Matemática Financeiro Desconto em Regime de Juro Composto

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matemática financeiro Desconto
em Regime de juro Composto
Ponto de equivalência Rjs e rjc 
C1 = M = 2.925$C0 = 2.600$ i = ?
Aplicação 2.600$ Capitalização RJS
ano anos
Exercício de matemática
financeiro regime juro composto
Um capital de 2,600$ aplicado à taxa de juro i, em
regime de juro simples, originou ao fim do 5º ano um
valor acumulado de 2,925$. Determine:
A) A taxa de juro anual a que foi aplicado o capital;
B) O juro produzido nos primeiros 6 meses, caso o
capital tivesse sido aplicado em regime de juro
composto;
C) A diferença do juro produzido durante o 4º ano, entre
o regime de juro composto e o de juro simples;
D) O valor acumulado ao fim de 10 anos dois regimes de
capitalização.
Temos o capital atual (C) no valor de 2,600$, a taxa de juro (i) anual é desconhecido e o prazo (n) da aplicação é de 5
anos. O objetivo é encontrar a taxa de juro (i) anual onde o capital futuro (S) 2,925$ aplicado em RJS. A fórmula para
resolver o exercício M = C ( 1 + i x n ).
Como nossa base da
aplicação é em anos e a taxa
é em anos, podemos usar a
fórmula direta.
2,925 = 2,600 ( 1 + i x 5)
1 + i x 5 = 2,925
 2,600
1 + i x 5 = 1.125
i x 5 = 1.125 - 1
5i = 0.125
i = 0.125
 5
i = 0.025 ou 2,5%
A taxa de juro (i) é 2,5% anual.
C1 = S = ?C0 = 2.600$ i = 2,5%
Aplicação 2.600$ Capitalização RJC
ano anos
6 meses
jn = J = ?
C0 = 2.600$ i = 2,5%
Aplicação 2.600$ Capitalização RJS e RJC
ano anos
diferença entre os
juros produzindos
entre RJS e RJC = ? = Jx
C0 = 2.600$ i = 2,5%
Aplicação 2.600$ Capitalização RJS e RJC
ano anos
RJS (M) = ? e RJC (S) = ?
Temos o capital atual (C) no valor de 2,600$, a taxa de juro (i) anual é de 2,5% anual e precisamos colocar em
número decimal (taxa unitário) que no caso é 0.025 e o prazo (n) da aplicação é de 5 anos. O objetivo é encontrar o
juro produzido (J) em seis meses de aplicação em RJC. A fórmula para resolver o exercício J = C [( 1 + i )^n-1] .
Como nossa base da aplicação é
em meses e a taxa é em anos,
temos que igual a base de tempo
entre o prazo (n) e a taxa (i),
dividindo 6 meses por 12 meses.
J = 2,600 [( 1 + 0.025 )^(6/12) - 1 ]
J = 2,600 [( 1.025 )^(0.5) - 1 ]
J = 2,600 [ 1.012422837 - 1 ]
J = 2,600 [ 0.012422836 ]
J = 32.29937507
J = 32.30$
O juro (J) produzido em 6
meses é 32.30$.
Temos o capital atual (C) no valor de 2,600$, a taxa de juro (i) anual é de 2,5% anual e precisamos colocar em
número decimal (taxa unitário) que no caso é 0.025 e o prazo (n) da aplicação é de 4 anos. O objetivo é encontrar a
diferença do juro produzido (Jx) em RJS e RJC. A fórmula da equação de valor jx = [ C ( 1 + i )^(n-1) x i ] - ( C x i )
jx = [ 2,600 ( 1 + 0.025 )^( 4 - 1 ) x 0.025 ] - ( 2,600 x 0.025 )
jx = [ 2,600 ( 1.025 )^( 3 ) x 0.025 ] - ( 2,600 x 0.025 )
jx = [ 2,600 x 1.076890625 x 0.025 ] - ( 2,600 x 0.025 )
jx = 69.99789063 - 65
jx = 4.99789063
jx = 5$
Como nossa base da
aplicação é em anos e a taxa
é em anos, podemos usar a
fórmula direta.
A diferença do juro (jn) produzido
entre RJS e RJC é de 5$.
