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NÚMEROS E ÁLGEBRA
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Apresentação 
Olá, seja muito bem-vindo(a)!
No ensino da Matemática é possível identificar duas tendências bem marcantes presentes em sala de aula. A chamada
enfoque tradicional, em que a aprendizagem se dá por repetição e o aluno é visto como receptor de conteúdos e a
chamada de enfoque empírico-ativista, que prioriza a aprendizagem por meio de relações lógicas que o aluno
estabelece entre conjuntos e elementos.
No enfoque tradicional ocorre um tratamento excessivamente hierarquizado para ensinar os números, o seu aspecto
linear e restritivo. Trata-se de uma organização dominada pela ideia de pré-requisito e que desconsidera, em parte, as
possibilidades de aprendizagem dos alunos em outros espaços culturais e sociais. Nessa proposta, acredita-se que o
conteúdo deva ser organizado de forma cumulativa e linear, com a somatória de pequenas “porções” de conhecimento
adquirido aos poucos, partindo do mais simples para o mais complexo, evidenciando a ideia de pré-requisito para a
aprendizagem. Por exemplo, trabalhar primeiro apenas os números menores que 10, depois os menores que 100,
depois os menores que 1.000, etc.
Embora se saiba que alguns conhecimentos precedem outros e deve-se escolher certo percurso, não existem, por outro
lado, amarras tão fortes como algumas que podem ser observadas comumente na prática do ensino de Matemática
(BRASIL, 2014).
O professor no enfoque tradicional é o detentor do conhecimento e deve seguir uma progressão sistemática de
definições e exercícios, apresentando o passo a passo de como fazer, treinamentos, repetições visando a memorização,
etc.
Figura 1 - Ensino sem compreensão pelo aluno
Fonte: So Matematica, 2020.
O enfoque tradicional desarticula a matemática do contexto real do aluno. Não considera as vivências sociais e
culturais vividas fora da escola ou quando considera não reconhece a diversidade e heterogeneidade presente dentre de
uma sala de aula.
Já o enfoque empírico-ativista carrega a super valorização do material concreto na aprendizagem matemática, supondo
que a aprendizagem acontece pelo único fato de manipular um material concreto, promovem-se situações nas quais o
professor “dita” para o aluno o procedimento a ser realizado. O papel do professor é visto com menos importância,
como observador do processo, com pouca ou nenhuma interferência. Nessa concepção, o aluno passa a ser
considerado o centro do processo e os métodos de ensino – tendo como pressupostos a descoberta e o princípio de
que ‘aprende-se a fazer fazendo’ – são pautados em atividades que valorizam a ação, a manipulação e a
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experimentação. Nesse enfoque, é muito comum atividades com desenhos de conjuntos de cinco bolas, três flores, um
sorvete, para que os alunos encontrem correspondência, os conjuntos que possuem as mesmas “propriedades
numéricas”.
Figura 2 - Números para brincar e aprender
Fonte: Domínio Público, 2020.
Em ambos os enfoques acima, o tratamento didático dado ao conteúdo não considera o contexto social em que os
alunos e os próprios números estão inseridos. Parte do princípio de que a aprendizagem é uma ação que acontece
especificamente na escola. Desconsiderando que a principal função da escola é a de garantir às gerações futuras o
acesso ao conhecimento sociocultural construído pela humanidade.
O enfoque desta disciplina não é nem tradicional e nem empírico-ativista, é o da Educação Matemática, que busca a
compreensão da relação entre ensino, aprendizagem e conteúdo matemático, para assim contribuir efetivamente nas
práticas docentes. Os estudiosos desse campo de investigação são de diversas áreas, não somente os matemáticos. O
professor neste enfoque se constitui pesquisador-reflexivo, buscando compreender o processo de cada um dos seus
alunos. É também um mediador, que provoca seus alunos com situações-problemas, que gerem o conflito cognitivo,
estimulando a troca entre eles e valorizando a diversidade cultural e social presente em uma turma.
Figura 3 - Alunos resolvendo problemas
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Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Atualmente, a matemática deve ser vista como um elemento de inclusão social, que dará condições do cidadão resolver
problemas presentes no dia a dia de forma autônoma e criativa.
Considerando então o enfoque da Educação Matemática vamos nesta Unidade estudar sobre os números e o
pensamento algébrico, lembrando que as operações, apesar de terem funções próprias, fazem parte da construção
conceitual dos números.
Esta Unidade está organizada em quatro seções que abordam, na sequência, os seguintes conteúdos:
Cálculo Mental.
Sistema de Numeração Decimal.
Campos Aditivos e Multiplicativos.
Álgebra.
Vamos continuar então nossos estudos sobre a metodologia da matemática?
OBJETIVOS
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Refletir sobre como o sujeito (crianças e adultos) desenvolvem os conhecimentos matemáticos sobre os números
e operações.
Analisar a importância do cálculo mental nas aprendizagens matemáticas.
Reconhecer as principais orientações didáticas para o ensino dos números e operações na Educação Infantil e
nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Compreender as possibilidades didáticas para a construção do pensamento algébrico na Educação Infantil e anos
inicias do Ensino Fundamental.
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Desafio 
A tabela de 1 a 100 deve ser explorada de diferentes formas. Com ela é possível identificar as regularidades e padrões
matemáticos, como a de contagem de 10 em 10 ou 5 em 5. É possível visualizar o padrão matemático presente na
diagonal, na vertical ou na horizontal, por exemplo.
Também é possível calcular, adicionando e subtraindo na própria tabela.
Agora é sua vez... Analise a tabela abaixo, de 1 a 100. Que padrões e regularidades você observa?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Para ajudá-l@, nesta resposta, veja na figura abaixo as regularidades e padrões marcados pela turminha de 3º ano.
Figura 4 - Atividade desenvolvida por uma turma do 3º ano
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Fonte: Elaborado pelo autor, 2017.
