes
a – base
n – expoente
Potência
1 2
3 4
5 6
2
De modo geral, para 𝒂 real e 𝒏 𝟐, temos que 
𝒂𝒏 é um produto de 𝒏 fatores iguais a 𝒂
Exemplos
𝟐𝟓 𝟐. 𝟐. 𝟐. 𝟐 𝟑𝟐
𝟓𝟒 𝟓. 𝟓. 𝟓. 𝟓 𝟔𝟐𝟓
𝟒 𝟑 𝟒 . 𝟒 . 𝟒 𝟔𝟒
Se 𝒂 ∈ 𝑹, 𝒃 ∈ 𝑹, 𝒎 ∈ 𝑵 e 𝒏 ∈ 𝑵, valem as 
seguintes propriedades
𝒂𝒎. 𝒂𝒏 𝒂𝒎 𝒏
𝒂𝒎: 𝒂𝒏 𝒂𝒎 𝒏
𝒂. 𝒃 𝒏 𝒂𝒏. 𝒃𝒏
𝒂
𝒃
𝒏 𝒂𝒏
𝒃𝒏
𝒂𝒎 𝒏 𝒂𝒎.𝒏
Propriedades da potenciação
Dado um número real 𝒂 não nulo, e um 
número 𝒏 natural, temos que
𝒂 𝒏 𝟏
𝒂
Exemplo
𝟑 𝟒 𝟏
𝟑𝟒
𝟏
𝟑𝟒
𝟏
𝟑
.
𝟏
𝟑
.
𝟏
𝟑
.
𝟏
𝟑
𝟏
𝟖𝟏
Potência de expoente inteiro negativo
Dados 𝒂 ∈ 𝑹 e 𝒑
𝒒
∈ 𝑸 𝒑 ∈ 𝒁, 𝒒 ∈ 𝒏∗ , 
temos: 𝒂
𝒑
𝒒 = 𝒂𝒑𝐪
Exemplo
𝟖
𝟒
𝟑 𝟖𝟒𝟑
𝟐𝟑 𝟒𝟑 𝟐𝟏𝟐𝟑
𝟐
𝟏𝟐
𝟑 𝟐𝟒 𝟏𝟔
Potência de expoente racional/fracionário
Equações e 
inequações exponenciais 
Considere a seguinte situação
Certa cultura de bactéria possuía, 
inicialmente, 1.000 bactérias. O número foi 
dobrando a cada hora, sendo obtido pela lei 
𝑵 𝒕 𝟏𝟎𝟎𝟎. 𝟐𝒕, na qual t representa o número 
de horas. Sabemos que, no momento atual, 
a cultura possui 512.000 bactérias
𝟏𝟎𝟎𝟎. 𝟐𝒕 𝟓𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎
Equações exponenciais
7 8
9 10
11 12
3
Para resolver equações exponenciais de 
bases reais, positivas e diferentes de 1, 
usamos a seguinte propriedade
𝒂𝒃 𝒂𝒄 → 𝒃 𝒄
Exemplos
𝟑𝒙 𝟖𝟏
𝒙 𝟒 
𝟐𝒚 = 𝟏
𝟏𝟔
𝒚 𝟒 
𝟐𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟑 𝟑𝟖𝟒
𝟐𝒙. 𝟐𝟐 𝟐𝒙. 𝟐𝟑 𝟑𝟖𝟒
𝟐𝒙 𝟐𝟐 𝟐𝟑 𝟑𝟖𝟒
𝟐𝒙 𝟒 𝟖 𝟑𝟖𝟒
Resolução de equações 
exponenciais com o uso de propriedades
𝟐𝒙. 𝟏𝟐 𝟑𝟖𝟒
𝟐𝒙 𝟑𝟖𝟒
𝟏𝟐
𝟐𝒙 𝟑𝟐
𝟐𝒙 𝟐𝟓
𝒙 𝟓
Para 𝒂 𝟏 tem-se 
𝒂𝒃 𝒂𝒄 ↔ 𝒃 𝒄
Para 𝟎 𝒂 𝟏 tem-se 
𝒂𝒃 𝒂𝒄 ↔ 𝒃 𝒄
Inequação exponencial
Logaritmo 
Sendo 𝒂 e 𝒃 números reais e positivos, com 
𝒂 𝟏, chama-se logaritmo de 𝒃 na base 𝒂 o 
exponente que se deve dar à base 𝒂 de modo 
que a potência obtida seja igual a 𝒃
Se 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑅, 0 𝑎 1 𝑒 𝑏 0, temos
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 =𝒙 ↔ 𝒂𝒙 𝒃
𝒂 é a base
𝒃 é o logaritmando
𝒙 é o logaritmo
13 14
15 16
17 18
4
𝒂 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟑𝟐 x
𝒃 𝒍𝒐𝒈𝟑
𝟏
𝟐𝟕
 x
Exemplos Exemplos
𝐜 𝒍𝒐𝒈𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝒙 
𝐝 𝒍𝒐𝐠 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝐱
Dado log𝒂 𝒃 𝒙
Logaritmando positivo: 𝒃 𝟎
Base positiva e diferente de 1: 𝒂 𝟎 𝒆 𝒂 𝟏
Exemplo: para que valores de x existe 
𝒍𝒐𝒈𝟓 𝒙 𝟐 ?
