1 resistência de materiais

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Resistência dos Materiais 
Aplicada à Arquitetura
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. Ricardo Alferes
Revisão Textual:
Prof. Esp. Claudio Pereira do Nascimento
Conceitos Iniciais
• Introdução;
• Equilíbrio;
• Vínculos.
• Conhecer o conceito de equilíbrio estático;
• Desenvolver a percepção de uma estrutura real aplicada em um modelo teórico bidimensional;
• Observar a representação de forças como elementos vetoriais e aplicar a decomposição 
de vetores;
• Observar também o que são vínculos estruturais e quais os tipos de vínculos convencionados.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO
Conceitos Iniciais
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de 
aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Conceitos Iniciais
Introdução
Imagine que você está em uma viagem de carro pela estrada e se vê diante de 
um rio que precisa atravessar. Você nota que tem duas opções: uma ponte de con-
creto, sem nenhum defeito estrutural, e uma ponte feita com tábuas de madeira. 
Qual das duas opções você escolheria?
Mesmo sem um estudo específico sobre resistência dos materiais, é natural sentir 
que a ponte de concreto seja mais resistente, pois ao longo da vivência vamos ob-
servando empiricamente o comportamento de diversos materiais. Percebemos, por 
exemplo, que uma simples tábua de madeira poderia facilmente se deformar com o 
peso mais do que o esperado para uma viga de concreto.
Agora, imagine que você está caminhando numa passarela e vê que adiante há 
uma parte do piso feita em vidro e é possível ver todas as pessoas e carros abaixo 
dela. Algumas pessoas se sentem um pouco inseguras ao ver tal cena. Por quê? 
E por que só uma parte dela é feita de vidro e não ela toda?
Figura 1 – Ponte rústica de madeira
Fonte: Getty Images
Figura 2 – Ponte com assoalho de vidro
Fonte: Getty Images
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Essas situações estão intimamente ligadas ao estudo da resistência dos materiais, 
pois, com os estudos apropriados, vamos percebendo que alguns materiais desem-
penham certos papeis em uma estrutura com mais eficiência do que outros. O que 
não quer dizer que pontes de madeira são inseguras ou que seja impossível existir 
uma passarela feita apenas de vidro.
O estudo da resistência dos materiais foca em entender o comportamento dos 
materiais diante das solicitações às quais eles são submetidos. Quantos quilos uma 
ponte de madeira aguenta? Quanta força você precisa fazer para quebrar um clipe 
de papel utilizando só as mãos? Se você utilizar uma tábua para apoiar dois sacos 
de 50 kg de cimento, a tábua se deforma demais? Para responder a estas pergun-
tas, primeiro precisamos entender quais são as unidades de medida utilizadas no 
estudo da resistência dos materiais.
Para nos referirmos às unidades, temos o Sistema Internacional de Unidades (SI), 
que estabelece um padrão de medida para cada unidade. No Brasil, a resolução 
nº 12 (1988) do Conselho Nacional de Metrologia (CONMETRO) estabelece algu-
mas diretrizes referentes às unidades de medida.
Isso significa que teremos algumas unidades de medidas específicas para certas 
grandezas citadas nestas unidades e em unidades futuras. Por exemplo, segundo o SI, 
quando nos referirmos a um intervalo de tempo, utilizaremos a unidade de segundos 
(s). E antes de seguir com o estudo das unidades mais utilizadas em resistência dos 
materiais, precisamos entender (ou relembrar) a diferença entre massa e força.
Veja mais sobre a resolução do conselho nacional de metrologia (CONMETRO) com as diretri-
zes sobre unidades de medida. Disponível em: https://bit.ly/2JzzJHUEx
pl
or
Massa é uma grandeza relacionada à quantidade de matéria de um corpo, quan-
to mais matéria houver, maior será a massa. E segundo o SI, ela é expressa em 
quilogramas (kg), ou seja, quando alguém diz que “este saco de arroz pesa 1 kg”, na 
verdade essa medida se refere à massa. Mas e o peso, então? O que seria?
