APOSTILA_DE_CONCRETO_ARMADO_UNIVERSIDADE-1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
 ESCOLA DE ENGENHARIA 
 Departamento de Engenharia de Estruturas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRADUAÇÃO 
 
 
 
CONCRETO ARMADO I 
 
 
 
 
Ney Amorim Silva 
 (Prof. Titular) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Versão Junho 2018 
 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 1 
 
 
Departamento de Engenharia de Estruturas – EE-UFMG 
 
Junho 2018 
 
MATERIAIS – AÇÕES - RESISTÊNCIAS 
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1.1 – Histórico 
 
O material composto concreto armado surgiu há mais de 150 anos e se trans-
formou nesse período no material de construção mais utilizado no mundo, devido prin-
cipalmente ao seu ótimo desempenho, economia e facilidade de produção. Abaixo são 
citadas algumas datas históricas, em termos do aparecimento e desenvolvimento do 
concreto armado e protendido, conforme Rusch (1981). 
 
1824 – O inventor inglês Joseph ASPDIM recebeu a patente de um produto que estava 
desenvolvendo desde 1811, a partir da mistura de argila e pó de pedra calcária, produ-
zida pela passagem das carruagens nas ruas pavimentadas. Após a queima e moagem 
esse novo material pulverulento recebeu o nome de cimento portland, devido à sua 
semelhança com as pedras encontradas na ilha de Portland, ao sul da Inglaterra. 
 
1848/1855 – O francês Joseph-Louis LAMBOT desenvolveu no sul da França, onde 
passava suas férias de verão, um barco fabricado com o novo material, argamassa de 
cimento e areia entremeados por fios de arame. É considerado o inventor do ferro-
cimento (argamassa armada) que deu origem ao hoje conhecido concreto armado. O 
processo de fabricação era totalmente empírico e acreditando estar revolucionando a 
indústria naval, patenteou o novo produto já em 1848, apresentando-o na feira interna-
cional de Paris em 1855. Infelizmente sua patente não fez o sucesso esperado sendo 
superada pelas patentes posteriores de outro francês, Monier. 
 
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1.2 
 
1861 – O jardineiro (paisagista) e horticultor francês Joseph MONIER foi na realidade 
o único a se interessar pela descoberta de seu compatriota Lambot, vendo nesse 
barco a solução para os seus problemas de confinamento de plantas exóticas tropicais 
durante o inverno parisiense. O ambiente quente e úmido da estufa era favorável ao 
apodrecimento precoce dos vasos feitos até então de madeira. O novo produto além 
de bem mais durável apresentava uma característica peculiar: se o barco era feito 
para não permitir a entrada de água seguramente não permitiria também a sua saída, 
o que se encaixava perfeitamente à busca de Monier. A partir dessa data começou a 
produzir vasos de flores com argamassa de cimento e areia, reforçada com uma ma-
lha de aço. Monier além de ser bastante competente como paisagista, possuía um 
forte espírito empreendedor e viu no novo produto grandes possibilidades, passando 
a divulgar o concreto armado inicialmente na França e posteriormente na Alemanha e 
em toda a Europa. Ele é considerado por muitos como o pai do concreto armado. Em 
1875 construiu no castelo de Chazelet, nos arredores de Paris uma ponte de concreto 
armado com 16,5 m de vão por 4m de largura. 
 
1867 – Monier recebe sua primeira patente para vasos de flores de concreto com ar-
maduras de aço. Nos anos seguintes consegue novas patentes para tubos, lajes vigas 
e pontes. As construções eram feitas de forma empírica mostrando que o paisagista 
não possuía uma noção clara da função estrutural das armaduras de aço no concreto. 
 
1877 – O advogado, inventor e abolicionista americano Thaddeus HYATT publicou 
seus ensaios com construções de concreto armado. Hyatt já reconhecia claramente o 
efeito da aderência aço-concreto, da função estrutural das armaduras, assim como da 
sua perfeita localização na peça de concreto. 
 
1878 - Monier consegue novas patentes fundamentais que dão origem a introdução do 
concreto armado em outros países. 
 
1884 – Duas firmas alemãs FREYTAG & HEISDCHUCH e MARSTENSTEIN & JOS-
SEAUX, compram de Monier os direitos de patente para o sul da Alemanha e reservam-
se o direito de revenda para toda a Alemanha. 
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1.3 
 
1886 – As duas firmas alemãs cedem o direito de revenda ao engenheiro G. A. WAISS, 
que funda em Berlim uma empresa para construções de concreto segundo o “Sistema 
Monier”. Realiza ensaios em “Construções Monier” e mostra através de provas de 
carga as vantagens econômicas de colocação de barras de aço no concreto, publi-
cando esses resultados em 1887. Nessa mesma publicação o construtor oficial Mathias 
KOENEN, enviado aos ensaios pelo governo Prussiano, desenvolve baseado nos en-
saios, um método de dimensionamento empírico para alguns tipos de “Construções 
Monier”, mostrando que conhecia claramente o efeito estrutural das armaduras de aço. 
Desse modo passa a existir uma base tecnicamente correta para o cálculo das arma-
duras de aço. 
 
1888 – O alemão C. W. F. DÖHRING consegue uma patente segunda a qual lajes e 
vigas de pequeno porte têm sua resistência aumentada através da protensão da arma-
dura, constituída de fios de aço. Surge assim provavelmente pela primeira vez a ideia 
da protensão deliberada. 
 
1900 – A construção de concreto armado ainda se caracterizava pela coexistência de 
sistemas distintos, geralmente patenteados. O professor da Universidade de Stuttgart 
Emil MÖRSCH desenvolve a teoria iniciada por Koenen e a sustenta através de inú-
meros ensaios realizados sobre a incumbência da firma WAISS & FREITAG, a qual 
pertencia. Os conceitos desenvolvidos por Mörsch e publicados em 1902 constituem 
ao longo do tempo e em quase todo o mundo os fundamentos da teoria de dimensio-
namento de peças de concreto armado. 
 
1906 – O alemão LABES concluiu que a segurança contra abertura de fissuras condu-
zia a peças antieconômicas. Koenen propôs em 1907 o uso de armaduras previamente 
distendidas. Foram realizados ensaios em vigas protendidas relatadas por BACH em 
1910. Os ensaios mostraram que os efeitos danosos da fissuração eram eliminados 
com a protensão. Entretanto Koenen e Mörsch reconheceram já em 1912 uma perda 
razoável de protensão, uma vez que o concreto encurta-se com o tempo, devido à 
retração e deformação lenta. 
 
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1.4 
 
1928 - O francês E. FREYSSINET já havia usado a protensão em 1924. Entretanto só 
em 1928 desenvolveu um processo empregando aços de alta resistência protendidos, 
capazes de provocar tensões de compressão suficientemente elevadas e permanentes 
no concreto. Estudou as perdas devido à retração e deformação lenta do concreto e 
registrou várias patentes sobre o sistema Freyssinet de protensão. É considerado o pai 
do concreto protendido. 
 
1.2 – Viabilidade do concreto armado 
 
O concreto armado é um material de construção composto, constituído de concreto 
e barras de aço nele imersas. O funcionamento conjunto dos dois materiais só se via-
biliza devido simultaneamente às três propriedades abaixo: 
 
 Aderência aço-concreto – esta talvez seja a mais importante das propriedades 
que viabilizam o concreto armado, uma vez que é a responsável pela transferência 
das tensões de tração não absorvidas pelo concreto para as barras da armadura,garantindo assim o perfeito funcionamento conjunto dos dois materiais; 
 
 Coeficientes de dilatação térmica do aço e do concreto praticamente iguais – 
esta propriedade garante que para variações normais de temperatura, excetuada a 
situação extrema de incêndio, não haverá acréscimo de tensão capaz de compro-
meter a perfeita aderência aço-concreto; 
 
 Proteção da armadura contra a corrosão – esta proteção que está intimamente 
relacionada com a durabilidade do concreto armado acontece de duas formas dis-
tintas: a proteção física e a proteção química. A primeira é garantida quando se 
atende os requisitos de cobrimento mínimo preconizado pela NBR 6118:2014, Pro-
jeto de estruturas de concreto — Procedimento, que protege de forma direta as 
armaduras das intempéries. A proteção química ocorre devido à presença da cal no 
processo químico de produção do concreto, que envolve a barra de aço dentro do 
concreto, criando uma camada passivadora cujo “ph” se situa acima de 13, criando 
condições inibidoras da corrosão. Quando a frente de carbonatação, que acontece 
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1.5 
 
devido à presença de gás carbônico (CO2) do ar e porosidade do concreto, atinge 
as barras da armação essa camada é despassivada pela reação química do (CO2) 
com a cal, produzindo ácidos que abaixam o “ph” dessa camada para níveis iguais 
ou inferiores a 11.5, criando as condições favoráveis para o processo eletroquímico 
da corrosão se iniciar. A despassivação dessa camada não implica que haverá sem-
pre a corrosão das armaduras, que pode acontecer independentemente da carbo-
natação, na presença de cloretos (íons cloro Cl -), ou sulfatos (S - -). 
 
