Questão resolvida - Resolva a equação diferencial linear não homogênea y+2y+y=3+4e^x - EDO de 2° ordem caso combinado (função exponecial neperiana com função polinomial) - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Encontre a solução geral da equação diferencial linear não homogênea 
.y'' + 2y' + y = 3 + 4ex
 
Resolução:
 
Neste caso, a solução geral é dada pela soma da solução homogênea com a solução 
particular do parte polinomial (que só possui, nesse caso, o termo independente) e solução 
particular da parte com função do tipo seno;
 
y = y + y + yG H P1 P2
 
 A solução homogênea y tem solução generica dada por :H
 
y = y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ 𝜚H h( ) 1
𝜆´x
2
𝜆"x
 
ou
 
 y = y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ x𝜚 caso as raízes 𝜆' e 𝜆" sejam iguais H h( ) 1
𝜆´x
2
𝜆"x ( )
 
A parte homogênea dessa EDO tem equação caracteristica 𝜆 + 2𝜆+ 1 = 0 equação do 2ª grau2 ( )
com : 𝜆 = y", y' = 𝜆 e 1 é um termo independente, veja que isso é uma equação do2
2° grau, resolvendo :
 
𝜆' = = - 1
- 2 +
2 ⋅ 1
( ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1( )2 ( )
 
𝜆" = = - 1
- 2 -
2 ⋅ 1
( ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1( )2 ( )
 
Substituindo 𝜆´ e 𝜆" e como 𝜆' = 𝜆";
 
y = C ⋅ e + C ⋅ xe y = C ⋅ e + C ⋅ xeHomogênea 1
-1x
2
-1x
→ Homogênea 1
-x
2
-x
 
Vamos encontrar a primeira solução particular , esta solução está associada a EDO;yP1
 
y'' + 2y' + y = 3
 
 
A solução particular dessa EDO é: y = kP1
Fazemos, então → y' = 0 e y" = 0P1 P1
 
Substituindo na EDO, fica : 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 + k = 3 k = 3, assim, y = 3→ P1
 
Agora, vamos encontrar a segunda solução particular , esta solução está associada a yP2
EDO;
 
y'' + 2y' + y = 4ex
 
Essa solução particular é dada por; → devemos derivar 2 vezes; y = AeP2 x
 
y = Ae y' = Ae y'' = AeP2
x
→ P2
x
→ P2
x
 
Substituimos, então, na EDO não homogênea com y'' = y'' , y' = y' e y = y P2 P2 P2
 
Ae + 2Ae + Ae = 4e 4Ae = 4e 4A = 4 A = A = 1x x x x → x x → →
4
4
→
 
Com isso, a solução particular fica;
 
y = eP2
x
 
Finalmente, somamos a solução homogênea com as solução particular para e obtermos a solução
geral dessa EDO não homogênea;
 
y = C ⋅ e +C ⋅ xe + 3+ eG 1
-x
2
-x x
 
 
 
(Resposta)