Eles chegaram às seguintes conclusões:
Quando a contagem era com número par, só pintamos números pares;
Quando a contagem era comnúmero ímpar, pintamos alternadamente um número par e um ímpar;
A soma de dois números ímpares é um par;
A contagem por agrupamentos de um número é a tabuada de multiplicação daquele número.
E você? Descobriu outros padrões e regularidades?
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Conteúdo 
Cálculo Mental
Você poderia me responder quanto vai dar a compra na padaria se eu pedir R$3,00 de pão e uma garrafa de suco por
R$8,00? Como você chegou no valor total de R$11,00? Precisou contar nos dedos, fez rabiscos no papel? Pensou sobre
o agrupamento de 10? Você com certeza fez uso do cálculo mental e não do algoritmo para chegar ao resultado.
Mas qual é a diferença entre os dois?
Sendo assim, podemos afirmar que o cálculo mental é um procedimento pensado e não mecanizado. Cada passo a
passo para resolver o cálculo é escolhido levando em consideração o resultado que se quer descobrir. Já o algoritmo
apresenta um procedimento a ser seguido, mecanicamente, por vezes ocultando propriedades, pois visa simplificar os
cálculos. Uma pessoa ao usar um algoritmo não precisa pensar no que está fazendo, passa seguir o modelo ensinado,
enquanto no cálculo mental cada passo de ser escolhido é baseado no entendimento que se tem sobre o número e da
operação utilizada. 
Figura 5 - Uso do algoritmo e cálculo mental
Algoritmo: é uma técnica com passos e regras estabelecidos que levam a um resultado desejado. Cada uma das
operações (por exemplo, adição subtração, multiplicação e divisão) possuem algoritmos próprios que são
tradicionalmente ensinados nas escolas.
Cálculo mental: é quanto organizamos os dados para resolver um cálculo de forma pessoal, sem utilizar
algoritmos, mas sim utilizando de procedimentos confiáveis permitindo chegar a resultados exatos ou
aproximáveis.
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Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
Na história é possível observar que a humanidade tem utilizado diferentes recursos e estratégias de cálculo (desenho,
pedras, nós em cordas, ábaco, etc.). Os cálculos mentais variam conforme as necessidades de cada época e de cada
cultura.
É muito importante que a escola respeite e valorize os diferentes algoritmos e cálculos mentais que os alunos trazem
de suas culturas, especialmente em se tratando de turmas do EJA. As aulas de matemática com certeza ficarão bem
mais interessantes com a comparação e verificação que a diversidade de cálculos (mentais e algoritmos) tem a
oferecer. Muito da dificuldade em aprender e gostar da matemática vem desta postura de se considerar correto
somente alguns modelos de cálculos, desrespeitando outras possibilidades de se pensar matematicamente.
Figura 6 - Aluna refletindo sobre o cálculo necessário.
Para Saber Mais 
Veja na reportagem como encaminhar a passagem do cálculo mental para o registro em conta armada na
Educação de Jovens e Adultos.
http://gestaoescolar.org.br/conteudo/476/o-espaco-fisico-da-escola-e-um-espaco-pedagogico
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Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Existem atividades em alguns livros didáticos que se propõem ensinar os cálculos mentais, mas o que é possível
observar que as estratégias dos cálculos mentais são construídas pelos alunos à medida que são estimulados a fazê-
lo. Veja o relato da professora a seguir:
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Professora Cláudia (nome fictício)
Turma: 25 alunos do 3º ano A
Escola Pública do DF
Sempre ao iniciar uma aula fazemos nossa agenda do dia, com:
Verificação no calendário anual da data;
Registro escrito da data do dia;
Verificação e anotações da hora nos relógios (ponteiro e digital) de parede;
Anotações de quantos alunos, comparando os presentes com os faltosos e/ou meninos e meninas; e
Conversa e registro das atividades do dia.
Estes registros ficam no quadro à disposição dos alunos, sendo atualizados a cada início de aula.
Veja a figura abaixo.
Aluna apresentando o cálculo que utilizou
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Observe, nesta foto, que ela está fazendo a conta de quantas crianças têm na sala, considerando o grupo dos
meninos e das meninas. Neste dia perguntei quantas crianças tinham na sala, considerando que éramos 13
meninos e 9 meninas. Eles responderam 22, mas o desafio era cada um me explicar como fez a conta, sendo que
cada explicação deveria ser ouvida por todos e os próximos deveriam apresentar outras formas de fazer o
mesmo cálculo. O entusiasmo da turma era evidente, cada um pensava em outros jeitos de fazer o mesmo
cálculo, alguns até desafiavam as famílias a mostrarem outras formas de fazer o cálculo para apresentarem para
a turma.
Outro desafio que apresentava era de que a chamada tinha 25 e tento 22 na sala, que cálculos deveriam fazer
para descobrir quantos alunos faltaram. Alguns alunos mostravam os dedos, completando os 22: um dedo 23,
outro 24 e finalmente o 25. E mostravam 3 dedos. Outros diziam que bastava tirar 2 do 5 da unidade, que fica 3,
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Observe no relato que a ideia de cálculo mental acontece a partir da reflexão. Ou seja, é necessário entender a situação-
problema apresentada, tomar decisões a respeito de como decompor os números e quais cálculos parciais fazer. Esta é
a riqueza matemática do cálculo mental, por não ter uma regra a seguir contribui para que o aluno consolide o
entendimento do sistema numérico e os conceitos das operações. O aluno não precisa ter claro o que é dezena e
unidade, mas lida com os conceitos de forma prática e assim vai traçando sua própria linha de raciocínio para resolver
diferentes operações. Cabe ao professor explorar estes pensamentos matemáticos, analisar cada procedimento e
sistematizar de forma tranquila e dinâmica os diferentes procedimentos de cálculos.