1.3 – Vantagens do concreto armado 
 
 Economia – é a vantagem que juntamente com a segunda a seguir, transformaram 
em um século e meio o concreto armado no material de construção mais usado no 
mundo; 
 
 Adaptação a qualquer tipo de forma ou fôrma e facilidade de execução – a produção 
do concreto armado não requer mão de obra muito especializada e com relativa 
facilidade pode-se conseguir elementos com qualquer tipo de forma a partir de sim-
ples moldes feitos de madeira, ou seja, a partir de uma fôrma; 
 
 Estrutura monolítica – (monos – única, litos – pedra) esta propriedade garante à 
estrutura de concreto armado uma grande reserva de segurança devido ao alto grau 
de hiperestaticidade propiciado pelas ligações bastante rígidas das peças de con-
creto armado, garantindo à estrutura o funcionamento como um corpo único. Além 
disso, se uma peça estiver submetida a um esforço maior que a sua capacidade 
elástica resistente, ela ao plastificar, promove uma redistribuição de esforços, trans-
ferindo às peças adjacentes a parcela adicional do esforço não absorvido; 
 
 Manutenção e conservação praticamente nulas – a ideia que a estrutura de con-
creto armado é eterna não é mais aceita no meio técnico. A nova mentalidade é que 
se deve associar à qualidade de execução do concreto em todas as suas etapas, 
um programa preventivo de manutenção e conservação. Naturalmente quando 
comparado com outros materiais de construção essa manutenção e conservação 
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1.6 
 
acontecem em uma escala bem menor, sem prejuízo, no entanto da vida útil das 
obras de concreto armado; 
 
 Resistência a efeitos térmico-atmosféricos e a desgaste mecânico. 
 
1.4 – Desvantagens do concreto armado 
 
 Peso próprio – a maior desvantagem do concreto armado é seguramente o seu 
grande peso próprio que limita a sua utilização para grandes vãos, onde o concreto 
protendido ou mesmo a estrutura metálica passam a ser econômica e tecnicamente 
mais viáveis. A massa específica, segundo a NBR 6118:2014, é de 2500 kg/m3; 
 
 Dificuldade de reformas e demolições - hoje com a utilização de tecnologias avan-
çadas e equipamentos modernos, que facilitam as reformas e demolições, essa 
desvantagem pode ser amenizada; 
 
 Baixo grau de proteção térmica – embora resista normalmente à ação do fogo, as-
sociada à sua baixa condutividade térmica, a estrutura de concreto necessita de 
dispositivos complementares como telhados e isolamentos térmicos para proporci-
onar um conforto térmico adequado à construção; 
 
 Fissuração – a fissuração é um fenômeno inevitável nas peças tracionadas de con-
creto armado, devido ao baixo grau de resistência à tração do concreto. Durante 
muito tempo foi considerada uma desvantagem do material. Já a partir do final da 
década de setenta, esse fenômeno passou a ser melhor entendido. Como não se 
pode eliminar as fissuras no concreto armado a ideia é controlá-la, buscando-se 
uma nova redistribuição, ou mesmo uma substituição da armadura de tração por 
bitolas menores. Pode-se ainda adotar novos valores de cobrimentos mínimos e até 
mesmo diminuir as tensões de serviço das armaduras, pelo acréscimo das suas 
áreas. Cabe salientar que a fissuração não foi eliminada, apenas controlada dentro 
de limites aceitáveis de abertura máxima de fissuras, de tal forma a não comprome-
ter a vida útil do concreto armado e também sua estética. 
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1.7 
 
1.5 – Concreto 
 
O concreto é uma mistura em proporção adequada (traço) dos materiais ci-
mento (aglomerante), agregados miúdo (areia) e graúdo (brita), que são misturados 
na presença de água resultando um novo material de construção, cujas características 
do produto final diferem substancialmente daquelas dos materiais que o constituem. 
 
1.5.1 – Propriedades mecânicas do concreto 
 
1.5.1.1 - Resistência à compressão 
 
A resistência mecânica do concreto à compressão, devido a sua função estru-
tural assumida no material composto concreto armado, é a principal propriedade me-
cânica desse material a ser analisada e estudada. Essa propriedade é obtida através 
de ensaios de compressão simples realizados em corpos de provas (CPs), com di-
mensões e procedimentos previamente estabelecidos em normas nacionais e estran-
geiras. 
 
A resistência à compressão depende basicamente de dois fatores: a forma do 
corpo de prova e a duração do ensaio. O problema da forma é resolvido estabele-
cendo-se um corpo de prova cilíndrico padronizado, com 15 cm de diâmetro e 30 cm 
de altura, que é recomendado pela maioria das normas do mundo, inclusive as brasi-
leiras. Em outros países, como por exemplo a Alemanha, adota-se um corpo de prova 
cúbico de aresta 20 cm, que para um mesmo tipo de concreto fornece resistência à 
compressão ligeiramente superior ao obtido com o CP cilíndrico. Esse acréscimo 
ocorre em função de uma maior área de atrito entre as faces carregadas do corpo de 
prova cúbico e os pratos da máquina de ensaio, confinando-o de forma mais efetiva ( 
maior restrição ao deslocamento transversal das faces carregadas). Adota-se nesse 
caso um fator redutor igual a (0,85), que quando aplicado ao CP cúbico transforma 
seus resultados em valores equivalentes aos do CP cilíndrico, podendo assim ser 
usada a vasta bibliografia alemã sobre o assunto. 
 
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1.8 
 
Normalmente o ensaio de compressão em corpos de prova é de curta duração 
e sabe-se, a partir dos trabalhos realizados pelo alemão Rüsch, que o resultado desse 
ensaio é ligeiramente superior ao obtido quando o ensaio é de longa duração. Isso sedeve à microfissuração interna do concreto, que se processa mesmo no concreto des-
carregado, e que no ensaio de longa duração tem seu efeito ampliado devido à inter-
ligação entre as microfissuras, diminuindo assim a capacidade resistente do CP à 
compressão. Uma vez que grande parcela do carregamento que atua em uma estru-
tura é de longa duração os resultados do ensaio de curta duração devem ser corrigi-
dos por um fator redutor, denominado Coeficiente de Rüsch, igual a (0,85). 
 
1.5.1.2 - Resistência característica do concreto a compressão – (fck) 
 
Quando os resultados dos ensaios a compressão de um grande número de 
CPs são colocados em um gráfico, onde nas abscissas são marcadas as resistências 
obtidas e nas ordenadas a frequência com que as mesmas ocorrem, o gráfico final 
obedece a uma curva normal de distribuição de frequência, ou curva de Gauss (ver 
fig. 1.1). Observa-se nesse gráfico que a resistência que apresenta a maior frequência 
de ocorrência é a resistência média (fcj), aos “j” dias, e que o valor equidistante entre 
essa resistência média e os pontos de inflexão da curva é o desvio-padrão “s”, cujos 
valores são dados respectivamente por: 
 
 
n
f
f
ci
cj

 (1.1) 
 
 
1n
ff
s
2
cjci




 (1.2) 
 
Onde n é o número de CPs e (fci) é a resistência à compressão de cada CP “i”. 
 
Uma característica da curva de Gauss é que: ∫ fcidfc = 1 , ou seja, a área abaixo 
da curva é igual a 1. Um valor qualquer de resistência à compressão marcado no eixo 
das abscissas divide essa área em duas outras, que representam as probabilidades 
de ocorrência de valores maiores ou menores que esse. 
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1.9 
 
Do lote de CPs ensaiados a resistência a ser utilizada nos cálculos é baseada 
em considerações probabilísticas, considerando-se em âmbito mundial a resistência 
característica fck do lote de concreto ensaiado aquela abaixo da qual só corresponde 
um total de 5% dos resultados obtidos, ou seja, um valor com 95% de probabilidade 
de ser ultrapassado (ver fig. 1.1). 
 
 
 
Figura 1.1 – Curva de Gauss para CPs de concreto ensaiados à compressão 
 Resistência característica fck 
 
Segundo a NBR 8953:2015 (Concreto para fins estruturais – Classificação 
pela massa específica, por grupos de resistência e consistência), a definição da 
classe de resistência do concreto é função da sua resistência fck. Assim um concreto 
classe C20 é o concreto normal (massa específica seca entre 2000 e 2800 kf/m3) que 
apresenta um fck = 20 MPa (se fosse classe CL20, seria concreto leve, com massa 
específica seca menor que 2000 kg/m3). 
 
Os concretos para fins estruturais, segundo a NBR 6118:2014, são classifica-
dos nos grupos I (classe C20 a C50, de 5 em 5 MPa) e II (classe C55 a C90, de 5 em 
5 MPa), sendo permitida a especificação de valores intermediários. Segundo a NBR 
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1.10 
 
8953:2015, concretos com classe de resistência inferior a C20 não são estruturais e, 
caso sejam utilizados, devem ter seu desempenho atendido conforme NBR 
6118:2014 e NBR 12655:2006, Concreto de cimento Portland – Preparo, controle 
e recebimento – Procedimento. 
 