C0 = 2.600$ i = 2,5%
Aplicação 2.600$ Capitalização RJS e RJC
ano anos
diferença entre os
juros produzindos
entre RJS e RJC = ? = Jx
Temos o capital atual (C) no valor de 2,600$, a taxa de juro (i) anual é de 2,5% anual e precisamos colocar em
número decimal (taxa unitário) que no caso é 0.025 e o prazo (n) da aplicação é de 10 anos. O objetivo é encontrar o
valor acumulado em RJS e RJC. A fórmula em RJS é M = C ( 1 + i x n ) e a fórmula em RJC é S = C ( 1 + i )^n
Fórmula em RJS
M = 2,600 ( 1 + 0.025 x 10 )
M = 2,600 ( 1 + 0.25 )
M = 2,600 ( 1.25 )
M = 3,250$
Fórmula em RJC
S = 2,600 ( 1 + 0.025 )^10
S = 2,600 ( 1.025 )^10
S = 2,600 X 1.280084544
S = 3,328.219815
S = 3,328.22$
Como nossa base da
aplicação é em anos e a taxa
é em anos, podemos usar a
fórmula direta.
O valor acumulado em RJS é
3,250$.
O valor acumulado em RJC é
3,328.22$
Um capital de 6,000$ aplicado à taxa de juro i, em
regime de juro simples, originou ao fim do 5º ano um
valor acumulado de 6,900$. Determine:
A) A taxa de juro anual a que foi aplicado o capital;
B) O montante de juros produzidos nos primeiros 6
meses, caso o capital tivesse sido aplicado em regime de
juro composto;
C) A diferença do juro produzido durante o 5º ano, entre
o regime de juro composto e o de juro simples;
D) O valor acumulado ao fim de 6 anos dois regimes de
capitalização.
C1 = M = 6,900$C0 = 6,000$ i = ?
Aplicação 6,000$ Capitalização RJS
ano anos
Temos o capital atual (C) no valor de 6,000$, a taxa de juro (i) anual é desconhecido e o prazo (n) da aplicação é de 5
anos. O objetivo é encontrar a taxa de juro (i) anual onde o capital futuro (S) 6,900$ aplicado em RJS. A fórmula para
resolver o exercício M = C ( 1 + i x n ).
Como nossa base da
aplicação é em anos e a taxa
é em anos, podemos usar a
fórmula direta.
6,900 = 6,000 ( 1 + i x 5)
1 + i x 5 = 6,900
 6,000
1 + i x 5 = 1.15
i x 5 = 1.15 - 1
5i = 0.15
i = 0.15
 5
i = 0.03 ou 3%
A taxa de juro (i) é 3% anual.
C1 = S = ?C0 = 6,000$ i = 3%
Aplicação 6,000$ Capitalização RJC
ano anos
6 meses
jn = J = ?
Temos o capital atual (C) no valor de 6,000$, a taxa de juro (i) anual é de 3% anual e precisamos colocar em número
decimal (taxa unitário) que no caso é 0.03 e o prazo (n) da aplicação é de 5 anos. O objetivo é encontrar o juro
produzido (J) em seis meses de aplicação em RJC. A fórmula para resolver o exercício J = C [( 1 + i )^n-1] .
Como nossa base da aplicação é
em meses e a taxa é em anos,
temos que igual a base de tempo
entre o prazo (n) e a taxa (i),
dividindo 6 meses por 12 meses.
J = 6,000 [( 1 + 0.03 )^(6/12) - 1 ]
J = 6,000 [( 1.03 )^(0.5) - 1 ]
J = 6,000 [ 1.014889157 - 1 ]
J = 6,000 [ 0.014889156 ]
J = 89.33493906
J = 89.33$
O juro (J) produzido em 6
meses é 89.33$.
diferença entre os
juros produzindos
entre RJS e RJC = ? = jx
C0 = 6,000$ i = 3%
Aplicação 6,000$ Capitalização RJS e RJC
ano anos
RJS (M) = ? e RJC (S) = ?