Figura 7 - Registros mentais de como resolveu os problemas
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
na dezena fica 0, então faltaram 3. As falas eram muitas, o que possibilitava que os alunos que já sabiam
apresentarem seus raciocínios e os que ainda não estavam entendendo podiam ouvir os colegas e ir se
apropriando das diferentes estratégias de cálculos e assim construir a sua própria.
Estes procedimentos faço durante todo o ano, nas turmas da Educação Infantil, 1º ano ou 2º ano, sendo que o
encaminhamento varia conforme o momento cognitivo da turma e alunos.
FIQUE ATENTO! 
Os cálculos mentais não são necessariamente mais rápidos e nem mais exatos. O que os caracteriza é não ter
um procedimento rígido. Eles podem ser feitos oralmente, com desenhos e até mesmo por escritos.
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O professor deve explorar bem os cálculos mentais com as turmas nos três primeiros anos do Ensino Fundamental. Os
algoritmos tradicionais devem ser apresentados somente nos 4º anos em diante. O importante é que os cálculos
mentais sejam bem trabalhados e possibilitem aos alunos chegarem nos algoritmos tradicionais com entendimento.
É importante destacarque o professor deve fazer cálculos e anotações numéricas para suas turmas, mesmo sem a
preocupação em ensinar o que está sendo feito. Assim como fazemos na alfabetização das letras, devemos fazer com
os números. O professor escreve no quadro para uma turma ainda não alfabetizada, um texto coletivo, em que relata
um passeio feito ou um filme. O mesmo deve ser feito com a matemática. Os alunos (crianças e adultos) devem ver o
professor fazendo registros numéricos e cálculos diversos, para assim ir se apropriando desta forma de registro.
Sistema de Numeração Decimal
A construção do conceito dos números é a base para a aprendizagem de muitos conceitos e procedimentos
matemáticos. Estudar os números envolve muitos conceitos, como:
a compreensão das funções do número: ordenação, representação e quantidade;
a percepção das relações existentes entre os números;
o reconhecimento das ordens de grandeza relacionadas a eles.
Figura 8 - Grupo de criança organizando os números
Para Saber Mais 
Verifique nas propostas da revista Nova Escola algumas atividades que envolvem os cálculos mentais. Clique
aqui e acesse.
https://conteudo.catolica.edu.br/conteudos/unileste_cursos/disciplinas/nucleo_formacao_geral/Metodologia_da_matematica/tema_03/leituras/OPERA%C3%87%C3%95ES.pdf
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Fonte: Elaborado pelo autor, 2017.
Os números trata-se de conhecimentos sociais, historicamente construídos, que apesar da importância da
memorização é essencial a compreensão e o conhecimento histórico do número, possibilitando a compreensão. O
conhecimento da história da matemática não é simplesmente uma curiosidade a ser contada, mas sim a possibilidade
de entender por que a ordenação, a representação e quantidade são o que são.
Figura 9 - Números sendo representados no “tapetinho”
FIQUE POR DENTRO... 
Conceito é um elemento individual e dinâmico, passível de revisão e reformulação. Trata-se da ideia que o sujeito
tem sobre determinado assunto e deverá ser construído pelo aluno, favorecendo uma relação de reestruturação
constante até que se chegue ao conceito cientificamente aceito.
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Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
A construção do conceito do número acontece gradativamente, à medida que os números vão sendo vivenciados e
experimentados pelos alunos dentro e fora escola. Inicialmente as crianças, ainda na Educação Infantil (na faixa de 3 a
5 anos de idade), precisam manipular objetos em diferentes situações, que permitam analisar a quantidade, que pode
ser indicada com mais, menos ou igual. É importante que nesta etapa a criança seja estimulada a identificar e registrar
quantidades por meio de diferentes formas de representação, como contagem oral de objetos (tampinhas, palitos,
figuras, etc.), com desenhos, utilizando símbolos, escrevendo números e até organizando gráficos simples. Todas estas
atividades devem ser feitas de forma lúdica e espontânea, sem a preocupação de que a criança copie informações sem
entendimento. A proposta da caixa matemática (Unidade 1) nesta etapa é bem interessante e poderá conter:
Palitos de picolé;
Tampinhas;
Relógio;
Régua;
Fita métrica;
Dinheirinho: cédulas e moedas;
Dados;
Fichas numéricas de 0 a 9;
Calendário; e
Tabela de 1 a 100
O professor deve orientar o uso da caixa matemática, com atividades de representação numérica, mas também permitir
que os alunos manipulem os materiais da caixa matemática livremente, fazendo as representações que queira, assim
como estimular registro escritos do seu jeito, respeitando o entendimento que o aluno tem no conceito naquele
momento. Em se tratando de crianças lembre-se que é a fase da descoberta do mundo e os diferentes instrumentos
que nele existe. Fazendo analogia com o letramento da escrita e da leitura, onde a criança é estimulada a ler e escrever
do seu jeito, sendo motivo de orgulho para os adultos, assim devem ser na matemática.
Figura 10 - Alunos usando livremente a Caixa Matemática
DICAS DE ATIVIDADES! 
Sugestões simples para desenvolver a contagem e quantidade de maneira lúdica e participativa. Clique aqui:
https://youtu.be/Ka0raF1TUmE
https://youtu.be/Ka0raF1TUmE
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Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Figura 11 - Criança contando nos dedos
FIQUE ATENTO! 
É fundamental que a escola valorize o uso dos dedos na realização das contagens e cálculo com pequenas
quantidades. Contar nos dedos pode implicar tanto a descoberta, pela criança, dos cinco dedos em cada mão,
como os dois grupos de cinco formando dez. Mais que isto, a descoberta das quantidades maiores e menores
que o cinco, quanto falta para cinco, quanto falta para dez (BRASIL , 2014).
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Fonte: PNAIC, 2014.