Para um quantil de 5% obtém-se a partir da curva de Gauss (ver figura 1.1): 
 
s 1,645ff cjck  ≈ s 1,65fcj  (1.3) 
 
A partir de resultados de ensaios feitos em um grande número de obras e em 
todo o mundo percebeu-se que o desvio-padrão “s” é principalmente dependente da 
qualidade de execução e não da resistência do concreto. A NBR-12655:2006, define 
que o cálculo da resistência de dosagem deve ser feito segundo a equação: 
 
dckcj s1,645ff  ≈ dck s 1,65f  (1.4) 
 
Onde sd representa o desvio-padrão de dosagem. 
 
De acordo com a NBR-12655:2006 o cálculo da resistência de dosagem do con-
creto depende, entre outras variáveis, da condição de preparo do concreto, definida a 
seguir: 
 
 Condição A (aplicável às classes C10 até C80): o cimento e o os agregados são 
medidos em massa, a água de amassamento é medida em massa ou volume com 
dispositivo dosador e corrigida em função da umidade dos agregados; 
 Condição B 
(aplicável às classes C10 até C25): o cimento é medido em massa, a água de 
amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados 
medidos em massa combinada com volume, de acordo com o exposto em 6.2.3; 
(aplicável às classes C10 até C20): o cimento é medido em massa, a água de 
amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados 
medidos em volume. A umidade do agregado miúdo é determinada pelo menos 
 
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1.11 
 
três vezes durante o serviço do mesmo turno de concretagem. O volume de agre-
gado é corrigido através da curva de inchamento estabelecida especificamente 
para o material utilizado; 
 Condição C (aplicável apenas aos concretos de classe C10 e C15): o cimento é 
medido em massa, os agregados são medidos em volume, a água de amassa-
mento é medida em volume e a sua quantidade é corrigida em função da estimativa 
da umidade dos agregados e da determinação da consistência do concreto, con-
forme disposto na NBR 7223, ou outro método normalizado (A NBR 7223:1992 foi 
cancelada e substituída pela NBRNM 67:1998). 
 
Ainda de acordo com a NBR-12655:2006, no início da obra ou em qualquer 
outra circunstância em que não se conheça o valor do desvio-padrão sd, deve-se ado-
tar para o cálculo da resistência de dosagem os valores apresentados na tabela 1.1, 
de acordo com a condição de preparo, que deve ser mantida permanentemente du-
rante a construção. Mesmo quando o desvio-padrão seja conhecido, em nenhum caso 
o mesmo pode ser adotado menor que 2 MPa. 
 
 Tabela 1.1 – Desvio- padrão a ser adotado em função da 
 condição de preparo do concreto (NBR 12655:2006) 
 
 Condição Desvio-padrão (MPa) 
 A 4,0 
 B 5,5 
 C1) 7,0 
 
1) - Para condição de preparo C, e enquanto não se conhece o desvio-padrão, exige-
se para os concretos de classe C15 um consumo mínimo de 350 Kg de cimento por 
metro cúbico. 
 
 
 
 
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1.12 
 
1.5.1.3 - Módulo de elasticidade longitudinal 
 
O módulo de elasticidade longitudinal para um ponto qualquer do diagrama x 
(tensãoxdeformação) é obtido pela derivada (d/d) no ponto considerado, que repre-
senta a inclinação da tangente à curva no ponto. De todos os módulos tangentes pos-
síveis o seu valor na origem tem grande interesse, uma vez que as tensões de serviço 
na estrutura são da ordem de 40% da tensão de ruptura do concreto, e nesse trecho 
inicial o diagrama x é praticamente linear. De acordo com o item 8.2.8 da NBR-
6118:2014 o módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial é dado 
por: 
 
 ckEci f5600αE  para fck ≤ 50 MPa (Grupo I) (1.5a) 
 3 ckE
3
ci 1,25
10
f
α21,5x10E  para fck > 50 MPa (Grupo II) (1.5b) 
 
Com Eci e fck dados em megapascal (MPa). 
 
Sendo: αE = 1,2 concreto produzido com brita de basalto ou diabásio 
 αE = 1,0 concreto produzido com brita de granito ou gnaisse 
 αE = 0,9 concreto produzido com brita de calcário 
 αE = 0,7 concreto produzido com brita de arenito 
 
O módulo de deformação secante a ser utilizadonas análises elásticas de pro-
jeto, principalmente para determinação dos esforços solicitantes e verificação dos es-
tados limites de serviço, pode ser estimado pela expressão: 
 
 ciics EαE  (1.6a) 
Sendo 
 1,0
80
f
0,20,8α cki  (fck em MPa) (1.6b) 
 
 
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1.13 
 
1.5.1.4 - Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal 
 
De acordo com o item 8.2.9 da NBR-6118:2014 para tensões de compressão 
inferiores a 50% de fc (ruptura à compressão) e para tensões inferiores a resistência 
à tração fct, o coeficiente de Poisson (relação entre a deformação transversal e longi-
tudinal) e o módulo de elasticidade transversal são dados respectivamente por: 
 
  = 0,2 (1.7) 
 
  cs
cscs
c 0,42E
2,4
E
ν12
E
G 

 (1.8) 
 
1.5.1.5 - Diagrama tensão-deformação (x) 
 
Conforme o item 8.2.10 da NBR-6118:2014 o diagrama x na compressão 
para tensões inferiores a 0,5 fc (resistência à compressão do concreto) pode ser ado-
tado linear (Hooke), com o módulo de elasticidade igual ao secante Ecs. 
 
Para os estados limites últimos o diagrama x na compressão, apresentado 
na figura (1.2) abaixo, é um diagrama idealizado, onde se nota dois trechos distintos, 
o primeiro curvo de acordo uma parábola de grau “n”, com deformações inferiores a 
εc2 e o segundo constante, com deformações variando de εc2 a εcu. Para o trecho 
curvo a tensão no concreto é dada por: 
 
 

















n
c2
c
cdc
ε
ε
110,85fσ (1.9a) 
 
Onde fcd representa a resistência de cálculo do concreto dada no item 12.3.3 
da NBR 6118:2014, mostrada adiante no item 1.8, e a potência “n” é dada na figura 
1.2 em função dos grupos de resistência I (C20 a C50) e II (C55 a C90) do concreto. 
 
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1.14 
 
O valor da resistência no trecho constante é igual a σc = 0,85 fcd (o valor 0,85 
só muda quando se adotar o diagrama retangular simplificado, como será visto no 
capítulo 2). 
 
 
Figura 1.2 - Diagrama tensão-deformação idealizado (compressão) 
 (Adaptada da Fig. 8.2 da NBR 6118:2014) 
 
Os valores a serem adotados para os parâmetros εc2 (deformação específica 
de encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e εcu (deformação espe-
cífica última de encurtamento do concreto na ruptura) são os seguintes: 
 
εc2 = 2‰ 
 concretos de classes até C50 (1.9b) 
εcu = 3,5‰ 
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1.15 
 
εc2 = 2‰ + 0,085‰ (fck – 50)0,53 
 concretos de classes C55 até C90 (1.9c) 
εcu = 2,6‰ + 35‰ x [ (90 – fck) / 100 ]4 
 
 Na figura 1.3, que mostra os diagramas x de todas as classes, nota-se que 
nos concretos do grupo I os trechos curvo (0‰ a εc2 = 2‰) e o constante (εc2 = 2‰ a 
εcu = 3,5‰) tem os mesmos intervalos. Já para os concretos do grupo II esses inter-
valos são variáveis, com aumento progressivo do trecho curvo e diminuição do trecho 
constante. Para a situação limite da classe C90 resta apenas o trecho curvo (εc2,C90 = 
εcu,C90 = 2,6‰). Na tabela para concretos do grupo II estão listados os valores do grau 
da parábola (n), as deformação limite do trecho curvo (εc2) e o encurtamento último 
do concreto (εcu). 
 
 
 
Figura 1.3 - Diagramas tensão-deformação parábola-retângulo 
 
 
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1.16 
 
1.5.1.6 - Resistência à tração 
 
Conforme o item 8.2.5 da NBR-6118:2014 os conceitos relativos à resistência 
a tração direta do concreto fct são análogos aos do item anterior relativo à compres-
são. Assim tem-se a resistência média do concreto à tração fctm e a resistência carac-
terística do concreto à tração fctk, ou simplesmente ftk. Esse valor tem 95% de proba-
bilidade de ser superado pelos resultados do lote de concreto ensaiado. Na tração, o 
diagrama x é bilinear conforme a figura (1.4) mostrada a seguir. 
 
 
 
Figura 1.4 - Diagrama tensão-deformação bilinear na tração 
 (Adaptada da Fig. 8.3 da NBR 6118:2014) 
 
Enquanto na compressão o ensaio usado é o da compressão direta, na tração 
são normalizados três ensaios: tração direta, tração indireta (compressão diametral) 
e tração na flexão. O ensaio de compressão diametral, conhecido mundialmente como 
ensaio brasileiro por ter sido desenvolvido pelo Prof. Lobo Carneiro (em 1943), é o 
mais utilizado, o mais simples (por utilizar o mesmo CP cilíndrico agora carregado no 
sentido de duas geratrizes diametralmente opostas) e fornece resultados mais homo-
gêneos e ligeiramente superiores ao da tração direta. 
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1.17 
 
Os resultados das resistências à tração nos dois últimos ensaios são diferentes 
do valor de referência, obtido com o ensaio da tração direta. A NBR 6118:2014 fornece 
correlações entre o valor fct (tração direta) com os valores obtidos com os ensaios de 
compressão diametral fct,st (spliting test) e tração na flexão fct,f. 
 
 fct = 0,9 fct,st (1.10) 
ou 
 fct = 0,7 fct,f (1.11) 
 
Onde fct,st é a resistência à tração indireta e fct,f é a resistência à tração na flexão. 
 