Aquilo que chamamos de peso na física e na resistência dos materiais é uma me-
dida de força resultante da ação da gravidade. Em outras palavras, o peso depende 
da força que o planeta exerce sobre seu corpo e é a força que você faz em direção 
ao chão.
Explicando de outra forma, uma pessoa que tem 75 kg de massa, tem 75 kg 
de massa em qualquer lugar, seja na Terra, na Lua ou em qualquer outro planeta. 
O que muda é o peso dela nesses lugares. Qual a importância disso afinal? Como 
dito anteriormente, peso é uma medida de força pelo Sistema Internacional de 
Unidades (SI), força que é referenciada pela unidade newton (N), seja a força peso, 
exercida pela massa de algum material, seja outro tipo de força, vindo de outra 
fonte, todas serão retratadas pela mesma unidade.
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UNIDADE Conceitos Iniciais
O nome da unidade de medida para força é em homenagem ao físico Isaac Newton, cujos 
trabalhos foram essenciais para o desenvolvimento do estudo da física mecânica clássica.Ex
pl
or
Considerando que a maior parte das situações abordadas nessa disciplina seja 
localizada na Terra, podemos simplificar a relação entre massa e peso de acordo 
com a gravidade do nosso planeta, que é 9,81 m/s², mas que podemos considerar 
como 10 para fins didáticos de facilitação de cálculo. Nessa simplificação, 1 kg = 10 
N (um quilograma equivale a 10 newtons). Logo, uma pessoa de 65kg representa 
uma força de 650N apontando para o centro da Terra. 
Figura 3
Fonte: Adaptado de Getty Images
Como você deve ter notado no exemplo anterior sobre estudo teórico de fe-
nômenos físicos, utilizamos representações que traduzem o mundo como está ao 
nosso redor em uma linguagem gráfica de forma simplificada. O peso que a mulher 
exerce sobre o chão foi traduzido num vetor sobre um único ponto de apoio e o 
valor desse peso acompanha o vetor. Este é um exemplo de como poderemos re-
presentar este tipo de situação.
Portanto, sempre que estivermos diante de situações reais que envolvam forças, 
por exemplo, na verdade, estaremos observando vetores, pontos de aplicação e 
linhas. Não necessariamente estarão representados todos os detalhes, como de 
onde foi originada a força ou a área de contato entre o pé e o chão, por exemplo.
Importante!
Um astronauta de 65 kg pesa aproximadamente 650 N na Terra. Na Lua, com os mesmos 
65 kg, o peso dele é pouco mais do que 105 N
VocêSabia?
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Equilíbrio
Agora que estamos mais familiarizados com a representação de forças, seja ela 
originada de um peso ou outro tipo de força (um elástico esticado, por exemplo, 
está aplicando uma força para voltar ao tamanho normal), podemos discutir o con-
ceito de equilíbrio.
O que seria então o equilíbrio?
Ao longo da vivência vamos nos deparando com várias formas de nos referirmos 
a algo que chamamos de equilíbrio. Existe o equilíbrio emocional, financeiro, am-
biental…, no entanto, quando falamos de resistência dos materiais, nosso foco é o 
equilíbrio estático. Afinal, futuramente estaremos lidando com edificações e, nesse 
caso, o principal equilíbrio delas é o estático.
Olhe para um prédio e se pergunte, ele está em equilíbrio? (esperamos que sim!) O que acon-
teceria se ele não estivesse?Ex
pl
or
A forma geral de conceituar o equilíbrio estático é confirmar que “a somatória de 
todas as forças é igual a zero”. Quando um corpo estiver em equilíbrio, todas as forças 
que estão atuando sobre ele têm que ter alguma outra força (ou forças) para anular. 
Imagine um cabo de guerra onde a soma das forças dos dois times é exatamente igual, 
a corda não vai para nenhum dos lados. Isso quer dizer que a corda está em equilíbrio.
