MANUAL DE MATEMÁTICA - OLIVEIRA, ANA MARIA-20211011T182456Z-001

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MANUAL DE MATEMÁTICA - OLIVEIRA, ANA MARIA/Bloco 07 - Análise combinatoria e Propabilidade.pdf
VII
PPPPPor que apror que apror que apror que apror que aprender ender ender ender ender AnáliseAnáliseAnáliseAnáliseAnálise
Combinatória e PCombinatória e PCombinatória e PCombinatória e PCombinatória e Prrrrrobabilidadeobabilidadeobabilidadeobabilidadeobabilidade?????
Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentososososos
sobrsobrsobrsobrsobre e e e e Análise Combinatória eAnálise Combinatória eAnálise Combinatória eAnálise Combinatória eAnálise Combinatória e
PPPPPrrrrrobabilidadeobabilidadeobabilidadeobabilidadeobabilidade?????
A teoria das probabilidades está diretamente ligada
à vida moderna, pois estuda os métodos de
contagem.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– ANÁLISE COMBINATÓRIA
E PROBABILIDADE
Os conhecimentos de probabilidade podem ser
utilizados na previsão de vendas no comércio, em
campanhas eleitorais, para medir o desempenho dos
candidatos, na organização do trânsito etc.
Manual de Matemática
340
Capítulo 1
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Introdução
Os métodos de contagem foram iniciados no século XVI pelo matemático
italiano Niccolo Fontana, conhecido como Tartaglia.
A análise combinatória é a parte da Matemática que estuda os métodos de
contagem.
O princípio multiplicativo é o alicerce para resolver problemas de contagem
sem que seja necessário enumerar seus elementos.
Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem permite-nos a contagem sem descri-
ção das possibilidades.
Quando o número de possibilidades é pequeno, podemos usar o processo
chamado diagrama de árvore.
Exemplo:
1) Juliana possui 4 blusas (A, B, C, D) e 3 saias (a, b, c). De quantas manei-
ras diferentes Juliana pode se vestir, usando apenas essas peças?
Aplicando o diagrama de árvore, temos:
Que chances uma pessoa tem de acertar a quina da Loto?
Foi a necessidade de calcular as possibilidades existentes nos
chamados “jogos de azar” que levou os matemáticos ao
desenvolvimento da Análise Combinatória.
Manual de Matemática
341
Blusas Saias
a A, a
A b A, b
c A, c
a B, a
B b B, b
c B, c
a C, a
C b C, b
c C, c
a D,a
D b D, b
c D, c
Obtemos 12 maneiras diferentes.
2) Numa competição entre 6 alunos, os prêmios foram distribuídos da
seguinte forma:
1º colocado: um computador
2º colocado: uma bicicleta
3º colocado: um celular
De quantas maneiras os seis alunos podem se classificar, de modo que três
recebam os prêmios?
1º lugar 2º lugar 3º lugar
C ABC
B D ABD
E ABE
B ACB
C D ACD
E ACE
A
B ADB
D C ADC
E ADE
B AEB
E C AEC
D AED
Manual de Matemática
342
Há 12 maneiras diferentes para o aluno A obter o primeiro lugar.
Portanto, como há 6 alunos, multiplicamos por 12:
6 x 12 = 72 maneiras diferentes.
3) A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas por um
número de quatro algarismos. Com as letras L e M e os algarismos pares,
quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que o número não
tenha algarismos repetidos?
Solução:
� � � � � �
2 2 5 4 3 2
Pelo princípio fundamental da contagem, obtemos:
2 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2 = 480
Resumindo
O princípio fundamental da contagem pode ser apresentado da seguinte
forma:
Se um evento é constituído de duas ou mais maneiras independentes, en-
tão o evento pode ocorrer de m.n.o.p... modos.
Arranjos Simples
Observe o seguinte problema:
Dado o conjunto A = {3, 5, 8}, escreva todos os números de dois algaris-
mos distintos com os elementos de A.
5 35
3
8 38
3 53
5
8 58
3 83
8
5 85
Os números de dois algarismos são 35, 38, 53, 58, 83 e 85.
Manual de Matemática
343
Então, podemos escrever com os elementos de A, 6 números de dois alga-
rismos distintos, em que cada grupo difere do outro pela natureza dos elemen-
tos ou pela ordem dos elementos, como 58 e 85, por exemplo.
A esses grupos damos o nome de arranjos simples.
De modo geral, definimos:
Arranjos simples de p elementos distintos, dado um conjunto de n ele-
mentos, é qualquer grupo formado por p dos n elementos (p ≤ n), sendo que
cada grupo difere do outro pela natureza dos elementos ou pela ordem dos
elementos.
Indicação: An, p, em que n = nº total de elementos.
p = nº de elementos de cada grupo.
No exemplo dado, n = 3 e p = 2 e o número total de arranjos simples de
3 elementos 2 a 2 é A3, 2 = 6.
Fórmula: n, p
n!
A
(n p)!
=
−
Exemplos:
1) Calcule o valor de A4, 2.
Solução:
n = 4 e p = 2
Usando a fórmula, obtemos:
4, 2
4! 4! 4 3 2!
A
(4 2)! 2!
⋅ ⋅= = =
− 2!
12=
2) Resolva a equação An, 2 = 2.
Solução:
An, 2 = 2
n!
2
(n 2)!
n (n 1) (n 2)!
=
−
− ⋅ −
(n 2)!−
2=
n2 – n = 2
n2 – n – 2 = 0
Manual de Matemática
344
∆ = (–1)2 – 4 . 1 . (–2)
∆ = 9
1 3
n
2
±=
n’ = 2 e n” = –1 (não convém)
S = {2}
3) Num campeonato com 9 clubes, quantos jogos serão realizados em dois
turnos?
Solução:
n = 9 e p = 2
9, 2
9, 2
9!
A
(9 2)!
9! 9 8 7!
A
7!
=
−
⋅ ⋅= =
7!
72=
Serão realizados 72 jogos.
Arranjos com Repetição
Consideramos os números de dois algarismos que podemos formar com os
números 2, 3, 4, 5.
Se formarmos grupos com algarismos distintos, temos um arranjo simples
de quatro elementos 2 a 2:
23, 24, 25, 34, 35, 32, 43, 54, 42, 45, 52, 53.
Considerando que os dois algarismos sejam distintos ou não, temos um
arranjo com repetição de quatro elementos 2 a 2:
22, 23, 24, 25, 33, 34, 35, 32, 43, 44, 42, 45, 52, 53, 54, 55.
Definimos esses casos como arranjos com repetição de n elementos
diferentes, tomados de p a p (AR)n, p=n
p.
Exemplo:
Dado o conjunto das vogais, quantos arranjos com repetição podemos for-
mar tomando 2 vogais?
Solução:
Usando a fórmula, obtemos:
Manual de Matemática
345
n = 5 (vogais)
p = 2
(AR)n, p=n
p
(AR)n, p=5
2
(AR)n, p=25
Podemos formar 25 arranjos.
Permutação Simples
Dado o conjunto B = {a, b, c}, escreva todos os elementos de 3 algaris-
mos distintos com os elementos de B.
abc, acb, bca, bac, cab e cba
Assim, com o conjunto B = {a, b, c}, de 3 elementos, podemos escrever
6 números de 3 elementos distintos, em que todos os elementos participam.
Definimos esses agrupamentos como permutação simples.
De modo geral:
Permutação simples de n elementos (Pn) são agrupamentos formados
com n elementos apenas trocando de lugar entre si.
Fórmula: Pn= n!, em que n = nº total de elementos, pois
n n, n
n! n! n!
P A n!
(n n)! 0! 1
= = = = =
−
Com a expressão Pn= n!, podemos calcular, por exemplo, P4.
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
Exemplos:
1) Calcule o valor das expressões:
a) P5
Solução:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
b) 2 . P4 + A5, 2
P4 = 4! = 24
5, 2
5! 5! 5 4 3!
A
(5 2)! 3!
⋅ ⋅= = =
− 3!
20=
Então: 2 . P4 + A5, 2
2 . 24 + 20 = 68
Manual de Matemática
346
2) Quantos anagramas podemos formar da palavra A M O R?
Solução:
Anagrama significa ordenação de letras.
São anagramas da palavra A M O R, por exemplo: AMOR, AORM, ARMO etc.
O número de anagramas é o número de permutações que se podem fazer
com as letras da palavra AMOR.
P4 = 4! = 24
Permutação com Elementos Repetidos
Vamos determinar o número de anagramas da palavra M A T E M Á T I C A.
Nesse exemplo, temos M, A, T, letras repetidas. Tratando-se de permuta-
ção com elementos repetidos, indicados por:
, ...
n
n!
P
! ! !
α β γ =
α β γ
α, β, γ ... representam o número de vezes que as letras da palavra se
repetem.
Portanto:
2, 3, 2
10
2, 3, 2
10
10!
P
2! 3! 2!
10 9 8 7 6 5 4
P
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
3!⋅
4 3!⋅
2, 3, 2
10P 151.200=
Podemos formar com a palavra M A T E M Á T I C A 151.200 anagramas.
Quantos números diferentes obtemos reagrupando os algarismos
do núme-
ro 623233?
Solução:
Como os números 2 e 3 se repetem, aplicamos a fórmula:
2
2, 3
6
6! 6 5 4
P
2! 3!
⋅ ⋅= = 3!⋅
2 3!⋅
60=
Manual de Matemática
347
Combinação Simples
Definimos combinação simples de n elementos distintos agrupados p a p,
Cn, p ou 
n
p
 
 
 
