Resumo | Geometria analítica

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
Área por coordenadas 
A área do polígono cujos vértices são 
ordenadamente (sentido horário ou anti-horário) 
(𝑥!, 𝑦!), (𝑥", 𝑦"), ..., (𝑥#, 𝑦#) é dada por 
𝐴 =
1
2 |𝐷|,	onde: 
 
𝐷 = 2
𝑥!
𝑦!
	𝑥"
	𝑦" 	⋯	
𝑥#
𝑦# 	
𝑥!
𝑦!4	
					= 𝑥!𝑦" +⋯+ 𝑥#𝑦! − 𝑥"𝑦! −	…− 𝑥!𝑦# 
 
Colocando as coordenadas dos pontos como 
colunas de uma matriz (de acordo com a 
representação acima), o cálculo de 𝐷 é 
semelhante ao cálculo de um determinante de 
terceira ordem: "produto dos elementos da 
diagonal principal e paralelas menos o produto 
dos elementos da diagonal secundária e 
paralelas". Nos triângulos, qualquer ordem de 
vértices pode ser considerada, mas nos demais 
polígonos, é necessário colocar no plano 
cartesiano para conferir a ordem dos vértices. 
 
Equação da reta 
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 
 
A partir da equação geral, podemos isolar 𝑦 para 
obter a chamada equação reduzida, que é da 
forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, sendo que: 
• 𝑛 é onde a reta corta o eixo 𝑦; 
• -𝑛/𝑚 é onde a reta corta o eixo 𝑥; 
• 𝑚 é o coeficiente angular da reta, 
(correspondente ao valor da tangente do 
ângulo medido no sentido anti-horário a 
partir do eixo x até a reta), dado por 
𝑚 =
𝑦 − 𝑦$
𝑥 − 𝑥$
 
• duas retas são paralelas quando 
possuem o mesmo coeficiente angular; 
• duas retas são perpendiculares quando 
possuem coeficientes angulares inversos 
e opostos. 
 
Exemplo: 
• Determine a equação da reta que passa 
pelos pontos (1, 1) e (−1, 5). 
Conhecendo dois pontos da reta, obtemos seu 
coeficiente angular: 
𝑚 =
𝑦 − 𝑦$
𝑥 − 𝑥$
=
1 − 5
1 − (−1) =
−4
2 = −2 
 
Logo, a equação reduzida é 𝑦 = −2𝑥 + 𝑛, e 
para encontrar o coeficiente 𝑛 (coeficiente 
linear), utilizamos qualquer um dos pontos da 
reta. Por exemplo, pelo ponto (1, 1) temos: 
1 = −2 ∙ 1 + 𝑛 ⇒ 𝑛 = 3 
 
Então, a equação da reta é 𝑦 = −2𝑥 + 3. 
 
Distância entre ponto e reta 
𝑑%& = D
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶
√𝐴" + 𝐵"
D 
Onde: 
• 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são os coeficientes da equação 
geral da reta; 
• 𝑥 e 𝑦 são as coordenadas do ponto. 
 
Equação da circunferência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação reduzida: 
(𝑥 − 𝑥')" + (𝑦 − 𝑦')" = 𝑅" 
 
Onde (𝑥' , 𝑦') são as coordenadas do centro e 𝑅 
é o raio da circunferência. A equação geral é 
obtida desenvolvendo-se a equação reduzida, e 
é da forma: 𝑥" + 𝑦" +𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 + 𝑝 = 0, onde: 
• 𝑚 = −2𝑥' ⇒ 𝑥' = −𝑚/2 
• 𝑛 = −2𝑦' ⇒ 𝑦' = −𝑛/2 
• 𝑝 = 𝑥'" + 𝑦'" − 𝑅" ⇒ 𝑅 = H−𝑝 + 𝑥'" + 𝑦'" 
 
Exemplo: 
• Determine o centro e o raio da 
circunferência de equação 
 𝑥" + 𝑦" − 2𝑥 + 4𝑦 − 4 = 0. 
Pela equação geral, obtemos o centro dividindo 
por −2 os coeficientes de 𝑥 e 𝑦. Logo, 𝐶(1,−2). 
Já o raio é dado por 
𝑅 = H−(−4) + 1" + (−2)" = √9 = 3. 
RESUMOS 
P 
x 
y 
R 
x 
y 
0 
yc 
xc 
C