10N 10N 10N30N
Figura 4 – Cabo de guerra
Fonte: Adaptado de Getty Images
Observe, por exemplo, as imagens acima, mesmo que os times tenham uma quan-
tidade diferente de pessoa, um dos times tem 3 pessoas fazendo uma força de 10 N 
cada uma e o outro tem uma pessoa sozinha fazendo uma força de 30 N. Temos um 
caso de equilíbrio estático, pois as forças se anulam e o cabo não sai do lugar.
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UNIDADE Conceitos Iniciais
E se houvesse um peso pendurado na corda? Como ele seria representado? 
Bom, para termos uma referência mais bem estabelecida, quando falarmos de equi-
líbrio, estaremos considerando os corpos e as forças dentro de um sistema de eixos 
cartesianos, os já conhecidos eixos xy. Observe na figura a seguir, por exemplo, 
como o farol pode ser colocado num sistema de eixos cartesianos.
y
x
Figura 5 – Farol – Torre
Fonte: Adaptado de Getty Images
Quando precisamos referenciar um corpo para estudo do equilíbrio estático, 
precisamos colocá-lo dentro de um sistema de eixos cartesianos. Em geral, o eixo 
horizontal é convencionado como eixo x e o eixo vertical como eixo y.
Bom, nesse eixo, imagine uma torre presa ao chão, como o farol que citamos 
anteriormente. Vários tipos de forças vão atuar nessa torre, como estamos buscan-
do um equilíbrio estático, nosso objetivo é que ela mantenha a estabilidade mesmo 
com a ação destas forças.
Observe a imagem a seguir:
y
x
1
2
3 4
Figura 6
A força F1 representa o peso da própria torre. Como dito antes, o peso é uma 
força relacionada à massa de um material que é direcionada ao centro do planeta. 
A força F2 representa a reação do chão. Para que a torre não afunde, o chão pre-
cisa “empurrar a torre para cima”, com a mesma intensidade que o peso a empurra 
para baixo, assim conseguimos o equilíbrio estático no plano vertical (eixo y).
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Além do peso, imagine que está ventando muito e a força F3 representa a força 
do vento na torre, mais uma vez essa torre está em equilíbrio, ou seja, a base da 
torre precisa gerar a força F4 na direção contrária ao vento, mantendo o equilíbrio. 
Dessa forma, todas as forças se anulam e a torre se mantém estável.
Outra condição para que se tenha o equilíbrio é garantir que, além de não se 
deslocar na horizontal ou não vertical, os corpos não estejam girando em nenhuma 
direção; a este tipo de movimento chamamos de momento, que pode ser momento 
fletor ou momento torsor.
Posteriormente, estas condições de equilíbrio serão melhor exploradas; por en-
quanto, vamos focar no fato que precisamos garantir que as estruturas consigam 
anular todas as forças aplicadas para se que mantenha a estabilidade de uma estru-
tura. Isso é garantido através do que chamamos de vínculos.
Vínculos
Os vínculos ou apoios são os elementos de um corpo ou de uma estrutura que 
restringem o movimento e/ou deslocamento. Seguindo a nossa representação dos 
corpos em duas dimensões, podemos classificar os vínculos em três tipos diferentes.
• Vínculos de 1ª classe: Chamamos de vínculo de primeira classe aqueles que 
restringem o movimento de uma estrutura apenas na direção normal ao plano 
de apoio. Imagine um veículo cujas rodas estão presas em um trilho; os vínculos 
dessa estrutura com o ambiente são essas rodas, elas não restringem a rotação 
(momento) e não restringem o movimento lateral (forças horizontais), mas elas 
impedem que este carro se desloque para cima ou para baixo (forças verticais);
Figura 7 Figura 8
Fonte: Adaptado de Getty Images
• Vínculos de 2ª classe: Os vínculos de segunda classe são aqueles que res-
tringem o movimento de uma estrutura em duas direções, além de restringir 
o movimento na direção normal ao plano de apoio. Também há restrição do 
movimento paralelo ao plano e a rotação não é restrita neste tipo de vínculo.