C0 = 6,000$ i = 3%
Aplicação 6,000$ Capitalização RJS e RJC
ano anos
Temos o capital atual (C) no valor de 6,000$, a taxa de juro (i) anual é de 3% anual e precisamos colocar em número
decimal (taxa unitário) que no caso é 0.03 e o prazo (n) da aplicação é de 5 anos. O objetivo é encontrar a diferença
do juro produzido (jx) em RJS e RJC. A fórmula da equação de valor jx = [ C ( 1 + i )^(n-1) x i ] - ( C x i )
jx = [ 6,000 ( 1 + 0.03 )^( 5 - 1 ) x 0.03 ] - ( 6,000 x 0.03 )
jx = [ 6,000 ( 1.03 )^( 4 ) x 0.03 ] - ( 6,000 x 0.03 )
jx = [ 6,000 x 1.12550881 x 0.03 ] - ( 6,000 x 0.03 )
jx = 202.5915858 - 180
jx = 22.5915858
jx = 22.59$
Como nossa base da
aplicação é em anos e a taxa
é em anos, podemos usar a
fórmula direta.
A diferença do juro (jn) produzido
entre RJS e RJC é de 22.59$.
ano anos
Temos o capital atual (C) no valor de 6,000$, a taxa de juro (i) anual é de 3% anual e precisamos colocar em número
decimal (taxa unitário) que no caso é 0.03 e o prazo (n) da aplicação é de 6 anos. O objetivo é encontrar o valor
acumulado em RJS e RJC. A fórmula em RJS é M = C ( 1 + i x n ) e a fórmula em RJC é S = C ( 1 + i )^n
Fórmula em RJS
M = 6,000( 1 + 0.03 x 6 )
M = 6,000 ( 1 + 0.18 )
M = 6,000 ( 1.18 )
M = 7,080$
Fórmula em RJC
S = 6,000( 1 + 0.03 )^6
S = 6,000 ( 1.03 )^6
S = 6,000 X 1.194052297
S = 7,164.313779
S = 7,164.31$
Como nossa base da
aplicação é em anos e a taxa
é em anos, podemos usar a
fórmula direta.
O valor acumulado em RJS é
7,080$.
O valor acumulado em RJC é
7,164.31$
C0RJS + C0RJC = 40,000$
i = 0.65%
Aplicação 40,000$ Capitalização RJS e RJC
ano anos
RJC (S) = ?
anos
RJS (M) = ? 
i = 1.15%
Uma pessoa recebeu uma herença no valor de
40,000$ e decidiu investi-la em duas aplicações
a prazo: uma em regime de juro simples, à taxa
de juro trimestral de 0.65% durante 4 anos e
outra em regime de juro composto, à taxa de
juro semestral de 1.15% durante 6 anos.
Determine o valor de cada aplicação, de forma
a que o capital acumulado em regime de juro
simples represente 50%do capital acumulado
em regime de juro composto.
Temos o capital atual (C) no valor de 40,000$, que foi aplicado em dois regimes de capitalização diferentes, uma
parte foi aplicado em regime de juro simples a taxa de juro (i) trimestral de 0.65% e outra parte foi aplicado em
regime de juro composto a taxa de juro (i) semestral de 1.15%, precisamos colocar em número decimal (taxa
unitário) que no caso é 0.0065 e 0.0115. O prazo (n) da capitalização RJS é de 4 anos e o da capitalização RJC é de 6
anos. O objetivo é encontrar o valor aplicado em cada regime e sabendo que o valor acumulado em RJS representa
50% do valor acumulado em RJC. 
Cálculos auxiliares 1: C0RJS + C0RJC = 40,000$ Cálculos auxiliares 3: C0RJS + C0RJC = 40,000$
C0RJS = C0RJC x 0.519507206
C0RJC x 0.519507206 + C0RJC = 40,000$
0.519507206C0RJC + C0RJC = 40,000$
1.519507206C0RJC = 40,000$
C0RJC = 40,000$
 1.519507206
C0RJC = 26,324.32399
C0RJC = 26,324.32$
Cálculos auxiliares 2: 
Em RJS a taxa de juro é trimestral e o prazo é em anos. Temos
que colocar na mesma base de tempo e se pensar quantos
trimestres tem em um ano a resposta é 4. Então basta
multiplicar a taxa de juro por 4 para igualar a mesma unidade
de tempo do prazo. 
Em RJC a taxa de juro é semestral e o prazo é em anos. Temos
que colocar na mesma base de tempo e se pensar quantos
semestres tem em um ano a resposta é 2. Então basta
multiplicar o prazo por 2 para igualar a mesma unidade de
tempo do prazo.