Na falta desses valores dos ensaios a tração pode-se obter a resistência média 
à tração, fct,m, em função da resistência característica à compressão fck: 
 
fct,m = 0,3 (fck)2/3 (MPa) P/ concretos de classes até C50 (1.12a) 
 
fct,m = 2,12 ln(1+0,11fck) (MPa) P/ concretos de classes C55 até C90 (1.12b) 
 
Os valores da resistência característica a tração fctk, inferior e superior, usados 
em situações especificas mais a frente, são dados por: 
 
 0,21 (fck)2/3 (MPa) até C50 
fctk,inf = 0,7 fct,m = (1.13a) 
 1,484 ln (1 + 0,11fck) (MPa) C55 até C90 
 
 0,39 (fck)2/3 (MPa) até C50 
fctk,sup = 1,3 fct,m = (1.13b) 
2,756 ln (1 + 0,11fck) (MPa) C55 até C90 
 
 
 
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1.18 
 
1.5.2 – Características reológicas do concreto 
 
Segundo o dicionário Aurélio reologia é “parte da física que investiga as propri-
edades e o comportamento mecânico dos corpos deformáveis que não são nem sóli-
dos nem líquidos”. As características reológicas do concreto que interessam ao estudo 
do concreto armado são: 
 
1.5.2.1 - Retração (shrinkage) 
 
A retração no concreto é uma deformação independente do carregamento e 
portanto, de direção sendo pois, uma deformação volumétrica que ocorre devido à 
perda de parte da água dissociada quimicamente do processo de produção do con-
creto, quando esse “seca” em contato com o ar. Segundo a NBR 6118:2014 a retração 
depende basicamente da umidade relativa do ambiente, da consistência do concreto 
no lançamento e da espessura fictícia da peça. 
 
A deformação específica de retração do concreto cs pode ser calculada con-
forme indica o Anexo A da NBR 6118:2014. Na grande maioria dos casos, permite-
se que ela seja calculadasimplificadamente por meio da tabela 1.2. Essa tabela for-
nece os valores característicos superiores da deformação específica de retração entre 
os instantes to e t, cs(t, to) e do coeficiente de fluência φ(t,t0), em função da umi-
dade média ambiente e da espessura equivalente ou fictícia da peça em , dada por: 
 
 
u
2A
e cm  (cm) (1.14) 
 
Onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com a 
atmosfera. 
 
Os valores dessa tabela são relativos à temperatura do concreto entre 10 oC e 
20 oC, podendo-se, no entanto, admitir temperaturas entre 0 oC e 40 oC. Esses valores 
são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum. 
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1.19 
 
Nos casos correntes das obras de concreto armado o valor da deformação es-
pecífica devido à retração pode ser adotado igual a cs(t, to) = –15x10-5, satisfazendo 
ao mínimo especificado na NBR-6118:2014 em função da restrição à retração do con-
creto imposta pela armadura. Esse valor admite elementos estruturais com dimensões 
usuais, entre 10 cm e 100 cm, sujeitos a umidade relativa do ar não inferior a 75%. O 
valor característico inferior da retração do concreto é considerado nulo. 
 
1.5.2.2 - Fluência (creep) 
 
A fluência é uma deformação que depende do carregamento e é caracterizada 
pelo aumento da deformação imediata ou inicial, mesmo quando se mantém constante 
a tensão aplicada. Devido a essa deformação imediata ocorrerá uma redução de vo-
lume da peça, provocando esse fato uma expulsão da água quimicamente inerte, de 
camadas mais internas para regiões superficiais da peça, onde a mesma já tenha se 
evaporado. Isso desencadeia um processo, ao longo do tempo, análogo ao da retra-
ção, verificando-se dessa forma um crescimento da deformação inicial, até um valor 
máximo no tempo infinito. 
 
Da mesma forma que na retração, as deformações decorrentes da fluência do 
concreto podem ser calculadas conforme indicado no Anexo A da NBR-6118:2014. 
Nos casos em que a tensão inicial, aplicada no tempo to não varia significativamente, 
permite-se que essas deformações sejam calculadas simplificadamente pela expres-
são: 
 








(28)E
)t(t
)(tE
1
)(tσεε)t(tε
ci
0,
0ci
0cccci0,c

 (1.15) 
 
Onde: c(t, to) - é a deformação específica total do concreto entre os instantes 
to e t; 
εci - é a deformação inicial produzida pela tensão σc(t0); 
εcc - é a deformação devido à fluência; 
c(t0) - é a tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em t0; 
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1.20 
 
Eci(t0) - é o modulo de deformação longitudinal calculado na idade do 
carregamento j = t0 pelas expressões (1.5a) e (1.5b); 
Eci(28) - é o modulo de elasticidade longitudinal calculado na idade t=28 
dias pelas expressões (1.5a) e (1.5b); 
(t, t0) - é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado 
por carregamento aplicado em t0. 
 
Tabela 1.2-Valores característicos superiores da deformação especifica de re-
tração εcs(t,t0) e do coeficiente de fluência φ(t,t0) (Tab. 8.2 da NBR6118:2014) 
 Umidade media 
ambiente (%) 
40 55 75 90 
Espessura fictí-
cia 
2 Ac/u (cm) 
20 60 20 60 20 60 20 60 
φ(t,to) 
C20 a 
C45 
to 
dias 
5 4,6 3,8 3,9 3,3 2,8 2,4 2,0 1,9 
30 3,4 3,0 2,9 2,6 2,2 2,0 1,6 1,5 
60 2,9 2,7 2,5 2,3 1,9 1,8 1,4 1,4 
φ(t,to) 
C50 a 
C90 
5 2,7 2,4 2,4 2,1 1,9 1,8 1,6 1,5 
30 2,0 1,8 1,7 1,6 1,4 1,3 1,1 1,1 
60 1,7 1,6 1,5 1,4 1,2 1,2 1,0 1,0 
εcs(t,to) 
‰ 
5 -0,53 -0,47 -0,48 -0,43 -0,36 -0,32 -0,18 -0,15 
30 -0,44 -0,45 -0,41 -0,41 -0,33 -0,31 -0,17 -0,15 
60 -0,39 -0,43 -0,36 -0,40 -0,30 -0,31 -0,17 -0,15 
 
O valor de (t, t0) pode ser calculado simplificadamente por interpolação da 
tabela 1.2. Essa tabela fornece o valor característico superior do coeficiente de fluên-
cia (t, t0). O seu valor característico inferior é considerado nulo. 
 
 
 
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1.21 
 
1.5.2.3 - Variação de temperatura 
 
A variação da temperatura no ambiente não se transmite imediatamente ao 
concreto, tendo uma ação retardada sobre a variação de temperatura no próprio con-
creto, devido ao seu baixo grau de condutibilidade térmica. Quanto mais interno esti-
ver o ponto considerado menor será sua variação de temperatura em função da tem-
peratura ambiente. 
 
Segundo a NBR 6118:2014, para efeito de análise estrutural, o coeficiente de 
dilatação térmica do concreto pode ser admitido como sendo igual a αc = 10-5/°C. 
Considerando o mínimo especificado nessa norma para a deformação específica do 
concreto devido à retração cs(t, to) = –15x10-5, isso equivale a uma diminuição uni-
forme de temperatura igual a 15oC. 
 
1.6 – Aço 
 
O aço é uma liga metálica composta basicamente de ferro e de pequenas quan-
tidades de carbono, com percentuais variando de 0,03% a 2%, que lhe confere maior 
ductilidade, possibilitando melhor trabalhabilidade para dobramento e execução das 
armaduras. Os teores de carbono para aços estruturais utilizados na construção civil 
variam de 0,18% a 0,25%. 
 
A armadura usada nas peças de concreto armado é chamada passiva e a 
usada na protensão do concreto protendido é chamada ativa. 
 
1.6.1 – Categoria 
 
Para aplicação estrutural o aço produzido inicialmente nas aciarias precisa ser 
modificado, o que acontece por meio de dois tipos de tratamento: a quente e a frio. O 
tratamento a quente consiste na laminação, forjamento ou estiramento do aço acima 
da temperatura crítica, em torno de 720 oC. Os aços assim produzidos apresentam 
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1.22 
 
maior trabalhabilidade, podem ser soldados com solda comum e apresentam dia-
grama tensão-deformação com patamar de escoamento bem definido. Estão incluídos 
nesse grupo os aços CA 25 e CA 50. 
 
O tratamento a frio ou encruamento é obtido por uma deformação imposta ao 
aço por meio de tração, compressão ou torção abaixo da temperatura crítica, impri-
mindo basicamente ao mesmo um aumento da sua resistência mecânica. O aço CA 
60 pertence a esse grupo, que apresenta um diagrama tensão-deformação sem pata-
mar de escoamento. 
 