Figura 9
13
UNIDADE Conceitos Iniciais
Em geral, vínculos de segundo grau são articulações fixas na base.
Figura 10 – À esquerda, figura de estrutura com articulação 
e à direita, figura de autoria do autor
Fonte: Acervo do Conteudista
• Vínculos de 3ª classe: Os vínculos de terceira classe, também chamados de 
engastes, são conexões que limitam todos os movimentos. Limitam o desloca-
mento horizontal, vertical e o giro. Quando uma estrutura, ou parte dela, está 
conectada através de um vínculo de terceira classe, se diz que está engastada.
Figura 11
Imagine, por exemplo, um poste. Um poste é 
uma estrutura engastada no solo, pois há uma única 
conexão (a base) que impede o movimento horizon-
tal, vertical e a rotação.
Estes diferentes tipos de vínculos são as fixações 
que garantem que os corpos e as estruturas vão re-
sistir aos esforços; sempre que aparecer uma força, 
é o vínculo que garante uma força contrária a fim 
manter a estabilidade.
Porém, todos os exemplos mencionados são re-
ferentes a forças ou totalmente horizontal ou total-
mente vertical. Mas, e se houvesse uma força incli-
nada? Como vamos fazer para distinguir o que está 
no eixo x e o que está no eixo y?
Imagine um barco que está navegando no mar em linha reta e de repente se 
inicia uma ventania lateral, empurrando o barco para o lado, conforme ilustrado na 
figura a seguir:
Veja que, se considerar o barco inserido num sistema de eixos cartesianos, a 
força F1 representa a força de propulsão do barco na direção em que ele pretende 
Figura 12 – Poste
Fonte: Adaptado de Getty Images
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se deslocar. A força F2 é a força lateral do vento, que empurra o barco para o lado 
enquanto ele se desloca.
y
x
F1
F2
Figura 13 – Barco representado sob força da ventania
Fonte: Adaptado de Getty Images
Com essas duas forças agindo simultaneamente, o barco se desloca para a frente 
e para o lado ao mesmo tempo; é como se, em vez de ter duas forças atuando, 
tivéssemos uma única força F3, a qual chamamos de soma vetorial das outras duas 
forças e que agiria de forma inclinada.
y
x
F3
Figura 14
Olhando atentamente para os vetores que representam as forças F1, F2 e F3, 
podemos observar que a força inclinada resultante se trata da hipotenusa do triân-
gulo retângulo que é formado pelas três forças.
F3
F2
F1
Figura 15
Mas, e quando acontecer o contrário? Se houver ação de uma força inclina-
da, como poderemos separar essa força em forças dentro dos nossos eixos xy? 
Da mesma forma que duas forças ortogonais se somam em uma única força incli-
nada, podemos partir de uma força inclinada e separá-la em duas outras forças. 
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UNIDADE Conceitos Iniciais
Isso é chamado decomposição vetorial e serve principalmente para podermos se-
parar forças vetoriais em componentes que estejam nos eixos que estabelecemos.
Para entender o processo de decomposição vetorial, podemos interpretar os 
vetores que estamos buscando e são projeções do vetor original,como se houvesse 
uma “sombra” deste vetor F projetada nos eixos x e y. A estes vetores projetados 
daremos o nome Fx e Fy, conforme ilustrado a seguir.
y
Fy
F
x
Fx
x
F
y
Figura 16
Como saber o valor desses vetores componentes? Bom, para isso será necessá-
rio saber qual o ângulo entre o vetor F e um dos eixos cartesianos. Vamos chamar 
o ângulo de θ, por exemplo, utilizando das relações trigonométricas com o ângulo 
conforme indicado na figura a seguir:
Fy
Fx
F
θ
y
x
Figura 17
Com base nesta figura, podemos estabelecer as seguintes relações:
2 2
cos
sen
x
y
x y
F F
F F
F F F
q
q
= ×
= ×
= +
Bom, agora que já está definido o conceito de equilíbrio, a metodologia de re-
presentação de forças e decomposição vetorial, podemos pensar em como esses 
assuntos vão se relacionar, façamos então o exercício do exemplo a seguir:
Exercício 1 – Exemplo resolvido
Sobre a mesa de trabalho, três colegas estão disputando a última xícara de café. 
