Questão resolvida - Resolva a equação diferencial linear não homogênea y-2y+y=4cos(x) - EDO de 2° ordem caso cosseno_seno - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Encontre a solução geral da equação diferencial linear não homogênea 
.y'' - 2y' + y = 4cos x( )
 
Resolução:
 
A solução geral de uma EDO de 2° ordem é soma da solução homogênea com a particular;
 
y = y + yG H P
 
A solução particular é dada por; → devemos derivar 2 vezes;y = Acos x + Bsen xP ( ) ( )
 
y = Acos x + Bsen x y' = -Asen x + Bcos x y'' = -Acos x - Bsen xP ( ) ( ) → P ( ) ( ) → P ( ) ( )
 
Substituimos, então, na EDO não homogênea com y'' = y'' , y' = y' e y = y P P P
 
-Acos x - Bsen x - 2 -Asen x + Bcos x + Acos x + Bsen x = 4cos x( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )
 
-Acos x - Bsen x + 2Asen x - 2Bcos x + Acos x + Bsen x = 4cos x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
Agrupando os termos com cosseno e seno, fica;
 
-A- 2B + A cos x + -B + 2A + B sen x = 4cos x + 0sen x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
-2Bcos x + 2Asen x = 4cos x + 0sen x( ) ( ) ( ) ( )
 
Dessa igualdade chegamos ao sistema;
 
-2B = 4
2A = 0
 
Resolvendo, fica que : B = B = -2; A = A = 0
4
-2
→
0
2
→
 
Com isso, a solução particular fica;
 
y = 0cos x - 2sen x y = - 2sen xP ( ) ( ) → P ( )
 
Agora, vamos encontrar a solução homogênea y , a solução generica da parte homogênea é :H
 
 
 
y = y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ 𝜚H h( ) 1
𝜆´x
2
𝜆"x
 
ou
 
 y = y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ x𝜚 caso as raízes 𝜆' e 𝜆" sejam iguais H h( ) 1
𝜆´x
2
𝜆"x ( )
 
A parte homogênea dessa EDO tem equação caracteristica 𝜆 - 2𝜆+ 1 = 0 equação do 2ª grau2 ( )
com : 𝜆 = y", y' = 𝜆 e 1 é um termo independente, veja que isso é uma equação do2
2° grau, resolvendo :
 
𝜆' = = 1
- -2 +
2 ⋅ 1
( ) -2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1( )2 ( )
 
𝜆" = = 1
- -2 -
2 ⋅ 1
( ) -2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1( )2 ( )
 
Substituindo 𝜆´ e 𝜆" e como 𝜆' = 𝜆";
 
y = C ⋅ e + C ⋅ xe y = C ⋅ e + C ⋅ xeHomogênea 1
1x
2
1x
→ Homogênea 1
x
2
x
 
Finalmente, somamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução
geral dessa EDO não homogênea;
 
y = C ⋅ e +C ⋅ xe - 2sen xG 1
x
2
x ( )
 
 
 
(Resposta )