, os agrupamentos de naturezas diferentes.
n, p
n!
C
p! (n p)!
=
−
Na combinação, a ordem dos elementos no agrupamento não importa.
Exemplos:
1) Calcule o valor da expressão: x = P5 + 2 . A3,2 + C6,3.
Solução:
P5 = 5! = 120
3, 2
6, 3
3! 3!
A 6
(3 2)! 1!
6! 6!
C 20
3! (6 3)! 3! 3!
= = =
−
= = =
−
Portanto: x = P5 + 2 . A3,2 + C6,3
x = 120 + 12 + 20
x = 152
A análise combinatória é aplicada nas artes gráficas. Por meio da
técnica de impressão de um impresso colorido, podemos obter a
combinação de vários pigmentos de cor, em diferentes proporções.
Manual de Matemática
348
2) Resolva a equação Cx, 2 = 1.
Solução:
Cx, 2 = 1
x!
1
2! (x 2)!
x (x 1) (x 2)!
=
−
⋅ − ⋅ −
2 (x 2)!⋅ −
1=
x2 – x = 2
x2 – x – 2 = 0
∆ = (–1)2 – 4 . 1 . (–2)
∆ = 1 + 8
∆ = 9
x = 
1 3
2
±
x’ = 2
x” = –1 (não convém) S = {2}
3) Com um grupo de 9 pessoas, quantas comissões de 3 pessoas podemos
formar?
Solução:
x!
1
2! (x 2)!
x (x 1) (x 2)!
=
−
⋅ − ⋅ −
2 (x 2)!⋅ −
1=
Podemos formar 84 comissões.
4) Numa sala de aula, temos 6 rapazes e 3 moças. Quantos grupos pode-
mos formar de 4 rapazes e 2 moças?
Solução:
rapazes: 6, 4
6! 6! 6 5 4!
C
4!(6 4)! 4! 2!
⋅ ⋅= = =
− 4!
15
2!
=
Manual de Matemática
349
moças: 3, 2
3! 3! 3 2!
C
2!(3 2)! 2! 1!
⋅= = =
− 2!
3
1!
=
Nesse exemplo, devemos multiplicar os grupos formados:
C6, 4 . C3, 2= 15 . 3 = 45
5) Sobre uma circunferência, tomam-se 5 pontos distintos. Calcule o nú-
mero de polígonos convexos que se pode obter com vértices nos pontos da-
dos.
Solução:
Podemos formar vários polígonos, como triângulos, quadriláteros e
pentágonos.
número de triângulos: 5, 3
5! 5 4 3!
C
3! 2!
⋅ ⋅= =
3!
10
2!
=
número de quadriláteros: 5, 4
5! 5 4!
C
4! 1!
⋅= =
4!
5=
número de pentágonos: 5, 5
5!
C 1
5! 0!
= =
Logo, o número total de polígonos é 10 + 5 + 1 = 16.
Capítulo 2
PROBABILIDADE
Introdução
A teoria das probabilidades estuda os experimentos aleatórios.
Usamos a probabilidade em situações em que dois ou mais resultados dife-
rentes podem ocorrer, não podendo ser previstos.
Assim, quando lançamos um dado sobre uma mesa, o número voltado para
cima pode ser 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Manual de Matemática
350
Se perguntarmos qual a probabilidade de ocorrer um número ímpar, o resul-
tado será:
Temos três resultados favoráveis (1, 3 e 5) em um total de 6 resultados.
As chances de dar um resultado ímpar são de 3 em 6. Podemos dizer que a
probabilidade será 
3 1
ou
6 2
.
Experimento Aleatório
Define-se experimento aleatório todo experimento que, repetido várias
vezes, pode apresentar resultados diferentes.
Exemplos de experimentos aleatórios:
1) lançamento de uma moeda;
2) lançamento de um dado;
3) retirada de uma carta de um baralho;
4) a extração de uma bola de uma urna.
Espaço Amostral
Para um experimento aleatório é possível obter vários resultados possíveis.
Define-se como espaço amostral o conjunto de todos os resultados possí-
veis de um experimento aleatório.
Indicamos espaço amostral por U.
Exemplos:
1) Lançamento de duas moedas e a observação das faces voltadas para
cima.
Indicaremos cara (C) e coroa (K).
U = {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)} U = 4 possibilidades
Manual de Matemática
351
2) Lançamento de um dado comum.
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} U = 6 possibilidades
Se lançarmos 2 dados e observarmos os números das faces voltadas para
cima, podemos construir a seguinte tabela.
U = 36 possibilidades
EM BUSCA DA IGUALDADE
A probabilidade é uma teoria destinada a fixar a possibilidade
dos acontecimentos.
A ética é uma teoria destinada a indicar as normas em que os
atos devem se ajustar, quando os acontecimentos ocorrem.
A humanidade conta com alguns recursos que podem prever determi-
nados acontecimentos e nessa prevenção tornar situações adequadas ao
meio de vida.
O mesmo acontece na relação étnica entre brancos e negros, em que é
possível estimar uma probabilidade de ambos usufruírem dos mesmos direi-
tos e cumprirem deveres.
Manual de Matemática
352
Evento
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Indicamos pela letra E.
Exemplos:
1) No lançamento de um dado, observe um número ímpar.
E = {1, 3, 5} n(E) = 3
2) No lançamento de duas moedas, observe o aparecimento de pelo
menos uma cara.
E = {(C, C), (C, K), (K, C)} n(E) = 3
Obs.:
O evento será impossível se E = ∅ .
Por exemplo: no lançamento de um dado, aparecer um número maior que 6.
Probabilidade de um Evento
Sendo o número de elementos do espaço amostral n(U) e o número do
evento A, n(A), definimos a probabilidade de um evento A como:
n(A)
P(A)
n(U)
=
Exemplos:
1) No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de sair números
iguais nos dois dados.
Solução:
Evento A: sair números iguais nos dois dados
A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
n(A) = 6 e n(U) = 36
Então:
n(A)
P(A)
n(U)
6 1
P(A) 0,1666... ou 16,66%
36 6
=
= = =
Manual de Matemática
353
2) Na escolha de um número de 1 a 40, qual a probabilidade de que seja
sorteado um múltiplo de 6?
Solução:
U = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 40} A = {6, 12, 18, 24, 30, 36}
n(U) = 40 n(A) = 6
6
P(A) 0,15 15%
40
= = =
3) Uma urna contém 12 bolas pretas, 8 azuis e 5 vermelhas, todas iguais.
Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de:
a) ser uma bola azul; b) ser uma bola vermelha.
Solução:
a) Temos 8 bolas azuis n(A) = 8, e o número total de bolas é n(U) = 25.
Então:
8
P(A) 0,32 32%
25
= = =
b) Temos 5 vermelhas n(B) = 5, e o número total de bolas é n(U) = 25.
Então:
5
P(A) 0,20 20%
25
= = =
4) Ao retirar 1 carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de
sair uma carta de ouros?
Solução:
O espaço amostral de um baralho de 52 cartas é n(U) = 52.
O evento sair uma carta de ouros é 13 cartas de ouros, n(A) = 13.
13 1
P(A) 0,25 25%
52 4
= = = =
Manual de Matemática
354
Eventos Mutuamente Exclusivos
Dois eventos A e B são definidos como mutuamente exclusivos se
A ∩ B = ∅.
Exemplo:
Seja o lançamento de um dado e os eventos
A: ocorrência de número menor que 4, então A = {1, 2, 3}
B: ocorrência de número maior que 4, então B = {5, 6}
A ∩ B = ∅
Eventos Complementares
Define-se como evento complementar de A (A C U) o evento A = U – A.
Exemplo:
Seja o lançamento de duas moedas e o evento
A: ocorrência de pelo menos uma coroa.
Manual de Matemática
355
A = {(C, K), (K, C), (K, K)}, então:
A : ocorrência que não saia nenhuma coroa U – A = {(C, C)}
Então, podemos definir a fórmula para eventos complementares:
P(A) + P( A ) = 1
Outros exemplos:
1) Sendo A o evento ocorrer um número 3 no lançamento de um dado,
qual a probabilidade de não sair o número 3?
Solução:
P(A) = 
1
6
 (sair o número 3 no lançamento de um dado)
Usando a fórmula:
P(A) P(A) 1
1
P(A) 1
6
1
P(A) 1
6
6 1 5
P(A) P(A)
6 6
+ =
+ =
= −
−= ⇒ = A probabilidade de não sair
o número 3 no lançamento de um dado é 
5
6
.
2) Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 pretas. Sorteando-se três delas,
qual é a probabilidade de que pelo menos uma seja preta?
Solução:
( )
( )
n 8 nº total de bolas8
n(U)
3 p 3 nº de bolas sorteadas
 =  =  
=  
8! 8 7 6
n(U)
3!(8 3)!
⋅ ⋅= =
−
5!⋅
6 5!⋅
56=
n = 5 (nº total de bolas brancas)
p = 3 (3 bolas sorteadas)
5
n(A)
3
5 45!
n(A)
3!(5 3)!
 
=  
 
⋅
= =
−
3!⋅
3! 2!⋅
5 2 10= ⋅ =
Manual de Matemática
356
10
n(A)
56
= (probabilidade de sair uma bola branca)
Usando a fórmula:
P(A) P(A) 1
10
P(A) 1
56
10
P(A) 1
56
(probabilidade
de pelo46 23
P(A)
menos uma bola ser preta)56 28
+ =
+ =
= −
= =
União de Probabilidades
Dados dois eventos do espaço amostral U, temos:
P(A ∪∪∪∪∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩∩ B)
Se A ∩ B = ∅ são eventos mutuamente exclusivos, P(A ∩ B) = ∅ ,
então:
P(A ∪∪∪∪∪ B) = P(A) + P(B)
Exemplos:
1) Qual a probabilidade de se obter, no lançamento de um dado, um núme-
ro ímpar ou primo.
Solução:
Seja A o evento sair um número ímpar A = {1, 3, 5}
n(A) = 3
3
P(A)
6
=
Seja B o evento sair um número primo B = {2, 3, 5}
n(B) = 3
3
P(B)
6
=
Seja o evento sair um número ímpar e um número primo A ∩ B = {3, 5}.
Manual de Matemática
357
2
P(A B)
6
∩ =
Então:
P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)
3 3 2
P(A B) =
6 6 6
4 2
P(A B) =
6 3
∪ − ∩
∪ + −
∪ =
2) Qual a probabilidade de, no lançamento de dois dados, se obter soma 6
ou sair números iguais nos dois dados?
Solução:
Sendo A o evento soma 6, A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
n(A) = 5
5
P(A)
36
=
Sendo B o evento números iguais B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5),
(6, 6)}
n(B) = 6
6
P(B)
36
=
Sendo A ∩ B o evento obter soma 6 e números iguais nos dois dados
n(A ∩ B) = {(3, 3)}
1
P(A B)
36
∩ =
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
5 6 1
P(A B)
36 36 36
10 5
P(A B)
36 18
∪ = + − ∩
∪ = + −
∪ = =
Probabilidade do produto
Seja A e B dois eventos independentes pertencentes a U, então:
P(A ∩∩∩∩∩ B) = P(A) . P(B)
Manual de Matemática
358
A probabilidade, além dos outros ramos da Matemática (Cálculo e
Estatística), é utilizada na Biologia, nos estudos da genética; na Física Nuclear;
na Sociologia; na Economia etc.
Em geral, podemos obter para n eventos:
p1 . p2 . p3 ... pn
Exemplos:
1) Determine a probabilidade de sair o número 4 em 3 lançamentos suces-
sivos de um dado.
Solução:
Sendo os eventos A: sair o número 4 no primeiro lançamento; B: o evento
sair o número 4 no segundo lançamento; e C: o evento sair o número 4 no
terceiro lançamento.
Então:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(U) = 6
n(A) = 1
1
P(A)
6
=
n(B) = 1
1
P(B)
6
=
n(C) = 1
1
P(C)
6
=
1 1 1 1
P(A) P(B) P(C)
6 6 6 216
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
2) Num baralho de 52 cartas, retirando-se, sem reposição, duas cartas,
qual a probabilidade de sair a primeira carta de ouros e a segunda carta de
espadas?
Manual de Matemática
359
Solução:
13 1
P(A)
52 4
= = sair uma carta de ouros
13
P(B)
51
= sair uma carta de espada
Obs.:
O espaço amostral na segunda retirada será 51, pois retiramos a carta sem reposição.
( ) 13 13 13P A P(B)
51 51 204
⋅ = ⋅ =
Probabilidade Condicional
Definimos como probabilidade condicional de A, dado um evento B, a
probabilidade de ocorrer o evento A, supondo que B ocorreu.
A probabilidade condicionada de A, dado B, será:
P(A B) n(A B)
P(A / B) ou P(A / B)
P(B) n(B)
∩ ∩= =
Exemplo:
No lançamento de dois dados, verificou-se que resultou soma 7. Qual é a
probabilidade de um dos dados apresentar o número 2?
Solução:
Sendo B o evento do dado que resultou soma 7:
B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} n(B) = 6.
O evento A ∩ B resulta em soma 7 e um dos dados deve apresentar o nº 2:
A ∩ B = {(2, 5), (5, 2)} n(A ∩ B) = 2
2 1
P(A / B)
6 3
= =
Manual de Matemática
360
Distribuição Binomial
Quando repetimos um experimento várias vezes, independentes um do
outro, observa-se a probabilidade de ocorrer um evento (sucesso) assim como
seu complementar (fracasso). A probabilidade de ocorrerem k sucessos e
n – k fracassos é dada pela fórmula.
k n kn p q
k
−  ⋅ ⋅ 
 
Exemplos:
1) Uma moeda é lançada 6 vezes. Calcule a probabilidade de sair “coroa”
3 vezes.
Solução:
Se coroa é sucesso, a probabilidade de sair coroa é 
1 1
p e q
2 2
= = (sair cara).
A probabilidade de obtermos 3 sucessos em 6 lançamentos é:
3 6 36 1 1
P
3 2 2
6 1 1
P
3 8 8
6! 1
P
3! 3! 64
6
P
−     = ⋅ ⋅         
 