Segundo a NBR 7480:1996 o aço a ser usado nos projetos de estruturas de 
concreto armado deve ser classificado nas categorias CA 25, CA 50 e CA 60, em que 
CA significa Concreto Armado e o número representa o valor característico da resis-
tência de escoamento do aço, fyd, em kN/cm2 ou kgf/mm2. 
 
A NBR 7480:1996 classifica como barra o aço produzido exclusivamente por 
laminação a quente com bitola nominal maior ou igual a 5 mm e como fio o produzido 
por laminação a frio (trefilação ou equivalente) com bitola nominal não superior a 10 
mm (tabela 1.3). Os valores nominais dos diâmetros, das áreas das seções transver-
sais e da massa por metro são os estabelecidos pela NBR-7480:1996, cujos valores 
mais usados estão indicados na tabela 1.4, abaixo. 
 
Para se obter a massa por unidade de comprimento (kg/m) das barras basta 
multiplicar a área da seção transversal por 1m de comprimento (que dá o volume da 
barra por metro), vezes a massa específica do aço. Assim, por exemplo, para a barra 
com bitola igual a 8 mm a área da seção transversal é igual a π x (8x10-3 m)2 / 4 = 
0,503x10-4 m2 = 0,503 cm2 e a massapor unidade de comprimento é (0,503x10-4 m2) 
x (1 m) x (7850 kg/m3) = 0,503 x 0,785 = 0,395 kg/m. Onde (7850 kg/m3) é a massa 
específica do aço, dada no item 1.6.3 a seguir. 
 
 
 
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1.23 
 
Tabela 1.3 – Diâmetros nominais de barras e fios - NBR 7480:1996 
BARRAS Φ≥ 5 mm - LAMINAÇÃO A QUENTE - AÇOS CA-25 E CA-50 
 5 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25 32 40 
 FIOS Φ≤ 10 mm – LAMINAÇÃO A FRIO – AÇO CA-60 
 2,4 3,4 3,8 4,2 4,6 5,0 5,5 6,0 6,4 7,0 8,0 9,5 10 
 
Tabela 1.4 – Valores nominais para fios e barras de aço 
Diâmetro nomi-
nal 
(mm) 
Massa 
Nominal 
(kg/m) 
Área nominal 
da seção 
(cm2) 
Fios Barras 
5,0 5,0 0,154 0,196 
6,0 0,222 0,283 
 6,3 0,245 0,312 
6,4 0,253 0,322 
7,0 0,302 0,385 
8,0 8,0 0,395 0,503 
9,5 0,558 0,709 
10,0 10,0 0,617 0,785 
- 12,5 0,963 1,227 
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1.24 
 
- 16 1,578 2,011 
- 20,0 2,466 3,142 
- 22,0 2,984 3,801 
- 25,0 3,853 4,909 
- 32,0 6,313 8,042 
- 40,0 9,865 12,566 
 
1.6.2 – Tipo de superfície 
 
Os fios e barras podem ser lisos, entalhados ou providos de saliências ou mos-
sas. Para cada categoria de aço, o coeficiente de aderência deve atender ao indicado 
na NBR-6118:2014. 
 
Para os efeitos da NBR 6118:2014, a capacidade aderente entre o aço e o 
concreto está relacionada ao coeficiente de aderência 1, listados na tabela 1.5. 
 
 Tabela 1.5 – Valor do coeficiente de aderência η1 
 (Tabela 8.3 da NBR 6118:2014) 
Tipo de superfície η1 
Lisa (CA 25) 1,00 
Entalhada (CA 60) 1,40 
Nervurada (CA 50) 2,25 
 
1.6.3 – Massa específica e propriedades mecânicas do aço 
 
Para a massa específica do aço da armadura passiva pode ser adotado o valor 
s = 7850 kg/m3. O valor do coeficiente de dilatação térmica, para intervalos de 
temperatura entre -20 oC e 150 oC pode ser adotado como αs = 10-5/ oC. O módulo de 
elasticidade, na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, pode ser ad-
mitido igual a: 
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1.25 
 
Es = 210 GPa = 21.000 kN/cm2 = 2.100.000 kgf/cm2. 
 
1.6.4 – Diagrama tensão-deformação 
 
O diagrama tensão-deformação do aço, os valores característicos das resistên-
cias ao escoamento fyk e à tração (ruptura) fstk e da deformação última de ruptura su 
devem ser obtidos de ensaios de tração realizados segundo a NBR ISO-6892:2002. 
O valor de fyk para os aços sem patamar de escoamento é o valor da tensão corres-
pondente à deformação permanente de 2‰. 
 
Para cálculo nos estados limites de serviço e último pode-se utilizar o diagrama 
tensão-deformação simplificado mostrado na figura (1.5) abaixo, para os aços com ou 
sem patamar de escoamento. 
 
Figura 1.5 – Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras 
 passivas (Adaptada da fig. 8.4 da NBR 6118:2014) 
 
1.7 – Definições da NBR 6118:2014 
 
Concreto estrutural – termo que se refere ao espectro completo das aplicações do 
concreto como material estrutural. 
Elementos de concreto simples estrutural – elementos estruturais produzidos com 
concreto sem nenhuma armadura, ou quando a possui é em quantidades inferiores 
aos mínimos estabelecidos nessa norma. 
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1.26 
 
Elementos de concreto armado – elementos estruturais produzidos com concreto 
cujo comportamento estrutural depende da perfeita aderência aço-concreto e onde 
não se aplicam alongamentos iniciais nas armaduras, antes da materialização dessa 
aderência. 
Elementos de concreto protendido – elementos estruturais produzidos com con-
creto onde parte da armadura é previamente alongada por equipamentos especiais 
de protensão com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissu-
ração e os deslocamentos da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços 
de alta resistência no ELU (estado limite último). 
Armadura passiva – qualquer armadura que não seja usada para produzir forças de 
protensão, ou seja, armadura utilizada no concreto armado. 
Armadura ativa (de protensão) – armadura constituída por barras, fios isolados ou 
cordoalhas, destinada a produzir forças de protensão, isto é, armaduras com pré-alon-
gamento inicial. 
 
Estados limites da NBR 6118:2014 (itens 3.2 e 10.2 a 10.4) 
 
 Estado limite último (ELU) – estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer 
outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. 
1. estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo 
rígido; 
2. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura 
no seu todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais; 
3. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura 
no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem; 
4. estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; 
5. estado limite último de colapso progressivo; 
6. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, 
no seu todo ou em parte, considerando exposição ao fogo, conforme a NBR 
15200; 
7. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, 
considerando ações sísmicas, de acordo a NBR 15421; 
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1.27 
 
8. outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos 
especiais. 
 Estados limites de serviço (ELS) 
1. Estado limite de formação de fissuras (ELS-F) – estado em que se inicia a 
formação de fissuras. Admite-se que esse estado limite é atingido quando 
a tensão máxima de tração na seção transversal for igual a fct,f, já definida 
anteriormente como a resistência característica à tração do concreto na fle-
xão. 
2. Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) – estado em que as fissuras 
se apresentam com aberturas iguais aos máximos estabelecidos nessa 
norma. 
3. Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) – estado em que as 
deformações atingem os limites estabelecidos para utilização normal espe-
cificados nessa norma. 
4. Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE) – estado em que as vibra-
ções atingem os limites estabelecidos para utilização normal da construção. 
 
1.8 – Ações 
 
Conforme a NBR 6118:2014 na análise estrutural deve ser considerada a in-
fluência de todas as ações (designada genericamente pela letra F) que possam pro-
duzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em 
conta os possíveis estados limites últimos e os de serviços. Embora a norma especí-
fica para ações e segurança nas estruturas seja a NBR 8681:2003, a norma NBR 
6118:2014 traz em seu item 11 os conceitos necessários à determinação das ações 
e seus coeficientes de ponderação. As ações são classificadas, conforme a NBR-
8681:2003 e a NBR 6118:2014, em permanente, variáveis e excepcionais. 
 
1.8.1 – Ações permanentes 
 
Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes 
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1.28 
 
durante toda a vida da construção. Também são consideradas permanentes as ações 
que crescem com o tempo, tendendo a um valor limite. As ações permanentes devem 
ser consideradas com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segu-
rança (NBR 6118:2014). 
 
1.8.1.1 – Ações permanentes diretas 
 
As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio e pelos pesos 
dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes (NBR 6118:2014). 
 