Enquanto na aquisição da escrita e da leitura os alunos fazem confusão entre letras e sons, desenhos e palavras, etc.,
na matemática estas dificuldades também vão ocorrer. Inicialmente símbolos podem ser apontados como números,
números podem ser invertidos, quantidades podem ser representadas incorretamente e mesmo depois de já terem
aprendido a recitar a contagem, poderá contar errado. Quanto o entendimento do número começa a acontecer, ainda
assim vamos nos deparar com registro como “205”, para representar o “25” ou mesmo a contagem do “20 e 10” para se
referir ao “21”. Estas e outras hipóteses representam o pensamento infantil aprendendo sobre os números. O professor
deve mediar este processo, de forma amorosa e desafiadora, pois o processo de letramento matemático consiste em
promover a ação-reflexão-ação sobre as propriedades que estruturam os sistemas de números.
Figura 12 - Quantidade discreta (palitos) e contínua (dinheiro)
FIQUE ATENTO! 
A quantificação apresenta duas naturezas: a Quantidade Discreta e a Quantidade Contínua:
Quantidade Discreta (ou descontinua) é aquela utilizada para contar coleções, objetos, pessoas, astros, eventos,
tais como gols, saltos de cordas, soluções, isso tudo são eventos.
Quantidade Contínua parte do estabelecimento prévio de uma unidade de medida (como metros, quilos, litros,
etc.), sendo mais complexa e não permite a contagem direta um a um. Esta unidade de medida deve ser de
mesma natureza e conveniente, a partir da qual contaremos um, dois, três. Como, por exemplo, um metro de
corda, dois copos de açúcar, três litros e meio de leite, etc.
Podemos dizer que a contagem na medida discreta é imediata, pois a unidade de contagem é revelada pelo
próprio conhecimento dos elementos. Já na medida contínua a contagem é medida pela escolha da unidade de
medida, que tem de ser previamente estabelecida por aquele que vai realizar a quantificação.
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Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Nos anos iniciais do Ensino Fundamental aBNCC indica que o 1º ano precisa saber contar até 100 e o 2º ano até 1.000,
mas é preciso lembrar que os alunos se relacionam com o sistema numérico em diferentes situações, sem esta
preocupação de apresentar “em grupos”. Informações do dia, mês e ano que a criança nasceu, o endereço, a idade dos
avós, telefone dos familiares, preços de produtos, números em elevadores e embalagens, etc. Nestas relações, o sujeito
(crianças ou adultos) vão criando suas próprias regras e hipóteses para o sistema numérico. Por isto é necessário e
saudável explorar os números nas mais diferentes situações e “tamanho”.
O professor deve aproveitar as diversas situações do dia a dia escolar para contar com a turma, assim auxilia na
memorizando da sequência numérica. Uma possibilidade é ao iniciar a aula o professor contar os alunos e registrar em
um material já preparado para este fim.
Figura 13 - Cartaz “Quantos somos”
Fonte: Alfabetização cefapro Pontes e Lacerda, 2013.
Esta contagem pode acontecer de diferentes formas:
http://alfabetizacaocefaproponteselacerda.blogspot.com.br/2013/01/cartaz-quantos-somos.html
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Contando um aluno de cada vez, de forma corrida.
Formando grupo de dez com os alunos e depois fazer a contagem considerando o agrupamento feito.
Separando meninos de meninas para fazer a contagem e depois somar.
Entregando palitos para cada um e recolhendo fazendo a contagem.
Esclareço que ao fazer o registro escrito, após a contagem o professor está ajudando os alunos a construírem a relação
de número e quantidade. Ao utilizar o sinal da adição para registrar a soma entre grupos, o aluno começa a se
familiarizar com o código matemático.
Sistema de Numeração Decimal - SND
O Sistema de Numeração Decimal - SND é também conhecido por "sistema de numeração indo-arábico". Trata-se de
uma das grandes invenções matemáticas: usar 9 códigos, chamado de algarismos, para registrar todos os números, de
forma universal e infinita.
Na prática escolar, é comum explorar, desde as primeiras atividades com números, os agrupamentos de diferentes
quantidades. O agrupamento de 10 é a base do SND e professor precisa ter clareza de como desenvolver os conceitos
da unidade, dezena, centena, etc. Constata-se que os alunos apresentam certas dificuldades em aprender esses
conteúdos, certamente porque as regras que caracterizam o sistema decimal de numeração são bastante complexas e
abstratas. Entender que 1 pode ser 10 ou 100, porque mudou de lugar, faz pouco e nenhum sentido para as crianças.
Figura 14 - Sistema de Numeração Decimal
Fonte: Domínio Publico, 2020.
Para Saber Mais 
A história dos números é bem interessante, entender como é possível com 10 algarismos formar os números de
forma infinita, a importância dos agrupamentos, do zero e muitas outras curiosidades. Para conhecer clique aqui
.
https://youtu.be/2q32Sj5bYuE
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As atividades que auxiliam na construção desses conceitos devem partir do universo numérico conhecido e da
exploração das ideais e entendimentos iniciais dos alunos. Inicialmente pelas expressões orais que utilizam em
contagens, comparações e ordenações. No decorrer desse processo, é importante que eles sejam levados a elaborar
hipóteses, manipular materiais de contagem, construir representações (desenhos, esquemas), analisar escritas de
números de diferentes grandezas e também produzir escritas pessoais, podendo argumentar sobre essas construções.
Dessa forma, irão estabelecendo relações entre o que pensam e as representações escritas convencionais. Não deve
ser um processo mecânico de repetições. Deve-se sempre buscar a autonomia em criar hipóteses, experimentar, errar e
refazer o processo quantas vezes forem necessários.
Figura 15 - Representação numérica com material dourado
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
FIQUE ATENTO! 
Características do SND:
Utiliza de 10 algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 para formar todos os números;
0 (zero) representa uma quantidade que não existe;
Posicional, ou seja, o valor varia pela posição que ocupa no número;
Decimal, ou seja, de base 10, agrupando quantidades de 10 em 10 que são organizadas em ordem e
classes.