Condição de existência (CE)
O logaritmo da unidade em qualquer base é 0
log𝒂 𝟏 𝟎
O logaritmo da base na própria base é igual a 1
log𝒂 𝒂 𝟏
Consequências da definição
A potência de base 𝑎 e expoente log𝒂 𝒃 é 
igual a 𝑏
𝒂 𝒂 𝒃 𝒃
Dois logaritmos em uma base são iguais se, 
e somente se, os logaritmos são iguais
log𝒂 𝒃 log𝒂 𝒄 ↔ 𝒃 𝒄
Calcule log 7 log 1 3
5 + 0 – 5 = 0
Exemplo
19 20
21 22
23 24
5
Propriedades de logaritmos 
Se 𝟎 𝒂 𝟏, 𝒃 𝟎 𝒆 𝑪 𝟎 temos
Logaritmo do produto
log𝒂 𝒃. 𝒄 log𝒂 𝒃 log𝒂 𝒄
Logaritmo do quociente
log𝒂
𝒃
𝒄
 log𝒂 𝒃 log𝒂 𝒄
Logaritmo de potência
log𝒂 𝒃𝒄 𝐜. log𝒂 𝒃
Propriedades
Sabendo que
𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟎, 𝟑𝟎𝟏
𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟎, 𝟒𝟕𝟕 
𝒍𝒐𝒈𝟓 𝟎, 𝟔𝟗𝟗
Calcule
𝒍𝒐𝒈𝟏𝟓
𝒍𝒐𝒈𝟏, 𝟓
𝒍𝒐𝒈 𝟑
Exemplos
Se 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais e 𝑎 e 𝑐 são 
diferentes de um, tem-se
log𝒂 𝒃 𝒄 𝒃
𝒂
Mudança de base
Expresse na base 5 o seguinte logaritmo: 
𝑙𝑜𝑔 7
Calcule 𝑙𝑜𝑔 5, sabendo que
𝑙𝑜𝑔 3 𝑎 e 𝑙𝑜𝑔 5 𝑐
Exemplos
Equações logarítmicas 
25 26
27 28
29 30
6
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒄 𝒃 𝒄
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 𝒙 → 𝒂𝒙 𝒃
Verificar CE
Equações com log
Substituindo 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝒙 𝒚
𝟑. 𝒚 𝒚 𝟖
𝟒𝒚 𝟖
𝒚
𝟖
𝟒
𝒚 𝟐
𝟑. 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝒙 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝒙 𝟖
Como 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝒙 𝒚 temos que
𝒍𝒐𝒈𝟑 𝒙 𝟐
Pela definição
𝟑𝟐 𝒙
𝒙 𝟗
VERIFICAR CE
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒚 → 𝒙 𝒚 𝒔𝒆 𝒂 𝟏
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒚 → 𝒙 𝒚 𝒔𝒆 𝟎 𝒂 𝟏
Sempre verificar a condição de existência
Inequações logarítmicas 
Base entre 0 e 1 – inverter o sinal
Condição de existência:
Base ok
Logaritmando: x > 5
Exemplo: 𝒍𝒐𝒈𝟎,𝟏 𝒙 𝟓 𝒍𝒐𝒈𝟎,𝟏 𝟐
𝑺 𝒙 ∈ 𝑹 | 𝟓 𝒙 𝟕
Resolvendo a inequação:
x – 5 < 2 x< 7
31 32
33 34
35 36
7
Na Prática
Certo cliente bancário investiu R$ 12.000,00 
em uma aplicação financeira por um 
determinado tempo 𝑡. Ao fim do período, sua 
aplicação estava com um saldo de 
R$ 12.734,40. A equação seguinte 
representa a situação descrita. Determine o 
tempo da aplicação, sabendo que o tempo 
foi medido em meses. 
Use 𝑙𝑜𝑔1,02 0,0086 e 𝑙𝑜𝑔1,0612 0,0258 
Vamos analisar a seguinte situação
𝟏𝟐𝟕𝟑𝟒,𝟒𝟎
𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟏, 𝟎𝟐𝐭
𝟏, 𝟎𝟔𝟏𝟐 𝟏, 𝟎𝟐𝒕
𝒍𝒐𝒈 𝟏, 𝟎𝟔𝟏𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟏, 𝟎𝟐𝒕
0,0258 𝑡. 0,0086
𝒕
𝟎,𝟎𝟐𝟓𝟖
𝟎,𝟎𝟎𝟖𝟔
𝟑
𝟏𝟐. 𝟕𝟑𝟒, 𝟒𝟎 𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎. 𝟏, 𝟎𝟐𝒕
Uma população de bactérias começa com 100 
microrganismos e dobra a cada três horas. 
Assim, o número n de bactérias após t horas 
é dado pela função 𝑵 𝒕 𝒎. 𝟐
𝒕
𝟑. Nessas 
condições, determine o tempo necessário 
para a população estar com 51.200 bactérias.
Determinar m, considerando que no momento 
inicial t = 0 
Situação 2
𝟓𝟏𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟐
𝒕
𝟑
𝟓𝟏𝟐 𝟐
𝒕
𝟑
𝟐𝟗 𝟐
𝒕
𝟑
𝒕
𝟑
 𝟗
𝑡 𝟐𝟕 horas
51200 100.2
𝒕
𝟑
Finalizando
37 38
39 40
41 42
8
Potenciação e suas propriedades
Equações e inequações exponenciais
Definição de logaritmo
Propriedades de logaritmo 
Equações logarítmicas
O que vimos nesta aula?
43 44