C0RJS x ( 1 + (0.0065 x 4) x 4 ) = 0.5 x C0RJC x ( 1 + 0.0115 )^( 6 x 2 )
C0RJS x ( 1 + 0.026 x 4 ) = 0.5 x C0RJC x ( 1.0115 )^( 12 )
C0RJS x ( 1 + 0.104 ) = 0.5 x C0RJC x 1.147071912
C0RJS x 1.104 = C0RJC x 0.573535955
C0RJS = C0RJC x 0.573535955
 1.104
C0RJS = C0RJC x 0.519507206
Cálculos auxiliares 4: C0RJS = C0RJC x 0.519507206
C0RJC = 26,324.32$
C0RJS = 26,324.32 x 0.519507206
C0RJS = 13,675.67393
C0RJS = 13,675.67$
Cálculos auxiliares 5: C0RJS + C0RJC = 40,000$
13,675.67393 + 26,324.32399 = 39,999.99792
Arredondamento: 40,000$
Uma pessoa ganhou um prémio monetário, tendo
adquirido alguns bens com um terço do valor do referido
prémio. Os restantes dois terços foram investidos num
produto financeiro, em regime de juro composto, que lhe
garantia um taxa de juro anual de 5%. Decorrido 1 ano e 7 
meses diversificou o seu investimento: 40% do capital
acumulado até à data foi depositado, em regime de juro
simples, à taxa trimestral de 1.5% e os restantes 60%
continuaram aplicados no produto financeiro inicial.
Sabendo que 17 meses após a diversificação do
investimento, os juros totalizavam 35.000$, determine o
valor do prémio.
Temos o capital atual (C) desconhecido, que foi aplicado em dois regimes de capitalização diferentes, 1/3 foi gasto
em bens e 2/3 foi investido em RJC com taxa de juro (i) anual de 5%. Decorrido 1 ano e 7 meses foi diversificado o
investimento, 40% do capital acumulado (S) foi aplicado em RJC a taxa de juro (i) trimestral de 1.5%, 60% do capital
acumulado (S) continuou aplicado no produto inicial e sabendo que após 17 meses da diversificação os juros (J)
totalizavam 35,000$. O objetivo é encontrar o capital atual (C) do prémio . 
Cálculos auxiliares 1:
 
Sabendo que o ganhador gastou 1/3 do prémio em
bens pessoal. E 2/3 do prémio foi investido em RJC,
passando 1 ano e 7 meses, que corresponde 19 meses,
o valor acumulado (S) do investimento inicial foi
diversificado. A taxa unitário em RJC 0.05 e em RJS
0.015 e fazendo a capitalização na base de tempo em
meses. Temos que adeguar a taxa de juro na mesma
base de tempo com a capitalização. Se dividir 19
meses por 12 meses igualamos a mesma base de
tempo em RJC e se dividir a taxa de juro por 3 meses,
igualamos a mesma base de tempo em RJS.
40% do capital acumulado até à data foi depositado,
em regime de juro simples, à taxa trimestral de 1.5%. 
J = 0,4 x (2/3p) x ( 1 + 0.05 )^( 19/12 ) x ( 0.015/3 ) x 17
J = 0,4 x (2/3p) x ( 1.05 )^( 1.583333333 ) x 0.005 x 17
J = 0,4 x (2/3p) x 1.080313302 x 0.085
J = 0.666666666p x 0.036730652
J = 0.024487101p
Prémio (p)
Aplicação do prémio Capitalização RJS e RJC
meses
J = 35,000$
RJC i = 5%
meses
meses
2/3 prémio
RJS i = 1.5%
1/3 prémio 40% ( S ) Prémio (p)
60% ( S ) Prémio (p)
Cálculos auxiliares 2:
 
O restante, 60% continuaram aplicados no produto
financeiro inicialem RJC com taxa de juro (i) anual de 5%.