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O passo seguinte é integrar a habilidade de contagem com o significado do valor posicional na escrita numérica. As
atividades que exploram o agrupamento de 10 em 10 e a formação das dezenas e centenas, possibilitando a
compreensão da característica posicional da escrita numérica.
A construção da estrutura numérica e da aprendizagem significativa de nomenclaturas (unidade, dezena, centena...), é
realizada pelo aluno nas ações de contagem de objetos, de recitação, de relacionar quantidades e símbolos, formar
grupos e agrupamentos, etc. Destaca-se a importância da ludicidade, do trabalho com o corpo e da manipulação de
materiais. Ao quantificar, comparar, contar, associar símbolos a quantidades, o sujeito constrói o conceito de número.
Figura 16 - Material Dourado
FIQUE ATENTO! 
Inicialmente devem ser utilizados pelos alunos (crianças e adultos) os materiais concretos “não estruturados”
que são os: palitos, miçangas, tampinhas de garrafas, etc. Somente após manipular bastante os materiais “não
estruturados”, iniciam-se as atividades com materiais concretos “estruturados”, como: dinheirinho, material
dourado, o geoplano, blocos lógicos, ábaco e o cuisenaire.
FIQUE ATENTO! 
Trabalhar os conceitos dos números no EJA é necessário. É certo que jovens e adultos não escolarizados têm o
sentido numérico bastante desenvolvido, ainda que em graus diferentes, dependendo da intensidade com que
vivenciam situações de quantificação e medida. Porém, o conhecimento informal que possuem acerca dos
números não é suficiente para que compreendam as características do sistema de numeração decimal, utilizem
adequadamente sua notação simbólica e identifiquem suas relações com o cálculo escrito.
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Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
É muito importante o uso da base numérica ou “tapetinho” para a compreensão do SND. A base numérica ou “tapetinho”
se diferencia do Quadro Valor de Lugar – QVL, pois no “tapetinho” pode-se explorar diferentes materiais para
representar as quantidades e valor posicional, enquanto no QVL a representação fica a cargo do algarismo ou algum
material que deva ser a mesma nas ordens e classes (unidade, dezena e centena). No QVL é a posição que define o
valor assumido pelo algarismo ou material. Por exemplo, no QVL devemos usar as mesmas tampinhas para representar
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o número 22, sendo 2 tampinhas na unidade e 2 na dezena. Para o aluno (criança ou adulto) esta é uma abstração
complexa, pois ele não enxerga a quantidade 20 na representação de 2 tampinhas na dezena. Já o uso do “tapetinho”
vai permitir a representação de 2 amarradinhos de palitos na dezena, para representar o 20.
Números decimais e fracionários
Os decimais e fracionários constituem uma parte dos conhecimentos numéricos que serão trabalhados nos anos
iniciais. Normalmente, os alunos apresentam dificuldades em dominar estes conceitos e por isso (mais uma vez) é
essencialo uso de materiais concretos, possibilitando que os alunos representem suas próprias ideias sobre o assunto,
compartilhando e confrontando com os colegas e com os professores.
A familiarização das crianças com o sistema de numeração decimal ocorre a partir do contato com diferentes
portadores numéricos que existem em seu cotidiano, como calendários, fitas métricas, calculadoras, rótulos de
embalagens, trenas, celulares, computadores, o próprio dinheiro, entre outros materiais que permitam ler número.
Imersas num meio “matematizador”, as crianças têm contato com os números muito antes de entrar na escola.
Figura 17 - Grupo de criança comparando produtos
Para Saber Mais 
Verifique nas propostas da revista Nova Escola as possibilidades de trabalhar com a turma a construção do
número e o Sistema de Numeração Decimal. Clique aqui e acesse.
https://conteudo.catolica.edu.br/conteudos/unileste_cursos/disciplinas/nucleo_formacao_geral/Metodologia_da_matematica/tema_03/leituras/SISTEMA%20NUMERA%C3%87%C3%83O.pdf
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Fonte: Elaborado pelo autor, 2014.
Em seu dia a dia, em diferentes situações, os alunos (crianças e adultos) lidam com os números fracionários e
decimais, fazendo entendimento parciais do que eles significam, como ao manipularem moedas e cédulas, horas e
minutos, metros e centímetros, etc. A escola deve fazer uso desta experiência do mundo que os alunos trazem para
explorar os conceitos de fração e números decimais que permitam a visualização, a manipulação e a comprovação do
que se está fazendo matematicamente. Torna-se necessário que a escola permita aos alunos refletirem sobre a
representação da fração e dos números decimais em situações que envolvam a própria realidade, mas para isto deve
disponibilizar diferentes materiais didáticos, que usados com a intencionalidade pedagógica contribuirão para a
sistematização do conhecimento.
Figura 18 - Crianças utilizando a fita métrica
DICAS DE ATIVIDADES! 
Veja o vídeo de uma aula de frações utilizando o tangram.
RELEMBRANDO... 
Na representação decimal os números que vêm antes da vírgula representam o inteiro e o que estão após a
vírgula representam a parte, que é menor que o inteiro.
Na representação fracionária o numerador “numera” as partes retiradas e o denominador “denomina” as partes
divididas.
NUMERADOR – indica quantas partes foram pintadas (retiradas ou mantidas).
_____________________________________________
DENOMINADOR – indicada em quantas partes foram divididas o inteiro.
https://youtu.be/aTAl9Q9X3_s
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Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
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Destacam-se ainda as situações envolvendo medidas de valor monetário (dinheiro), medidas de comprimento ou
superfície são contextos apropriados para introduzir as noções de frações e números decimais. As relações muito
presentes na vida dos alunos com as unidades do sistema monetário (real e centavos) e certa familiaridade com
algumas unidades dos sistemas de medidas de comprimento e massa contribuem para o entendimento dos números
decimais e fracionários. Por exemplo, ao manipularem diferentes situações de dividir algo os alunos podem reconhecer
que 1/2 é igual a 0,5. Partindo então desta representação para concluir que 0,4 é menos que 1/2 ou que 0,6 é um pouco
mais que 1/2.
