Estacio determine quais os intervalos no qual podemos garantir que a equação diferencial y'' + 4x2y' + 4y = cosx

Para determinar os intervalos em que podemos garantir que a equação diferencial \( y'' + 4x^2y' + 4y = \cos(x) \) tem solução, precisamos analisar a equação diferencial em relação à sua forma e aos coeficientes. A equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. O termo \( 4x^2 \) é um coeficiente que depende de \( x \). Para garantir a existência e unicidade da solução, precisamos que os coeficientes sejam contínuos em um intervalo. Os coeficientes \( 4x^2 \) e \( 4 \) são contínuos para todos os valores de \( x \). Portanto, a equação é bem comportada em qualquer intervalo real. Assim, podemos afirmar que a equação diferencial tem solução em qualquer intervalo \( I \subset \mathbb{R} \). Por exemplo, podemos escolher intervalos como \( (-\infty, \infty) \), \( [a, b] \) para quaisquer \( a, b \in \mathbb{R} \), etc.