 Peso próprio (avaliado com a massa específica do concreto armado) 
 Peso dos elementos construtivos fixos e de instalações permanentes (avaliado 
conforme as massas específicas dos materiais de construção correntes com base 
nos valores indicados pela NBR 6120:1980, Cargas para o cálculo de estruturas 
de edificações, versão corrigida de 2000) 
 Empuxos permanentes (consideram-se como permanentes os empuxos de terra e 
outros materiais granulosos quando forem admitidos não removíveis) 
 
1.8.1.2 – Ações permanentes indiretas 
 
As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por 
retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e 
protensão (NBR 6118:2014). 
 Retração do concreto - a deformação específica de retração do concreto pode ser 
calculada conforme indica o anexo A da NBR 6118:2014. 
 Fluência do concreto - as deformações decorrentes da fluência do concreto podem 
ser calculadas conforme indicado no anexo A da NBR 6118:2014. 
 Deslocamentos de apoio - os deslocamentos de apoio só devem ser considerados 
quando gerarem esforços significativos em relação ao conjunto das outras ações, 
isto é, quando a estrutura for hiperestática e muito rígida. 
 Imperfeições geométricas – na verificação do estado limite último das estruturas 
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___________________________________________________________________________ 
 
1.29 
 
reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas globais e locais 
do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. 
 Momento mínimo - o efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído 
em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1a ordem 
 Protensão - a ação da protensão deve ser considerada em todas as estruturas 
protendidas, incluindo, além dos elementos protendidos propriamente ditos, aque-
les que sofrem a ação indireta da protensão, isto é, de esforços hiperestáticos de 
protensão. 
 
1.8.2 – Ações variáveis 
 
1.8.2.1 – Ações variáveis diretas 
 
As ações variáveis diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas 
para o uso da construção, pela ação do vento e da água, devendo-se respeitar as 
prescrições feitas por Normas Brasileiras específicas (NBR 6118:2014). 
 
 Cargas acidentais previstas para o uso da construção - cargas verticais de uso da 
construção; cargas móveis, considerando o impacto vertical; impacto lateral; força 
longitudinal de frenação ou aceleração; força centrífuga. 
 Ação do vento - os esforços devidos à ação do vento devem ser considerados e 
recomenda-se que sejam determinados de acordo com o prescrito pela NBR 
6123:1988 - Forças devidas ao vento em edificações, versão corrigida 2:2013, 
permitindo-se o emprego de regras simplificadas previstas em Normas Brasileiras 
específicas. 
 Ação da água - o nível d'água adotado para cálculo de reservatórios, tanques, de-
cantadores e outros deve ser igual ao máximo possível compatível com o sistema 
de extravasão. 
 Ações variáveis durante a construção - as estruturas em que todas as fases cons-
trutivas não tenham sua segurança garantida pela verificação da obra pronta de-
vem ter, incluídas no projeto, as verificações das fases construtivas mais significa-
tivas e sua influência na fase final. 
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1.30 
 
1.8.2.2 – Ações variáveis indiretas 
 
 Variações uniformes de temperatura 
 
A variação da temperatura da estrutura, causada globalmente pela variação da 
temperatura da atmosfera e pela insolação direta, é considerada uniforme. Ela de-
pende do local de implantação da construção e das dimensões dos elementos estru-
turais que a compõem. De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores 
(NBR 6118:2014): 
a) para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm, 
deve ser considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 
10ºC a 15ºC; 
b) para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios inteira-
mente fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se que 
essa oscilação seja reduzida respectivamente para 5ºC a 10ºC; 
c) para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cm 
admite-se que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indica-
dos. 
 
 Variações não uniformes de temperatura 
 
Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição signifi-
cativamente diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa distribui-
ção. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear entre os 
valores de temperatura adotados, desde que a variação de temperatura considerada 
entre uma face e outra da estrutura não seja inferior a 5ºC (NBR 6118:2014). 
 
 Ações dinâmicas 
 
Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, está sujeita a choques ou 
vibrações, os respectivos efeitos devem ser considerados na determinação das solici- 
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___________________________________________________________________________ 
 
1.31 
 
tações, e a possibilidade de fadiga deve ser considerada no dimensionamento dos 
elementos estruturais, de acordo com a seção 23 da NBR 6118:2014. 
 
1.8.3 – Ações excepcionais 
 
No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, 
cujos efeitos não podem ser controlados por outros meios, devem ser consideradas 
ações excepcionais com os valores definidos, em caso particular, por Normas Brasi-
leiras específicas (NBR 6118:2014). 
 
1.8.4 – Valores das ações 
 
1.8.4.1 – Valores característicos 
 
Os valores característicos Fk das ações são estabelecidos na NBR-6118:2014 
em função da variabilidade de suas intensidades. 
 
Os valores característicos para as ações permanentes Fgk (a letra g será 
usada para ações permanentes) devem ser adotados iguais aos valores médios das 
respectivas distribuições de probabilidade, sejam valores característicos superiores 
ou inferiores. Esses valores são definidos na NBR-6118:2014 ou em normas especí-
ficas, como a NBR-6120:1980, versão corrigida de 2000. 
 
Os valores característicos das ações variáveis Fqk (a letra q será usada para 
ações variáveis), estabelecidos por consenso em Normas Brasileiras específicas, cor-
respondem a valores que têm de 25% a 35% de probabilidade de serem ultrapassados 
no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos. Esses valores são aqui de-
finidos ou em normas específicas, como a NBR-6120:1980, versão corrigida de 2000. 
 
1.8.4.2 – Valores representativos (NBR 6118:2014) 
 
As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser: 
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1.32 
 
 os valores característicos conforme definido acima; 
 valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações 
excepcionais; 
 valores reduzidos,em função da combinação de ações, tais como: 
1. verificações de estados limites últimos, quando a ação considerada se 
combina com a ação principal. Os valores reduzidos são determinados a 
partir da expressão oFk , que considera muito baixa a probabilidade de 
ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações 
variáveis de naturezas diferentes; 
2. verificações de estados limites de serviço. Esses valores reduzidos são de-
terminados a partir de 1Fk (que estima um valor frequente), e 2Fk (que 
estima valor quase permanente) de uma ação que acompanha a ação prin-
cipal. 
(os valores o, 1 e 2 estão apresentados na tabela 1.7 adiante) 
 
1.8.4.3 – Valores de cálculo 
 
Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores represen-
tativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação f definidos a 
seguir. 
 
1.8.5 – Coeficientes de ponderação das ações 
 
As ações devem ser majoradas pelo coeficiente f dado por: 
 
 f = (f1) (f2) (f3) (1.16) 
 
Onde: 
 f1 – parte do coeficiente de ponderação das ações f , que considera a variabi-
lidade das ações 
 f2 – parte do coeficiente de ponderação das ações f , que considera a simul-
taneidade de atuação das ações 
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___________________________________________________________________________ 
 
1.33 
 
 f3 – parte do coeficiente de ponderação das ações f , que considera os desvios 
gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista 
das solicitações 
 
1.8.5.1 – Coeficientes de ponderação das ações no ELU 
 
Os valores base são os apresentados na tabela 1.6 para [(f1) (f3)] e na tabela 
1.7 para f2. Para pilares e pilares-paredes esbeltos com espessura inferior a 19 cm e 
lajes em balanço com espessura menor que 19 cm, os esforços solicitantes de cálculo 
devem ser multiplicados pelo coeficiente de ajustamento n (ver 13.2.3 e 13.2.4.1 da 
NBR 6118:2014). Essa correção se deve ao aumento da probabilidade de ocorrência 
de desvios relativos e falhas na construção. 
 
Tabela 1.6 – Valores de (f1)x(f3) (Tab. 11.1 da NBR 6118:2014) 
 
 
 
 
Combinações 
de 
ações 
Ações 
Permanentes 
(g) 
Variáveis 
(q) 
Protensão 
(p) 
Recalques 
de apoio e 
retração 
D F G T D F D F 
Normais 1,4a 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 
Especiais ou 
de construção 
1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 
Onde: D é desfavorável, F é favorável, G é geral e T é temperatura. 
a - Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas, es-
pecialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3. 
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1.34 
 
 
Tabela 1.7 – Valores do coeficiente f2 (Tab. 11.2 da NBR 6118:2014) 
 
AÇÕES 
f2 
0 1a 2 
 
 
 
 
Cargas acidentais 
de edifícios 
Locais em que não há predominância de 
peso de equipamentos que permanecem 
fixos por longos períodos de tempo, nem 
de elevadas concentrações de pessoas b 
 
0,5 
 
0,4 
 
0,3 
Locais em que há predominância de pesos 
de equipamentos que permanecem fixos 
por longos períodos de tempo, ou de ele-
vada concentração de pessoas c 
 
0,7 
 
0,6 
 
0,4 
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 
Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas 
em geral 
0,6 0,3 0 
Temperatura Variações uniformes de temperatura em 
relação à média anual local 
0,6 0,5 0,3 
a Para os valores 1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fa-
diga, ver seção 23 da NBR 6118:2014. 
b Edifícios residenciais 
c Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos 
 
1.8.5.2 – Coeficientes de ponderação no ELS 
 
Em geral, o coeficiente de ponderação das ações para estados limites de ser-
viço é dado pela expressão: 
 
 f = f2 (1.17) 
 
Onde f2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (tab. 1.7) 
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1.35 
 
 f2 = 1 para combinações raras 
 f2 = 1 para combinações frequentes 
 f2 = 2 para combinações quase permanentes. 
 
Os valores das tabelas 1.6 e 1.7 podem ser modificados em casos especiais aqui 
não contemplados, de acordo com a NBR 8681:2003. 
 
1.8.6 – Combinações de ações (NBR 6118:2014) 
 
Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilida-
des não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um pe-
ríodo preestabelecido. 
 