Figura 19 - relação entre inteiro e partes no dinheiro
DICAS DE ATIVIDADES! 
Veja o vídeo de uma aula de frações, com uma turma de 3ª série, que tem de decidir como dividir o resto de um
cálculo.
https://youtu.be/jnHcF46RtBo
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Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
 Na construção desses conceitos, é importante utilizar as representações gráficas com desenhos e tiras de papeis,
como na figura a seguir, que permitam manipular, visualizar e comparar as relações existentes entre a linguagem oral e
simbólica. As escritas convencionais só devem ser apresentadas quando os alunos tiverem algum domínio sobre os
conceitos, conseguindo estabelecer relações pessoais entre a linguagem oral e as representações.
Veja alguns desenhos usados para representar as frações, observe que as partes são sempre iguais dentro do mesmo
inteiro.
Figura 20 – Representação de Frações
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
Além das noções de inteiro e suas partes, é importante também construir as noções de ordem, sequência e
equivalência. Para compreender a relação de ordem, os alunos precisarão transpor um grande obstáculo. Eles sabem
que 2 é menor que 5; entretanto, ao ordenar frações, eles terão que descobrir que 1/5 é menor que 1/2 e, de certa
forma, ir contra a sua percepção imediata, centrada nos números naturais. Isso evidencia que os conhecimentos não
são construídos por acúmulo, mas estão sujeitos a rupturas e reestruturações.
O uso do QVL para a representação dos números inteiros e decimais, utilizando números e outras representações,
favorece o entendimento do registro decimal.
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Figura 21 - Valor Posicional Dos Algarismos De Um Número Decimal
Fonte: Mundo Educacao - UOL, 2020.
Figura 22 - Valor Posicional De Um Número Decimal, Representado Com Dinheiro
Fonte: Cristiano Muniz, 2019.
Veja na figura a seguir exemplos da representação das equivalências, que devem ser entendidas e utilizadas pelos
alunos, possibilitando desenvolver as operações com números fracionários, sem a necessidade de regras e decorebas.
Figura 23 - Equivalência das frações
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/valor-posicional-dos-algarismos-um-numero-decimal.htm
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É necessário que o professor proponha atividades que explorem o conceito dos decimais e frações com as quantidades
discretas e contínuas e que os alunos percebam que o número fracionário se presta à representação de situações
distintas das que já estavam acostumados com os números naturais. Veja na imagem abaixo a representação dos 2/6
(dois sextos).
FIQUE ATENTO! 
A mediação do professor é essencial para que estes conceitos matemáticos sejam construídos. O uso do
material concreto não é suficiente para que o aluno aprenda matemática é na interação com os colegas e na
mediação do professor que a aprendizagem ocorre.
Quantidades discretas:
Quantidades contínuas:
FIQUE POR DENTRO... 
O que os alunos devem aprender que as funções expressam?
O resultado de uma medição não exata. Exemplo: se o retângulo mede 1 cm, quanto mede a parte em
destaque?
Uma divisão. Exemplo: tenho 5 doces para repartir em partes iguais entre 3 crianças. Quanto cada uma
receberá?
Proporcionalidade. Exemplo: na planta de minha casa, 2 centímetros representam 3 metros. Minha cozinha
mede 4 x 5 metros. Como ela será representada? Quais as dimensões de um galpão que na planta é um
retângulo de 5 x 10 centímetros?
Relação entre as partes e o todo. Exemplo: para fazer uma jarra de suco, misturo 1 copo do líquido
concentrado com 5 medidas de água. Se eu quiser fazer menos bebidaconservando o mesmo sabor, que
doses devo usar? E se quiser fazer mais suco?
Porcentagem. Exemplo: estão presentes 75% dos 20 alunos da classe. Quantos alunos vieram?
Probabilidade. Exemplo: quando jogamos um dado, qual é a probabilidade de sair o 2?
FONTE: Nova Escola, 2009.
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Campos Aditivos e Multiplicativos
Os estudos das operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) é parte essencial da
aprendizagem matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Ela compõe o entendimento da construção do
sentido numérico e da compreensão das regras do sistema decimal de numeração.
A compreensão do sentido das operações inclui os seguintes aspectos:
reconhecer, em situações reais;
reconhecer as regularidades;
identificar as relações que existem entre elas;
identificar as operações presentes nos números. Por exemplo, o 8 pode ser representado pelo 4 +4 ou 10 – 2;
perceber o efeito que as operações produzem sobre os números. Por exemplo, no campo dos números naturais, a
adição entre 5 e 15 produz um resultado menor do que a multiplicação de 5 por 15, e a adição entre dois números
maiores que 50 produzirá sempre um número maior que 100.
Figura 23 - Representação da adição
PARA SABER MAIS... 
Verifique nas propostas da revista Nova Escola as diferentes possibilidades de trabalhar com a turma as frações.
Clique aqui e acesse.
https://conteudo.catolica.edu.br/conteudos/unileste_cursos/disciplinas/nucleo_formacao_geral/Metodologia_da_matematica/tema_03/leituras/FRA%C3%87%C3%95ES.pdf
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Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
A construção dessas noções mantém uma estreita relação com a construção do sentido numérico e, junto com este,
forma a base para o desenvolvimento das estimativas, do cálculo mental e do cálculo escrito.
O trabalho pedagógico com operações deve partir das resoluções de situações de problemas, permitir diferentes
estratégias de desenvolvimento dos cálculos e estimular a comparação e comprovação dos resultados.
Figura 24 - Grupo de criança comparando informações
Fonte: Elaborado pelo autor, 2014.
FIQUE ATENTO! 