O primeiro a pegar está puxando com uma força de 30N e com um ângulo de 30° 
em relação a uma linha horizontal, conforme ilustrado na figura abaixo.
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Com que força os seus colegas devem puxar a xícara de volta para que ela não 
saia do lugar, dada a direção e o sentido das forças F1 e F2?
y
x
F2
F1
30N
30º
Figura 18 – Ilustração: xícara de café sob ação de forças
Fonte: Adaptado de Getty Images
A primeira coisa que precisamos ter em mente é deixar específico que a caneca 
não deve sair do lugar. A questão está descrevendo que o sistema está em equilí-
brio, ou seja, as forças F1 e F2 devem anular a terceira força de 30N. Sendo assim, 
resta saber quais os componentes vertical e horizontal desta força de 30N.
Decompondo o vetor de 30N – Componente horizontal
Esta primeira etapa visa descobrir o quanto da força de 30N é transmitido à xí-
cara no sentido horizontal, em outras palavras, qual a projeção horizontal da força 
dado o ângulo de 30°.
Fx
30N
y
x
30º
Figura 19
Fonte: Acervo do Conteudista
Considerando que os vetores da força inclinada e seus componentes compõem 
um triângulo retângulo e o valor que se busca equivale ao cateto adjacente ao ân-
gulo, podemos partir da seguinte relação trigonométrica:
Fx = F ⋅ cos θ
• Onde: 
 » F = 30N;
 » θ = 30º.
Temos que o valor do cosseno de 30° é aproximadamente 0,867.
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UNIDADE Conceitos Iniciais
Logo:
Fx = 30 ⋅ 0,867 = 26,01N
Ou seja, a força F de 30N tem uma componente horizontal de aproximadamente 
26,01 N.
Agora, partimos para a decomposição do componente vertical:
Decompondo o vetor de 30N – Componente vertical
Com a mesma observação que os vetores da força inclinada e seus componentes 
compõem um triângulo retângulo, o valor agora equivale ao cateto oposto ao ân-
gulo apontado, podemos partir então da relação do seno:
Fy = F ⋅ cos θ
Fy
30N
y
x
30º
Figura 20
Fonte: Acervo do Conteudista
• Onde:
 » F = 30N;
 » θ = 30º.
Temos que o valor do seno de 30° é aproximadamente 0,50.
Logo:
Fy = 30 ⋅ 0,50 = 15,0 N
Ou seja, a força F de 30N tem uma componente horizontal de 15,0 N.
Desta forma, sabemos então com que intensidade de força as duas outras pesso-
as presentes à mesa precisariam puxar a xícara de café para que fosse estabelecido 
um equilíbrio naquela situação.
y
x
26,01N
15N
30N
30º
Figura 21
Fonte: Acervo do Conteudista
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Estruturas Isostáticas
ALMEIDA, M. C. F. Estruturas Isostáticas. São Paulo: Oficina de Textos, 2009.
Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática
BEER, F. P. et al. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2012.
Resistência dos materiais – Para entender e gostar
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais – Para entender e gostar. 4. ed. São 
Paulo: Blucher, 2017.
 Vídeos
Me Salva! GP09 - Geometria Plana - Relações básicas e trigonométricas do triângulo retângulo
https://youtu.be/--mUGgRu95c
Operações vetoriais
https://youtu.be/I9k0ZWbRqo8
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UNIDADE Conceitos Iniciais
Referências
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais – Para entender e gostar. 4. ed. 
São Paulo: Blucher, 2017.
Conselho Nacional de Metrologia. Normalização e Qualidade Industrial – CON-
METRO. Resolução nº 12, 12 out 1988.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010.
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