1.8.6.1 – Combinações últimas 
 
1. Combinações últimas normais – Em cada combinação devem estar incluídas as 
ações permanentes e a ação variável principal, com seus valores característicos 
e as demais ações variáveis, consideradas secundárias, com seus valores redu-
zidos de combinação, conforme NBR-8681:2003. 
2. Combinações últimas especiais ou de construção – Em cada combinação de-
vem estar presentes as ações permanentes e a ação variável especial, quando 
existir, com seus valores característicos e as demais ações variáveis com proba-
bilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos 
de combinação, conforme NBR-8681:2003. 
3. Combinações últimas excepcionais - Em cada combinação devem estar pre-
sentes as ações permanentes e a ação variável excepcional, quando existir, 
com seus valores representativos e as demais ações variáveis com probabilidade 
não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combi-
nação, conforme NBR-8681:2003. Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo 
e incêndio. 
4. Combinações últimas usuais – para facilitar a visualização, essas combinações 
estão listadas na tabela 11.3 da NBR-6118:2014, transcrita na tabela 1.8 abaixo. 
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1.36 
 
Tabela 1.8 – Combinações últimas (Tab. 11.3 da NBR 6118:2014) 
 
Combinações 
últimas (ELU) 
Descrição Cálculo das solicitações 
 
 
Normais 
 
 
Esgotamento da 
capacidade re-
sistente para 
elementos es-
truturais de con-
creto armadoa 
 
 
Fd = g Fgk + εg Fεgk + q (Fq1k + Σ Ψ0j Fqjk) + 
εqΨ0εFεqk 
Esgotamento da 
capacidade re-
sistente para 
elementos 
estruturais de 
concreto proten-
dido 
Deve ser considerada, quando necessário, a 
força de protensão como carregamento externo 
com os valores Pkmáx e Pkmin para a força desfa-
vorável e favorável, respectivamente, conforme 
definido na seção 9 
Perda do equilí-
brio como corpo 
rígido 
S (Fsd) ≥ S (Fnd) 
Fsd = gs Gsk + Rd 
Fnd = gn Gnk + q Qnk - qs Qs,min , 
onde: Qnk = Q1k + Σ Ψ0j Qjk 
Especiais ou de 
construçãob 
Fd = g Fgk + εg Fεgk + q (Fq1k + Σ Ψ0j Fqjk) + εqΨ0εFεqk 
Excepcionaisb Fd = g Fgk + εg Fεgk + Fq1ecx + q Σ Ψ0j Fqjk) + εqΨ0εFεqk 
 
Onde: 
 Fd - é o valor de cálculo das ações para combinação última; 
 Fgk - representa as ações permanentes diretas; 
 Fεk - representa as ações indiretas permanentes como a retração Fεgk e variáveis 
como a temperatura Fεqk; 
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___________________________________________________________________________ 
 
1.37 
 
 Fqk - representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal; 
g, εg, q, εq - ver tabela 1.6; Ψ0j, Ψε - ver tabela 1.7; 
 Fsd - representaas ações estabilizantes; 
 Fnd - representa as ações não estabilizantes; 
 Gsk - é o valor característico da ação permanente estabilizante; 
 Rd - é o esforço resistente considerado como estabilizante, quando houver; 
 Gnk - é o valor característico da ação permanente instabilizante; 



m
2j
jk0j1knk QΨQQ 
 Qnk - é o valor característico das ações variáveis instabilizantes; 
 Q1k - é o valor característico da ação variável instabilizante considerada como prin-
cipal; 
 Ψ0j e Qjq - são as demais ações variáveis instabilizantes, consideradas com seu 
valor reduzido; 
 Qs,min - é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acom-
panha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante. 
 a - No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o 
efeito favorável das cargas permanentes seja reduzido pela considera-
ção de g= 1. No caso de estruturas usuais de edifícios essas combina-
ções que consideram g reduzido (1,0) não precisam ser consideradas. 
 b - Quando Fq1k ou Fq1exc atuarem em tempo muito pequeno ou tiverem 
probabilidade de ocorrência muito baixa Ψ0j, pode ser substituído por Ψ2j. 
 
1.8.6.2 – Combinações de serviço 
 
São classificadas de acordo com sua permanência na estrutura como: 
 
1. Quase permanente – podem atuar durante grande parte do período de vida da 
estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite 
de deformações excessivas (ELS-DEF); 
2. Frequentes – se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Materiais 
___________________________________________________________________________ 
 
1.38 
 
sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de for-
mação de fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem 
também ser consideradas para verificações de ELS-DEF decorrentes de vento ou 
temperatura que possam comprometer as vedações; 
3. Raras – ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua con-
sideração pode ser necessária na verificação do estado limite de formação de 
fissuras. 
4. Combinações de serviço usuais – para facilitar a visualização, essas combina-
ções estão listadas na tabela 11.4 da NBR 6118:2014, transcrita na tabela 1.9 
abaixo: 
 Tabela 1.9 – Combinações de serviço (Tab. 11.4 da NBR 6118:2014) 
 
Combinações 
de 
serviço (ELS) 
 
Descrição 
Cálculo das solicita-
ções 
Combinações 
quase perma-
nentes de ser-
viço (CQP) 
Nas combinações quase permanen-
tes de serviço, todas as ações variá-
veis são consideradas com seus valo-
res quase permanentes Ψ2 Fqk 
 
Fd, ser = Σ Fgik + Σ Ψ2j Fqjk 
 
 
Combinações 
freqüentes de 
serviço (CF) 
 
Nas combinações frequentes de ser-
viço, a ação variável principal Fq1 é 
tomada com seu valor frequente Ψ1 
Fq1k e todas 
as demais ações variáveis são toma-
das com seus valores quase perma-
nentes Ψ2 Fqk 
Fd,ser = Σ Fgik + ψ1 Fq1k + 
 Σ ψ2j Fqjk 
Combinações 
raras de serviço 
(CR) 
Nas combinações raras de serviço, a 
ação variável principal Fq1 é tomada 
com seu valor característico Fq1k e to-
das as demais ações são tomadas 
com seus valores frequentes Ψ2 Fqk 
 
Fd,ser = Σ Fgik + Fq1k + 
Σ ψ2j Fqjk 
 
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___________________________________________________________________________ 
 
1.39 
 
1.9 – Resistências 
 
1.9.1 – Valores característicos 
 
Os valores característicos fk das resistências são os que, num lote de material, 
têm uma determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorável 
para a segurança. Pode ser de interesse determinar a resistência característica infe-
rior fk,inf e a superior fk,sup , que são respectivamente menor e maior que a resistência 
média fm . Para efeito da NBR-6118:2014, a resistência característica inferior é admi-
tida como sendo o valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingido 
pelos elementos de um dado lote de material. 
 
1.9.2 – Valores de cálculo 
 
1. Resistência de cálculo - a resistência de cálculo fd é dada pela expressão: 
 
m
k
d
γ
f
f  (1.18) 
 
Onde m é o coeficiente de ponderação das resistências. 
 
2. Resistência de cálculo do concreto - a resistência de cálculo do concreto 
fcd é obtida em duas situações distintas: 
 
 quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias 
c
ck
cd
γ
f
f  (1.19) 
 quando a verificação se faz em data j inferior a 28 dias 
c
ck
1
c
ckj
cd
γ
f
β
γ
f
f  (1.20) 
 sendo 1 a relação (fckj / fck ) dada por: 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Materiais 
___________________________________________________________________________ 
 
1.40 
 










t
28
1s
1 eβ (1.21) 
 
Onde: s = 0,38 - para concreto de cimento CPIII e IV; 
 s = 0,25 - para concreto de cimento CPI e II; 
 s = 0,20 - para concreto de cimento CPV-ARI; 
 t - é a idade efetiva do concreto, em dias. 
 
1.9.3 – Coeficientes de ponderação das resistências 
 
As resistências devem ser minoradas pelo coeficiente: 
 
m = m1 . m2 . m3 (1.22) 
Onde: 
m1 - é a parte o coeficiente de ponderação das resistência m , que consi-
dera a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos. 
m2 - é a parte do coeficiente de ponderação das resistência m , que consi-
dera a diferença entre a resistência do material no corpo-de-prova e na 
estrutura. 
m3 - é a parte co coeficiente de ponderação das resistência m , que consi-
dera os desvios gerados na construção e as aproximações feitas em 
projeto do ponto de vista das resistências. 
 
1.9.3.1 - Coeficientes de ponderação das resistências no ELU 
 
Os valores para verificação no estado limite último (ELU) estão indicados na 
tabela 1.10. 
 
 
 
 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Materiais 
___________________________________________________________________________ 
 
1.41 
 
Tabela 1.10 – Valores dos coeficientes c e s 
(Tab. 12.1 da NBR 6118:2014) 
Combinações 
Concreto 
c 
Aço 
s 
Normais 1.4 1.15 
Especiais ou de 
construção 
1.2 1.15 
Excepcionais 1.2 1 
 
1.9.3.2 - Coeficientes de ponderação das resistências no ELS 
 
Os limites estabelecidos para os estados limites de serviço (ELS) não neces-
sitam de minoração, portanto m = 1. 
 