Trabalhar os conceitos das operações no EJA é necessário. É certo que jovens e adultos não escolarizados têm o
sentido das operações bastante desenvolvido, ainda que em graus diferentes, dependendo da intensidade com
que vivenciam situações de quantificação e medida. Porém, o conhecimento informal que possuem acerca dos
números e das operações não é suficiente para que compreendam as características do sistema de numeração
decimal, utilizem adequadamente sua notação simbólica e identifiquem suas relações com o cálculo escrito.
Para aprofundar e sistematizar esse conhecimento, o trabalho escolar deve propiciar atividades que os ajudem a
estabelecer as relações entre as suas ideias e estratégias pessoais com o conhecimento mais geral, complexo e
formal.
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Álgebra
O BNCC (BRASIL, 2017) indicou nos anos iniciais do Ensino Fundamental a unidade temática Álgebra, que tem como
finalidade o desenvolvimento do pensamento algébrico. Este pensamento é essencial para utilizar modelos
matemáticos na compreensão, representação e análise de relações quantitativas de grandezas e, também, de situações
e estruturas matemáticas, fazendo uso de letras e outros símbolos. Para esse desenvolvimento, é necessário que os
alunos identifiquem regularidades e padrões de sequências numéricas e não numéricas, estabeleçam leis
matemáticas que expressem a relação de interdependência entre grandezas em diferentes contextos. As ideias
matemáticas fundamentais vinculadas ao pensamento algébrico são: equivalência, variação, interdependência e
proporcionalidade. A seguinte situação-problema explora o pensamento algébrico. Vejamos.
É imprescindível que algumas dimensões do trabalho com a álgebra estejam presentes nos anos iniciais do Ensino
Fundamental, como as ideias de regularidade, generalização de padrões e propriedades da igualdade. No entanto,
nessa fase, não se propõe o uso de letras para expressar regularidades, por mais simples que sejam.
Jogos simples, como os de descobrir a quantidade “escondida” contribuem na construção do pensamento algébrico,
como jogo dos palitos ou “porrinha” bastante conhecido na cultura brasileira.
Figura 25 - Jogo do palito ou “porrinha”
Márcia faz bolos todos os dias para vender na escola da sua filha. Hoje ela saiu com a cesta cheia! Vendeu 18
pedaços de bolos e voltou com 5 pedaços. Com quantos bolos ela saiu de casa?
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Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
A relação desta unidade temática com a de Números é bastante evidente no trabalho com sequências (recursivas e
repetitivas), seja na ação de completar uma sequência com elementos ausentes, seja na construção de sequências
seguindo uma determinada regra de formação.
A relação de equivalência pode ter seu início com atividades simples, envolvendo a igualdade, como reconhecer que se
2 + 3 = 5 e 5 = 4 + 1, então 2 + 3 = 4 + 1. Atividades como essa contribuem para a compreensão de que o sinal de
igualdade não é apenas a indicação de uma operação a ser feita.
A noção intuitiva de função pode ser explorada por meio da resolução de problemas envolvendo a variação
proporcional direta entre duas grandezas (sem utilizar a regra de três), como: “Se com duas medidas de suco
concentrado eu obtenho três litros de refresco, quantas medidas desse suco concentrado eu preciso para ter doze litros
de refresco?”
DICAS DE ATIVIDADES! 
Quer aprender a jogar “porrinha”? Clique aqui e assista ao vídeo!
Para Saber Mais 
Verifique nas propostas da revista Nova Escola algumas atividades que envolvem os campos aditivos e
multiplicativos, possibilidades para desenvolver o pensamento algébrico. Clique aqui e acesse.
https://youtu.be/HQ6oSM5Qyjg
https://conteudo.catolica.edu.br/conteudos/unileste_cursos/disciplinas/nucleo_formacao_geral/Metodologia_da_matematica/tema_03/leituras/SISTEMA%20NUMERA%C3%87%C3%83O.pdf
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ATIVIDADES LÚDICAS E JOGOS
Vamos agora conhecer algumas atividades lúdicas e jogos que podem contribuir de forma efetiva na construção
dos conceitos dos números, das operações e do pensamento algébrico.
Educação Infantil
As atividades matemáticas na Educação Infantil devem acontecer, de forma regular e lúdica. Veja abaixo
sugestões de atividades:
Batalha numérica
SDN na pré-escola
Construção do número
Organize os alunos em suas carteiras em grupos de 4, entregue para cada aluno os números de 0 – 9 (modelo na
aula 4), 1 pratinho e no centro do grupo coloque um pote com material de contagem (canudos, palitos ou
tampinhas).
Inicialmente, os alunos devem organizar os números de 0 – 9, na sua mesa, individualmente, de forma crescente,
o que vai exigir deles atenção para a sequência correta.
O professor deve escrever ou falar um número e pedir que os alunos coloquem dentro do pratinho o número e a
quantidade correspondente. Sempre que tiver 10 canudos nos pratinhos eles devem ser amarrados, conforme
foto. Esclareço que os canudos da foto foram cortados ao meio, possibilitando melhor manuseio.
Oprofessor pode tornar a atividade mais interessante contando uma história, como uma situação-problema. Veja
o exemplo.
https://conteudo.catolica.edu.br/conteudos/unileste_cursos/disciplinas/nucleo_formacao_geral/Metodologia_da_matematica/tema_03/leituras/batalha_numerica.pdf
https://conteudo.catolica.edu.br/conteudos/unileste_cursos/disciplinas/nucleo_formacao_geral/Metodologia_da_matematica/tema_03/leituras/SND%20pre-escola.pdf
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EXEMPLO DE UMA SITUAÇÃO-PROBLEMA:
Sônia foi até o mercadinho e comprou 6 laranjas para a mãe.
Os alunos colocam no pratinho o número 6 e a quantidade 6 canudinhos.
Quando chegou em casa, a mãe descobriu que tinha mais 2 laranjas na geladeira. Quantas
laranjas ela tem agora?