= ⋅ ⋅ 
 
= ⋅
= 5 4 3!⋅ ⋅ ⋅
6 3!⋅
1 20 5
64 64 16
⋅ = =
2) Uma prova consta de 8 questões com 5 opções de resposta cada uma,
sendo que 1 única alternativa é a correta. Qual a probabilidade de acertar 3
das 8 questões?
Solução:
n(U) = 5 opções e n(A) = 1 única alternativa correta.
Sucesso: p = 
1
5
 (acertar)
Fracasso: q = 1 – p (errar)
q = 1 – 
1
5
 = 
4
q
5
=
Manual de Matemática
361
3 58 1 4
P
3 5 5
8 7 6
P
     = ⋅ ⋅         
⋅ ⋅= 5!
3! 5!⋅
1 1024
125 3125
56 1 1024
P
125 3125
⋅ ⋅
⋅ ⋅=
⋅
57 344
P 0,14
390.625
⋅= ≅
3) Um casal quer ter 4 filhos. Qual a probabilidade de que sejam 2 casais?
Solução:
n(U) = 4
2 24 1 1
P
2 2 2
     = ⋅ ⋅         
4! 1 1
P
2! 2! 4 4
4
P
= ⋅ ⋅
=
2
3 2!⋅ ⋅
2 2!⋅
1 1
4 4
6 3
P
16 8
⋅ ⋅
= =
Devemos respeitar as diferenças e as imperfeições.
Assim como o homem que constrói o mundo não é uma obra
rude e acabada, mas delicadamente surpreendente, suas leis não
são mais tidas como perfeitas e exatas; são encaradas como
regras flexíveis e variáveis, convenientes para nossos sentidos
imperfeitos.
Texto extraído do livro Matemática (“O elo Matemática – Incertezas” ),
de Kátia Cristina S. Smole e Rokusaburo Kiyukawa.
Manual de Matemática
362
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Análise Combinatória
1) Uma casa tem 3 portões e, após o jardim, 4 portas. De quantos modos
distintos alguém pode entrar na casa?
2) Cinco times de futebol (Palmeiras, São Paulo, Santos, Flamengo e Vas-
co) disputam um torneio. Quantas são as possibilidades de classificação para
os três primeiros lugares?
3) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usan-
do-se os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6?
4) (FGV – RJ) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4
outras ligando B à C. Uma pessoa deseja viajar da cidade A à C, passando por
B. Quantas linhas diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem
usar duas vezes a mesma linha?
5) Ao jogar uma moeda, pode ocorrer cara ou coroa na face superior.
Considere o evento jogar três moedas idênticas e determine quantas são
as possibilidades.
6) Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os
algarismos do sistema decimal?
7) Calcule:
a) A6, 2 c) 
3 4
4, 2
5 P 2 P
A
⋅ + ⋅
b) 5, 2
3, 1
A
A
d) 3 P7 – 2A4, 2 – 6C4, 2
8) Resolva as equações:
a) Ax, 3 = Ax, 2 c) Cx, 3 – Cx, 2 = 0 e) P5 = x!
b) Cx, 2 = 6 d) Cx + 2, 4 = 11Cx, 2
9) De quantas maneiras o pai, a mãe e os três filhos podem sentar-se ao
redor de uma mesa circular?
Sugestão: (PC)n = (n – 1)!
PC – Permutação Circular
Manual de Matemática
363
10) Em um vestibular, cada uma das quarenta questões apresenta cinco alter-
nativas diferentes. De quantos modos é possível responder a essas questões?
11) Quantos são os anagramas da palavra F L O R?
12) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser escritos com
os elementos do conjunto {3, 4, 5, 7, 8}?
13) Quantos são os anagramas da palavra L I V R O que começam por vogal?
14) Entre 10 participantes de uma competição, de quantas maneiras dife-
rentes pode ser formado o grupo dos 4 primeiros colocados?
15) Calcule o número de diagonais de um eneágono.
16) De quantos modos diferentes podem sentar-se oito pessoas:
a) se ficarem todas em fila?
b) se ficarem todas em fila, mas os lugares extremos forem ocupados
pelo mais velho e mais novo?
17) Quantos são os anagramas da palavra T E S O U R A?
18) Quanto aos anagramas da palavra R E V I S T A, calcule:
a) o número total;
b) o número dos que terminam em S;
c) o número dos que começam por IS.
19) Determine a quantidade de números distintos que podemos obter per-
mutando os algarismos dos números:
a) 6 5 4 3 5 b) 6 7 6 7 7 6
20) (UEG) Calcule de quantas maneiras podem ser dispostas 4 damas e
4 cavalheiros numa fila, de forma que não fiquem juntos dois cavalheiros e
duas damas.
21) De quantos modos podemos ordenar
3 livros de Matemática, 2 de
Física e 4 de Português, de modo que os livros da mesma matéria fiquem
sempre juntos?
22) (F.C.CHAGAS – BA) Considerem-se todos os anagramas da palavra
M O R E N A. Quantos deles têm as vogais juntas?
a) 36 c) 120 e) 180
b) 72 d) 144
Manual de Matemática
364
Probabilidade
23) Determine os seguintes espaços amostrais:
a) Lançamento de uma moeda.
b) Retirada simultânea de duas cartas de um baralho com 52 cartas.
c) Lançamento simultâneo de um dado e uma moeda.
d) Numa classe com 12 alunos, deseja-se formar uma comissão de 4 membros.
e) Em uma rifa concorrem 200 pessoas com os números de 0 a 199.
24) Determine os eventos:
a) No lançamento de um dado, sair um número primo.
b) No lançamento de duas moedas, sair duas coroas.
c) No lançamento de dois dados, soma 5.
25) Lançando simultaneamente dois dados, calcule a probabilidade de que
a soma seja 7.
26) De um baralho de 52 cartas, uma carta é extraída ao acaso. Determine
os eventos:
a) ocorrer uma carta de paus;
b) sair uma figura.
27) Escolhe-se, ao acaso, um dos anagramas da palavra R É G U A. Qual a
probabilidade de a palavra escolhida começar com G?
28) Uma urna contém 50 bolas numeradas de 1 a 50. Uma bola é extraída
ao acaso da urna e o número é observado. Qual a probabilidade de o número
observado ser múltiplo de 12?
29) No lançamento simultâneo de dois dados diferentes, calcule a proba-
bilidade de ocorrer:
a) a soma dos números igual a 5; b) os dois números primos.
30) Ao retirarmos uma bola de uma urna que contém 20 bolas numeradas
de 1 a 20, qual a probabilidade de a bola ser um número múltiplo de 3 ou ser
primo?
Manual de Matemática
365
31) Ao jogarmos um dado, qual a probabilidade de sair o número 2 quatro
vezes?
32) Numa pesquisa sobre a preferência entre dois refrigerantes, coca-
cola e guaraná, obtivermos o seguinte resultado:
20 tomam guaraná; 15 tomam coca-cola;
8 tomam os dois; 3 não tomam nenhum dos dois.
Sorteando-se uma pessoa ao acaso, calcule a probabilidade de ela tomar
guaraná ou coca-cola.
33) (MAUÁ) Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, de-
termine a probabilidade de se obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda.
34) (VUNESP) Tomando-se, ao acaso, uma das retas determinadas pelos
vértices de um pentágono regular, a probabilidade de que a reta tomada ligue
dois vértices consecutivos é:
a) 
1
2
b) 
4
5
c) 
1
5
d) 
2
5
e) 
3
5
35) Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de o número 1 apa-
recer 3 vezes?
36) Dado um baralho de 52 cartas, determine a probabilidade de retirar
quatro ases em seis retiradas sucessivas, sem reposição.
37) A probabilidade de se escolher peça defeituosa é de 
1
4
. Calcule a
probabilidade de que, ao se escolher 4 peças, 2 delas sejam defeituosas.
38) A probabilidade de um atirador acertar um alvo é 
1
3
. Qual a probabili-
dade que ele tem, em 5 tiros, de acertar 3?
Respostas
1) 12 modos 2) 15 3) 60
4) 12 5) 8 6) 81
Manual de Matemática
366
7) a) 30 b) 
10
3
c) 
13
2
d) 15060
8) a) {3} b) {4} c) {5} d) {10} e) 120
9) 24 10) 540 11) 24 12) 120
13) 48 14) 5040 15) 27
16) a) 40.320 b) 1.440 17) 5040
18) a) 5040 b) 720 c) 120
19) a) 60 b) 20 20) 1152
21) 1728 22) d
23) a) U = {(C, K)}
b) U = 1326
c) U = {(1, C), (1, K), (2, C), (2, K), (3, C), (3, K), (4, C), (4, K), (5, C),
(5, K), (6, C), (6, K)}
d) U = 495
e) U = {0, 1, 2, ..., 199}
24) a) E = {2, 3, 5} b) E = {(K, K)} c) E = {(1, 4), (2, 3), (3, 2) ,(4, 1)}
25)
1
16,66%
6
= 26) a) E = 13 b) E = 16
27)
1
20%
5
= 28) 
4
8%
50
= 29) a) 
1
9
b) 
1
6
30)
13
20
31) 
1
1296
32) 
5
6
33) 
1
6
34) a 35) 3, 2% 36)
2160
4.826.809
37) 
27
21%
128
= 38) 
40
16%
243
≅
MANUAL DE MATEMÁTICA - OLIVEIRA, ANA MARIA/Bloco 041.pdf
Manual de Matemática
236
IV
PPPPPor que apror que apror que apror que apror que aprender Pender Pender Pender Pender Prrrrrogrogrogrogrogreeeeessõessõessõessõessões?s?s?s?s?
Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentos sobros sobros sobros sobros sobreeeee
PPPPPrrrrrogrogrogrogrogreeeeessõessõessõessõessões?s?s?s?s?
O estudo das Progressões é uma ferramenta que
nos ajuda a entender fenômenos e fatos do
cotidiano, desde situações simples, como tomar um
remédio, até situações mais complexas, como a
proliferação de bactérias.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– SEQÜÊNCIA OU SUCESSÃO
A necessidade de tomar um medicamento de 8 em
8 horas nada mais é do que uma Progressão
Aritmética.
As bactérias podem causar doenças, como também
podem ser úteis, ajudando as plantas a crescerem.
Seja qual for o caso, para um biólogo é muito
importante saber como cresce uma população de
bactérias, as quais bipartem-se a cada dia,
formando assim uma Progressão Geométrica.
Manual de Matemática
237
Capítulo 1
INTRODUÇÃO À SEQÜÊNCIA OU SUCESSÃO
Seqüência ou sucessão é um dos termos mais antigos da Matemática e
nos dá a idéia de termos sucessivos: um primeiro termo seguido de um
segundo, de um terceiro e assim sucessivamente, podendo ser finitas ou
infinitas.
Seqüências
Considere os conjuntos:
A = Conjunto dos dias da semana.
B = Conjunto dos números naturais pares maiores que 2 e menores que 20.
Esses conjuntos podem ser representados de forma ordenada.
A = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sex-
ta-feira, sábado}
B = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
A esse conjunto ordenado denominamos de seqüência ou sucessão.
Obs.:
Na seqüência, a ordem de cada elemento indica a posição que ele ocupa.
Classificação
As seqüências podem ser:
• Finitas: quando conhecemos o último termo.
Exemplo:
Conjunto das letras do nosso alfabeto
C = {a, b, c, d,......,z}
• Infinitas: quando não conhecemos o último termo.
Exemplo:
– Conjunto dos Números Naturais
– Conjunto dos Números Ímpares.
Manual de Matemática
238
Representação de uma Seqüência
A representação matemática de uma seqüência é:
(a1, a2, a3, ... an – 1, an...)
a1 = primeiro termo
a2 = segundo termo
a3 = terceiro termo
�
an = enésimo termo
Assim, na seqüência (2,7,10,11, ...), temos:
a1= 2 a2= 7 a3= 10 a4= 11
Obs.:
A formação dos elementos de uma seqüência pode ser determinada pela lei de formação.
Ela determina o termo geral da seqüência.
Exemplos:
a) A seqüência dos números ímpares pode ser determinada pela fórmula
an = 2n – 1, em que n �
Assim:
a1 = 2 · 1 – 1 a1 = 1
a2 = 2 · 2 – 1 a2 = 3
a3 = 2 · 3 – 1 a3 = 5
a4 = 2 · 4 – 1 a4 = 7
A seqüência pode ser representada por (1, 3, 5, 7, ...)
b) Escreva a seqüência de quatro termos definida por:
1
n n 1
a 3
a 4 a −
=
 = − ⋅
, para n 2
Solução:
A seqüência será (a1, a2, a3, a4).
Manual de Matemática
239
a1 = 3
a2 = – 4 · a2 – 1 a2 = – 4 · a1 a2 = – 4 · 3 a2 = – 12
a3 = – 4 · a3 – 1 a3 = – 4 · a2 a3 = – 4 · (– 12) a3 = 4 8
a4 = – 4 · a4 – 1 a4 = – 4 · a3 a4 = – 4 · 48 a4 = – 192
Assim, a seqüência será (3, –12, 48, –192).
c) Qual é o 5º termo da seqüência dada por an = –1 + 3
n–1 com n ∈ �*
Solução:
Para obtermos o 5º termo da seqüência, basta substituir n por 5.
Assim:
an = –1 + 3
n–1
a5 = –1 + 3
5–1
a5 = –1 + 3
4
a5 = –1 + 81
a5 = 80
Somatório
Sendo uma seqüência (a1, a2, a3, ..., an), definimos somatório como a
soma de seus termos e indicamos por: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ou
K
n
n 1
(a )
=
∑ (lê-se somatório de an, com n variando de 1 até k).
Exemplos:
a) 
4
n 1
2n
=
∑
S = 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + 2 · 4
S = 2 + 4 +6 + 8
S = 20
b)
5
2
n 1
(3n 1)
=
−∑
S = 3 · (1)2 – 1 + 3 · 22 – 1 + 3 · 32 – 1 + 3 · 42 – 1 + 3 · 52 – 1
S = 2 + 11 + 26 + 47 + 74
S = 160
Manual de Matemática
240
Capítulo
2
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
No capítulo 1, definimos seqüência.
As seqüências são, freqüentemente, resultado da observação de um fato
ou fenômeno.
Observe no exemplo abaixo as temperaturas máximas de uma cidade do
Mato Grosso, nos seguintes dias:
Temos uma seqüência de dias e uma seqüência de temperaturas.
Observe que há um acréscimo diário das temperaturas. Assim, podemos
estabelecer a seguinte seqüência: 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35. Essa seqüência
é chamada progressão aritmética (P.A.), pois, a partir do segundo termo, foi
somada sempre uma mesma constante.
Progressão aritmética é uma seqüência de números reais em que, a partir
do segundo termo, é igual ao anterior mais uma constante. Definimos essa
constante como razão (r).
Exemplos de P.A.:
a) (4, 6, 8, 10, ...), cuja razão é r = 2
b) (–5, –6, –7, –8, ...), cuja razão é r = – 1
c) (9, 9, 9, 9, 9, ...), cuja razão é r = 0
d) sendo a1 = 2 e r = – 3, então:
a2 = a1 + r 2 + (– 3) = – 1
a3 = a2 + r – 1 + (– 3) = – 4
a4 = a3 + r – 4 + (– 3) = – 7
a5 = a4 + r – 7 + (– 3) = – 10
Então, a P.A. será (2, –1, –4, –7, –10)
Manual de Matemática
241
Resumindo
Um termo qualquer é igual ao seu anterior mais a razão aaaaannnnn = a = a = a = a = an – 1n – 1n – 1n – 1n – 1 + r + r + r + r + r.....
A razão é determinada pela diferença entre um termo qualquer (a partir do
segundo) e o seu anterior.
Exemplos:
1) Na P.A. (2, 5, 8, 11, ...), determine a razão.
r = 5 – 2 = 3 ou r = 8 – 5 = 3
2) Na P.A. (–1, –5, –9, ...), determine a razão.
r = – 5 – (– 1) = – 4 ou r = – 9 – ( –5) = – 4
3) Na P.A. 4 4 4 4, , , , ...
5 5 5 5
 
  
, determine a razão.
4 4
r 0
5 5
= − = ou 4 4r 0
5 5
= − =
Classificação
Se a P.A. tem r > 0, dizemos que a P.A. é crescente.
Se a P.A. tem r < 0, dizemos que a P.A. é decrescente.
Se a P.A. tem r = 0, dizemos que a P.A. é constante ou estacionária.
Fórmula do Termo Geral
Seja a P.A. (a1, a2, a3,..., an,...) em que a1 é o primeiro termo e r a razão.
Sabemos que:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
a5 = a4 + r = (a1 + 3r) + r = a1 + 4r
�
an = an – 1 + r = a1 + (n – 2) · r + r = a1 + (n – 1) · r
Portanto, o termo geral de uma P.A. é dado pela fórmula:
an = a1 + (n – 1) · r
Manual de Matemática
242
Numa P.A.:
an é um termo qualquer da P.A. (n indica a posição desse termo). Assim:
a1 é o primeiro termo
a2 é o segundo termo
�
a20 é o vigéssimo termo
�
an é o enésimo termo.
Em toda P.A., qualquer termo é a média aritmética entre o seu anteceden-
te e o seu conseqüente.
− ++= n 1 n 1n
a a
a
2
Exemplos:
1) Dada a P.A. (2, 6, 10, 14, 18, ...), usando o segundo termo (antecedente)
com o quarto termo (conseqüente) e dividindo o resultado por 2, temos:
2 4
3
a a
a
2
+ =
6 14
10
2
+=
10=10
2) Determine o valor de x, sabendo que x – 2, x + 1, 5x formam, nessa
ordem, uma P.A.
Solução:
1 3
2
a a
a
2
+=
x 2 5x
x 1
2
− ++ =
2x + 2 = x – 2 + 5x
– 4x = – 4
x = 1
Manual de Matemática
243
3) Numa P.A., o primeiro e o último termo são, respectivamente, 12 e 448,
e a razão é igual a 2. Quantos termos tem essa P.A.?
Solução:
an = 448
a1 = 12
r = 2
n = ?
448 = 12 + (n – 1) · 2
448 = 12 + 2n – 2
448 = 10 + 2n
– 2n = 10 – 448
– 2n = – 438
2n = 438
n = 219
4) Numa P.A., sabe-se que a4 = – 3 e a11 = – 38.
Determine a razão e a1.
Solução:
a4 = – 3 a1 + 3 r = – 3
a11 = – 38 a1 + 10r = – 38
Resolvendo o sistema:
+ = − −
 + = −
1
1
a 3r 3 ( 1)
a 10r 38 
− 1a − =
1
3r 3
a


+ = − 10r 38
7r = – 35
r = – 5
Substituindo r = – 5 na equação:
a1 + 3r = – 3
a1 + 3 · (– 5) = – 3
a1 – 15 = – 3
a1 = 12
Manual de Matemática
244
5) Insira ou interpole 4 meios aritméticos entre – 8 e 17.
Solução:
a1 = – 8
an = 17
n = 4 + 2 = 6
r = ?
– 8, ____, ____, ____, ____, 17
a1 an
6 termos
an = a1 + (n – 1) · r
17 = – 8 + (6 – 1) · r
17 = – 8 + 5r
– 5r = – 8 – 17
– 5r = – 25
5r = 25
r = 5
Logo: (– 8, – 3, 2, 7, 12, 17)
Obs.:
No exemplo anterior aplicamos a interpolação aritmética, que nos permite calcular os
meios aritméticos dados dois extremos a1 e an.
6) Três números estão em P.A., de modo que a soma entre eles é 6 e o
produto –24.
Calcule os três números.
Solução:
Para resolvermos este problema, é conveniente escrever a P.A. em função
do termo do meio, que indicaremos por x.
Na P.A. de três termos, indicamos por x – r , x, x + r.
x r x x r 6
(x r) x (x r) 24
− + + + =
 − ⋅ ⋅ + = −
x r− x x r+ + + 6=
3x = 6
x = 2
Manual de Matemática
245
(2 – r) · 2 · (2 + r) = –24
2 · (22 – r2) = –24
2 · (4 – r2) = –24
8 – 2r2 = –24
– 2r2 = – 32
2r2 = 32
r2 = 16
r = ± 4
Sendo: r = – 4 r = 4
1º termo = 2 – (– 4) = 6 1º termo = 2 – 4 = – 2
2º termo = 2 2º termo = 2
3º termo = 2 + (– 4) = – 2 3º termo = 2 + 4 = 6
Os números são –2, 2, 6.
Obs.:
1) Se o exercício tem 4 termos, indicaremos por (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r)
2) Se tiver 5 termos, indicaremos por (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
Soma dos Termos de uma P. A. Finita
A soma dos n termos de uma P.A. é dada por:
⋅1 n
n
(a +a ) n
S =
2
Em uma P.A., a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à
soma dos extremos.
Exemplos:
1) Na P.A.(2, a2, 8, 11, 14, a6, a7, 23), calcule:
a) a2 + a7
a2 e a7 são termos eqüidistantes dos extremos,
então: a2 + a7 = 2 + 23
a2 + a7 = 25
b) a6 + 8 = 2 + 23
a6 = 25 – 8
a6 = 17
Manual de Matemática
246
2) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.A. (–1, 0, 1, 2, ...).
Solução:
a1 = – 1 Calculemos inicialmente a10:
r = 1 a10 = – 1 + (10 – 1) · 1
n = 10 a10 = 8
S10 = 
( 1 8) 10
2
− + ⋅
S10 = 35
3) Calcule a soma dos números pares positivos até 201.
Solução:
Os números pares positivos até 201 formam a P.A. (2, 4, 6,......, 200)
Determinamos quantos números pares existem entre 2 e 200.
an = a1 + (n – 1) · r S100 = 
(2 200) 100
2
+ ⋅
200 = 2 + (n – 1) · 2
200 = 2 + 2n – 2 S100 = 10 · 100
2n = 200
n = 100
4) Determine uma P.A. de 20 termos que tenha soma 650 e o primeiro
termo seja 4.
Solução:
a1 = 4
n = 20
S20 = 650
Sn= 
1 n(a a ) n
2
+ ⋅
650 = n
(4 a ) 20+ ⋅
10
2
650 = 40 + 10an
10an = 610
an = 61
an = a1 + (n – 1) · r
61 = 4 + (20 – 1) · r
Manual de Matemática
247
61 = 4 + 19r
19r = 57
r = 3
Logo P.A. é (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52,
55, 58, 61)
5) Resolva a equação:
2 + 5 + 8 + ........+ x = 155, sabendo que os termos do 1º membro
estão em P.A.
Solução:
Seja a seqüência (2, 5, 8, ..., x), temos:
a1 = 2 r = 5 – 2 = 3 n = ? an = x
an = a1 + (n – 1) · r
x = 2 + (n – 1) · 3
x = 2 + 3n – 3
x = 3n – 1
3n – 1 = x ⇒ 3n = x + 1
Sn = 155
n = 
x 1
3
+
Sn = 
1 n(a a ) n
2
+ ⋅
155 = 
x 1
(2 x)
3
2
+ + ⋅  
310 = 
22x 2 x x
3
+ + +
x2 + 3x + 2 = 930
x2 + 3x – 928 = 0
∆ = 9 + 3712
 = 3721
x’ = 29
 = 
3 61
2
− ±
x’’ = – 32
Como a P.A. é crescente, x = 29
→
→
→
→
Manual de Matemática
248
Capítulo 3
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Observe a seqüência:
(2, 4, 8, 16, ...)
Note que, dividindo um termo dessa seqüência pelo anterior, obtemos
sempre 2:
2
1
a 4
2
a 2
= = 3
2
a 8
2
a 4
= = 4
3
a 16
2
a 8
= =
A essa constante chamamos de razão, indicada pela letra q.
Progressão Geométrica é uma seqüência de números reais em que cada
termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constan-
te (chamada razão).
Exemplos:
1) Sendo a1 = – 2 e razão q = 3, então:
a2 = a1 · q = – 2 · 3 = – 6
a3 = a2 · q = – 6 · 3 = – 18
a4 = a3 · q = – 18 · 3 = – 54
a5 = a4 · q = – 54 · 3 = – 162
P.G. (– 6, – 18, – 54, – 162, ...)
2) Sendo a1 = 8 e q = 
1
2
, então:
a2 = a1 · q = 8 ·
1
2
= 4
a3 = a2 · q = 4 ·
1
2
= 2
a4 = a3 · q = 2 ·
1
2
= 1
a5 = a4 · q = 1 ·
1
2
=
1
2
P.G. 
1
4, 2, 1, , ...
2
 
  
Manual de Matemática
249
Resumindo
an = an – 1 · q
Um termo qualquer de uma progressão
geométrica é igual ao anterior
multiplicado pela razão.
Podemos aplicar as progressões geométricas em várias situações, como,
por exemplo, no crescimento da população. Veja:
A população de uma cidade cresce a uma taxa de 8% ao ano. Se atual-
mente há dez mil habitantes, qual a população prevista daqui a 5 anos?
O fator de aumento gerado pela taxa anual é 100% + 8% = 108% = 1,08.
A população de um certo ano é igual à do ano anterior multiplicado por 1,08.
A razão da P.G. é o fator de aumento. O termo geral da P.G. é dado por
P = 10.000 . 1,08n-1. Podemos escrever, então a P.G.
10.000, 10.800, 11.664, 12.597, 13.604.
Daqui a 5 anos a população será de 13.604.
Fórmula do Termo Geral
Podemos encontrar uma expressão que nos permita encontrar qualquer
termo da P.G.
Seja a P.G.(a1, a2, a3, ..., an, ...). Sabe-se que a1 é o primeiro termo e q a
razão. Então:
a2 = a1 · q
a3 = a2 · q ou a3 = a1 · q
2
a4 = a3 · q ou a4 = a1 · q
3
a5 = a4 · q ou a5 = a1 · q
4
� �
Podemos então escrever an = a1 · q
n – 1, que representa a fórmula do
termo geral da P.G.
Na qual:
a1 é o primeiro termo;
q é a razão;
an um termo qualquer da P.G.;
n o número de termos da P.G.
Manual de Matemática
250
Exemplos:
1) Qual é o quinto termo da P.G. 
1 1
, , ...
8 4
 
  
?
Solução:
a1 = 
1
8
q = 
1
4
1
8
= 1
4
· 8 = 2
n = 5
a5 = ?
an = a1 · q
n – 1
a5 =
1
8
· 25 – 1
a5 =
1
8
· 24
a5 =
1
8
· 16
a5 = 2
2) Qual o número de termos da P.G., onde a1 = 6, an = 96 e q = 2?
Solução:
a1 = 6
an = 96
q = 2
an = a1 · q 
n – 1
96 = 6 · 2 n – 1
2 n – 1 = 
96
6
2 n – 1 = 16
2 n – 1 = 24
n – 1 = 4
n = 5
Manual de Matemática
251
3) Sabendo que numa P.G., a5 = 32 e a8 = 256, calcule a1 e q.
Solução:
Temos que:
a5 = a1 · q
4 a1 · q
4 = 32
a8 = a1 · q
7 a1 · q
7 = 256
Resolvendo o sistema:
1a
7
1
q
a
⋅
4q⋅
= 256
32 Substituindo q = 2 em:
q3 = 8 a1 · q
4 = 32, vem:
q = 3 8 a1 · 2
4 = 32
q = 2 a1 = 
32
16
a1 = 2
4) Interpole ou insira oito meios geométricos entre 1
243
 e 81.
Solução:
1
243
, ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , 81.
a1 = 
1
243
an = 81
n = 8 + 2 = 10
q = ?
an = a1 · q
n – 1
81 = 
1
243
· q10 – 1
81 = 
1
243
· q9
q9 = 19.683
q = 3 Portanto: 
1 1 1 1 1
, , , , , 1, 3, 9, 27, 81
243 81 27 9 3
 