1.9.3.3 – Valores finais das resistências de cálculo do concreto e do aço 
 
 CONCRETO 
 Para um concreto classe C20, por exemplo, cuja resistência característica fck = 
20 MPa = 200 kgf/cm2= 2 kN/cm2, a resistência de cálculo é fcd = (fck / c) = (2 / 1,4) = 
1,429 kN/cm2 (c conforme tabela 1.10). O valor da tensão de pico, quando se usa o 
diagrama parábola-retângulo, a ser considerado nos cálculos deve ser afetado pelo 
coeficiente de Rüsch resultando no valor final de cálculo σc = fc = 0,85fcd = 0,85x1,429 
= 1,214 kN/cm2, independentemente do tipo de seção e da classe do concreto. 
 
 Por facilidade nos cálculos, normalmente se utiliza o diagrama retangular sim-
plificado de tensões no concreto, com altura y = λX e tensão constante e igual a σc 
= fc = αc fcd quando a largura da seção transversal não diminui no sentido da linha 
neutra para a borda mais comprimida. Caso contrário, como por exemplo, seção cir-
cular, a tensão constante deve ser σc = fc = 0,9 αc fcd. Os parâmetros λ e αc, que serão 
vistos no capítulo 2 dessa apostila, são dados por: 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Materiais 
___________________________________________________________________________1.42 
 
 λ = 0,8 αc = 0,85 fck ≤ 50 MPa (1.23a) 
 
 λ = 0,8 – (fck – 50) / 400 αc = 0,85 [1 – (fck – 50) / 200] fck > 50 MPa (1.23b) 
 
A denominação fc não aparece na NBR 6118:2014, mas de agora em diante 
nessa apostila será adotado o valor fc para representar a resistência final de cálculo 
do concreto à compressão. 
 
 AÇO 
Para um aço CA 50, por exemplo, cuja resistência característica ao escoa-
mento fyk = 50 kN/cm2 = 500 MPa = 5000 kgf/cm2, a resistência de cálculo é fyd = (fyk 
/ s=1,15) = 4348 kgf/cm2 = 43,48 kN/cm2 ≈ 435 MPa ≈ 43,5 kN/cm2. 
 
Tabela 1.11 – Valores finais de cálculo para os concretos e aços usuais 
 
Valores finais de cálculo para os concretos do grupo I - fc (kN/cm2) 
αc = 0,85 
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
1,214 1,518 1,821 2,125 2,429 2,732 3,036 
Valores finais de cálculo para os concretos do grupo II - fc (kN/cm2) 
αc = 0,85 [1 – (fck – 50) / 200] 
C55 C60 C65 C70 C75 C80 C85 C90 
3,256 3,461 3,650 3,825 3,984 4,129 4,258 4,371 
Valores de cálculo para os aços - fyd (kN/cm2) 
CA 25 CA 50 CA 60 
21,74 43,48 52,17 
 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 2 
 
 
Departamento de Engenharia de Estruturas – EE-UFMG 
 
 Junho 2018 
 
FLEXÃO NORMAL SIMPLES 
____________________________________________________________________________ 
 
2.1 - Introdução 
 
Dentre os esforços solicitantes (entes mecânicos aferidos ao centro geométrico 
da seção transversal, obtidos pela integração conveniente das tensões nessa seção) 
o momento fletor M, é em condições normais, o esforço preponderante no dimensio-
namento de peças estruturais como lajes e vigas. 
 
 Quando o momento fletor atua segundo um plano que contenha um dos eixos 
principais da seção transversal, a flexão é dita normal. Se esse momento atua isola-
damente tem-se a flexão normal simples. Se simultaneamente atua uma força nor-
mal N a flexão é dita normal composta. Quando atua apenas momento, com compo-
nentes nos dois eixos principais de inércia da seção transversal, a flexão é dita oblí-
qua simples e se acompanhada de força normal é dita oblíqua composta. 
 
Normalmente o momento fletor atua em conjunto com a força cortante V, po-
dendo, no entanto em situações ideais, ser o único esforço solicitante. Nesse caso 
tem-se a flexão pura, situação ilustrada na figura 2.2, no trecho entre as cargas si-
métricas P, quando se despreza o peso próprio da viga. 
 
Segundo o item 16.1 da NBR 6118:2014, o objetivo do dimensionamento, da 
verificação e do detalhamento é garantir segurança em relação aos estados limites 
último (ELU) e de serviço (ELS) da estrutura como um todo ou de cada uma de suas 
partes. Essa segurança exige que sejam respeitadas condições analíticas do tipo: 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Flexão Normal Simples 
___________________________________________________________________________ 
 
2.2 
 
Sd  Rd (MSd  MRd) (2.1) 
 
onde Sd é a solicitação externa de cálculo e Rd é a resistência interna de cálculo. 
 
Como a solicitação estudada é o momento fletor, a equação 2.1 no seu segundo 
termo (entre parênteses) foi adaptada: momento externo solicitante de cálculo (MSd) 
menor ou igual ao momento interno resistente de cálculo (MRd), mostrados na figura 
2.1. 
 
 Figura 2.1 – Esforços solicitantes externos e internos na seção transversal 
 
Na figura 2.1, a seção transversal retangular de uma viga é mostrada a es-
querda e parte da sua vista lateral é mostrada a direita. Na vista lateral a seção trans-
versal é uma linha vertical, onde estão concentrados em seu centro geométrico (CG) 
os esforços externos solicitantes NSd e MSd. Como é flexão simples, a força normal 
solicitante é igual à zero (NSd = 0). Por equilíbrio (∑ FHORIZ. = 0) as resultantes internas 
de compressão no concreto Rcc e de tração no aço Rst são iguais. A resultante no 
concreto é obtida pela integração das tensões normais de compressão do concreto 
(σc), atuantes na área com hachuras da seção transversal, definida pela profundidade 
(x) da linha neutra (LN). A resultante no aço é obtida pelo produto da área de aço, As 
(steel), pela tensão de tração no aço, σs. 
 
Para garantir a segurança o momento externo solicitante de cálculo MSd tem de 
ser menor ou igual ao momento interno resistente de cálculo MRd, que conforme a 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Flexão Normal Simples 
___________________________________________________________________________ 
 
2.3 
 
figura 2.1 é dado pelo binário (duas forças iguais, paralelas e de sentidos opostos 
separadas por uma distância z, o braço de alavanca) interno resistente, MRd: 
 
 MSd ≤ MRd = Rcc z = Rst z (2.2) 
 
Quanto ao comportamento resistente à flexão pura, sabe-se que sendo o con-
creto um material bem menos resistente à tração do que à compressão, tão logo a 
barra seja submetida a um momento fletor capaz de produzir tensões de tração supe-
riores àquelas que o concreto pode suportar, surgem fissuras de flexão, transversais 
ao eixo da barra, próximas ao centro da viga e fissuras inclinadas próximas aos 
apoios, conforme mostrado na figura 2.2. As primeiras são devidas à flexão, maior no 
centro, e as últimas devido ao cisalhamento, maior nos apoios. 
 
 
Figura 2.2 – Fissuras de flexão 
 
Caso não existisse as armaduras de flexão e de cisalhamento essas fissuras 
provocariam a ruptura total da viga. Os esforços internos de tração são transmitidos 
às armaduras por meio da aderência aço-concreto. É como se as armaduras “costu-
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Flexão Normal Simples 
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2.4 
 
rassem” as fissuras, conforme esquematicamente mostrado na figura 2.2, o que im-
pede que as mesmas cresçam indefinidamente. Conforme será visto adiante no capí-
tulo referente à fissuração, a abertura e o controle dessas fissuras dependerão subs-
tancialmente das características e do detalhamento final da armadura de flexão. 
 
A ruína de uma peça à flexão é um fenômeno de difícil caracterização, devido 
basicamente à complexidade envolvida no funcionamento conjunto aço-concreto. Por-
tanto para que esta tarefa seja possível convenciona-se que a ruína de uma seção 
à flexão é alcançada quando, pelo aumento da solicitação, é atingida a ruptura do 
concreto à compressão ou da armadura à tração. 
 
2.2 – Solicitações normais 
 
Por solicitação normal entende-se toda solicitação que produza na seção trans-
versal tensões normais. Nesse grupo estão naturalmente a força normal, o momento 
fletor ou ambos atuando simultaneamente. 
 
A ruptura do concreto à compressão é considerada atribuindo-se, de forma con-
vencional, encurtamentos últimos para o concreto. Para seções parcialmente compri-
midas admite-se que a mesma ocorra, quando o concreto atinge na sua fibra mais 
comprimida o encurtamento limite último cu, ver equações (1.9b) e (1.9c). Para se-
ções totalmente comprimidas o encurtamento máximo da fibra mais comprimida varia 
de c2 a cu (ver hipóteses básicas adiante). 
 
Para o aço admite-se que a ruptura à tração ocorra quando se atinge um alon-
gamento limite último su = 10‰. O alongamento máximo de 10‰ deve-se a uma 
limitação da fissuração no concreto que envolve a armadura e não ao alongamento 
real de ruptura do aço, que é bem superior a esse valor. 
 
Atinge-se então, o estado limite último - ELU, correspondente à ruptura do con-
creto comprimido ou à deformação plástica excessiva da armadura. O momento fletor 
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