Os alunos devem colocar mais 2 canudinhos no pratinho e contar todos. Ao chegar no
resultado 8, retiram o número 6 e colocam o 8.
A mãe de Sônia usou 5 laranjas para fazer o suco. Quantas laranjas tem agora?
Os alunos devem tirar 5 canudinhos do pratinho e contar todos que sobraram. Ao chegar
no resultado 3, retiram o número 8 e colocam o 3.
Assim, o professor pode propor várias situações-problemas, envolvendo os alunos na
história.
Jogo Cubra e Descubra
Neste jogo, os alunos (crianças e adultos) vão precisar do tabuleiro do jogo, fichas e 2 dados. Eles vão fazer
cálculos, que podem ser somente adição ou adição e subtração. Veja a foto das crianças jogando:
Para conhecer a regra do jogo clique aqui.
Para ver o tabuleiro do jogo clique aqui.
Jogo Some 10
É um jogo de tabuleiro para 2 jogadores ou 2 duplas. Nele, os jogadores (crianças ou adultos) têm 66 fichas de 0
– 9 e devem jogar tentando somar 10 na linha horizontal, vertical ou diagonal. O vencedor é o jogador que ao final
do jogo tiver o maior resultado na soma das fichas.
Veja a foto das crianças jogando:
https://conteudo.catolica.edu.br/conteudos/unileste_cursos/disciplinas/nucleo_formacao_geral/Metodologia_da_matematica/tema_03/leituras/cubra_REGRAS.pdf
https://conteudo.catolica.edu.br/conteudos/unileste_cursos/disciplinas/nucleo_formacao_geral/Metodologia_da_matematica/tema_03/leituras/cubra_tabuleiro.pdf
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Para conhecer a regra do jogo clique aqui.
Velha com números
Trata-se de um jogo adaptado no tradicional jogo da velha. Nele será usado o tabuleiro do jogo da velha com
números de 0 a 9 que será diferenciado por cores e a cada final de jogada deverão ser feitas os registros das
somas dos números que estão no tabuleiro. Veja a foto das peças do jogo:
Para conhecer a regra do jogo clique aqui.
Finalizando a Unidade 
Nesta Unidade, estudamos sobre as propostas da Educação Matemática para a aprendizagem e ensino dos
números, operações e álgebra. Conhecemos a importância de se explorar o cálculo mental deste a Educação
Infantil e diferentes formas de se trabalhar o Sistema de Numeração Decimal nas aulas de matemática. Vimos
ainda os conceitos que envolvem os campos aditivos e multiplicativos e como desenvolver o pensamento
matemático sem a preocupação de ensinar algoritmos tradicionais como modelos únicos.
Finalizamos a Unidade com orientações para a construção do pensamento algébrico nos anos iniciais do Ensino
Fundamental. Indicado pelo BNCC como uma nova unidade temática deve enfatizar o desenvolvimento de uma
linguagem matemática, visando estabelecer generalizações e análise da interdependência de grandezas.
Na próxima Unidade, daremos continuidade aos conhecimentos matemáticos de outras unidades temáticas
indicadas no BNCC que são: Grandezas e Medidas, Geometria e Estatística e Probabilidade. 
https://conteudo.catolica.edu.br/conteudos/unileste_cursos/disciplinas/nucleo_formacao_geral/Metodologia_da_matematica/tema_03/leituras/Some10.pdf
https://conteudo.catolica.edu.br/conteudos/unileste_cursos/disciplinas/nucleo_formacao_geral/Metodologia_da_matematica/tema_03/leituras/Velha%20Numeros.pdf
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Dica do Professor 
LIVRO:
O livro Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas, organizados por Cecilia Parra e Irma Saiz, da Artmet,
apresenta pesquisas interessantes. Destacam-se os estudos realizados por Délia Lerner e Patrícia Sadovsky, que
trouxeram importantes contribuições a respeito das hipóteses numéricas que as crianças constroem no contato diário
com números que são familiares e frequentes em seu cotidiano.
DIGITALIZADO:
Educação e linguagem matemática II: Numerização, de Nilza Eigenheer Bertoni, trata-se de um material riquíssimo que
apresenta conceitos e atividades relevantes para a construção do número e das operações. Para acessá-lo clique aqui
.
Construção do Sistema de Numeração Decimal, material que faz parte do PNAIC (Pacto Nacional pela Alfabetização na
Idade Certa), publicado pelo MEC em 2014. Trata-se de 10 cadernos. Para acessá-lo clique aqui.
https://conteudo.catolica.edu.br/conteudos/unileste_cursos/disciplinas/nucleo_formacao_geral/Metodologia_da_matematica/tema_03/leituras/PEDEAd_%20Numeriza%C3%A7%C3%A3o_Bertoni.pdf
https://conteudo.catolica.edu.br/conteudos/unileste_cursos/disciplinas/nucleo_formacao_geral/Metodologia_da_matematica/tema_03/leituras/PNAIC_MAT3_SND.pdf
26/10/2021 11:58 Versão para impressão - NÚMEROS E ÁLGEBRA
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Saiba Mais 
Assista ao vídeo de um evento organizado pela SBEM – DF, sobre Educação Matemática nos anos iniciais: vivências
escolares.
https://youtu.be/kgEp1n09Rjc
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https://conteudo.catolica.edu.br/conteudos/unileste_cursos/disciplinas/nucleo_formacao_geral/Metodologia_da_matematica/tema_03/index.ht… 41/42
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Referências 
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática: Ensino de
primeira à quarta série. Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf Acesso em:  nov.2019.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Referencial Curricular
Nacional para a Educação Infantil. Brasília: MEC/SEF, 1998. Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/rcnei_vol1.pdf. Acesso em: nov.1998.
BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional da Educação. Conselho Pleno. Parecer CNE/CP n.9 de 2001.
Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso
de licenciatura, de graduação plena. Brasília, 9 de maio de 2001. Disponível em:
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