Prova resolvida - Integrais

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Matemática em Exerćıcios
Prova resolvida - Integrais
Professor Guilherme Miguel Rosa
Questão 1. Resolva a integral definida
∫ 3
0
x2 dx utilizando a definição e sabendo que a soma dos
quadrados dos n primeiros números naturais é
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
.
Solução:∫ 3
0
x2 dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f(xi)∆x = lim
n→∞
n∑
i=1
i2
(
3
n
)3
= lim
n→∞
(
12
(
3
n
)3
+ 22
(
3
n
)3
+ 32
(
3
n
)3
+ · · ·+ n2
(
3
n
)3)
= lim
n→∞
[(
3
n
)3
(12 + 22 + 32 + · · ·+ n2)
]
= lim
n→∞
[(
3
n
)3(n(n+ 1)(2n+ 1)
6
)]
= lim
n→∞
(
9
n2
· 2n
2 + 3n+ 1
2
)
= lim
n→∞
(
9
2
· (2 + 3/n+ 1/n2)
)
= 9.
Questão 2.
∫ 2
1
3x6 + 5x4 − 2x2 + 1
x3
dx
Solução:∫ 2
1
3x6 + 5x4 − 2x2 + 1
x3
dx =
∫ 2
1
3x3 + 5x− 2
x
+
1
x3
dx
= 3
∫ 2
1
x3 dx+ 5
∫ 2
1
x dx− 2
∫ 2
1
1
x
dx+
∫ 2
1
x−3 dx
= 3
(
x4
4
/2
1
)
+ 5
(
x2
2
/2
1
)
− 2
(
ln|x|
/2
1
)
−
(
x−2
2
/2
1
)
= 3
(
24
4
− 1
4
4
)
+ 5
(
22
2
− 1
2
2
)
− 2(ln2− ln1)−
(
2−2
2
− 1
−2
2
)
= 3 · 15
4
+ 5 · 3
2
− 2ln2− 1
8
+
1
2
=
45
4
+ 8− 2ln2− 1
8
=
153
8
− 2ln2.
1
3 a 5. Resolva a integral indefinida.
Questão 3.
∫
(cos x)sen2021x dx
Solução:
Fazendo a substituição u = sen x, temos du = cos x dx =⇒ du/cos x = dx. Logo:∫
(cos x)sen2021x dx =
∫
(cos x)u2021
du
cos x
=
∫
u2021 du
=
u2022
2022
+ C.
Portanto,
∫
(cos x)sen2021x dx =
sen2022x
2022
+ C.
Questão 4.
∫
xe2x dx
Solução:
Nesta questão precisamos utilizar a integração por partes:∫
udv = uv −
∫
vdu.
Escolhemos u = x e dv = ex dx, pois x é a função que torna-se mais simples quando derivada:
• u = x =⇒ du = dx
• dv = e2x dx =⇒ v = e
2x
2
Logo: ∫
xe2x dx =
xe2x
2
−
∫
e2x
2
dx
=
xe2x
2
− 1
2
∫
e2x dx
Resolvendo a nova integral por substituição, temos t = 2x =⇒ dt = 2dx =⇒ dt/2 = dx. Portanto
xe2x
2
− 1
2
∫
e2x dx =
xe2x
2
− 1
2
∫
et
dt
2
=
xe2x
2
− 1
4
∫
et dt
=
xe2x
2
− 1
4
· et + C
=
xe2x
2
− e
2x
4
+ C.
2
Questão 5.
∫
2x− 1
x3 − 7x2 + 12x
dx
Solução:
Trata-se de uma integração por frações parciais. Fatorando o denominador, temos:
• x3 − 7x2 + 12x = x(x2 − 7x+ 12) = x(x− 3)(x− 4).
Portanto, como o denominador apresenta fatores lineares distintos, as frações parciais possuem cons-
tantes como numerador. Vamos determinar as constantes:
2x− 1
x(x− 3)(x− 4)
=
A
x
+
B
x− 3
+
C
x− 4
=
A(x− 3)(x− 4) +Bx(x− 4) + Cx(x− 3)
x(x− 3)(x− 4)
=
A(x2 − 7x+ 12) +B(x2 − 4x) + C(x2 − 3x)
x(x− 3)(x− 4)
=
Ax2 − 7Ax+ 12A+Bx2 − 4Bx+ Cx2 − 3Cx
x(x− 3)(x− 4)
=
x2(A+B + C) + x(−7A− 4B − 3C) + 12A
x(x− 3)(x− 4)
Dessa maneira
• 12A = −1 =⇒ A = −1/12;
• A+B + C = 0 =⇒ B + C = 1/12
• −7A− 4B − 3C = 2 =⇒ −4B − 3C = 17/12.
Resolvendo o sistema acima, obtemos A = −1/12, B = −5/3 e C = 7/4. Logo:∫
2x− 1
x3 − 7x2 + 12x
dx =
∫
A
x
+
B
x− 3
+
C
x− 4
dx
=
∫
−1/12
x
+
−5/3
x− 3
+
7/4
x− 4
dx
= − 1
12
ln|x| − 5
3
ln|x− 3|+ 7
4
ln|x− 4|+ C.
3