  
Manual de Matemática
252
5) Numa P.G. de cinco termos, a soma dos dois primeiros é 15 e a soma
dos dois últimos é 120. Escreva a P.G.
Solução:
a1 + a2 = 1 5 a1 + a1 · q = 15
a4 + a5 = 120 a1 · q
3 + a1 · q
4 = 120
a1 · (1 + q) = 15 (I)
a1 · q
3 (1 + q) = 120 (II)
Dividindo membro a membro a equação I por II:
1a (1 q)⋅ +
1a
3
15
120q (1 q)
=
⋅ +
3
1 1
q 8
=
q3 = 8
q = 2
Para q = 2, substituindo em I, vem:
a1 + a1 · q = 15
a1 + a1 · 2 = 15
3a2 = 15
a1 = 5
Portanto, a P.G. será (5, 10, 20, 40, 80).
Propriedade
Dados três termos positivos de uma P.G., dizemos que o termo central é a
média geométrica dos termos extremos.
Se (x, y, z) é P.G., então y x z.= ⋅
Exemplo:
Determine x, tal que x, x + 9, x + 45 formem, nessa ordem, uma P.G.
Manual de Matemática
253
Solução:
Partindo de 2 3
1 2
a a
a a
= , temos:
a2
2 = a1 · a3
(x + 9)2 = x · (x + 45)
2x + 18x + 81 = 2x +45x
–27x = –81
27x = 81
x = 
81
27
x = 3
Representações Especiais
Às vezes, para facilitar a resolução dos exercícios, é conveniente utilizar
as representações especiais.
Se a P.G. tem 3 termos: 
x
, x, x q
q
 ⋅ 
 
Se a P.G. tem 4 termos: 
3
3
x x
, , x q, x q
q q
 ⋅ ⋅ 
 
Se a P.G. tem 5 termos: 
2
2
x x
, , x, x q, x q
q q
 ⋅ ⋅ 
 
Exemplo:
Determine três números em P.G. crescente, sabendo que sua soma é 13 e
seu produto é 27.
Solução:
A P.G. tem 3 termos, então podemos escrever:
x
x x q 13
q
x
x x q 27
q
 + + ⋅ =

 ⋅ ⋅ ⋅ =

x
q
x x q⋅ ⋅ ⋅ 27=
x3 = 27
x = 3 27
x = 3
Manual de Matemática
254
Substituindo x = 3 na equação:
x
q
+ x + x · q = 13
3
q + 3 + 3q = 13
23 3q 3q
q
+ + 13q
q
=
3q2 + 3q – 13q + 3 = 0
3q2 – 10q + 3 = 0
∆ = ( –10)2 – 4 · 3 · 3
∆ = 64
q = 10 8
6
±
q = 10 8
6
+ = 3
q = 10 8
6
− = 1
3
Sendo a P.G. crescente, temos q = 3
Portanto: (1, 3, 9)
Soma dos Termos de uma P.G. Finita
Considere a progressão geométrica (a1, a2, a3, ..., an) com razão q ≠ 1.
Podemos obter a fórmula dos termos de uma P.G. finita.
⋅ n1
n
a (q - 1)
S =
q - 1
Obs.:
Se q = 1, a fórmula é dada por Sn = n · a
Exemplos:
1) Calcule a soma dos 8 primeiros termos da P.G. 
2 2
, , 2, ...
9 3
 
  
Manual de Matemática
255
Solução:
a1 = 
2
9
q = 
2
3
2
9
= 2
3
9⋅
2
=3
Sn = 
82 (3 1)
9
3 1
⋅ −
−
Sn = 
2
(6561 1)
9
2
⋅ −
Sn = 
2
6560
9
2
⋅
Sn = 
13120 6560
18 9
=
2) Determine o número de termos de uma P.G. finita em que a1 = 2, q = 2
e Sn = 4094.
Solução:
a1 = 2
q = 2
Sn = 4.094
Sn =
n
1a (q 1)
q 1
⋅ −
−
4094 = 
n2 (2 1)
2 1
⋅ −
−
4094 = 2 · 2n – 2
2 · 2n = 4096
2n = 
4096
2
2n = 2048
2n = 211
n = 11
Manual de Matemática
256
3) Calcule a9 e a soma dos 9 primeiros termos da P.G. (2
0, 21, 22, 23, ...).
Solução:
a1 = 2
0 = 1
q = 
2
1
 = 2
n = 9
a9 = ?
an = a1 · q
n – 1
a9 = 1 · 2
9 – 1 S9 = 
91 (2 1)
2 1
⋅ −
−a9 = 2
8
a9 = 256 S9 = 511
Limite da Soma de uma P.G. Infinita
Neste caso, como a P.G. é infinita e decrescente, calculamos o limite da
soma dos termos, isto é, o valor para o qual a soma tenderá.
Fórmula:
1aS =
1- q
Exemplos:
1) Calcule o limite da soma da P.G. 
3
12, 6, 3, , ...
2
 
  
.
Solução:
a1 = 12
q = 
6 1
12 2
=
S = 
1a
1 q−
S =
12
1
1
2
−
S =
 
12
1
2
S = 24
Manual de Matemática
257
2) Resolva a equação 
x x
x ... 12
3 9
+ + + =
Solução:
a1 = x
q =
x
x3
x
= 1
3 x
⋅ 1
3
=
S = 12
S = 1
a
1 q−
12 =
x
1
1
3
−
12 =
x
2
3
x = 8
S = {8}
3) Determine o valor de 1 11 ...
10 100
+ + +
Solução:
a1 = 1 q = 
1
10
S = 
1a
1 q−
S =
1
1
1
10
−
S =
1
9
10
S = 
10
9
Manual de Matemática
258
4) Calcule a fração geratriz das dízimas:
a) 0,5555...
Solução:
0,5555... = 5 5 5
10 100 1000
+ + ...
A dízima é uma soma de infinitos termos de uma P.G. decrescente, em que:
a1 = 
5
10
 e
q = 
5
5100
5
10
=
100
10⋅
5
1
10
=
Substituindo na fórmula:
S = 
1a
1 q−
S =
5
10
1
1
10
−
S =
5
510
9 10
10
= 10⋅ 5
9 9
=
b)1,3131....
Solução:
0,3131... = 31 31 31
100 10000 1000000
+ + ...
a1 = 
31
100
q = 
1
100
Manual de Matemática
259
S = 
31
100
1
1
100
−
S = 
31
31100
99 100
100
= 100⋅ 31
99 99
=
S = 
31
99
Nessa dízima devemos somar 1 e o algarismo que se repete: 
31
99
.
31 99 31 130
1
99 99 99
++ = =
Produto dos Termos de uma P.G. Limitada
Dada a P.G. (1, 4, 16, 64, 256, 1024), temos:
1024
1024
1024
a1 = 1, a6 = 1024 e a1 · a6 = 1024
a2 = 4, a5 = 256 e a2 · a5 = 1024
a3 = 16, a4 = 64 e a3 · a4 = 1024
Em toda P.G. limitada, o produto dos termos eqüidistantes do centro é
constante. Podemos escrever a fórmula:
⋅2 nn 1 nP =(a a )
Pn = ⋅
n
1 n(a a )
Manual de Matemática
260
Exemplo:
Calcule o produto dos seis primeiros termos da P.G. (–1, 3, –9, ...)
Solução:
a1 = – 1
q = – 3
an = a1 · q
n – 1
a6 = – 1 · (– 3)
6 – 1
a6 = 243
Pn = 
n
1 n(a a )⋅
Pn = 
6( 1 243)− ⋅
Pn = 
5 6( 3 )−
Pn = – 3
15
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Na sucessão (1, 3, 7, 10, 12, 18, 25), determine os elementos a2, a5, a7 .
2) Na sucessão (–3, –1, 5, 8, 10), determine a2 – a4 + a5.
3) Escreva os cinco primeiros termos das seqüências:
a) an = n – 3
b) an = 2
n – 2
4) Dada a sucessão de termo geral an = 
4n 1
n
−
,
a) calcule a soma dos quatro primeiros termos;
b) verifique se 
71
18
 é termo da sucessão, caso afirmativo, indique sua
posição.
5) Escreva as seqüências definidas
por:
a) an = n · (– 1)
n e n , n 4
b) an = 3n
2 – 2n e n , n 1
c) 1
n 1 n
a 2
a 3 a+
=
 = ⋅ n 
d) 1
n
n n 1
a 2
a ( 1) a −
=

= − ⋅ n > 1
Manual de Matemática
261
6) Seja a seqüência (an) definida por:
n
n 1
2
n
a 5n 1
a 2 ( 1)
+
= +

 = ⋅ −
para n natural par e
a) escreva a seqüência;
para n natural ímpar,
b) calcule 
4
n
n 1
a
=
∑ .
7) Seja a seqüência an = 
2n (n 1)
2n
−
, em que n é um natural qualquer,
a) escreva a seqüência; b) calcule 
5
n
n 1
a 1
=
+∑ .
8) Calcule:
a) 
3
n 1
3n 2
=
+∑ b) 
4
n
n 0
10 ( 1)
=
−∑ c) 
5
n 1
2n
3=
∑
9) (Cesgranrio-RJ) A soma 
500
i 2 3 500
i 1
2 2 2 2 ... 2
=
= + + + +∑ é igual a:
a) 2500 + 1 d) 2 (2500 + 1)
b) 2501 + 1 e) 2 (2500 – 1)
c) 2501 – 1
10) (FATEC-SP) Se S = 
4
2
n 1
11
n 1
3 (n n 1)
n
=
=
+ +∑
∑
, então:
a) S = 1 b) S = 2 c) S = 3 d) S = 4 e) S = 5
11) Das seqüências abaixo, identifique quais são P.A. e determine a razão.
a) (1, 3, 5, 7, 9,...) e) ( )2, 2, 3 2, 5 2, ...− − −
b) (8, 1, –3, –4,...) f) 4 1, , 0, 4, 6, ...
3 2
 − −  
c) (3,1; 6,1; 9,1,...) g) (a, a – 3, a – 5, a – 7)
d) (0,1; 0,01; 0,001;...)
12) Sejam três termos consecutivos de uma P. A. x – 2, x, 2x – 3. Calcule x.
Manual de Matemática
262
13) Sabendo que os números (x + 1)2 , 7x e 9x – 1, nesta ordem, são
termos de uma P.A. crescente, determine:
a) o valor de x;
b) o sexagésimo termo dessa P.A.
14) Determine o primeiro termo de uma P.A. de razão 3 e o vigésimo termo
é 30.
15) Determine a razão da P.A. sendo a1 = 1,8 e a22 = 27.
16) Um triângulo apresenta seus lados em P.A.
Calcule os lados sabendo que seu perímetro é 12 cm.
17) Determine uma P.A. de quatro termos sabendo que sua soma vale –2 e
o produto 40.
18) A soma de a2 + a4 = 15 e a5 + a6 = 25.
Calcule o 1º termo e a razão.
19) As idades de três irmãs estão em P.A.
Sabendo que a soma das idades é 42 e a diferença da idade da mais velha
e da mais nova é 12, calcule as idades.
20) Qual o centésimo número natural par?
21) Interpolar:
a) seis meios aritméticos entre 12 e 47.
b) doze meios aritméticos entre 45 e –20.
22) Determine o número de múltiplos de:
a) 7 que existem entre 20 e 200.
b) 3 compreendidos entre 20 e 400.
23) Determine a soma dos números pares positivos menores que 102.
24) Colocando-se 120 estudantes em filas, com 1 estudante na primeira
fila, 2 na segunda fila, 3 na terceira fila e assim sucessivamente, formando-se
um triângulo. Determine o número de filas.
Manual de Matemática
263
25) (FGV-SP) Um automóvel percorre no primeiro dia de viagem uma distância
x; no segundo dia percorre o dobro da que percorreu no primeiro dia; no terceiro
dia o triplo do 1º dia, e assim sucessivamente. Ao final de 20 dias, percorreu
uma distância de 6.300 km. A distância percorrida no primeiro dia foi de:
a) 15 km c) 20 km e) 35 km
b) 30 km d) 25 km
26) Calcule a soma dos múltiplos de 6 que estão entre 1 e 100.
27) (FATEC-SP) Em uma P.A. a soma do 3º com o 7º termo vale 30 e a
soma dos 12 primeiros termos vale 216. A razão dessa P.A. é:
a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5
28) Calcule a soma dos números múltiplos positivos de 4 formados por
2 algarismos.
29) Quais das sucessões são P.G.?
a)
1 1 1 1
, , , , ...
2 6 12 36
 
  
d) (77, 714, 721, ...)
b) (–3, 6, –12, 24, ...) e) (a3b, ab2, a2b3, ...)
c) ( )3, 6, 2 3, ...−
30) Obtenha a razão das seguintes P.G.s.:
a) ( )2 2, 4 6, 24 2, ... c) (3, –6, 12, ...)
b) (–1, 1, –1, 1, ...)
31) Determine o quinto termo da P.G. (5, 10, 20, ...).
32) Determine o número de termos da P.G. (–1, –2, –4, ..., –512).
33) Determine quatro números em P.G., sendo a soma dos extremos 140 e
a soma dos meios 60.
Manual de Matemática
264
34) Qual o valor de x, se a seqüência (x – 1, 2x – 1, 4x + 1) é uma P.G.?
35) Numa P.G., a1 = –12 e q = 1, calcule a soma dos 20 primeiros
termos.
36) Quantos termos devemos ter na P.G. (2, –6, 18, –54, ...) a fim de
obtermos uma soma 9.842?
37) Calcule, em cada caso, o limite da soma dos termos das progressões
geométricas:
a) (0,5; 0,05; 0,005; ...) b) 1 1 11 ...
2 4 8
− + − + c) 
1
y, 1, , ...
y
 
 
 
38) Determine x nas equações:
a) x x x ... 4
3 9 27
+ + + = c) x 
x x
2 4
+ + + ... = 12
b) x +
2x 4x
3 9
+ + ... =
9
8
39) Ache a fração geratriz das seguintes dízimas:
a) 0,777... c) 1,666... e) 1,35555...
b) 0,464646... d) 0,453453...
40) Calcule o produto dos termos:
a) dez primeiros termos da P.G. 
1 1
, , 1, ...
9 3
 
  
.
b) nove primeiros termos da P.G. 
1 1 1
, , , ...
8 4 2
 
  
.
c) treze primeiros termos da P.G. (3–1, 3–2, 3–3, ...).
41) (FGV–SP) Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e a
medida da área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8. Então, a medida
da base mede:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
Manual de Matemática
265
Respostas
1) a2 = 3 a5 = 12 a7 = 25
2) 1 3) a) (–2, –1, 0, 1, 2) b) 
1
, 1, 2, 4, 8
2
 
  
4) a) 
167
12
 b) 18º termo
5) a) (–1, 2, –3, 4) c) (2, 6, 18, 72, ...)
b) (1, 8, 21, ...) d) (2, –2, –2, 2, ...)
6) a) (–2, 11, 2, 21) b) 33
7) a) 
3 15
0, , 4, , 12
2 2
 
  
b) 30
8) a) 24 b) 0 c) 10
9) e 10) b 11) a (R = 2), c (R = 3), e (R = 2 2− ).
12) x = 5 13) a) x= 3 b) 311
14) a1 = – 27 15) r = 1, 2 16) 2, 4 e 6
17) (–5, –2, 1, 4) ou (4, 1, –2, –5)
18) a1 = 
7
2
, r = 2 19) 8, 14 e 20 anos. 20) 198
21) a) (12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47)
b) (45, 40, 35, ..., –20)
22) a) 26 b) 127 23) Sn = 2.550 24) 15 filas
25) b 26) 816 27) d 28) 1.188 29) b, c, d
Manual de Matemática
266
30) a) 2 3 b) –1 c) –2
31) 80 32) 10 33) (5, 15, 45, 135)
34) 2 35) –240 36) 9
37) a) 
5
9
b) 
2
3
c) 
2y
y 1−
38) a) {8} b) 3
8
 
 
 
c) {6}
39) a) 
7
9
b)
46
99
c) 
5
3
d) 
453
999
e) 
61
45
40) a) 325 b) 512 c) 3–91 41) e
MANUAL DE MATEMÁTICA - OLIVEIRA, ANA MARIA/Bloco 04 - Sequência ou Sucessão.pdf
Manual de Matemática
236
IV
PPPPPor que apror que apror que apror que apror que aprender Pender Pender Pender Pender Prrrrrogrogrogrogrogreeeeessõessõessõessõessões?s?s?s?s?
Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentos sobros sobros sobros sobros sobreeeee
PPPPPrrrrrogrogrogrogrogreeeeessõessõessõessõessões?s?s?s?s?
O estudo das Progressões é uma ferramenta que
nos ajuda a entender fenômenos e fatos do
cotidiano, desde situações simples, como tomar um
remédio, até situações mais complexas, como a
proliferação de bactérias.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– SEQÜÊNCIA OU SUCESSÃO
A necessidade de tomar um medicamento de 8 em
8 horas nada mais é do que uma Progressão
Aritmética.
As bactérias podem causar doenças, como também
podem ser úteis, ajudando as plantas a crescerem.
Seja qual for o caso, para um biólogo é muito
importante saber como cresce uma população de
bactérias, as quais bipartem-se a cada dia,
formando assim uma Progressão Geométrica.
Manual de Matemática
237
Capítulo 1
INTRODUÇÃO À SEQÜÊNCIA OU SUCESSÃO
Seqüência ou sucessão é um dos termos mais antigos da Matemática e
nos dá a idéia de termos sucessivos: um primeiro termo seguido de um
segundo, de um terceiro e assim sucessivamente, podendo ser finitas ou
infinitas.
Seqüências
Considere os conjuntos:
A = Conjunto dos dias da semana.
B = Conjunto dos números naturais pares maiores que 2 e menores que 20.
Esses conjuntos podem ser representados de forma ordenada.
A = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sex-
ta-feira, sábado}
B = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
A esse conjunto ordenado denominamos de seqüência ou
sucessão.
Obs.:
Na seqüência, a ordem de cada elemento indica a posição que ele ocupa.
Classificação
As seqüências podem ser:
• Finitas: quando conhecemos o último termo.
Exemplo:
Conjunto das letras do nosso alfabeto
C = {a, b, c, d,......,z}
• Infinitas: quando não conhecemos o último termo.
Exemplo:
– Conjunto dos Números Naturais
– Conjunto dos Números Ímpares.
Manual de Matemática
238
Representação de uma Seqüência
A representação matemática de uma seqüência é:
(a1, a2, a3, ... an – 1, an...)
a1 = primeiro termo
a2 = segundo termo
a3 = terceiro termo
�
an = enésimo termo
Assim, na seqüência (2,7,10,11, ...), temos:
a1= 2 a2= 7 a3= 10 a4= 11
Obs.:
A formação dos elementos de uma seqüência pode ser determinada pela lei de formação.
Ela determina o termo geral da seqüência.
Exemplos:
a) A seqüência dos números ímpares pode ser determinada pela fórmula
an = 2n – 1, em que n �
Assim:
a1 = 2 · 1 – 1 a1 = 1
a2 = 2 · 2 – 1 a2 = 3
a3 = 2 · 3 – 1 a3 = 5
a4 = 2 · 4 – 1 a4 = 7
A seqüência pode ser representada por (1, 3, 5, 7, ...)
b) Escreva a seqüência de quatro termos definida por:
1
n n 1
a 3
a 4 a −
=
 = − ⋅
, para n 2
Solução:
A seqüência será (a1, a2, a3, a4).
Manual de Matemática
239
a1 = 3
a2 = – 4 · a2 – 1 a2 = – 4 · a1 a2 = – 4 · 3 a2 = – 12
a3 = – 4 · a3 – 1 a3 = – 4 · a2 a3 = – 4 · (– 12) a3 = 4 8
a4 = – 4 · a4 – 1 a4 = – 4 · a3 a4 = – 4 · 48 a4 = – 192
Assim, a seqüência será (3, –12, 48, –192).
c) Qual é o 5º termo da seqüência dada por an = –1 + 3
n–1 com n ∈ �*
Solução:
Para obtermos o 5º termo da seqüência, basta substituir n por 5.
Assim:
an = –1 + 3
n–1
a5 = –1 + 3
5–1
a5 = –1 + 3
4
a5 = –1 + 81
a5 = 80
Somatório
Sendo uma seqüência (a1, a2, a3, ..., an), definimos somatório como a
soma de seus termos e indicamos por: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ou
K
n
n 1
(a )
=
∑ (lê-se somatório de an, com n variando de 1 até k).
Exemplos:
a) 
4
n 1
2n
=
∑
S = 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + 2 · 4
S = 2 + 4 +6 + 8
S = 20
b)
5
2
n 1
(3n 1)
=
−∑
S = 3 · (1)2 – 1 + 3 · 22 – 1 + 3 · 32 – 1 + 3 · 42 – 1 + 3 · 52 – 1
S = 2 + 11 + 26 + 47 + 74
S = 160
Manual de Matemática
240
Capítulo 2
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
No capítulo 1, definimos seqüência.
As seqüências são, freqüentemente, resultado da observação de um fato
ou fenômeno.
Observe no exemplo abaixo as temperaturas máximas de uma cidade do
Mato Grosso, nos seguintes dias:
Temos uma seqüência de dias e uma seqüência de temperaturas.
Observe que há um acréscimo diário das temperaturas. Assim, podemos
estabelecer a seguinte seqüência: 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35. Essa seqüência
é chamada progressão aritmética (P.A.), pois, a partir do segundo termo, foi
somada sempre uma mesma constante.
Progressão aritmética é uma seqüência de números reais em que, a partir
do segundo termo, é igual ao anterior mais uma constante. Definimos essa
constante como razão (r).
Exemplos de P.A.:
a) (4, 6, 8, 10, ...), cuja razão é r = 2
b) (–5, –6, –7, –8, ...), cuja razão é r = – 1
c) (9, 9, 9, 9, 9, ...), cuja razão é r = 0
d) sendo a1 = 2 e r = – 3, então:
a2 = a1 + r 2 + (– 3) = – 1
a3 = a2 + r – 1 + (– 3) = – 4
a4 = a3 + r – 4 + (– 3) = – 7
a5 = a4 + r – 7 + (– 3) = – 10
Então, a P.A. será (2, –1, –4, –7, –10)
Manual de Matemática
241
Resumindo
Um termo qualquer é igual ao seu anterior mais a razão aaaaannnnn = a = a = a = a = an – 1n – 1n – 1n – 1n – 1 + r + r + r + r + r.....
A razão é determinada pela diferença entre um termo qualquer (a partir do
segundo) e o seu anterior.
Exemplos:
1) Na P.A. (2, 5, 8, 11, ...), determine a razão.
r = 5 – 2 = 3 ou r = 8 – 5 = 3
2) Na P.A. (–1, –5, –9, ...), determine a razão.
r = – 5 – (– 1) = – 4 ou r = – 9 – ( –5) = – 4
3) Na P.A. 4 4 4 4, , , , ...
5 5 5 5
 
  
, determine a razão.
4 4
r 0
5 5
= − = ou 4 4r 0
5 5
= − =
Classificação
Se a P.A. tem r > 0, dizemos que a P.A. é crescente.
Se a P.A. tem r < 0, dizemos que a P.A. é decrescente.
Se a P.A. tem r = 0, dizemos que a P.A. é constante ou estacionária.
Fórmula do Termo Geral
Seja a P.A. (a1, a2, a3,..., an,...) em que a1 é o primeiro termo e r a razão.
Sabemos que:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
a5 = a4 + r = (a1 + 3r) + r = a1 + 4r
�
an = an – 1 + r = a1 + (n – 2) · r + r = a1 + (n – 1) · r
Portanto, o termo geral de uma P.A. é dado pela fórmula:
an = a1 + (n – 1) · r
Manual de Matemática
242
Numa P.A.:
an é um termo qualquer da P.A. (n indica a posição desse termo). Assim:
a1 é o primeiro termo
a2 é o segundo termo
�
a20 é o vigéssimo termo
�
an é o enésimo termo.
Em toda P.A., qualquer termo é a média aritmética entre o seu anteceden-
te e o seu conseqüente.
− ++= n 1 n 1n
a a
a
2
Exemplos:
1) Dada a P.A. (2, 6, 10, 14, 18, ...), usando o segundo termo (antecedente)
com o quarto termo (conseqüente) e dividindo o resultado por 2, temos:
2 4
3
a a
a
2
+ =
6 14
10
2
+=
10=10
2) Determine o valor de x, sabendo que x – 2, x + 1, 5x formam, nessa
ordem, uma P.A.
Solução:
1 3
2
a a
a
2
+=
x 2 5x
x 1
2
− ++ =
2x + 2 = x – 2 + 5x
– 4x = – 4
x = 1
Manual de Matemática
243
3) Numa P.A., o primeiro e o último termo são, respectivamente, 12 e 448,
e a razão é igual a 2. Quantos termos tem essa P.A.?
Solução:
an = 448
a1 = 12
r = 2
n = ?
448 = 12 + (n – 1) · 2
448 = 12 + 2n – 2
448 = 10 + 2n
– 2n = 10 – 448
– 2n = – 438
2n = 438
n = 219
4) Numa P.A., sabe-se que a4 = – 3 e a11 = – 38.
Determine a razão e a1.
Solução:
a4 = – 3 a1 + 3 r = – 3
a11 = – 38 a1 + 10r = – 38
Resolvendo o sistema:
+ = − −
 + = −
1
1
a 3r 3 ( 1)
a 10r 38 
− 1a − =
1
3r 3
a


