Anéis e Ideais em Matemática

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A´lgebra A – Ane´is
Elaine Pimentel
Departamento de Matema´tica, UFMG, Brazil
2o Semestre - 2010
Ane´is
Sejam A um conjunto com duas operac¸o˜es + e ·. Enta˜o (A,+, ·)
e´ um anel se:
A1 ∀a, b, c ∈ A (a + b) + c = a + (b + c).
A2 ∀a, b ∈ A a + b = b + a.
A3 ∃0 ∈ A tal que a + 0 = a ∀a ∈ A.
A4 ∀a ∈ A ∃α ∈ A tal que a + α = 0.
M1 ∀a, b, c ∈ A (a · b) · c = a · (b · c).
M2 ∀a, b ∈ A a · b = b · a.
M3 ∃1 ∈ A tal que a · 1 = a ∀a ∈ A.
AM ∀a, b, c ∈ A, a · (b + c) = a · b + z · c .
Propriedades
1. O elemento neutro da adic¸a˜o e´ u´nico.
2. O elemento neutro da multiplicac¸a˜o e´ u´nico.
3. O inverso aditivo e´ u´nico para cada a ∈ A.
Ale´m disso, dizemos que a ∈ A e´ invert´ıvel se existir b ∈ A tal
que a.b = 1. Observe que o inverso de a, se existir, e´ u´nico.
Mais algumas definic¸o˜es
I Dois elementos a e b de um anel A sa˜o ditos associados se
existir um elemento invert´ıvel u tal que a = u · b.
I Um elemento na˜o nulo e na˜o invert´ıvel de um anel e´ dito
irredut´ıvel se seus u´nicos divisores sa˜o os elementos
invert´ıveis do anel e seus associados.
I Um elemento na˜o nulo e na˜o invert´ıvel p de um anel e´ dito
primo se toda vez que p divide o produto de dois elementos
de A, ele divide um dos fatores.
Dom´ınio de integridade
Um anel A e´ um dom´ınio de integridade se dados a, b ∈ A
com a 6= 0 e b 6= 0, enta˜o a · b 6= 0.
Observac¸o˜es:
I (Z,+, ·) e´ um dom´ınio de integridade.
I Para todo a ∈ A, a · 0 = 0.
I Para todo a ∈ A, (−1) · a = −a.
I Se A e´ um dom´ınio de integridade, enta˜o ∀a, x , y ∈ A com
a 6= 0, a · x = a · y implica x = y .
Ideais
Um subconjunto I de um anel A e´ chamado de ideal de A se:
(i) I 6= ∅.
(ii) a, b ∈ I enta˜o a + b ∈ I.
(iii) a ∈ A e b ∈ I enta˜o a · b ∈ I.
Propriedades:
1. 0 ∈ I.
2. Se a ∈ I enta˜o −a ∈ I.
3. Se a, b ∈ I enta˜o a− b ∈ I.
Ideal principal e dom´ınio principal
Seja a ∈ A. Definimos o ideal principal I(a) como:
I(a) = {n · a|n ∈ A}.
Dizemos que a e´ o gerador de I(a).
Por exemplo, se A = Z, enta˜o I(2) e´ o conjunto dos nu´meros
inteiros pares enquanto que I(1) = Z.
Um dom´ınio de integridade tal que todo ideal e´ principal e´
chamado de dom´ınio principal .
Propriedades
Sejam A um anel e a e b elementos de A. Valem as seguintes
afirmativas:
I I(a) = I(b) se e somente se a|b e b|a.
I Se A e´ um dom´ınio de integridade, enta˜o I(a) = I(b) se e
somente se a e b sa˜o associados.
I Se A = Z enta˜o I(a) = I(b) se e somente se a = ±b.
Ideal primo e ideal maximal
Um ideal I de um anel A com I 6= A e´ chamado de ideal primo
se toda vez que a · b ∈ I com a, b ∈ A, segue que a ∈ I ou b ∈ I.
Um ideal M de um anel A com M 6= A e´ chamado de ideal
maximal se para todo ideal Iscr tal que M I ⊂ A, temos que
I = A.
Por exemplo, se A = Z enta˜o I(7) e´ um ideal primo, enquanto que
I(4) na˜o e´. De fato, e´ fa´cil ver que se I(n) e´ um ideal primo de Z,
enta˜o n e´ primo.
Ideal primo e ideal maximal
Em geral, temos o seguinte resultado:
Se A e´ um dom´ınio principal e I e´ um ideal com I 6= (0) e
I 6= A, enta˜o as seguintes afirmativas sa˜o equivalentes:
I I e´ maximal;
I I e´ primo;
I I = I(p), onde p e´ um elemento primo de A.
Ane´is quocientes
A relac¸a˜o de congrueˆncia em Z pode ser re-interpretada em termos
de ideais:
a ≡ b (mod n)⇔ b − a ∈ I(n).
Logo, em um anel A qualquer, podemos definir
a ≡ b (mod I)⇔ b − a ∈ I.
Dessa forma, a classe residual de a mo´dulo I e´ definida:
a = a + I
Definimos o anel quociente A/I como o conjunto das classes
residuais mo´dulo I.
Corpos e ideais
Um anel A tal que todo elemento na˜o nulo e´ invert´ıvel e´ chamado
de corpo .
E´ fa´cil de ver que todo corpo e´ um dom´ınio de integridade. Ale´m
disso:
I A/I e´ um dom´ınio de integridade se e somente se I e´
um ideal primo .
I A/I e´ um corpo se e somente se I e´ um ideal maximal .