J = 0,6 x (2/3p) x ( 1 + 0.05 )^( 19/12 ) x [( 1 + 0.05 )^( 17/12 ) - 1]
J = 0,6 x (2/3p) x ( 1.05 )^( 1.583333333 ) x [( 1.05 )^( 1.416666667 ) - 1]
J = 0,6 x (2/3p) x 1.080313302 x [ 1.071564145 - 1 ]
J = 0,6 x (2/3p) x 1.080313302 x 0.071564145
J = 0.666666666p x 0.046387018
J = 0.030924678p
Cálculos auxiliares 3:
 
Juros acumulado no final 36 meses ( 3 anos ) na somatória
das duas aplicações:
35,000.00 = 0.024487101p + 0.030924678p
35,000.00 = 0.055411779p
0.055411779p = 35,000.00
p = 35,000.00
 0.055411779
p = 631,634.6566
p = 631,634.66$ 
um terço em regime de juro simples à taxa de juro
anual de 3%;
dois terços em regime de juro composto à taxa de
juro anual de 2%.
Um capital foi aplicado em regime de juro composto,
durante 6 meses, à taxa de juro anual de 2%. Findo
esse prazo, o seu titular adquiriu uma viatura no valor
de 24,000$ e aplicou o restante valor da seguinte
forma:
Passados 10 meses o capital acumulado das duas
aplicações totaliza 45,000$. Determine o mantante
inicialmente aplicado.
C0
Aplicação de Capitalização RJS e RJC
meses
M' + S' = 45,000$
RJC i = 2%
meses
2/3C'
RJS i = 3%
1/3C'
24,000$ na compra da
viatura
Temos o capital atual (C) desconhecido, que foi aplicado em RJC à taxa de juro (i) anual de 2% (0.02) durante 6 meses
(n). No fim desse prazo o titular adquiriu uma viatura no valor de 24,000$, o restante do capital foi aplicado em dois
regimes de capitalização diferente, 1/3 do valor aplicado em RJS à taxa de juro anual (i) 3% (0.03) e 2/3 do valor
aplicado em RJC com taxa de juro (i) anual de 2% (0.02). Decorrido 10 meses o capital acumulado das duas aplicaores
é 45,000$. Objetivo é encontrar o valor inicial da aplicação. 
Cálculos auxiliares 1: 
O capital após a aquisição da viatura é C' = S' - 24,000$
O valor acumulado após a aquisição da viatura é M'+S' = 45,000$
Cálculos auxiliares 2: 
 
Equação de valor C' x ( 1 + i x n ) + C' x ( 1 + i )^n = M'+S'
1/3C' x ( 1 + (0.03/12) x 10 ) + 2/3C' x ( 1 + 0.02 )^(10/12) = 45,000$
1/3C' x ( 1 + 0.0025 x 10 ) + 2/3C' x ( 1 + 0.02 )^(0.833333333) = 45,000$
1/3C' x ( 1 + 0.025 ) + 2/3C' x ( 1.02 )^(0.833333333) = 45,000$
1/3C' x ( 1.025 ) + 2/3C' x ( 1.02 )^(0.833333333) = 45,000$
1/3C' x 1.025 + 2/3C' x 1.016639103 = 45,000$
0.341666666C' + 0.677759401C' = 45,000$
1.019426068C' = 45,000$
C' = 45,000$
 1.019426068
C' = 44,142.48508
C' = 44,142.48$
Cálculos auxiliares 3:
O capital após a aquisição da viatura é 
C' = S' - 24,000$
C' = 44,142.48508
44,142.48508 = S' - 24,000$
44,142.48508 + 24,000$ = S' 
S' = 44,142.48508 + 24,000$ 
S' = 68,142.48508
S' = 68,142.48$
Cálculos auxiliares 4:
C0 = S' / (1+i)^n
C0 = 68,142.48508 / (1 + 0.02)^(6/12)
C0 = 68,142.48508 / (1.02)^(0.5)
C0 = 68,142.48508 / 1.009950494
C0 = 68,142.48508 
 1.009950494
C0 = 67,471.11416
C0 = 67,471.11$
Um capital aplicado em regime de juro simples,
durante 3 anos e 6 meses, à taxa de juro semestral de
1.5%, produziu um capital acumulado inferior em
81,77$ ao que teria sido produzido se tivesse sido
aplicado em regime de juro composto, durante o
mesmo prazo, à taxa trimestral de 0.75%. Calcule:
A) O valor do capital aplicado;
B) O valor dos juros acumulados em cada um dos
regimes de juros;
C) O valor dos juros obtidos durante o último período
em cada um dos regimes de juros.