+ = − 10r 38
7r = – 35
r = – 5
Substituindo r = – 5 na equação:
a1 + 3r = – 3
a1 + 3 · (– 5) = – 3
a1 – 15 = – 3
a1 = 12
Manual de Matemática
244
5) Insira ou interpole 4 meios aritméticos entre – 8 e 17.
Solução:
a1 = – 8
an = 17
n = 4 + 2 = 6
r = ?
– 8, ____, ____, ____, ____, 17
a1 an
6 termos
an = a1 + (n – 1) · r
17 = – 8 + (6 – 1) · r
17 = – 8 + 5r
– 5r = – 8 – 17
– 5r = – 25
5r = 25
r = 5
Logo: (– 8, – 3, 2, 7, 12, 17)
Obs.:
No exemplo anterior aplicamos a interpolação aritmética, que nos permite calcular os
meios aritméticos dados dois extremos a1 e an.
6) Três números estão em P.A., de modo que a soma entre eles é 6 e o
produto –24.
Calcule os três números.
Solução:
Para resolvermos este problema, é conveniente escrever a P.A. em função
do termo do meio, que indicaremos por x.
Na P.A. de três termos, indicamos por x – r , x, x + r.
x r x x r 6
(x r) x (x r) 24
− + + + =
 − ⋅ ⋅ + = −
x r− x x r+ + + 6=
3x = 6
x = 2
Manual de Matemática
245
(2 – r) · 2 · (2 + r) = –24
2 · (22 – r2) = –24
2 · (4 – r2) = –24
8 – 2r2 = –24
– 2r2 = – 32
2r2 = 32
r2 = 16
r = ± 4
Sendo: r = – 4 r = 4
1º termo = 2 – (– 4) = 6 1º termo = 2 – 4 = – 2
2º termo = 2 2º termo = 2
3º termo = 2 + (– 4) = – 2 3º termo = 2 + 4 = 6
Os números são –2, 2, 6.
Obs.:
1) Se o exercício tem 4 termos, indicaremos por (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r)
2) Se tiver 5 termos, indicaremos por (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
Soma dos Termos de uma P. A. Finita
A soma dos n termos de uma P.A. é dada por:
⋅1 n
n
(a +a ) n
S =
2
Em uma P.A., a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à
soma dos extremos.
Exemplos:
1) Na P.A.(2, a2, 8, 11, 14, a6, a7, 23), calcule:
a) a2 + a7
a2 e a7 são termos eqüidistantes dos extremos,
então: a2 + a7 = 2 + 23
a2 + a7 = 25
b) a6 + 8 = 2 + 23
a6 = 25 – 8
a6 = 17
Manual de Matemática
246
2) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.A. (–1, 0, 1, 2, ...).
Solução:
a1 = – 1 Calculemos inicialmente a10:
r = 1 a10 = – 1 + (10 – 1) · 1
n = 10 a10 = 8
S10 = 
( 1 8) 10
2
− + ⋅
S10 = 35
3) Calcule a soma dos números
pares positivos até 201.
Solução:
Os números pares positivos até 201 formam a P.A. (2, 4, 6,......, 200)
Determinamos quantos números pares existem entre 2 e 200.
an = a1 + (n – 1) · r S100 = 
(2 200) 100
2
+ ⋅
200 = 2 + (n – 1) · 2
200 = 2 + 2n – 2 S100 = 10 · 100
2n = 200
n = 100
4) Determine uma P.A. de 20 termos que tenha soma 650 e o primeiro
termo seja 4.
Solução:
a1 = 4
n = 20
S20 = 650
Sn= 
1 n(a a ) n
2
+ ⋅
650 = n
(4 a ) 20+ ⋅
10
2
650 = 40 + 10an
10an = 610
an = 61
an = a1 + (n – 1) · r
61 = 4 + (20 – 1) · r
Manual de Matemática
247
61 = 4 + 19r
19r = 57
r = 3
Logo P.A. é (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52,
55, 58, 61)
5) Resolva a equação:
2 + 5 + 8 + ........+ x = 155, sabendo que os termos do 1º membro
estão em P.A.
Solução:
Seja a seqüência (2, 5, 8, ..., x), temos:
a1 = 2 r = 5 – 2 = 3 n = ? an = x
an = a1 + (n – 1) · r
x = 2 + (n – 1) · 3
x = 2 + 3n – 3
x = 3n – 1
3n – 1 = x ⇒ 3n = x + 1
Sn = 155
n = 
x 1
3
+
Sn = 
1 n(a a ) n
2
+ ⋅
155 = 
x 1
(2 x)
3
2
+ + ⋅  
310 = 
22x 2 x x
3
+ + +
x2 + 3x + 2 = 930
x2 + 3x – 928 = 0
∆ = 9 + 3712
 = 3721
x’ = 29
 = 
3 61
2
− ±
x’’ = – 32
Como a P.A. é crescente, x = 29
→
→
→
→
Manual de Matemática
248
Capítulo 3
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Observe a seqüência:
(2, 4, 8, 16, ...)
Note que, dividindo um termo dessa seqüência pelo anterior, obtemos
sempre 2:
2
1
a 4
2
a 2
= = 3
2
a 8
2
a 4
= = 4
3
a 16
2
a 8
= =
A essa constante chamamos de razão, indicada pela letra q.
Progressão Geométrica é uma seqüência de números reais em que cada
termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constan-
te (chamada razão).
Exemplos:
1) Sendo a1 = – 2 e razão q = 3, então:
a2 = a1 · q = – 2 · 3 = – 6
a3 = a2 · q = – 6 · 3 = – 18
a4 = a3 · q = – 18 · 3 = – 54
a5 = a4 · q = – 54 · 3 = – 162
P.G. (– 6, – 18, – 54, – 162, ...)
2) Sendo a1 = 8 e q = 
1
2
, então:
a2 = a1 · q = 8 ·
1
2
= 4
a3 = a2 · q = 4 ·
1
2
= 2
a4 = a3 · q = 2 ·
1
2
= 1
a5 = a4 · q = 1 ·
1
2
=
1
2
P.G. 
1
4, 2, 1, , ...
2
 
  
Manual de Matemática
249
Resumindo
an = an – 1 · q
Um termo qualquer de uma progressão geométrica é igual ao anterior
multiplicado pela razão.
Podemos aplicar as progressões geométricas em várias situações, como,
por exemplo, no crescimento da população. Veja:
A população de uma cidade cresce a uma taxa de 8% ao ano. Se atual-
mente há dez mil habitantes, qual a população prevista daqui a 5 anos?
O fator de aumento gerado pela taxa anual é 100% + 8% = 108% = 1,08.
A população de um certo ano é igual à do ano anterior multiplicado por 1,08.
A razão da P.G. é o fator de aumento. O termo geral da P.G. é dado por
P = 10.000 . 1,08n-1. Podemos escrever, então a P.G.
10.000, 10.800, 11.664, 12.597, 13.604.
Daqui a 5 anos a população será de 13.604.
Fórmula do Termo Geral
Podemos encontrar uma expressão que nos permita encontrar qualquer
termo da P.G.
Seja a P.G.(a1, a2, a3, ..., an, ...). Sabe-se que a1 é o primeiro termo e q a
razão. Então:
a2 = a1 · q
a3 = a2 · q ou a3 = a1 · q
2
a4 = a3 · q ou a4 = a1 · q
3
a5 = a4 · q ou a5 = a1 · q
4
� �
Podemos então escrever an = a1 · q
n – 1, que representa a fórmula do
termo geral da P.G.
Na qual:
a1 é o primeiro termo;
q é a razão;
an um termo qualquer da P.G.;
n o número de termos da P.G.
Manual de Matemática
250
Exemplos:
1) Qual é o quinto termo da P.G. 
1 1
, , ...
8 4
 
  
?
Solução:
a1 = 
1
8
q = 
1
4
1
8
= 1
4
· 8 = 2
n = 5
a5 = ?
an = a1 · q
n – 1
a5 =
1
8
· 25 – 1
a5 =
1
8
· 24
a5 =
1
8
· 16
a5 = 2
2) Qual o número de termos da P.G., onde a1 = 6, an = 96 e q = 2?
Solução:
a1 = 6
an = 96
q = 2
an = a1 · q 
n – 1
96 = 6 · 2 n – 1
2 n – 1 = 
96
6
2 n – 1 = 16
2 n – 1 = 24
n – 1 = 4
n = 5
Manual de Matemática
251
3) Sabendo que numa P.G., a5 = 32 e a8 = 256, calcule a1 e q.
Solução:
Temos que:
a5 = a1 · q
4 a1 · q
4 = 32
a8 = a1 · q
7 a1 · q
7 = 256
Resolvendo o sistema:
1a
7
1
q
a
⋅
4q⋅
= 256
32 Substituindo q = 2 em:
q3 = 8 a1 · q
4 = 32, vem:
q = 3 8 a1 · 2
4 = 32
q = 2 a1 = 
32
16
a1 = 2
4) Interpole ou insira oito meios geométricos entre 1
243
 e 81.
Solução:
1
243
, ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , 81.
a1 = 
1
243
an = 81
n = 8 + 2 = 10
q = ?
an = a1 · q
n – 1
81 = 
1
243
· q10 – 1
81 = 
1
243
· q9
q9 = 19.683
q = 3 Portanto: 
1 1 1 1 1
, , , , , 1, 3, 9, 27, 81
243 81 27 9 3
 
  
Manual de Matemática
252
5) Numa P.G. de cinco termos, a soma dos dois primeiros é 15 e a soma
dos dois últimos é 120. Escreva a P.G.
Solução:
a1 + a2 = 1 5 a1 + a1 · q = 15
a4 + a5 = 120 a1 · q
3 + a1 · q
4 = 120
a1 · (1 + q) = 15 (I)
a1 · q
3 (1 + q) = 120 (II)
Dividindo membro a membro a equação I por II:
1a (1 q)⋅ +
1a
3
15
120q (1 q)
=
⋅ +
3
1 1
q 8
=
q3 = 8
q = 2
Para q = 2, substituindo em I, vem:
a1 + a1 · q = 15
a1 + a1 · 2 = 15
3a2 = 15
a1 = 5
Portanto, a P.G. será (5, 10, 20, 40, 80).
Propriedade
Dados três termos positivos de uma P.G., dizemos que o termo central é a
média geométrica dos termos extremos.
Se (x, y, z) é P.G., então y x z.= ⋅
Exemplo:
Determine x, tal que x, x + 9, x + 45 formem, nessa ordem, uma P.G.
Manual de Matemática
253
Solução:
Partindo de 2 3
1 2
a a
a a
= , temos:
a2
2 = a1 · a3
(x + 9)2 = x · (x + 45)
2x + 18x + 81 = 2x +45x
–27x = –81
27x = 81
x = 
81
27
x = 3
Representações Especiais
Às vezes, para facilitar a resolução dos exercícios, é conveniente utilizar
as representações especiais.
Se a P.G. tem 3 termos: 
x
, x, x q
q
 ⋅ 
 
Se a P.G. tem 4 termos: 
3
3
x x
, , x q, x q
q q
 ⋅ ⋅ 
 
Se a P.G. tem 5 termos: 
2
2
x x
, , x, x q, x q
q q
 ⋅ ⋅ 
 
Exemplo:
Determine três números em P.G. crescente, sabendo que sua soma é 13 e
seu produto é 27.
Solução:
A P.G. tem 3 termos, então podemos escrever:
x
x x q 13
q
x
x x q 27
q
 + + ⋅ =

 ⋅ ⋅ ⋅ =

x
q
x x q⋅ ⋅ ⋅ 27=
x3 = 27
x = 3 27
x = 3
Manual de Matemática
254
Substituindo x = 3 na equação:
x
q
+ x + x · q = 13
3
q + 3 + 3q = 13
23 3q 3q
q
+ + 13q
q
=
3q2 + 3q – 13q + 3 = 0
3q2 – 10q + 3 = 0
∆ = ( –10)2 – 4 · 3 · 3
∆ = 64
q = 10 8
6
±
q = 10 8
6
+ = 3
q = 10 8
6
− = 1
3
Sendo a P.G. crescente, temos q = 3
Portanto: (1, 3, 9)
Soma dos Termos de uma P.G. Finita
Considere a progressão geométrica (a1, a2, a3, ..., an) com razão q ≠ 1.
Podemos obter a fórmula dos termos de uma P.G. finita.
⋅ n1
n
a (q - 1)
S =
q - 1
Obs.:
Se q = 1, a fórmula é dada por Sn = n · a
Exemplos:
1) Calcule a soma dos 8 primeiros termos da P.G. 
2 2
, , 2, ...
9 3
 
  
Manual de Matemática
255
Solução:
a1 = 
2
9
q = 
2
3
2
9
= 2
3
9⋅
2
=3
Sn = 
82 (3 1)
9
3 1
⋅ −
−
Sn = 
2
(6561 1)
9
2
⋅ −
Sn = 
2
6560
9
2
⋅
Sn = 
13120 6560
18 9
=
2) Determine o número de termos de uma P.G. finita em que a1 = 2, q = 2
e Sn = 4094.
Solução:
a1 = 2
q = 2
Sn = 4.094
Sn =
n
1a (q 1)
q 1
⋅ −
−
4094 = 
n2 (2 1)
2 1
⋅ −
−
4094 = 2 · 2n – 2
2 · 2n = 4096
2n = 
4096
2
2n = 2048
2n = 211
n = 11
Manual de Matemática
256
3) Calcule a9 e a soma dos 9 primeiros termos da P.G. (2
0, 21, 22, 23, ...).
Solução:
a1 = 2
0 = 1
q = 
2
1
 = 2
n = 9
a9 = ?
an = a1 · q
n – 1
a9 = 1 · 2
9 – 1 S9 = 
91 (2 1)
2 1
⋅ −
−a9 = 2
8
a9 = 256 S9 = 511
Limite da Soma de uma P.G. Infinita
Neste caso, como a P.G. é infinita e decrescente, calculamos o limite da
soma dos termos, isto é, o valor para o qual a soma tenderá.
Fórmula:
1aS =
1- q
Exemplos:
1) Calcule o limite da soma da P.G. 
3
12, 6, 3, , ...
2
 
  
.
Solução:
a1 = 12
q = 
6 1
12 2
=
S = 
1a
1 q−
S =
12
1
1
2
−
S =
 
12
1
2
S = 24
Manual de Matemática
257
2) Resolva a equação 
x x
x ... 12
3 9
+ + + =
Solução:
a1 = x
q =
x
x3
x
= 1
3 x
⋅ 1
3
=
S = 12
S = 1
a
1 q−
12 =
x
1
1
3
−
12 =
x
2
3
x = 8
S = {8}
3) Determine o valor de 1 11 ...
10 100
+ + +
Solução:
a1 = 1 q = 
1
10
S = 
1a
1 q−
S =
1
1
1
10
−
S =
1
9
10
S = 
10
9
Manual de Matemática
258
4) Calcule a fração geratriz das dízimas:
a) 0,5555...
Solução:
0,5555... = 5 5 5
10 100 1000
+ + ...
A dízima é uma soma de infinitos termos de uma P.G. decrescente, em que:
a1 = 
5
10
 e
q = 
5
5100
5
10
=
100
10⋅
5
1
10
=
Substituindo na fórmula:
S = 
1a
1 q−
S =
5
10
1
1
10
−
S =
5
510
9 10
10
= 10⋅ 5
9 9
=
b)1,3131....
Solução:
0,3131... = 31 31 31
100 10000 1000000
+ + ...
a1 = 
31
100
q = 
1
100
Manual de Matemática
259
S = 
31
100
1
1
100
−
S = 
31
31100
99 100
100
= 100⋅ 31
99 99
=
S = 
31
99
Nessa dízima devemos somar 1 e o algarismo que se repete: 
31
99
.
31 99 31 130
1
99 99 99
++ = =
Produto dos Termos de uma P.G. Limitada
Dada a P.G. (1, 4, 16, 64, 256, 1024), temos:
1024
1024
1024
a1 = 1, a6 = 1024 e a1 · a6 = 1024
a2 = 4, a5 = 256 e a2 · a5 = 1024
a3 = 16, a4 = 64 e a3 · a4 = 1024
Em toda P.G. limitada, o produto dos termos eqüidistantes do centro é
constante. Podemos escrever a fórmula:
⋅2 nn 1 nP =(a a )
Pn = ⋅
n
1 n(a a )
Manual de Matemática
260
Exemplo:
Calcule o produto dos seis primeiros termos da P.G. (–1, 3, –9, ...)
Solução:
a1 = – 1
q = – 3
an = a1 · q
n – 1
a6 = – 1 · (– 3)
6 – 1
a6 = 243
Pn = 
n
1 n(a a )⋅
Pn = 
6( 1 243)− ⋅
Pn = 
5 6( 3 )−
Pn = – 3
15
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Na sucessão (1, 3, 7, 10, 12, 18, 25), determine os elementos a2, a5, a7 .
2) Na sucessão (–3, –1, 5, 8, 10), determine a2 – a4 + a5.
3) Escreva os cinco primeiros termos das seqüências:
a) an = n – 3
b) an = 2
n – 2
4) Dada a sucessão de termo geral an = 
4n 1
n
−
,
a) calcule a soma dos quatro primeiros termos;
b) verifique se 
71
18
 é termo da sucessão, caso afirmativo, indique sua
posição.
5) Escreva as seqüências definidas por:
a) an = n · (– 1)
n e n , n 4
b) an = 3n
2 – 2n e n , n 1
c) 1
n 1 n
a 2
a 3 a+
=
 = ⋅ n 
d) 1
n
n n 1
a 2
a ( 1) a −
=

= − ⋅ n > 1
Manual de Matemática
261
6) Seja a seqüência (an) definida por:
n
n 1
2
n
a 5n 1
a 2 ( 1)
+
= +

 = ⋅ −
para n natural par e
a) escreva a seqüência;
para n natural ímpar,
b) calcule 
4
n
n 1
a
=
∑ .
7) Seja a seqüência an = 
2n (n 1)
2n
−
, em que n é um natural qualquer,
a) escreva a seqüência; b) calcule 
5
n
n 1
a 1
=
+∑ .
8) Calcule:
a) 
3
n 1
3n 2
=
+∑ b) 
4
n
n 0
10 ( 1)
=
−∑ c) 
5
n 1
2n
3=
∑
9) (Cesgranrio-RJ) A soma 
500
i 2 3 500
i 1
2 2 2 2 ... 2
=
= + + + +∑ é igual a:
a) 2500 + 1 d) 2 (2500 + 1)
b) 2501 + 1 e) 2 (2500 – 1)
c) 2501 – 1
10) (FATEC-SP) Se S = 
4
2
n 1
11
n 1
3 (n n 1)
n
=
=
+ +∑
∑
, então:
a) S = 1 b) S = 2 c) S = 3 d) S = 4 e) S = 5
11) Das seqüências abaixo, identifique quais são P.A. e determine a razão.
a) (1, 3, 5, 7, 9,...) e) ( )2, 2, 3 2, 5 2, ...− − −
b) (8, 1, –3, –4,...) f) 4 1, , 0, 4, 6, ...
3 2
 − −  
c) (3,1; 6,1; 9,1,...) g) (a, a – 3, a – 5, a – 7)
d) (0,1; 0,01; 0,001;...)
12) Sejam três termos consecutivos de uma P. A. x – 2, x, 2x – 3. Calcule x.
Manual de Matemática
262
13) Sabendo que os números (x + 1)2 , 7x e 9x – 1, nesta ordem, são
termos de uma P.A. crescente, determine:
a) o valor de x;
b) o sexagésimo termo dessa P.A.
14) Determine o primeiro termo de uma P.A. de razão 3 e o vigésimo termo
é 30.
15) Determine a razão da P.A. sendo a1 = 1,8 e a22 = 27.
16) Um triângulo apresenta seus lados em P.A.
Calcule os lados sabendo que seu perímetro é 12 cm.
17) Determine uma P.A. de quatro termos sabendo que sua soma vale –2 e
o produto 40.
18) A soma de a2 + a4 = 15 e a5 + a6 = 25.
Calcule o 1º termo e a razão.
19) As idades de três irmãs estão em P.A.
Sabendo que a soma das idades é 42 e a diferença da idade da mais velha
e da mais nova é 12, calcule as idades.
20) Qual o centésimo número natural par?
21) Interpolar:
a) seis meios aritméticos entre 12 e 47.
b) doze meios aritméticos entre 45 e –20.
22) Determine o número de múltiplos de:
a) 7 que existem entre 20 e 200.
b) 3 compreendidos entre 20 e 400.
23) Determine a soma dos números pares positivos menores que 102.
24) Colocando-se 120 estudantes em filas, com 1 estudante na primeira
fila, 2 na segunda fila, 3 na terceira fila e assim sucessivamente, formando-se
um triângulo. Determine o número de filas.
Manual de Matemática
263
25) (FGV-SP) Um automóvel percorre no primeiro dia de viagem uma distância
x; no segundo dia percorre o dobro da que percorreu no primeiro dia; no terceiro
dia o triplo do 1º dia, e assim sucessivamente. Ao final de 20 dias, percorreu
uma distância de 6.300 km. A distância percorrida no primeiro dia foi de:
a) 15 km c) 20 km e) 35 km
b) 30 km d) 25 km
26) Calcule a soma dos múltiplos de 6 que estão entre 1 e 100.
27) (FATEC-SP) Em uma P.A. a soma do 3º com o 7º termo vale 30 e a
soma dos 12 primeiros termos vale 216. A razão dessa P.A. é:
a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5
28) Calcule a soma dos números múltiplos positivos de 4 formados por
2 algarismos.
29) Quais das sucessões são P.G.?
a)
1 1 1 1
, , , , ...
2 6 12 36
 
  
d) (77, 714, 721, ...)
b) (–3, 6, –12, 24, ...) e) (a3b, ab2, a2b3, ...)
c) ( )3, 6, 2 3, ...−
30) Obtenha a razão das seguintes P.G.s.:
a) ( )2 2, 4 6, 24 2, ... c) (3, –6, 12, ...)
b) (–1, 1, –1, 1, ...)
31) Determine o quinto termo da P.G. (5, 10, 20, ...).
32) Determine o número de termos da P.G. (–1, –2, –4, ..., –512).
33) Determine quatro números em P.G., sendo a soma dos extremos 140 e
a soma dos meios 60.
Manual de Matemática
264
34) Qual o valor de x, se a seqüência (x – 1, 2x – 1, 4x + 1) é uma P.G.?
35) Numa P.G., a1 = –12 e q = 1, calcule a soma dos 20 primeiros
termos.
36) Quantos termos devemos ter na P.G. (2, –6, 18, –54, ...) a fim de
obtermos uma soma 9.842?
37) Calcule, em cada caso, o limite da soma dos termos das progressões
geométricas:
a) (0,5; 0,05; 0,005; ...) b) 1 1 11 ...
2 4 8
− + − + c) 
1
y, 1, , ...
y
 
 
 
38) Determine x nas equações:
a) x x x ... 4
3 9 27
+ + + = c) x 
x x
2 4
+ + + ... = 12
b) x +
2x 4x
3 9
+ + ... =
9
8
39) Ache a fração geratriz das seguintes dízimas:
a) 0,777... c) 1,666... e) 1,35555...
b) 0,464646... d) 0,453453...
40) Calcule o produto dos termos:
a) dez primeiros termos da P.G. 
1 1
, , 1, ...
9 3
 
  
.
b) nove primeiros termos da P.G. 
1 1 1
, , , ...
8 4 2
 
  
.
c) treze primeiros termos da P.G. (3–1, 3–2, 3–3, ...).
41) (FGV–SP) Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e a
medida da área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8. Então, a medida
da base mede:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
Manual de Matemática
265
Respostas
1) a2 = 3 a5 = 12 a7 = 25
2) 1 3) a) (–2, –1, 0, 1, 2) b) 
1
, 1, 2, 4, 8
2
 
  
4) a) 
167
12
 b) 18º termo
5) a) (–1, 2, –3, 4) c) (2, 6, 18, 72, ...)
b) (1, 8, 21, ...) d) (2, –2, –2, 2, ...)
6) a) (–2, 11, 2, 21) b) 33
7) a) 
3 15
0, , 4, , 12
2 2
 
  
b) 30
8) a) 24 b) 0 c) 10
9) e 10) b 11) a (R = 2), c (R = 3), e (R = 2 2− ).
12) x = 5 13) a) x= 3 b) 311
14) a1 = – 27 15) r = 1, 2 16) 2, 4 e 6
17) (–5, –2, 1, 4) ou (4, 1, –2, –5)
18) a1 = 
7
2
, r = 2 19) 8, 14 e 20 anos. 20) 198
21) a) (12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47)
b) (45, 40, 35, ..., –20)
22) a) 26 b) 127 23) Sn = 2.550 24) 15 filas
25) b 26) 816 27) d 28) 1.188 29) b, c, d
Manual de Matemática
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30)