C0
Aplicação de Capitalização RJS e RJC
RJC i = 0.75%
meses
RJS i = 1.5%
M = S - 81.77$
Temos o capital atual (C) desconhecido, que foi aplicado em RJS à taxa de juro (i) semestral de 1.5% (0.015) durante
42 meses (n) ( 3 anos e 6 meses ). No fim desse prazo (n) o valor acumulado em RJS é inferior 81.77$ do valor
acumuladose fosse aplicado em RJC, em uma taxa de juro (i) 0.75% (0.0075).
Cálculos auxiliares 1 exercício A: Valor acumulado em RJS
M = C ( 1 + i x n )
M = C ( 1 + ( 0.015/6 ) x 42
M = C ( 1 + 0.0025 x 42 )
M = C ( 1 + 0.105 )
M = C ( 1.105 )
M = 1.105C
Cálculos auxiliares 2 exercício A: Composição do valor acumulado em RJC
S = M + 81.77$
S = 1.105C + 81.77$
Cálculos auxiliares 3 exercício A: Atualização em RJC
C = S / ( 1 + i )^n
C = 1.105C + 81.77$ / ( 1 + 0.0075 )^(42/3)
C = 1.105C + 81.77$ / ( 1.0075 )^(14)
C = 1.105C + 81.77$ / 1.110275528
C x 1.110275528 = 1.105C + 81.77$
1.110275528C = 1.105C + 81.77$ 
1.110275528C - 1.105C = 81.77$
0.005275527C = 81.77$
C = 81.77$ / 0.005275527
C = 15,499.87328
C = 15,499.87$
Cálculos auxiliares exercício B
Juros acumulado RJS
J = C x i x n
J = 15,499.87328 x (0.015/6) x 42
J = 15,499.87328 x 0.0025 x 42
J = 1,627.486695
J = 1,627.49$
Juros acumulado RJC
J = C [( 1+i )^n -1 ]
J = 15,499.87328 [( 1+0.0075 )^(42/3) -1 ]
J = 15,499.87328 [( 1.0075 )^(14) -1 ]
J = 15,499.87328 [ 1.110275528 -1 ]
J = 15,499.87328 [ 0.110275527 ]
J = 1,709.256706
J = 1,709.26$
Cálculos auxiliares exercício C
Juros do período em RJS
jn = C x i
jn = 15,499.87328 x 0.015
jn = 15,499.87328 x 0.015
jn = 232.4980992
jn = 232.50$
Juros do período em RJC
jn = C(1+i)^n-1 x i
jn = 15,499.87328 (1+0.0075)^(42/3 - 1) x 0.0075
jn = 15,499.87328 (1.0075)^(14 - 1) x 0.0075
jn = 15,499.87328 (1.0075)^(13) x 0.0075
jn = 15,499.87328 (1.0075)^(13) x 0.0075
jn = 15,499.87328 x 1.102010449 x 0.0075
jn = 128.1076674
jn = 128.11$
S = M + 81.77$
Olá, eu sou Artur Junior
criador dos conteúdos
ENCYCLOPAEDIA. Todos
os conteúdos
apresentados é baseado
de anotações dos cursos
que já frequentei. O
objetivo desse material é
revisar e dividir
conhecimentos
adquiridos.
Os textos e conteúdos veio das anotações do livro Matemática Financeira
Teoria e Prática dos autores Fernanda Matias, Ana Martins, Carlos
Monteiro e Telma Correia da editora Sílabo 1ª edição do ano de 2020.
As anotações é do ano de 2019 do curso de Gestão da Universidade do
Algarve pela Escola Superior de Gestão, Hotelaria e Turísmo no Campus
Penha em Portugal.
Conceitos de Juros Compostos;
Conceito desconto composto;
Conceitos de Juros Simples;
Siglas utilizados nas fórmulas;
Conceito de fórmulas derivadas;
Capitalização de juros compostos;
Atualização de juros compostos;
Capitalização de juros simples;
Atualização de juros simples;
Conceito de equação de valor;
Resolução de exercícios.
Sebenta em Portugal e Apostilha no Brasil aqui abordamos os temas: